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压轴题解题模板 04
几何综合
目 录
题型一 线段最值问题
①动点路径问题
②“胡不归”问题
③“将军饮马”问题
④“造桥选址”问题
题型二：面积平分问题
题型三 面积最值问题
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题型解读： 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的
考查热度.
几何综合问题在中考中以填空题和解答题
的形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中 几何综合
多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合
问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、 100%
相似三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、 80%
图形变换的性质和二次函数的最值等相关知
60%
识，以及分类讨论、数形结合、转化与化归等
数学思想.此类题型常涉及以下问题：①几何图 40%
形中的线段最值问题②探究图形面积的分割问 20%
题；③探究图形面积的最值问题.右图为几何综
0%
合问题中各题型的考查热度. 题型一 题型二 题型三
题型一 线段最值问题
分类：①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题
解题模板：
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①动点路径问题
【例1】（山东济宁-中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体 （图1）．因为在平面 中， ， 与 相交于点A，所以
直线 与 所成的 就是既不相交也不平行的两条直线 与 所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体 ，求既不相交也不平行的两条直线 与 所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点．
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到 ， 的距离分别是2和5，点N到 ， 的距离分别是4和3，
P是 上一动点，求 的最小值．
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【变式1-1】（山东日照-中考真题）如图，Rt ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形
ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点△F，连接BE．
（1）求证： ABC≌△BDF；
（2）P，N分△别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．
【变式1-2】（江苏连云港-中考真题）如图，四边形 为平行四边形，延长 到点 ，使 ，
且 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)若 是边长为2的等边三角形，点 、 、 分别在线段 、 、 上运动，求 的
最小值．
【变式1-3】（2023-四川自贡-中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起， ， 分
别是斜边 ， 的中点， ．
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(1)将 绕顶点 旋转一周，请直接写出点 ， 距离的最大值和最小值；
(2)将 绕顶点 逆时针旋转 （如图 ），求 的长．
②“胡不归”问题
【例2】（2023-江苏泰州-三模）如图，已知 中， ，E是 上的一点，
，点D是线段 上的一个动点，沿 折叠 ，点C与 重合，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若点F是 上一点，且 ，求 的最小值．
【变式2-1】（2023-广东广州-二模）如图①，在四边形 中， ， ，
．
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(1)求 的度数；
(2)如图②， 为线段 的中点，连接 ，求证： ；
(3)如图③，若 ，线段 上有一动点 ，连接 ，将 沿 所在直线翻折至
的位置， 为 的对应点，连接 ， ，请直接写出 的最小值．
【变式2-2】（2023-广东广州-二模）如图，菱形 中， ， ，点 、 分别为线段 、
上的动点，点 为边 的中点，连接 ， ．
(1)求 的长；
(2)连接 ，若 ，求证： ；
(3)若 ，试求 的最小值．
【变式2-3】（广东广州-中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
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(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE= DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否也最小？如果是，求CE+ CF的最小值；如
果不是，请说明理由．
③“将军饮马”问题
【例3】【变式3-1】（23-24九年级上-黑龙江大庆-期中）如图，以矩形 的顶点 为原点， 所在
的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系．已知 ， ，点 是 的中点，
在 上取一点 ，将 沿 翻折，使点 落在 边上的点 处．
(1)直接写出点 、 的坐标；
(2)连接 交 于点 ，求 的面积．
(3)在 轴、 轴上是否分别存在点 、 ，使得四边形 的周长最小？如果存在，求出周长的最小
值和直线 的函数解析式；如果不存在，请说明理由．
【变式3-2】（天津西青-一模）如图①，将一个矩形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 的坐标是
，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，点 是 的中点，在 上取一点 ，将 沿
翻折，使点 落在 边上的点 处．
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（1）求点 、 的坐标；
（2）如图②，若点 是线段 上的一个动点（点 不与点 ， 重合），过点 作 于点 ，
设 的长为 ， 的面积为 ，请求出 关于 的关系式；
（3）如图③，在 轴、 轴上是否分别存在点 、 ，使得四边形 的周长最小？若存在，请求出
四边形 周长的最小值及此时点 、 的坐标；若不存在，请说明理由
【变式3-3】（陕西宝鸡）问题提出
（1）在图1中作出点 关于直线 的对称点
问题探究
（2）如图2，在 中， ， ， 为 的中点， 为线段 上一点，求
的最小值.
问题解决
（3）如图3，四边形 为小区绿化区， ， ， ， ， ，
是以 为圆心， 为半径的圆弧.现在规划在 ，边 和边 上分别取一点 ， ， ，使得
为这一区域小路，求小路长度的最小值.
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④“造桥选址”问题
【例4】（23-全国）有一条以互相平行的直线 为岸的河流，其两侧有村庄 和村庄 ，现在要在河上
建一座桥梁 （桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（湖北黄石）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离
AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，
M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2 B．1+3 C．3+ D．
【变式4-2】（23-24全国）如图所示，某条护城河在 处角转弯，河宽相同，从 处到达 处，须经过
两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使 到
的路程最短，请确定两座桥的位置．
【变式4-3】已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为1千米，A、B两村庄的直线距离 AB＝10千米，
A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A
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村庄的河岸上一点，求AM＋BN的最小值．
题型二：面积平分问题
解题模板：
技巧精讲
1：利用中线平分图形面积的方法
2.利用对称性平分图形面积的方法
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【例5】（三角形或规则图形）（2023-湖南益阳-中考真题）如图，在 中， ，
，点D在边 上，将线段 绕点D按顺时针方向旋转 得到 ，线段 交 于点E，
作 于点F，与线段 交于点G，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，当 平分四边形 的面积时，求 的长．
【变式5-1】（2023-江苏盐城-二模）（1）【问题探究】如图①，点B，C分别在 上，
米， 米， 米， 米， 米．
①探究 与 是否相似并说明理由；
②求 的长．
（2）【问题解决】如图②，四边形 规划为园林绿化区，对角线 将整个四边形分成面积相等的两
部分，已知 米，四边形 的面积为 平方米，为了更好地美化环境，政府计划在
边上分别确定点E，F，在 边上确定点P，Q，使四边形 为矩形，在矩形 内种植花卉，在
四边形 剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在 之间修一条小路，并使得 最短，根据
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设计要求，求出 的最小值，并求出当 最小时，花卉种植区域的面积．
【变式5-2】（2023-陕西西安-二模）【问题探究】
（1）如图1，已知 ，点D是 的中点，连接 ，则 （填“ ”“ ”或“
”）
（2）如图2，在梯形 中， ，请过点A作一条直线 平分梯形 的面积，点P是
与 的交点，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3是某公园的一块空地，由 和四边形 组成， ， ，
米， ， ，公园管理人员现准备过点A修一条笔直的小路 （小路面积忽
略不计），将这块空地分成面积相等的两部分（点M在 边上），分别种植两种不同的花卉，请在图中
确定点M的位置，并计算小路 的长．（结果保留根号）
【变式5-3】（2023-陕西西安-三模）问题提出：
(1)如图1， 是 的中线，则有 ___________ 填“ ”、“ ”或“ ”)．
问题探究：
(2)如图2，点 是矩形 内一点， ， ，点 与坐标原点 重合， 、 分别位于 、
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轴正半轴， ， ，是否存在直线 经过点 且将矩形 分成面积相等的两部分，若存在，请求
出直线l的解析式：如不存在，请说明理由．
问题解决：
(3)如图3，长方形 是西安某学校在疫情期间为学生核酸检测围成的一个工作区域，顶点 ， 在坐
标轴上，记 为坐标原点，顶点 ， ，原有的一个出入口 在边 上，且 米．为使工作高
效有序，现计划在边 ， ， 上依次再设出入口 ， ， ，沿 ， 拉两道警戒线将工作区
域分成面积相等的四部分．请问，是否存在满足上述条件的点 ， ， ，如存在，请求出点 的坐标及
的函数表达式，如不存在，请说明理由．
【典例6】（如图，长方形 各顶点的坐标分别为 、 、 、 ，长方形
各顶点的坐标分别为 、 、 、 ．平移长方形 得到长方形 ，
且点 的坐标为 ．
(1)画出长方形 ．
(2)如果长方形 沿 的方向平移，至 与 重合停止，设平移过程中平移的距离为 ，长方
形 与长方形 重叠的面积为S，请直接写出平移过程中S的最大值______；此时d的取值范围
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为______．
(3)画出一条直线把原图长方形 与长方形 组成的复合图形分成面积相等的两部分．
【变式6-1】【问题提出】
（1）如图①，点D为 的边 的中点，连接 ，若 的面积为3，则 的面积为_______；
【问题探究】
（2）如图②，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接 ，作 轴于点B，若 ，
，过点B的直线l将 分成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式；
【问题解决】
（3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O
为坐标原点， ，为了方便驻区单位，计划过点O修一条笔直的道路 （路宽
不计），并且使直线 将四边形 分成面积相等的两部分，记直线 与 所在直线的交点为D，再过
点A修一条笔直的道路 （路宽不计），并且使直线 将 分成面积相等的两部分，你认为直线 和
是否存在？若存在，请求出直线 和 的函数表达式；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，点 、 分别在 轴上、 轴上， ， ，若点
的坐标为 ， ，且 ．
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(1)求点 、 、 的坐标；
(2)若动点P从原点 出发沿 轴正半轴以每秒 个单位长度的速度向右运动，设点 运动的时间为 秒，求
为何值时，直线 把四边形 分成面积为 ： 的两部分；
(3)在(2)的条件下，当直线 把四边形 分成面积相等的两部分时，在 轴上找一点 ，连接 ，
使三角形 的面积与四边形 的面积相等，求点 的坐标．
题型三 面积最值问题
解题模板：
【例7】（2023-山东潍坊-中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮 中，裁出一块矩形铁皮制作
工件，如图所示．经测量， ， 与 之间的距离为2米， 米， 米，
， ． ， ， 是工匠师傅画出的裁剪虚线．当 的长度为多少时，
矩形铁皮 的面积最大，最大面积是多少？
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【变式7-1】（2023-山东滨州-中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的一边 在 轴正半
轴上，顶点 的坐标为 ，点 是边 上的动点，过点 作 交边 于点 ，作
交边 于点 ，连接 ．设 的面积为 ．
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)当 取何值时， 的值最大？请求出最大值．
【变式7-2】（2023-辽宁阜新-中考真题）如图，在正方形 中，线段 绕点C逆时针旋转到 处，
旋转角为 ，点F在直线 上，且 ，连接 ．
(1)如图1，当 时，
①求 的大小（用含 的式子表示）．
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②求证： ．
(2)如图2，取线段 的中点G，连接 ，已知 ，请直接写出在线段 旋转过程中（
） 面积的最大值．
【变式7-3】（2023-湖北武汉-模拟预测）问题提出如图（1），在 中， ， ,连接
，探究 ．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当 时，求 的值．
（2）再探究一般情形．如图（1），当 时，求 的值；
问题拓展
如图（3），在 中， ， ，P是 内一点， ， 交 于F，当
的面积最大时，求 的值．
一、解答题
1．在矩形 中， ， ，点 在边 上，将射线 绕点 逆时针旋转90°，交 延长
线于点 ，以线段 ， 为邻边作矩形 ．
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(1)如图1，连接 ，求 的度数和 的值；
(2)如图2，当点 在射线 上时，求线段 的长；
(3)如图3，当 时，在平面内有一动点 ，满足 ，连接 ， ，求 的最小值．
2．如图，在 中， ，点 在 边上，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到
，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 时，求 的长；
(3)点 在 上运动时，试探究 的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存
在，请说明理由．
3．某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
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问题提出：如图，正方形 中， ， 为对角线 上的一个动点，以 为直角顶点，向右作等
腰直角 ．
(1)操作发现： 的最小值为_______，最大值为_______；
(2)数学思考：求证：点 在射线 上；
(3)拓展应用：当 时，求 的长．
4．如图，正方形 是边长为4米的一块板材．
操作一：现需从中裁出一个等腰直角 模具，点P在边 上，Q在正方形 的内部或边上．
(1)如图，若 ， 米，是否能裁出符合条件的 ？若能，确定Q的位置；若不能，请
说明理由．
(2)如图，连接 ，在对角线 上取点Q，连接 ，过点Q作 交边 于P，连接 ，得到
．请证明 符合裁剪要求．
操作二：经探究，操作一的模具大小至多为正方形面积的一半，现修改模具形状为四边形，并按面积要求
进行裁剪．即在正方形 中重新裁出的一个四边形模具，点P、Q分别在边 上．
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(3)如图，若需裁出的四边形 面积为10平方米，请探究模具四边形 周长的最小值．
5．问题提出
（1）如图1，已知点 为线段 上一动点，分别过点 作 ， ，连接 . 若
， ， ，则 的最小值为 ；
问题解决
（2）如图2，某公园规划修建一块形如四边形 的牡丹园，其中 ， ， ，
， ， 的内心 处修建一个圆形喷水池，公园的入口 是 的中点， 是一
条观赏小道，其余部分种植牡丹，现需要在 边上取点 ， 上找点 ，修建道路 为
了节省成本，需要使修建的道路最短，即 的值最小，是否存在这样的点 ，使得
的值最小？ 若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由.
6．如图，在 中， 是 边上的中线，点E是 的中点．过点A作 交 的延长线于点
F，连接 ．
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(1)求证： ；
(2)若 ，试判断四边形 的形状，并证明你的结论；
(3)在（2）的情况下，如果 ，点M在 线段上移动，当 有最小值时，求
的长度．
7．如图1，已知 和 均为等腰直角三角形， ， ， ，点
D在线段 上，点F为 中点，点M为 中点，点N为 中点．
(1)如图1， ______， 和 之间的数量关系是______；
(2)如图2， 绕点C顺时针旋转，点G为 中点，求证：四边形 为正方形；
(3)如图3，若 ， ，在将 绕点C顺时针旋转 过程中，直线 ， 交于点H，
直接写出 面积的最小值．
8．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片 的边所在的射线 上一动点，将正方形沿着 折
叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线 于点P．
判断：根据以上操作，图1中 与 的数量关系：______．
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(2)迁移探究
在（1）条件下，若点E是 的中点，如图2，延长 交 于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，
求出线段 的长度，如果不确定，说明理由；
(3)拓展应用
在（1）条件下，如图3， ， 交于点G，取 的中点H，连接 ，求 的最小值．
9．问题背景
(1)如图1，四边形 中， ， 交于点E，其中 ，求证： ．
(2)尝试应用：如图2， 中， ， ，点 是 的中点，点 ， 是 上两点，
交 于点 ，若 ， ，求 的值．
(3)迁移拓展：如图3， 中， ， ，点 是 上一点， ，直接写出线
段 长度的最小值．
10．已知抛物线 ： ，且过点 ．
(1)求抛物线 的函数表达式及其顶点坐标A；
(2)若抛物线G上两点 ， 满足：对于 ， 时，均有 成立，求出 的
取值范围；
(3)直线 ： 经过 ，点 在直线 上运动，求 最小值．
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11．问题发现．（1）如图①，已知菱形 ， ，点M，N分别在 ， 上，若四边形
的面积是菱形 面积的 ，求 的度数；
问题解决：（2）如图②，四边形ABCD是一块板材，其中 ， ， ，
， ，工人师傅想用这块板材裁剪出一块四边形 的部件，使得O是 的中点，
点M，N分别在 ， 上，并要求四边形 部件的面积是四边形 板材面积的 ，求裁剪长度
的最小值．
12．如图①，正方形 中， ，点 是边 上的动点，点 是边 上的动点，且
，连接 ．
(1)如图①，作 ，交 于点 ，连接 ，求证；四边形 是平行四边形；
(2)如图②，延长． 、 相交于点 ，试求 的度数；
(3)如图（3），连接 ，记 ，试求 的最小值．
13．【探究发现】
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（1）如图1，在 中，D为 边的中点，连接 并延长至点H，使 ，连接 ．由
，得 ，则 与 的数量关系为______，位置关系为______．
【尝试应用】
（2）如图2，在 中， 平分 ，D为 边的中点，过点D作 ，交CA的延长线于
点Q，交 边于点K．试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， ， ， ，D为 边的中点，连接 ，E为 边
上一动点，连接 交 于点F．
①若 ．求 的长度；
②在射线 上取一点G，且 ，连接 ，直接写出 的最小值．
14．如图，在等边 中， 于点 ， 为线段 上一动点（不与 ， 重合），连接 ，
，将 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 交 于点 ，连接 ， ， 与 所在直线交于点 ，求证： ；
(3)如图3，连接 交 于点 ，连接 ， ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内，
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得到 ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内，得到 ，连接 ， ．若 ，
直接写出 的最小值．
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