文档内容
重难点突破 03 立体几何解答题常考模型归纳总结
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：非常规空间几何体为载体....................................................................................................2
题型二：立体几何存在与探索性问题................................................................................................4
题型三：立体几何折叠问题................................................................................................................6
题型四：立体几何作图问题................................................................................................................8
题型五：立体几何建系繁琐问题......................................................................................................10
题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题..........................................................................12
题型七：利用传统方法找几何关系建系..........................................................................................14
题型八：空间中的点不好求..............................................................................................................16
题型九：数学文化与新定义问题......................................................................................................18
03 过关测试.........................................................................................................................................22高考立体几何解答题常考模型主要包括柱体、锥体、球体、旋转体、多面体等。这些模型常涉及体积、
表面积的计算，截面问题，以及与其他几何体的组合或相交问题。此外，空间位置关系，如平行、垂直的
判断与证明，也是常考内容。空间角的计算，包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等，
同样是高考立体几何的重要考点。最后，空间距离的计算，如点到平面的距离、两平行平面间的距离等，
也是解答题中常见的考查点。掌握这些模型的基本性质和解题方法，对于提高高考立体几何的解题能力至
关重要。
题型一：非常规空间几何体为载体
【典例1-1】（2024·河南濮阳·模拟预测）如图，侧面 水平放置的正三棱台
，且侧棱长为 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 和平面 所成角的正弦值．
【典例1-2】（2024·云南昆明·三模）如图，在三棱台 中，上、下底面是边长分别为2和4的
正三角形， 平面 ，设平面 平面 ，点 分别在直线 和直线 上，且满足
， ．(1)证明： 平面 ；
(2)若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求该三棱台的高．
【变式1-1】（2024·天津和平·二模）如图，三棱台 中， 为等边三角形， ，
平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点D到平面 的距离．
【变式1-2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，平行六面体 中，底面 与平面
都是边长为2的菱形， ，侧面 的面积为 .(1)求平行六面体 的体积；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
题型二：立体几何存在与探索性问题
【典例2-1】如图1， 是边长为3的等边三角形，点 分别在线段 上，且 ，
沿 将 翻折到 的位置，使得 ，如图2.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【典例2-2】（2024·广东·一模）如图所示，四边形 是圆柱底面的内接四边形， 是圆柱的底面直
径， 是圆柱的母线， 是 与BD的交点， .
(1)记圆柱的体积为 ，四棱锥 的体积为 ，求 ；(2)设点 在线段 上，且存在一个正整数 ，使得 ，若已知平面 与平面 的
夹角的正弦值为 ，求 的值.
【变式2-1】在 中， ， ，D为边 上一点， ，E为 上一点，
，将 沿 翻折，使A到 处， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若射线 上存在点M，使 ，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求λ.
【变式2-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面四边形 为菱形，且
是边长为2的等边三角形，且平面 平面 为 中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ，若存在，求 的值，若不存在，请
说明理由.题型三：立体几何折叠问题
【典例3-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在矩形 中， ， ，将 沿矩
形的对角线 进行翻折，得到如图2所示的三棱锥 ，且 .
(1)求翻折后线段 的长；
(2)点 满足 ，求 与平面 所成角的正弦值.
【典例3-2】（2024·山东·模拟预测）如图，在菱形 中， ， 是 的中点，将 沿
直线 翻折使点 到达点 的位置， 为线段 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的大小.
【变式3-1】（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形 为菱形，现沿 进行
翻折，使得 平面 ，过点 作 ，且 ，连接 ，所得图形如图②所示，
其中 为线段 的中点，连接 .(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
【变式3-2】在等腰梯形ABCD中， ， ， ， ，M为AB中点，
将 ， 沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥 ．
(1)求ME与平面CDE所成角的大小；
(2)求二面角 的余弦值．
题型四：立体几何作图问题
【典例4-1】（2024·河南信阳·模拟预测）长方体 中， .
(1)过E、B作一个截面，使得该截面平分长方体的表面积和体积.写出作图过程及其理由.(2)记（1）中截面为 ，若 与（1）中过 点的长方体的三个表面成二面角分别为 ，求
的值.
【典例4-2】（2024·高三·河北承德·期中）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 分
别是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 经过点 ，且与棱 交于点 ．请作图画出 在棱 上的位置，并求出 的值．
【变式4-1】（2024·辽宁大连·一模）如图多面体ABCDEF中，面 面 ， 为等边三角形，
四边形ABCD为正方形， ，且 ，H，G分别为CE，CD的中点．
(1)证明： ；
(2)求平面BCEF与平面FGH所成角的余弦值；
(3)作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AD交点为P，写出 的值（不需要说明理由，保
留作图痕迹）．【变式4-2】如图，已知底面为平行四边形的四棱锥 中，平面 与直线 和直线 平行，
点 为 的中点，点 在 上，且 .
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求作过 作四棱锥 的截面，使 与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定义：
用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.
【变式4-3】（2024·北京·三模）四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， .
,且 平面 ， ，点 分别是线段 上的中点， 在 上.且
.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.题型五：立体几何建系繁琐问题
【典例5-1】（2024·山东淄博·二模）已知直角梯形 ， ， ，
， 为对角线 与BD的交点．现以 为折痕把 折起，使点 到达点
的位置，点 为 的中点，如图所示：
(1)证明： 平面PBM；
(2)求三棱锥 体积的最大值；
(3)当三棱锥 的体积最大时，求直线AB与平面 所成角的正弦值．
【典例5-2】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在四棱台 中， 为 的中点，
.
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ， ，当四棱锥 的体积最大时，求 与平面 夹
角的正弦值.
【变式5-1】（2024·重庆·三模）如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体. 是半圆柱的母线, 分别是底面直径BC和 的中点, 是半圆 上一动点, 是半圆
上的动点, 是圆柱的母线，延长 至 点使得 为 的中点,连接 , 构成三棱锥 .
(1)证明: ;
(2)当三棱锥 的体积最大时,求平面 与平面 的夹角.
【变式5-2】已知平面四边形 ， ， ， ，现将 沿 边折
起，使得平面 平面 ，此时 ，点 为线段 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 的中点
①求 与平面 所成角的正弦值；
②求二面角 的平面角的余弦值．
题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
【典例6-1】（2024·河南·模拟预测）如图,在三棱锥 中, 是等边三角形, ,
点 是 的中点,连接 ．（1）证明:平面 平面 ;
（2）若 ,且二面角 为 ,求直线 与平面 所成角的正弦值．
【典例6-2】（2024·广西桂林·二模）如图，四棱锥 中，底面 为边长是2的正方形， ，
分别是 ， 的中点， ， ，且二面角 的大小为 .
(1) 求证： ；
(2) 求二面角 的余弦值.
【变式6-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，四棱锥 中，四边形 是边长为2的菱形，
， .（1）证明：平面 平面 ；
（2）当直线 与平面 所成的角为30°时，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【变式6-2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，四棱锥 中，四边形 是边长为2的菱形
，
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 ，求直线 与平面 所成角正弦值.
题型七：利用传统方法找几何关系建系
【典例7-1】（2024·江苏南京·二模）如图， ， ，点 、 在平面 的同侧，
， ， ，平面 平面 ， .(1)求证： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
【典例7-2】斜三棱柱ABC－ABC 上，侧面AAC C⊥平面ABC，侧面AAC C是菱形，∠AAC＝60°，AC
1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝AC＝ BC＝ ，AB＝2，D为BB 的中点．
1
(1)求二面角C－AD－C 的余弦值；
1 1
(2)记 ABC的外接圆上有一动点P，若二面角P－AA－C与二面角C－AD－C 相等，求AP的长．
1 1 1
△
【变式7-1】如图，已知四棱锥 中， 平面 ，平面 平面 ，且 ，
， ，点 在平面 内的射影恰为 的重心 .（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【变式7-2】如图所示，圆锥的高 ，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得 ，分
别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点A到平面 的距离．
题型八：空间中的点不好求
【典例8-1】（2024·山东日照·三模）在五面体 中， ， .
(1)求证： ；(2)若 ， ， ，点 到平面 的距离为 ，求二面角
的余弦值.
【典例8-2】（2024·全国·校联考模拟预测）已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为
△ABC的外心． ， .
(1)证明：BC⊥AD；
(2)E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥A-BCD的体积为 ，求二面角 的余弦值．
【变式8-1】（2024·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中， ，
， ， 分别为 ， 的中点，点 在 上，且 为三角形 的重心.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ，四棱锥 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.【变式8-2】（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，平行六面体 中，点P
在对角线 上， ，平面 平面 ．
(1)求证：O，P， 三点共线；
(2)若四边形 是边长为2的菱形， ， ，求二面角 大小
的余弦值．
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知菱形ABCD中， ，四边形BDEF为正方形，满足
，连接AE，AF，CE，CF．
(1)证明： ；
(2)求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值．
题型九：数学文化与新定义问题
【典例9-1】（2024·高三·山东青岛·期中）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴
趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如
图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边 的中点，先沿着虚线段 将等腰直角三角形 裁掉，再将剩下的五边形 沿着线段EF折起，连接 就得到了一个“刍甍” (如图
2)。
(1)若O是四边形 对角线的交点，求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 求平面 与平面 夹角的余弦值.
【典例9-2】为方便师生行动，我校正实施翔宇楼电梯加装工程．我们借此构造了以下模型：已知正四棱
柱 ，它抽象自翔宇楼南侧楼心花园所占据的空间，设 ， ，O为底面
ABCD的中心，正四棱柱 与正四棱柱 分别代表电梯井与电梯厢，设
，M为棱 的中点，N，K分别为棱 ， 上的点， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你．明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦．”卞之琳诗句中的情景其实正在我们的生活中反复上演，上官琐艾同学站在楼心花园的中心（O点），她正目送着倚
立在电梯厢一角的欧阳南德同学，假定上官同学的目光聚焦于棱OO 的中点I，此时，电梯厢中欧阳同学
2
的目光正徘徊在位于N点的数学办公室与位于K点的数学实验室，当电梯厢向上启动时，在这时空里便诞
生了由点O与移动着的平面INK所勾勒的动人风景．现在，请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题：
当电梯厢自底部（平面OECF与平面ABCD重合）运行至顶端（平面 与平面A B C D 重合）的过
1 1 1 1
程中，点O到平面INK距离的最大值．
【变式9-1】在陕西汉中勉县的汉江河与定军山武侯坪一带，经常出土有铜、铁扎马钉等兵器文物.扎马钉
（如题21图（1））是三国时蜀汉的著名政治家、军事家诸葛亮所发明的一种对付骑兵的武器，状若荆刺，
故学名蒺藜，有铜、铁两种.扎马钉有四个锋利的尖爪，随手一掷，三尖撑地，一尖直立向上，推倒上尖，
下尖又起，始终如此，使触者不能避其锋而被刺伤.即总有一个尖垂直向上，三尖对称支承于地.简化扎马
钉的结构，如图（2），记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为 ，钉尖为 （ ）．
（Ⅰ）判断四面体 的形状特征；
（Ⅱ）若某个出土的扎马钉因年代久远，有一尖爪受损，其长度仅剩其他尖爪长度的 （即 ），
如图（3），将 ， ， 置于地面，求 与面 所成角 的正弦值.
【变式9-2】《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流
而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.
此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方
体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形 ，
的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为 ，将极点
，分别与正方形 的顶点连线，取其中点记为 ， ， ，如（图3）.埃舍尔多面
体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个
“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥 与
(1)求异面直线 与 成角余弦值；
(2)求平面 与平面 的夹角正弦值；
(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）.1．（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台 中， 分
别为 的中点， ，侧面 与底面 所成角为 .
(1)求证： 平面 ；
(2)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由.
2．（2024·全国·模拟预测）如图，平行六面体 中，底面 是边长为2的正方形，平
面 平面 ， ， 分别为 的中点．
(1)判断 与平面 的位置关系，并给予证明；
(2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值．
3．（2024·高三·辽宁沈阳·期末）如图，在平行六面体 中， ，， ， ，点 为 中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在直角梯形 中， ， ， ， ， ，
分别是 ， 上的点，且 ，现将四边形 沿 向上折起成直二面角，设
.
(1)若 ，在边 上是否存在点 ，满足 ，使得 平面 ？若存在，求出 ；若不存
在，说明理由.
(2)当三棱锥 的体积最大时，求点 到平面 的距离.
5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在三棱锥 中， ， 为 的中点， 于 ，
，已知 ， ， ， ．(1)证明： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长；若不存在，
请说明理由．
6．（2024·高三·江苏南通·期中）如图， 且 ， ， 且 ，
且 ， 平面 ， .
(1)设面BCF与面EFG的交线为 ，求证： ；
(2)证明:
(3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为 ，若存在，求出P点
的位置，若不存在，说明理由.
7．（2024·福建宁德·三模）在平行四边形 中， ， ， .将 沿 翻折到
的位置，使得 .(1)证明： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ?若存在，求出 的值;若不存
在，请说明理由.
8．（2024·河北承德·二模）如图1，在直角 中， 为 中点， ，取 中
点 ，连接 ，现把 沿着 翻折，形成三棱锥 如图2，此时 ，取 中点 ，
连接 ，记平面 和平面 的交线为 为 上异于 的一点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长度.
9．（2024·山西晋城·二模）如图1，在 中， ， ，点D是线段AC的中点，点
E是线段AB上的一点，且 ，将 沿DE翻折到 的位置，使得 ，连接PB，
PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点．(1)若 ，求证： 平面 ；
(2)若直线CF与平面 所成角的正弦值为 ，求线段BF的长．
10．（2024·贵州黔东南·三模）如图1所示，在边长为3的正方形ABCD中，将 ADC沿AC折到 APC的
位置，使得平面 平面ABC，得到图2所示的三棱锥 .点E，F，G分别在PA，PB，PC上，
△ △
且 ， ， .记平面EFG与平面ABC的交线为l.
(1)在图2中画出交线l，保留作图痕迹，并写出画法.
(2)求点 到平面 的距离.
11．（2024·山西·二模）如图，已知多面体 的底面 是边长为2的正方形， 底面 ，
，且 ．
（Ⅰ）求多面体 的体积；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）记线段 的中点为 ，在平面 内过点 作一条直线与平面 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．
12．（2024·福建·一模）如图，三棱柱 中， ， ，
分别为棱 的中点.
（1）在平面 内过点 作 平面 交 于点 ，并写出作图步骤，但不要求证明.
（2）若侧面 侧面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
13．（2024·高三·福建漳州·期中）已知四棱锥 的底面为菱形， ，且 平面 ，
记 为平面 与平面 的交线．
(1)证明： 平面 ；
(2)设 ， 为 上的点，当 与 所成角最大时，求平面 与平面 的夹角大小．14．（2024·湖北武汉·三模）如图，在四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形，
．
(1)求证： ；
(2)已知点E在棱 上，且 ，设 ，若二面角 的余弦值为 ，求 ．
15．如图，在四面体 中，已知 ， ，
(1)求证： ；
(2)若平面 平面 ，且 ，求二面角 的余弦值.
16．（2024·江西南昌·一模）如图，四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ，已
知 为棱 的中点， 在底面的投影 为线段 的中点， 是棱 上一点.(1)若 ，求证： 平面 ；
(2)若 ，确定点 的位置，并求二面角 的余弦值.
17．（2024·江西新余·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ，
，且 ， .
(1)若 为 的中点，证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，线段 上的点 满足 ，且平面 与平面 夹角的
余弦值为 ，求实数 的值.
18．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 分别是侧棱 的中点，
， 平面 .(1)求证：平面 平面 ；
(2)如果 ，且三棱锥 的体积为 ，求二面角 的余弦值.
19．（2024·山东枣庄·一模）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面
与底面所成的角为 ， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 的内心，求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一
条侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，四边形 是边长为3的正方形， ， ．(1)证明：四棱锥 是一个“阳马”；
(2)已知点 在线段 上，且 ，若二面角 的余弦值为 ，求 的值．
21．宋元时期，泉州作为海洋商贸中心，成为世界第一大港.作为海上丝绸之路的起点，泉州的海外贸易极
其频繁，但海上时常风浪巨大，使用原始船出行的风险也大.因此，当时的设计师为了海外贸易的正常进行，
便在船只设计中才用了楔形零件结构，由此海上出行无需再惧怕船体崩溃，这也为海上贸易的发达作出了
巨大贡献，而其智慧至今仍熠熠生辉.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCD
MNPQ，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中 是中间的小正方形的顶点.
(1)求楔形体的表面积；
(2)求平面APQ与平面 的夹角的余弦值.
