文档内容
专题 15 立体几何解答题全归类
目 录
01 非常规空间几何体为载体................................................................................................................2
02 立体几何探索性问题.......................................................................................................................4
03 立体几何折叠问题...........................................................................................................................6
04 立体几何作图问题...........................................................................................................................8
05 立体几何建系繁琐问题.................................................................................................................11
06 两角相等（构造全等）的立体几何问题.......................................................................................13
07 利用传统方法找几何关系建系......................................................................................................15
08 空间中的点不好求.........................................................................................................................17
09 创新定义........................................................................................................................................2001 非常规空间几何体为载体
1．（2023·四川南充·模拟预测）如图所示，在圆锥 中， 为圆锥的顶点， 为底面圆圆心， 是圆
的直径， 为底面圆周上一点，四边形 是矩形．
(1)若点 是 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
2．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥 中， ， ， ，
为 中点．
（1）证明 ；
（2）点 满足 ，求二面角 的正弦值．3．（2023·河南·高二漯河高中校联考阶段练习）如图，四棱台 中，上、下底面均是正方形，
且侧面是全等的等腰梯形， ，上、下底面中心的连线NM垂直于上、下底面，且NM与侧面
所成角的正切值为 ．
(1)求点A到平面 的距离；
(2)求二面角 的余弦值．
4．（2023·天津和平·统考三模）如图，四棱台 中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等
的等腰梯形， ， 分别为 的中点，上下底面中心的连线 垂直于上下底面，且
与侧棱所在直线所成的角为 .
(1)求证： ∥平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；(3)边 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由
02 立体几何探索性问题
5．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱 中， ， ．点 ， ， ， 分
别在棱 ， ， ， 上， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
6．（2023·北京·高三北京八中校考期中）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体．如图五面体
ABCDEF，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，其中 ， ，
， ，M为AD中点，平面BCEF与平面ADEF交于EF．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF能够确定，然后解答下列各题：
(1)求证： 平面CDE；
(2)求二面角 的余弦值．
(3)在线段AE上是否存在点Q，使得MQ与平面ABE所成的角的正弦值为 ，若存在，求出 的值，
若不存在，请说明理由．
条件①：平面 平面ABCD；
条件②：平面 平面ABCD；
条件③： ．
7．（2021•甲卷）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为
和 的中点， 为棱 上的点， ．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小？8．（2021•北京）如图，在正方体 ， 为 的中点， 交平面 交于点 ．
（Ⅰ）求证： 为 的中点；
（Ⅱ）若点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直，已知
．
(1)求证： ；
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面 平面BCEF？若存在，求出 的值；若不存在，请说
明理由．03 立体几何折叠问题
10．（2023·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）已知图①中四边形 是圆 的
内接四边形，沿 将 所在圆面翻折至如图②所示的位置，使得 .
(1)若 ，证明： ；
(2)若 ，求二面角 余弦值的最小值.
11．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，在梯形 中， ， ， ，
， 与 交于点 ，将 沿 翻折至 ，使点 到达点 的位置.
(1)证明： ；
(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为 ，求三棱锥 的体积.12．（2023·贵州·高二校联考阶段练习）如图1，已知 是直角梯形， ， ，
，C、D分别为BF、AE的中点， ， ，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角
的大小为60°，如图2所示，设N为BC的中点.
(1)证明： ；
(2)若M为AE上一点，且 ，则当 为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为 .
13．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形 中，点 在边 上，且满足
，将 沿 向上翻折，使点 到点 的位置，构成四棱锥 .
(1)若点 在线段 上，且 平面 ，试确定点 的位置；
(2)若 ，求锐二面角 的大小.04 立体几何作图问题
14．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体 的底面 是菱形，
， ，且 .
(1)试在平面 内过点 作直线 ，使得直线 平面 ，说明作图方法，并证明：直线 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
15．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知四棱锥 中，底面 为正方
形，O为其中心，点E为侧棱 的中点.(1)作出过O、P两点且与 平行的四棱锥截面（在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，并写出简
要作图过程）；记该截面与棱 的交点为M，求出比值 （直接写出答案）；
(2)若四棱锥的侧棱与底面边长均相等，求 与平面 所成角的正弦值.
16．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知底面为平行四边形的四棱锥 中，平面 与直
线 和直线 平行，点 为 的中点，点 在 上，且 .
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求作过 作四棱锥 的截面，使 与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定义：
用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.17．（2023·安徽马鞍山·统考三模）如图多面体 中，面 面 ， 为等边三角形，
四边形 为正方形， ，且 ， ， 分别为 ， 的中点.
（1）求二面角 的余弦值；
（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出 的值（不需要说明理由，
保留作图痕迹）.
18．（2023·北京·北京市十一学校校考三模）四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形，
. ,且 平面 ， ，点 分别是线段 上的中点， 在
上.且 .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.05 立体几何建系繁琐问题
19．（2023·浙江台州·高一统考期末）如图，平面 平面 ，四边形 为矩形，且 为线
段 上的动点， ， ， ， .
(1)当 为线段 的中点时，
（i）求证： 平面 ；
（ii）求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)记直线 与平面 所成角为 ，平面 与平面 的夹角为 ，是否存在点 使得 ?若
存在，求出 ；若不存在，说明理由.
20．（2023·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习）如图，在梯形 中， ，
， ，四边形 为矩形， 平面 平面 ， .(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值；
(3)若点 在线段 上运动，设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，试求 的范
围.
21．（2023·重庆·统考三模）如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD是边长为
的等边三角形，球心O到底面的距离为1．
(1)求球O的表面积；
(2)求二面角 的余弦值．
22．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）如图所示，在平行四边形ABCD中， ，，E为边AB的中点，将 沿直线DE翻折为 ，若F为线段 的中点．在 翻
折过程中，
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 ，求 与面 所成角的正弦值.
23．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）四面体 中 ，
， ， ， ，E为AC中点．
(1)证明： ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求a的值．
06 两角相等（构造全等）的立体几何问题
24．（2023·河南·统考模拟预测）如图,在三棱锥 中, 是等边三角形, ,点
是 的中点,连接 ．（1）证明:平面 平面 ;
（2）若 ,且二面角 为 ,求直线 与平面 所成角的正弦值．
25．（2023·广东广州·统考一模）如图，在三棱锥 中， 是等边三角形，
，点P是AC的中点，连接BP，DP
证明：平面 平面BDP；
若 ， ，求三棱锥 的体积．
26．（2023·福建龙岩·统考一模）如图，在三棱锥 中， 为等边三角形， ，
面积是 面积的两倍，点 在侧棱 上.（1）若 ，证明：平面 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，且 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
27．（2023·浙江宁波·高三统考期末）如图所示，四面体 中， 是正三角形， 是直角三角
形， 是 的中点，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）过 的平面交 于点 ，若平面 把四面体 分成体积相等的两部分，求二面角
的余弦值.
07 利用传统方法找几何关系建系
28．（2023·江苏徐州·高三统考期中）如图，在三棱锥 中，侧面 是锐角三角形， ，平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)设 ，点 在棱 （异于端点）上，当三棱锥 体积最大时，若二面角
大于 ，求线段 长的取值范围.
29．（2023·江苏常州·高三统考期中）已知三棱柱 ， ，
， 为线段 上的点，且满足 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ；
(3)设平面 平面 ，已知二面角 的正弦值为 ，求 的值．30．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）在正三棱台 中，侧棱长为1，且 为
的中点， 为 上的点，且 .
(1)证明： 平面 ，并求出 的长；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
31．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 为正
三角形，且 分别为 的中点， 在线段 上，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)当 时，求平面 与平面 的夹角的余弦值．08 空间中的点不好求
32．（2023·云南临沧·高二校考期中）已知四棱锥 ，底面 为菱形， 为 上的
点，过 的平面分别交 于点 ，且 ∥平面 ．
(1)证明： ；
(2)当 为 的中点， 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 所成
的锐二面角的余弦值．
33．（2023·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台 中，底面 是边
长为2的菱形， ，平面 平面 ，点 分别为 的中点，
均为锐角.(1)求证： ；
(2)若异面直线 与 所成角正弦值为 ，四棱锥 的体积为1，求二面角 的平面
角的余弦值.
34．（2023·广东·高三茂名市第一中学校联考阶段练习）如图，已知四棱锥 中，底面 是矩
形， ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
35．（2023·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）如图，在几何体 中，底面 为以 为斜边的
等腰直角三角形.已知平面 平面 ，平面 平面 平面 .
(1)证明： 平面 ；(2)若 ，设 为棱 的中点，求当几何体 的体积取最大值时 与 所成角的正切
值.
36．（2023·全国·模拟预测）如图，已知四边形 为正方形， 为正方形对角线的交点，平面
平面 ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 和平面 所成角的余弦值的最小值．
37．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）如图甲是由梯形 ， 组成的一个平面图形，其
中 ， ， ， ， ．如图乙，将其沿 ， 折起使得
与 重合，连接 ，直线 与平面 所成角为60°．
(1)证明： ；
(2)求图乙中二面角 的正弦值．09 创新定义
38．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过
顶点S的平面α相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母
线所成角θ的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面
α的切点为F，直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为
M， ， ．
(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b， 关系式；
(2)求证：曲线C是抛物线．
39．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结
构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥 ， ， ，再分别以 ， ， 为轴将
， ， 分别向上翻转 ，使 ， ， 三点重合为点 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶
点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多
面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体
在各顶点的曲率为 .
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用 表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积 ；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值.
40．（2023·全国·高三校联考专题练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率
为 ，其中Q（i＝1，2，…，k，k≥3）为多面体M的所
i
有与点P相邻的顶点，且平面QPQ，平面QPQ，…，平面Q PQ 和平面QPQ 遍历多面体M的所有
1 2 2 3 k﹣1 k k 1
以P为公共点的面．（1）如图1，已知长方体ABC D﹣ABCD，AB＝BC＝1， ，点P为底面ABC D 内的一个动点，
1 1 1 1 1 1 1 1
则求四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值；
（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然
后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的
是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）
41．（2023·全国·校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正
六棱柱截去三个相等的三棱锥 ， ， ，再分别以 ， ， 为轴将 ，
， 分别向上翻转 ，使 ， ， 三点重合为点 所围成的曲顶多面体（下底面开口），
如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的
曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面
体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值．
