文档内容
专题 14 立体几何常见压轴小题全面总结与归纳解析
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................9
题型一：球与截面面积问题 9
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题 10
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 12
题型四：立体几何中的交线问题 15
题型五：空间线段以及线段之和最值问题 17
题型六：空间角问题 18
题型七：轨迹问题 21
题型八：翻折问题 22重难点突破：以立体几何为载体的情境题 25
高考对这一部分的考察主要集中在两个关键点：一是判断与空间线面位置关系相关的命题真伪；二是
涉及一些经典且常出现于压轴位置的小题，这些小题通常具有中等或偏上的难度。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
掌握球截面性 对于 2025 年高考的
2021年天津卷第6题，5分
球与截面面积问题 质，会求截面面 预测，关于几何题目的出
积 2018年I卷第12题，5分 现形式和热点，可以重新
表述为：
（1）预计几何题目
2023年甲卷第16题，5分
将以选择题或填空题的精
掌握求解方法，
2022年乙卷第9题，5分 炼形式呈现，旨在全面检
最值与范围问题 解决最值与范围
验学生的逻辑推理与综合
2022年I卷第8题，5分
问题
分析能力。
2021年上海卷第9题，5分
（2）考试的几何热
2024年II卷第7题，5分
点内容可能会聚焦于基础
2023年天津卷第8题，5分 几何体的表面积与体积计
掌握角度计算，
算、空间中的最短路径求
角度问题 解决立体几何难 2023年乙卷第9题，5分
解，以及几何体的截面形
题
2022年浙江卷第8题，4分 状与性质等关键问题。
2022年甲卷第9题，5分1、几类空间几何体表面积的求法
（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和．
（2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
（3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
2、几类空间几何体体积的求法
（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．
（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，
有时可采用等体积转换法求解．
（3）锥体体积公式为 ，在求解锥体体积时，不能漏掉
3、求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆
锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．
4、球的截面问题
球的截面的性质：
①球的任何截面是圆面；
②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；
③球心到截面的距离 与球的半径 及截面的半径 的关系为 ．
注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数
量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素
之间的关系），达到空间问题平面化的目的．
5、立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面
的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几
何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．
6、解决立体几何问题的思路方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置
关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题；涉及
某些角的三角函数的最值，借助模型求解，如正四面体模型、长方体模型和三余弦角模
（ 为平面的斜线与平面内任意一条直线 所成的角， 为该斜线与该平面所成的角， 为该斜线在平面
上的射影与直线 所成的角）．
7、立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，
即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素
养．
8、解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体
中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，
熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角
坐标系或平面直角坐标系．
9、以立体几何为载体的情境题大致有三类：
（1）以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；
（2）以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；
（3）以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．
10、以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来
解决问题．图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将
所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将
研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，
动态地去阅读图形．1．（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形，
， ，该棱锥的高为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则
与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在正方体 中， 为 的中点，若该
正方体的棱与球 的球面有公共点，则球 的半径的取值范围是 ．
4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在正方体 中，E，F分别为AB， 的中点，
以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
5．（2023年北京高考数学真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可
以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，
两个面是全等的等腰三角形．若 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平
面与平面 的夹角的正切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）A． B．
C． D．
6．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的
正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
8．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，
， ，点C在底面圆周上，且二面角 为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D． 的面积为
9．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 为等腰直角三角形，AB为斜边， 为等边三
角形，若二面角 为 ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱上的点．记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角
为 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点
均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022年新高考北京数学高考真题）已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部
的点构成的集合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的
体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）如图，四边形 为正方形， 平面 ，
，记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，则（ ）A． B．
C． D．题型一：球与截面面积问题
【典例1-1】（24-25高三上·江苏常州·期末）已知正方体 的棱长为2，点 为棱 的中
点，则平面 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A． B． C．π D．
【典例1-2】已知棱长为3的正四面体的几何中心为 ，平面 与以 为球心的球相切，若 与该正四面
体的截面始终为三角形，则球 表面积的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
球的截面问题
球的截面的性质：
①球的任何截面是圆面；
②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；
③球心到截面的距离 与球的半径 及截面的半径 的关系为 ．
【变式1-1】（2024·河南开封·二模）已知经过圆锥 的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆
锥 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之
比是（ ）
A． B． C． D．【变式1-2】（2024·江苏南通·二模）在棱长为2的正方体 中， ， ， 分别为棱 ，
， 的中点，平面 截正方体 外接球所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
1．已知四面体 的各个顶点都在球O的表面上， ， ， 两两垂直，且 ， ，
，E是棱BC的中点，过E作四面体 外接球O的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小
值之差是（ ）
A． B． C． D．
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
【典例2-1】半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围
成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个
正三角形和六个正方形构成（如图所示），点 满足 ，则直线 与平面 所
成角的正弦值（ ）A．为定值 B．存在最大值，且最大值为1
C．为定值1 D．存在最小值，且最小值为
A B C D
【典例2-2】如图，已知正方体 ，点P是四边形 1 1 1 1的内切圆上一点，O为四边形
ABCD的中心，给出以下结论：
①存在点P，使 平面DOP；
②三棱锥 的体积为定值；
③直线 与直线OP所成的角为定值.
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
几类空间几何体体积的求法
（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．
（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，
有时可采用等体积转换法求解．
（3）锥体体积公式为 ，在求解锥体体积时，不能漏掉
【变式2-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知正方体 的边长为1，现有一个动平面 ，且
平面 ，当平面 截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为 ，周长为 ，则
（ ）A． 不为定值， 为定值 B． 为定值， 不为定值
C． 与 均为定值 D． 与 均不为定值
【变式2-2】（多选题）如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动
点（不包括端点），则（ ）
A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得 平面
C．对于任意点Q， 均不成立
D．三棱锥 的体积是定值
1．如图，正方体 的棱线长为1，线段 上有两个动点E，F，且 ，则下列结论
中错误的是（ ）A． B． 平面ABCD
C．三棱锥 的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
【典例3-1】（多选题）如图，在正四面体 中，已知 ， 为棱 的中点. 现将等腰直角三角
形 绕其斜边 旋转一周（假设 可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的
是（ ）
A．三角形 绕斜边 旋转一周形成的旋转体体积为
B． 四点共面
C．点 到 的最近距离为
D．异面直线 与 所成角的范围为
【典例3-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，E为
的中点，若一点P在底面 内（包括边界）移动，且满足 ，则（ ）A． 与平面 的夹角的正弦值为 B． 点到 的距离为
C．线段 的长度的最大值为 D． 与 的数量积的范围是
几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐
标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值.
【变式3-1】（多选题）已知正方体 棱长为 为正方体 内切球 的直
径，点 为正方体 表面上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当 为 中点时， 与 所成角余弦值为
B．当 面 时，点 的轨迹长度为
C． 的取值范围为
D． 与 所成角的范围为
【变式3-2】（多选题）如图，在棱长为2的正方体 中，已知N，Q分别是棱 的
中点， ，P分别是棱 上的动点，下列结论正确的是（ ）A．四面体 的体积为定值
B．不存在动点M，P，使得
C．直线CM与平面 所成角的范围是
D．若M，P分别是棱 的中点，由平面MNQ分割该正方体，其中截面MNQ上方的部分为几
何体 ，某球能够被整体放入几何体 ，则该球半径的最大值为
1．（多选题）（2024·云南昆明·模拟预测）如图，已知正四棱柱 的底面边长为1，侧棱长
为2，点 为侧棱 （含端点）上的动点，直线 平面 ，则下列说法正确的有（ ）
A．直线 与平面 不可能平行
B．直线 与平面 不可能垂直C．若 且 ，则平面 截正四棱柱所得截面多边形的周长为
D．直线 与平面 所成角的正弦值的范围为
题型四：立体几何中的交线问题
【典例4-1】阅读材料：空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为 的平面 的
方程为 ．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 的方程为
，直线 是两平面 与 的交线，则直线 与平面 所成角的正弦值为
（ ）
A．0 B． C． D．
【典例4-2】（2024·江西景德镇·一模）甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为 ，它是由四个氢原子
和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷
分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点 处，碳原子位于正四面体的
中心 处.若正四面体 的棱长为1，则平面 和平面 位于正四面体内部的交线长度为（ ）
A． B． C． D．1几何法
【变式4-1】（2024·广东广州·模拟预测）在正六棱柱 中， ， 为棱
的中点，以 为球心， 为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）在正方体 中，点 为线段 上的动点，直线
为平面 与平面 的交线，现有如下说法
①不存在点 ，使得 平面
②存在点 ，使得 平面
③当点 不是 的中点时，都有 平面
④当点 不是 的中点时，都有 平面
其中正确的说法有（ ）
A．①③ B．③④ C．②③ D．①④
1．用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂
直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角 不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、
拋物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为 ，截口曲线形状与 有如下关系：当 时，截口曲线为椭圆；当 时，截口曲线为抛物线：当
时，截口曲线为双曲线．如图1所示，其中 ，现有一定线段 ，其与平面 所成角 （如图
2）， 为斜足， 上一动点 满足 ，设 点在 的运动轨迹是 ，则（ ）
A．当 时， 是抛物线 B．当 时， 是双曲线
C．当 时， 是圆 D．当 时， 是椭圆
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
【典例5-1】棱长为1的正方体 中，点 在棱 上运动，点 在侧面 上运动，满
足 平面 ，则线段 的最小值为 .
【典例5-2】已知 是大小为 的二面角， 为二面角内一定点，且到半平面 的距离分别为 ，分别是半平面 ､ 内的动点.则 周长的最小值为 .
几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐
标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值.
【变式5-1】如图，棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点， ， 分别为线段
和棱 上的动点，则 的最小值为 ．
【变式5-2】如图，八面体 的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点 在同一个平面内．若
点 在四边形 内（包含边界）运动，当 时，点 到 的最小值为 .1．如图，在棱长为4的正方体 中，已知 是 上靠近 的四等分点，点 分别在
上，则 周长的最小值为 .
题型六：空间角问题
【典例6-1】如图，正三棱锥 的侧面和底面 所成的角为 ，正三棱锥 的侧面和底面
所成的角为 ， ，P和 位于平面 的异侧，且这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面
上，则 ， 的最大值为 .
【典例6-2】如图1， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 ， 的点，直线 平面 ， ， 分
别是 ， 的中点，记平面 与平面 的交线为 ，直线 与圆 的另一个交点为 ，且点 满足.（如图2）.记直线 与平面 所成的角为 ，异面直线 与 所成的角为 ，二面角
的大小为 ，则下列四个判断中，正确的个数有 个.
.
① ② ③ ④
1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三
角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：
（1）作图：作出空间角的平面角．
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．
（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．
简称：一作、二证、三算．
2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移
到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．
3、求直线与平面所成角的常见方法
（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影
所成的角即为所求．
（2）等积法：公式 ，其中 是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，是斜线段的长，其
中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来
求垂线段的长．
（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．
4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线
所成的角，就是二面角的平面角．
（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上
的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．
（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角
就是二面角的平面角．
【变式6-1】在正方体 中，点 是 上的动点， 是平面 内的一点，且满足
，则平面 与平面 所成角余弦值的最大值为 .
【变式6-2】如图所示，几何体由正方体和正四棱锥组合而成，若该组合体内接于半径为 的球 (即所有
A B C D
顶点都在球上)，记正四棱锥侧棱 与正方体底面 1 1 1 1所成的角为 ，则 ．
1．如图，边长为2的正方形 中， 分别是 的中点，将 分别沿
折起，使 重合于点 ，则三棱锥 的外接球的体积为 ；设直线
与平面 所成角分别为 ，则 .题型七：轨迹问题
【典例7-1】（2024·浙江台州·一模）已知球 的半径为 ， 是球 表面上的定点， 是球 表面上的动
点，且满足 ，则线段 轨迹的面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】（24-25高三上·北京西城·期末）如图，在棱长为2的正方体 中， 为棱
的中点， 为正方体表面上的动点，且 .设动点 的轨迹为曲线 ，则（ ）
A． 是平行四边形，且周长为
B． 是平行四边形，且周长为
C． 是等腰梯形，且周长为
D． 是等腰梯形，且周长为解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的
不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟
悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐
标系或平面直角坐标系．
【变式7-1】已知点 是正四面体 内的动点， 是棱 的中点，且点 到棱 和棱 的距离相
等，则点 的轨迹被平面 所截得的图形为（ ）
A．线段 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【变式7-2】（多选题）（24-25高三上·河南·开学考试）如图，在棱长为2的正方体 中，
为棱 的中点， 为线段 上的动点， 为底面 内的动点，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则动点 的轨迹长度为
C．若直线 与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹为双曲线的一部分
D．若直线 与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹为椭圆的一部分1．在直四棱柱 中，底面 是菱形，边长为2， ，侧棱长 ，点 为四
边形 内动点，若 ，则点 的轨迹长为 ．
题型八：翻折问题
【典例8-1】在正方形 中， ， 为 中点，将 沿直线 翻折至 位置，点
为线段 中点.在翻折的过程中，若 为线段 的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积最大值为
B．异面直线 、 所成角始终为
C．翻折过程中存在某个位置，使得 大小为
D．点 在某个圆上运动
【典例8-2】如图，在菱形ABCD中， ，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将 沿对
角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围（ ）.A． B．
C． D．
【变式8-1】如图，在矩形 中， 为 的中点，将 沿 翻折．在翻折过
程中，当二面角 的平面角最大时，其正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（多选题）在菱形 中， ， ，E为AB的中点，将 沿直线DE翻
折至 的位置，使得二面角 为直二面角，若 为线段 的中点，则（ ）
A． 平面
B．
C．异面直线 ， 所成的角为
D． 与平面 所成角的余弦值为1．（多选题）在正方形 中， ， 为 中点，将 沿直线 翻折至 位置，使得
二面角 为直二面角，若 为线段 的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若点 在线段 上，则 的最小值为
B．三棱锥 的体积为
C．异面直线 、 所成的角为
D．三棱锥 外接球的表面积为
重难点突破：以立体几何为载体的情境题
【典例9-1】（2024·青海·模拟预测）如图，在正方体 中， ， ， ， ， ， 分别
为棱 ， ， ， ， ， 的中点， 为 的中点，连接 ， ．对于空间任意两点 ，
，若线段 上不存在也在线段 ， 上的点，则称 ， 两点“可视”，则与点 “可视”的点为
（ ）A． B． C． D．
【典例9-2】（22-23高三上·河北·期末）由空间一点 出发不共面的三条射线 ， ， 及相邻两射
线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为 ．其中 叫做三面角的顶点，面 ， ，
叫做三面角的面， ， ， 叫做三面角的三个面角，分别记为 ， ， ，二面角
、 、 叫做三面角的二面角，设二面角 的平面角大小为 ，则一
定成立的是（）
A． B．
C． D．
以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决
问题．图形怎么阅读？一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读
出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究
图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动
态地去阅读图形．
【变式9-1】（多选题）（2024·江西·三模）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，
球 的半径为R，A，B， 为球面上三点，劣弧BC的弧长记为 ，设 表示以 为圆心，且过B，C的
圆，同理，圆 的劣弧 的弧长分别记为 ，曲面 （阴影部分）叫做曲面三角形，
，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 ．设 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面 是面积为 的等边三角形，则
B．若 ，则
C．若 ，则球面 的体积
D．若平面 为直角三角形，且 ，则
【变式9-2】（多选题）设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为
，其中 ， 为多面体 的所有与点
相邻的顶点，且平面 ，平面 ，平面 和平面 为多面体 的所有以 为公共
点的面.已知在直四棱柱 中，四边形 为菱形， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．四棱柱 在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若 ，则四棱柱 在顶点 处的离散曲率为
C．若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面
D．若四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，则直线 与平面 所成的角的正弦值为
1．将 个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱
的中点重合.设最下方正方体的下底面 的中心为 ，过 的直线 与平面 垂直，以 为顶点，
为对称轴的抛物线 可以被完全放入立体图形中.若 ，则 的最小值为 ；
若 有解，则 的最大值为 .
