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专题 22 新高考新题型第 19 题新定义压轴解答题归
纳
目 录
01 集合新定义..............................................................................................................................................1
02 函数与导数新定义..................................................................................................................................3
03 立体几何新定义......................................................................................................................................5
04 三角函数新定义......................................................................................................................................8
05 平面向量与解三角形新定义..................................................................................................................9
06 数列新定义.............................................................................................................................................11
07 圆锥曲线新定义....................................................................................................................................13
08 概率与统计新定义................................................................................................................................16
09 高等数学背景下新定义........................................................................................................................17
01 集合新定义1．（2024·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知 元正整数集合 满足：
，且对任意 ，都有
(1)若 ，写出所有满足条件的集合 ；
(2)若 恰有 个正约数，求证： ；
(3)求证：对任意的 ，都有 .
2．（2024·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）设集合 ，其中
.若集合 满足对于任意的两个非空集合 ，都有集合 的所有元素之和与集合
的元素之和不相等，则称集合 具有性质 .
(1)判断集合 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若集合 具有性质 ，求证： ；
(3)若集合 具有性质 ，求 的最大值.
3．（2024·北京门头沟·统考一模）已知集合 .若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为 ，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作 .
(1)当 ，即集合 .
（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为 ；
（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于 ；
(2)证明： ；
(3)证明： .
02 函数与导数新定义
4．（2024·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）对于函数 的导函数 ，若在其定义域
内存在实数 和 ，使得 成立，则称 是“跃点”函数，并称 是函数
的“ 跃点”.
(1)若函数 是“ 跃点”函数，求实数 的取值范围；
(2)若函数 是定义在 上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求
实数 的取值范围；
(3)若函数 是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数 的取值范围.
5．（2024·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合 上的函数 ，以及函数
，切比雪夫将函数 ， 的最大值称为函数 与 的“偏
差”.
(1)若 ， ，求函数 与 的“偏差”；
(2)若 ， ，求实数 ，使得函数 与 的“偏差”取得最小值，并求
出“偏差”的最小值.
6．（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）设 是定义域为 的函数，如果对任意的 、
均成立， 则称 是“平缓函数”.
(1)若 ， 试判断 和 是否为“平缓函数” ? 并说明理由; (参考公
式: 时， 恒成立)
(2)若函数 是“平缓函数”， 且 是以 1为周期的周期函数， 证明:对任意的 、 ，
均有 ;
(3)设 为定义在 上函数， 且存在正常数 使得函数 为“平缓函数”. 现定义数
列 满足: ， 试证明:对任意的正整数 .7．（2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）若定义域为D的函数 满足
是定义域为D的严格增函数，则称 是一个“T函数”.
(1)分别判断 ， 是否为T函数，并说明理由；
(2)已知常数 ，若定义在 上的函数 是T函数，判断 和
的大小关系，并证明；
(3)已知T函数 的定义域为R，不等式 的解集为 ．证明： 在R上严格增.
03 立体几何新定义
8．（2024·江苏·高三专题练习）如图1所示为一种魔豆吊灯，图2为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥
和 构成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为 ，底面
中心为 ，通过连接线及吸盘固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点 与天花板的距离为
，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设金属条的总长为y．
（1）设∠OAO = (rad)，将y表示成θ的函数关系式，并写出θ的范围；
1（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，金属条总长y最小．
9．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构
是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥 ， ， ，再分别以 ， ， 为轴将
， ， 分别向上翻转 ，使 ， ， 三点重合为点 所围成的曲顶多面体（下底面开
口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶
点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多
面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体
在各顶点的曲率为 .
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用 表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积 ；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值.
10．（2024·北京·高三统考期末）用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线
叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行
投影叫做斜投影.物体投影的形状､大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形
在平面 内的平行投影是四边形 .
图
图
图
(1)若平行四边形 平行于投影面（如图 ），求证：四边形 是平行四边形；
(2)在图 中作出平面 与平面 的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；
(3)如图 ，已知四边形 和平行四边形 的面积分别为 ，平面 与平面 的交线是直
线 ，且这个平行投影是正投影.设二面角 的平面角为 （ 为锐角），猜想并写出角 的余弦值
（用 表示），再给出证明.11．（2024·山东济南·高三统考期末）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，
如图， 为透视中心，平面内四个点 经过中心投影之后的投影点分别为 ．对于四个有
序点 ，定义比值 叫做这四个有序点的交比，记作 ．
(1)证明： ；
(2)已知 ，点 为线段 的中点， ，求 ．
04 三角函数新定义
12．如果对于三个数a、b、c能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a、
b、c，如果函数 使得三个数 、 、 仍为“三角形数”，则称 为“保三角
形函数”．
对于“三角形数” 、 、 ，其中 ，若 ，判断函数 是否是“保三角形函数”，并说明理由；
对于“三角形数” 、 、 ，其中 ，若 ，判断函数 是否
是“保三角形函数”，并说明理由．
13．数学家发现： ，其中 n! 利用该公式可以得到：当
时，
证明：当 时，
设 ，当 的定义域为 时，值域也为 ，则称 为 的“和谐区间”．
当 时， 是否存在“和谐区间”?若存在，求出 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明
理由．
14．已知函数 ，若存在实数 m、 ，使得对于定义域内的任意实数 x，均有
成立，则称函数 为“可平衡”函数；有序数对 称为函数 的
“平衡”数对．若 ，求函数 的“平衡”数对；
若 ，判断 是否为“可平衡”函数，并说明理由；
若 、 ，且 、 均为函数 的“平衡”数对，求 的
取值范围．
05 平面向量与解三角形新定义
15．古希腊数学家托勒密对凸四边形 凸四边形是指没有角度大于 的四边形 进行研究，终于有重大
发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．
且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形ABCD中，
若 图 ，求线段BD长度的最大值；
若 图 ，求四边形ABCD面积取得最大值时角A 的大小，并求出四边形
ABCD面积的最大值．16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量 ， ，作： ，
当 ， 不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为 ；当 ，
共线时，规定
Ⅰ 分别根据下列已知条件求 ：
① ， ；② ， ；
Ⅱ 若向量 ，
求证： ；
Ⅲ 若A，B，C是以O为圆心的单位圆上不同的点，记 ， ，
ⅰ 当 时，求 的最大值；
ⅱ 写出 的最大值． 只需写出结果
17．（2024·全国·模拟预测）定义：一个几何体的表面积与体积之比称为几何体的相对表面积.
（1）若一个直三棱柱高为 ，底面三角形的内切圆半径为 ，相对表面积为 ，求证： ；（2）如图，一块直三棱柱形状的蛋糕，底面三边长分别为3，4，5，若蛋糕的最外层包裹着薄薄的一层巧
克力（厚度忽略不计），用刀垂直于底面将蛋糕切开，使之成为两块直棱柱状的小蛋糕，要求两块小蛋糕
的相对表面积相等，且包裹的巧克力面积相等，有几种切法.
06 数列新定义
18．（2024·上海徐汇·统考三模）对于数列 ，记 ．
(1)若数列 通项公式为： ，求 ；
(2)若数列 满足： ， ，且 ，求证： 的充分必要条件是 ；
(3)已知 ，若 ， ．求 的最大值．
19．（2024·上海松江·高三上海市松江二中校考开学考试）若实数数列 满足
，则称数列 为 数列.
(1)请写出一个5项的 数列 ，满足 ，且各项和大于零；
(2)如果一个 数列 满足：存在正整数 使得 组成首项为
1，公比为 的等比数列，求 的最小值；
(3)已知 为 数列，求证： 为 数列且 为 数列”的充要条件是“ 是单调数列”.
20．（2024·北京丰台·高三统考期末）若有穷数列 且 满足
，则称 为M数列．
(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由；
① 1，2，4，3．
② 4，2，8，1．
(2)已知M数列 中各项互不相同． 令 ，求证：数列 是等差数列的充
分必要条件是数列 是常数列；
(3)已知M数列 是 且 个连续正整数 的一个排列．若 ，求 的
所有取值．
21．（2024·北京石景山·高三统考期末）记实数 ， 中的较大者为 ，例如 ，
，对于无穷数列 ，记 ，若对于任意的 ，均有 ，则称数
列 为“趋势递减数列”.
(1)已知数列 的通项公式分别为 ， ，判断数列 是否为“趋势递减数列”，并说明理由；
(2)已知首项为 公比为 的等比数列 是“趋势递减数列”，求 的取值范围；
(3)若数列 满足 ， 为正实数，且 ，求证： 为“趋势递减数列”的充要条件为
的项中没有 .
22．（2024·北京海淀·统考）已知数列 是由正整数组成的无穷数列，若存在常数 ，使得
，对任意的 成立，则称数列 具有性质 ．
（1）分别判断下列数列 是否具有性质 ；（直接写出结论）① ；②
（2）若数列 满足 ，求证：“数列 具有性质 ”是“数列 为常数列的
充分必要条件；
（3）已知数列 中 ，且 ．若数列 具有性质 ，求数列 的通项公式．
07 圆锥曲线新定义
23．已知点 是圆 上一动点，点 ，线段 的垂直平分线交线段 于点 .
(1)求动点 的轨迹方程 ；
(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线 与曲线 相似，且焦点在
同一条直线上，曲线 经过点 .过曲线 上任一点 作曲线 的切线，切点分别为 ，这两条切线 分别与曲线 交于点 （异于点 ），证明： .
24．椭圆曲线加密算法运用于区块链．
椭圆曲线 ． 关于x轴的对称点记为 ．C在点
处的切线是指曲线 在点P处的切线．定义“ ”运算满足：①若 ，且直线PQ
与C有第三个交点R，则 ；②若 ，且PQ为C的切线，切点为P，则 ；③
若 ，规定 ，且 ．
(1)当 时，讨论函数 零点的个数；
(2)已知“ ”运算满足交换律、结合律，若 ，且PQ为C的切线，切点为P，证明：
；
(3)已知 ，且直线PQ与C有第三个交点，求 的坐标．
参考公式：
25．（2024·全国·高三专题练习）阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G： ，则称点P( ， )和直线
l： 是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以 替换 ，以 替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P( ， )对应的极线方程.特别地，对
于椭圆 ，与点P( ， )对应的极线方程为 ；对于双曲线 ，与点P( ，
)对应的极线方程为 ；对于抛物线 ，与点P( ， )对应的极线方程为
.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C： 经过点P(4，0)，离心率是 ，求椭圆C的方程并写出与点P对应的
极线方程；
(2)已知Q是直线l： 上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，
是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当 时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
26．（2024·上海虹口·高三统考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m.
(1)设 ，若 的焦距为2，l过点 ，求l的方程；
(2)设 ，若 是 上的一点，且 ，l与 交于不同的两点A、B，Q为 的上顶点，求 面积的最大值；
(3)设 是l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义 .用a、b、k、m表示
，并利用 与 的大小关系，提出一个关于l与 位置关系的真命题，给出该命题的证明.
08 概率与统计新定义
27．（2024·北京东城·高三统考期末）已知随机变量 的取值为不大于 的非负整数值，它的分布列为：
0 1 2 n
其中 （ ）满足： ，且 ．定义由 生成的函数
，令 ．
（I）若由 生成的函数 ，求 的值；
（II）求证：随机变量 的数学期望 ， 的方差 ；
（ ）
（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量 表示两次掷出的点数之和，此时由 生成的函数记为 ，求
的值．
28．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中 ．而在n维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的项
点坐标可表示为n维坐标 ，其中 ．现有如下定义：在n维空间中
两点间的曼哈顿距离为两点 与 坐标差的绝对值之和，即为
．回答下列问题：
(1)求出n维“立方体”的顶点数；
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于 ．
（已知对于正态分布 ，P随X变化关系可表示为 ）
09 高等数学背景下新定义
29．（2024·吉林长春·东北师大附中模拟预测）概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由
两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不
等式．马尔科夫不等式的形式如下：
设 为一个非负随机变量，其数学期望为 ，则对任意 ，均有 ，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期
望间的关系．当 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设 的分布列为 其中 ，则对任意， ，其中符号 表示对所有满足 的
指标 所对应的 求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量 的期望为 ，方差为 ，则对任意 ，均有
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量 成立．
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为 ．现随机选择了100名患者，经过使用该
药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
30．（2024·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶
建立和提倡使用的.切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名
字命名的离散型切比雪夫不等式：设 为离散型随机变量，则 ，其中 为任意
大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量 的分布未知的情况下，对事件 的概率作
出估计.
(1)证明离散型切比雪夫不等式；
(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数 .在一次抽奖游戏中，有 个不透明的箱子依次编号为
，编号为 的箱子中装有编号为 的 个大小､质地均相同的小球.主持人邀请 位
嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为 的箱子中抽取的小球号码为 ，并记 .对任意
的 ，是否总能保证 （假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量 满足 ，则
有 .
31．（2024·北京西城·统考二模）给定奇数 ，设 是 的数阵． 表示数阵第 行第 列的数，
且 ．定义变换 为“将数阵中第 行和第 列的数都乘以
”，其中 ．设 ．将 经过 变换得到 ， 经过
变换得到 ， ， 经过 变换得到 ．记数阵 中 的个数为 ．
(1)当 时，设 ， ，写出 ，并求 ；
(2)当 时，对给定的数阵 ，证明： 是 的倍数；
(3)证明：对给定的数阵 ，总存在 ，使得 ．
32．（2024·上海宝山·统考一模）若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的 （ ）倍，
则称该数列具有性质 .
（1）已知数列 ， ， 具有性质 ，求实数 的取值范围；（2）删除数列 ， ， ， ， 中的第3项，第6项， ，第 项， ，余下的项按原来顺序组成一
个新数列 ，且数列 的前 项和为 ，若数列 具有性质 ，试求实数 的最大值；
（3）记 （ ），如果 （ ），证明：“ ”的充
要条件是“存在数列 具有性质 ，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列 的各项均为正数，且
互异；（Ⅱ）存在常数 ，使得数列 收敛于 ；（Ⅲ） （ ，
这里 ）”.
