文档内容
2022年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是正确的）
1．（2分）（2022•常州）2022的相反数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C． D．
2．（2分）（2022•常州）若二次根式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≥0 D．x＞0
3．（2分）（2022•常州）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）（2022•常州）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝2，则BC的长
是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2分）（2022•常州）某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿
地y平方米，则y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y＝x+50 B．y＝50x C．y＝ D．y＝
6．（2分）（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人
沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
第1页（共32页）A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
7．（2分）（2022•常州）在平面直角坐标系xOy中，点A与点A 关于x轴对称，点A与点A 关
1 2
于y轴对称．已知点A （1，2），则点A 的坐标是（ ）
1 2
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
8．（2分）（2022•常州）某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0～100km/h的加速时间
和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评
测数据．已知0～100km/h的加速时间的中位数是ms，满电续航里程的中位数是nkm，相
应的直线将平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市
的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持
不变，则这两个点可能分别落在（ ）
A．区域①、② B．区域①、③ C．区域①、④ D．区域③、④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
第2页（共32页）9．（2分）（2022•常州）化简： ＝ ．
10．（2分）（2022•常州）计算：m4÷m2＝ ．
11．（2分）（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝ ．
12．（2分）（2022•常州）2022年5月22日，中国科学院生物多样性委员会发布《中国生物物
种名录》2022版，共收录物种及种下单元约138000个．数据138000用科学记数法表示为
．
13．（2分）（2022•常州）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则 （填“＞”、
“＝”或“＜”）．
14．（2分）（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则
△ABD的面积是 ．
15．（2分）（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭
动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝
60°，则橡皮筋AC 断裂（填“会”或“不会”，参考数据： ≈1.732）．
16．（2分）（2022•常州）如图，△ABC是 O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝ ，则 O
的半径是 ． ⊙ ⊙
第3页（共32页）17．（2分）（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD
＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝ ．
18．（2分）（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，
∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置
（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则
Rt△ABC的外部被染色的区域面积是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应
写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）（2022•常州）计算：
（1）（ ）2﹣（ ﹣3）0+3﹣1；
（2）（x+1）2﹣（xπ﹣1）（x+1）．
第4页（共32页）20．（6分）（2022•常州）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
21．（8分）（2022•常州）为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环
境下（特定微生物、温度、湿度）较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭
1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为A（不使用）、B（1～3个）、C（4
～6个）、D（7个及以上），以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．
（1）本次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋
的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．
22．（8分）（2022•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y＝x；②函
数表达式为y＝x2；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于y轴对称；⑤函数值
y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅
匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是 ；
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条
上的语句对函数的描述相符合的概率．
23．（8分）（2022•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图像分别与x
轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝ （x＞0）的图像交于点C，连接OC．已知点B（0，
4），△BOC的面积是2．
第5页（共32页）（1）求b、k的值；
（2）求△AOC的面积．
24．（8分）（2022•常州）如图，点A在射线OX上，OA＝a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转
n°（0＜n≤360）到OA′，那么点A′的位置可以用（a，n°）表示．
（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A′的位置可以表示为 ；
（2）在（1）的条件下，已知点B的位置用（3，74°）表示，连接A′A、A′B．求证：A′A＝
A′B．
25．（8分）（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富
的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符
号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数
字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举
办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 ；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
26．（10分）（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点
第6页（共32页）O叫做该四边形的“等形点”．
（1）正方形 “等形点”（填“存在”或“不存在”）；
（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝
4 ，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；
（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求
的值．
27．（10分）（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y
如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 0 ﹣5 ﹣12 …
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；
（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图像向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝
mx2+nx+q的图像，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减
小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝ ，实数k的取值范
围是 ；
（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图像上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分
别是m、m+1，点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求∠ACB的度数．
28．（10分）（2022•常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，
C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．
（1）沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝
角”）；
（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接
构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱
形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
第7页（共32页）（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、
线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个
边长为4cm的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．
第8页（共32页）2022年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是正确的）
1．（2分）（2022•常州）2022的相反数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C． D．
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2022的相反数是﹣2022，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．
2．（2分）（2022•常州）若二次根式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≥0 D．x＞0
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：x﹣1≥0，据此求出实数x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中
的被开方数是非负数．
3．（2分）（2022•常州）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，可以得到圆柱的侧面展开图的是长方形．
第9页（共32页）【解答】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图．解题的关键是明确圆柱的侧面展开图是长方形．
4．（2分）（2022•常州）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝2，则BC的长
是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵DE＝2，
∴BC＝4，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的
关键．
5．（2分）（2022•常州）某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿
地y平方米，则y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y＝x+50 B．y＝50x C．y＝ D．y＝
【分析】根据题意列出函数关系式即可得出答案．
【解答】解：由城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，
则平均每人拥有绿地y＝ ．
故选：C．
第10页（共32页）【点评】本题主要考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式进行求解是解决本题的关
键．
6．（2分）（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人
沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据生活经验结合数学原理解答即可．
【解答】解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学
依据是垂线段最短，
故选：A．
【点评】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握数学和生活密不可分的关系是解答
本题的关键．
7．（2分）（2022•常州）在平面直角坐标系xOy中，点A与点A 关于x轴对称，点A与点A 关
1 2
于y轴对称．已知点A （1，2），则点A 的坐标是（ ）
1 2
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴的对称
点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【解答】解：∵点A与点A 关于x轴对称，已知点A （1，2），
1 1
∴点A的坐标为（1，﹣2），
∵点A与点A 关于y轴对称，
2
∴点A 的坐标为（﹣1，﹣2），
2
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，关键是熟练掌握点的变化规
律，不要混淆．
8．（2分）（2022•常州）某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0～100km/h的加速时间
和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评
第11页（共32页）测数据．已知0～100km/h的加速时间的中位数是ms，满电续航里程的中位数是nkm，相
应的直线将平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市
的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持
不变，则这两个点可能分别落在（ ）
A．区域①、② B．区域①、③ C．区域①、④ D．区域③、④
【分析】根据中位数定义，逐项判断．
【解答】解：最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，
若这两个点分别落在区域①、②，则0～100km/h的加速时间的中位数将变小，故A不符
合题意；
若这两个点分别落在区域①、③，则两组数据的中位数可能均保持不变，故B符合题意；
若这两个点分别落在区域①，④，则满电续航里程的中位数将变小，故C不符合题意；
若这两个点分别落在区域③，④，则0～100km/h的加速时间的中位数将变大，故D不符
合题意；
故选：B．
【点评】本题考查数据的中位数，解题的关键是掌握中位数的概念：一组数据中，正中间的
数或中间两个数的平均数是这种数据的中位数..
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
9．（2分）（2022•常州）化简： ＝ 2 ．
第12页（共32页）【分析】直接利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵23＝8
∴ ＝2．
故填2．
【点评】本题主要考查立方根的概念，如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根．
10．（2分）（2022•常州）计算：m4÷m2＝ m 2 ．
【分析】利用同底数幂的除法的法则进行运算即可．
【解答】解：m4÷m2
＝m4﹣2
＝m2．
故答案为：m2．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则：底数
不变，指数相减．
11．（2分）（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝ x y （ x + y ） ．
【分析】直接提取公因式xy，进而分解因式得出答案．
【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y）．
故答案为：xy（x+y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（2分）（2022•常州）2022年5月22日，中国科学院生物多样性委员会发布《中国生物物
种名录》2022版，共收录物种及种下单元约138000个．数据138000用科学记数法表示为
1.38×10 5 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n
比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：138000＝1.38×105．
故答案为：1.38×105．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，
确定a与n的值是解题的关键．
13．（2分）（2022•常州）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则 ＞ （填“＞”、
“＝”或“＜”）．
第13页（共32页）【分析】比较两个正有理数，数大的倒数反而小．也可以利用特殊值代入法求解．
【解答】解：令a＝ ，b＝ ．
则： ＝ ， ＝ ；
∵ ＞ ；
∴ ＞ ．
故答案是：＞．
【点评】本题考查两个有理数的大小，特殊值代入法是解填空题不错的选择．
14．（2分）（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则
△ABD的面积是 2 ．
【分析】由题意可得CE是△ACD的中线，则有S△ACD ＝2S△AEC ＝2，再由AD是△ABC的中
线，则有S△ABD ＝S△ACD ，即得解．
【解答】解：∵E是AD的中点，
∴CE是△ACD的中线，
∴S△ACD ＝2S△AEC ，
∵△AEC的面积是1，
∴S△ACD ＝2S△AEC ＝2，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD ＝S△ACD ＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是明确三角形的中线把原三角形分成面
积相等的两部分．
第14页（共32页）15．（2分）（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭
动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝
60°，则橡皮筋AC 不会 断裂（填“会”或“不会”，参考数据： ≈1.732）．
【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝ BD，
AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD 是等边三角形，进而可得 BD＝20cm，然后再在
Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．
【解答】解：设AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝ BD，AD＝AB＝20cm，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝20cm，
∴DO＝ BD＝10（cm），
在Rt△ADO中，AO＝ ＝ ＝10 （cm），
∴AC＝2AO＝20 ≈34.64（cm），
∵34.64cm＜36cm，
∴橡皮筋AC不会断裂，
故答案为：不会．
第15页（共32页）【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
16．（2分）（2022•常州）如图，△ABC是 O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝ ，则 O
的半径是 1 ． ⊙ ⊙
【分析】连接AO并延长交 O于点D，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角可得
∠ACD＝90°，再利用同弧所⊙对的圆周角相等可得∠ADC＝45°，然后在Rt△ACD中，利用
锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出 O的半径，即可解答．
【解答】解：连接AO并延长交 O于点D，连⊙接CD，
⊙
∵AD是 O的直径，
∴∠ACD⊙＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，
∴AD＝ ＝ ＝2，
∴ O的半径是1，
故⊙答案为：1．
第16页（共32页）【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（2分）（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD
＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝ ．
【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，由已知∠A＝∠ABC＝90°，可得AD∥BC，由
平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ADB＝∠CDB，则可得
CD＝CB＝3，根据矩形的性质可得AD＝BE，即可得CE＝BC﹣BE，在Rt△CDE中，根据
勾股定理DE＝ ，在Rt△ADB中，根据勾股定理可得 ，根据
正弦三角函数的定义进行求解即可得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，
∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴CD＝CB＝3，
第17页（共32页）∵AD＝BE＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
在Rt△CDE中，
DE＝ ＝ ＝ ，
∵DE＝AB，
在Rt△ADB中，
＝ ＝ ，
∴sin∠ABD＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，根据题意作辅助线构造直角三角形应用解直角三
角形的方法进行求解是解决本题的关键．
18．（2分）（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，
∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置
（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则
Rt△ABC的外部被染色的区域面积是 2 1 ．
【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，
第18页（共32页）过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被
染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．
【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点
H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部
被染色的区域是梯形MFF′N．
在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，
∴DE＝ ＝ ＝5，
在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝ ＝ ＝15，
∵ •DF•EF＝ •EF•GF，
∴FG＝ ，
∴BG＝ ＝ ＝ ，
∴GE＝BE﹣BG＝ ，AH＝GE＝ ，
∴F′H＝FG＝ ，
∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，
∵BF∥AC，
∴ ＝ ＝ ，
∴BM＝ AB＝ ，
第19页（共32页）同法可证AN＝ AB＝ ，
∴MN＝15﹣ ﹣ ＝ ，
∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝ ×（10+ ）× ＝21，
故答案为：21．
【点评】本题考查勾股定理，梯形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是
理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题在的压轴题．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应
写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）（2022•常州）计算：
（1）（ ）2﹣（ ﹣3）0+3﹣1；
（2）（x+1）2﹣（xπ﹣1）（x+1）．
【分析】（1）利用实数的运算法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出
答案；
（2）利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+
＝ ；
（2）原式＝（x2+2x+1）﹣（x2﹣1）
＝x2+2x+1﹣x2+1
＝2x+2．
【点评】此题主要考查了整式的运算、实数运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（6分）（2022•常州）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由5x﹣10≤0，得：x≤2，
第20页（共32页）由x+3＞﹣2x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（8分）（2022•常州）为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环
境下（特定微生物、温度、湿度）较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭
1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为A（不使用）、B（1～3个）、C（4
～6个）、D（7个及以上），以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．
（1）本次调查的样本容量是 10 0 ，请补全条形统计图；
（2）已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋
的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．
【分析】（1）用A类户数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算出C类和B类户数
后补全条形统计图；
（2）利用样本估计总体，由于1500× ＝225（户），则可估计该小区1周内使用7个及以
上环保塑料袋的家庭约有225户，从而可判断调查小组的估计合理．
【解答】解：（1）20÷20%＝100，
所以本次调查的样本容量为100；
C类户数为100×25%＝25（户），
第21页（共32页）B类户数为100﹣20﹣25﹣15＝40（户），
补全条形统计图为：
故答案为：100；
（2）调查小组的估计合理．
理由如下：
因为1500× ＝225（户），
所以根据该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画
成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据
的大小，便于比较．也考查了样本估计总体．
22．（8分）（2022•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y＝x；②函
数表达式为y＝x2；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于y轴对称；⑤函数值
y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅
匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是 ；
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条
上的语句对函数的描述相符合的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是 ，
第22页（共32页）故答案为： ；
（2）列表如下：
① ②
③ ①③ ②③
④ ①④ ②④
⑤ ①⑤ ②⑤
由表知，共有6种等可能结果，其中抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的
①③、①⑤、②④这3个，
所以2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时
要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
23．（8分）（2022•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图像分别与x
轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝ （x＞0）的图像交于点C，连接OC．已知点B（0，
4），△BOC的面积是2．
（1）求b、k的值；
（2）求△AOC的面积．
【分析】（1）由点B（0，4）在一次函数y＝2x+b的图象上，代入求得b＝4，由△BOC的面积
是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；
（2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．
第23页（共32页）【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象过点B（0，4），
∴b＝4，
∴一次函数为y＝2x+4，
∵OB＝4，△BOC的面积是2．
∴ OB•x ＝2，即 ＝2，
C
∴x ＝1，
C
把x＝1代入y＝2x+4得，y＝6，
∴C（1，6），
∵点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴k＝1×6＝6；
（2）把y＝0代入y＝2x+4得，2x+4＝0，解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴S△AOC ＝ ＝6．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，
一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键．
24．（8分）（2022•常州）如图，点A在射线OX上，OA＝a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转
n°（0＜n≤360）到OA′，那么点A′的位置可以用（a，n°）表示．
（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A′的位置可以表示为 （ 3 ， 37 ° ） ；
（2）在（1）的条件下，已知点B的位置用（3，74°）表示，连接A′A、A′B．求证：A′A＝
A′B．
【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；
（2）画出图形，证明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性质，得出结论．
【解答】（1）解：由题意，得A′（a，n°），
第24页（共32页）∵a＝3，n＝37，
∴A′（3，37°），
故答案为：（3，37°）；
（2）证明：如图：
∵A′（3，37°），B（3，74°），
∴∠AOA′＝37°，∠AOB＝74°，OA＝OB＝3，
∴∠A′OB＝∠AOB﹣∠AOA′＝74°﹣37°＝37°，
∵OA′＝OA′，
∴△AOA′≌△BOA′（SAS），
∴A′A＝A′B．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义题目，旋转的性质，理解题意，熟练掌
握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（8分）（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富
的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符
号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数
字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举
办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 202 2 ；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所
得结果相加即可得解；
第25页（共32页）（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80
＝1536+448+32+6
＝2022．
故八进制数字3746换算成十进制是2022．
故答案为：2022；
（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120，
解得n ＝9，n ＝﹣13（舍去）．
1 2
故n的值是9．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制
数转化为十进制数的计算方法．
26．（10分）（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点
O叫做该四边形的“等形点”．
（1）正方形 不存在 “等形点”（填“存在”或“不存在”）；
（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝
4 ，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；
（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求
的值．
【分析】（1）根据“等形点”的定义可知△OAB≌△OCD，则∠OAB＝∠C＝90°，而O是
边BC上的一点．从而得出正方形不存在“等形点”；
（2）作AH⊥BO于H，由△OAB≌△OCD，得AB＝CD＝4 ，OA＝OC＝5，设OH＝x，则
BH＝7﹣x，由勾股定理得，（4 ）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，求出x的值，再利用勾股定理求出
AC的长即可；
（3）根据“等形点”的定义可得△OEF≌△OGH，则∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH
第26页（共32页）＝∠OEF，再由平行线性质得OE＝OH，从而推出OE＝OH＝OG，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠OAB＝∠C＝90°，
∵O是边BC上的一点．
∴正方形不存在“等形点”，
故答案为：不存在；
（2）作AH⊥BO于H，
∵边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB＝CD＝4 ，OA＝OC＝5，
∵BC＝12，
∴BO＝7，
设OH＝x，则BH＝7﹣x，
由勾股定理得，（4 ）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，
解得，x＝3，
∴OH＝3，
∴AH＝4，
∴CO＝8，
在Rt△CHA中，AC＝ ＝ ＝4 ；
（3）如图，∵边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，
第27页（共32页）∴△OEF≌△OGH，
∴∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH＝∠OEF，
∵EH∥FG，
∴∠HEO＝∠EOF，∠EHO＝∠HOG，
∴∠HEO＝∠EHO，
∴OE＝OH，
∴OH＝OG，
∴OE＝OF，
∴ ＝1．
【点评】本题是新定义题，主要考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，平行
线的性质等知识，理解新定义，并能熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
27．（10分）（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y
如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 0 ﹣5 ﹣12 …
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；
（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图像向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝
mx2+nx+q的图像，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减
小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝ y ＝﹣ x 2 + 6 x ﹣ 5（ 答案不
唯一） ，实数k的取值范围是 4 ≤ k ≤ 5 ；
（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图像上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分
别是m、m+1，点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求∠ACB的度数．
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图像向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的
第28页（共32页）图象，新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，根据当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜
5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，知3≤k﹣1≤4，得4≤k≤5，即可得到答案；
（3）求出A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，m2﹣m），C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），过B作
BH⊥AC于H，可得BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣
（m+1）|＝|﹣2m3|，故△BHC是等腰直角三角形，∠ACB＝45°．
【解答】解：（1）将（﹣1，4），（1，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得 ，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图：
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图像向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图
象，
∴新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，
∵当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向
下，
∴3≤k﹣1≤4，
解得4≤k≤5，
∴符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式可以是y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，
故答案为：y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一），4≤k≤5；
（3）如图：
第29页（共32页）∵点A、B的横坐标分别是m、m+1，
∴y ＝﹣m2﹣2m+3，yB＝﹣（m+1）2﹣2（m+1）+3＝﹣m2﹣4m，
A
∴A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，m2﹣m），
∵点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴ ＝﹣1，AC∥x轴，
∴x ＝﹣2﹣m，
C
∴C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），
过B作BH⊥AC于H，
∴BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝（| ﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m3|，
∴BH＝CH，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴∠HCB＝45°，即∠ACB＝45°．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，抛物线的平移变换，等腰直角三角
形的判定等知识，解题的关键是数形结合思想的应用．
28．（10分）（2022•常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，
C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．
（1）沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是 直角 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝
角”）；
（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接
构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱
形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
第30页（共32页）（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、
线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个
边长为4cm的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，判断即可；
（2）分别以A，B为圆心，6cm长为半径作弧交半圆于点E，F，连接EF，AE，OF，OE，FB，
四边形EFHG或四边形EFG′H即为所求．
（3）小明的猜想正确．如图2中，设CM＝ CA，AN＝ CB，取AP＝BQ＝4，证明四边形
MNQP是菱形，可得结论．
【解答】解：（1）∵AB是直径，直径所对的圆周角是直角，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）如图，四边形EFHG或四边形EFG′H即为所求．
（3）小明的猜想正确．
理由：如图2中，设CM＝ CA，AN＝ CB，取AP＝BQ＝4，
第31页（共32页）则∵ ＝ ＝ ，
∴MN∥AB，
∴ ＝ ＝ ，
∴MN＝PQ＝4，
∴四边形MNQP是平行四边形，
∵ ＝ ＝ ，
∴MP∥CO，
∴ ＝ ＝ ，
∴PM＝4，
∴MN＝4，
∴四边形MNQP是菱形，边长为4，
∴小明的猜想正确．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是
理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
第32页（共32页）
