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专题 8-1 立体几何中外接球内切球问题
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专题8-1立体几何中外接球内切球问题................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：外接球公式法............................................................................................................................1
题型二：外接球补型法............................................................................................................................4
题型三：外接球单面定球心法..............................................................................................................10
题型四：外接球双面定球心法..............................................................................................................18
题型五：内切球问题..............................................................................................................................25
................................................................34
一、单选题..............................................................................................................................................34
二、多选题..............................................................................................................................................41
三、填空题..............................................................................................................................................45
题型一：外接球公式法
【典例分析】
例题1．（2023·陕西西安·高三期末（理））长方体的三个相邻面的面积分别是8，8，
16，则该长方体外接球的体积为（ ）
A．24π B．32π C．36π D．48π
例题2．（2022·广东珠海·高一期末）一个棱长为2的正方体，其外接球的体积为（
）
A． B． C． D．
例题3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））若体积为12的长方体的每
个顶点都在球 的球面上，且此长方体的高为2，则球 的表面积的最小值为
___________.
【提分秘籍】①长方体外接球：在长方体 中，设一个顶点出发的三条边长分别为：
， ， ，则长方体外接球半径
②正方体外接球：在正方体 中，设边长为 ，则正方体外接球半径
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长
方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（文））已知长方体 的外
接球的表面积为 ，若 ， ，则直线 与直线 所成角的余弦值为
__________．
3．（2022·贵州·高二学业考试）已知长方体的三条棱长分别为1， ， ，则该长方体
外接球的表面积为___．（结果用含 的式子表示）
题型二：外接球补型法
【典例分析】
例题1．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）在四面体 中，已知点 ， 分别
为棱 ， 中点，且 ， ，若 ， ，则该四面体外接
球半径为__________．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ，
， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·广东韶关·一模）已知三棱锥 中， 为等边三角形，
， ， ， ，则三棱锥的外接球的半径为___________；
若 ､ 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段 的长度的最大值为___________.
【提分秘籍】
①墙角型：由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可补形为长方体或正方体，再利用公
式法求解外接球问题；
②对棱相等型：如果一个多面体的对棱都相等，可以补形为长方体，或正方体，再利用公
式法求解外接球问题；
【变式演练】
1．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）已知正方形 的边长为2，点 为边
的中点，点 为边 的中点，将 ， 分别沿 折起，使
三点重合于点 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥 中， 平面 ， 为直角三角
形， ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川省乐山沫若中学高二期中（理））已知三棱锥 中， 面
， 则三棱锥的外接球的体积为___________.
4．（2022·湖北·高二期中）四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝5， ，
，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为_____．
题型三：外接球单面定球心法
【典例分析】
例题1．（2022·福建·高三阶段练习）在正三棱锥 中， 为 的中心，
已知 ， ，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·四川·泸州市龙马高中高二阶段练习（文））在三棱锥 中，， 平面 ，则三棱锥 的外接球 的体积为
______．
例题3．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）在四面体 中， ， ，
，设 ，则该几何体的外接球的体积为_________
【提分秘籍】
①第一步：选定一个底面（如图底面三角形 ），求出三角形 外接圆圆心
如图：若 为直角三角形，则外接圆圆心 在斜边的中点上；
若 为正三角形，则外接圆圆心 在重心位置；
若 为普通三角形，则利用正弦定理 ,确定出 的位置
②第二步：过点 作出平面 的垂线，如图为 ，则球心 在直线 上；
③计算：在 中，利用勾股定理求出外接球半径
【变式演练】
1．（2022·贵州·高三阶段练习（理））设三棱锥 满足 ，且
，当三棱锥体积最大时，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知三棱锥 中， ， ，，则它的外接球的表面积为______.
3．（2022·江苏·常州市第一中学高三阶段练习）已知空间四边形 的各边长及对角线
的长度均为6，平面 平面 ，点M在 上，且 ，那么 外
接球的半径为______；过点M作四边形 外接球的截面.则截面面积最大值与最小值之
比为______.
4．（2022·山西运城·高三期中）已知正四棱锥 的底面是边长为2的正方形，其
内切球的体积为 ，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.
题型四：外接球双面定球心法
【典例分析】
例题1．（2022·山西大附中高三阶段练习）已知菱形 的各边长为 ．如
图所示，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥
，此时 ． 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，且始终保持
，则点 的轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·四川省叙永第一中学校高二期中（理））在三棱锥 中，平面
平面 ， 与 都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体
积为________.
【提分秘籍】
①第一步：选定一个底面（如图底面三角形 ），求出三角形 外接圆圆心如图：若 为直角三角形，则外接圆圆心 在斜边的中点上；
若 为正三角形，则外接圆圆心 在重心位置；
若 为普通三角形，则利用正弦定理
P
,确定出 的位置
O
2 O
②第二步：过点 作出平面 的垂线； A
O
H 1
③第三步：重复上述两步，再做一条垂线； B C
④第四步：两条垂线的交点为球心
【变式演练】
1．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）已知菱形 的各边长为 .
如图所示，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥
，此时 ， 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，且
始终保持 ，则点 的轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）已知四边形 是边长为3的菱形且一
个内角为 ，把等边 沿 折起，使得点 到达点 ，则三棱锥 体积最大
时，其外接球半径为______．
3．（2022·福建·高二期中）已知菱形 的各边长为 ，如图所示，将沿 折起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，若 则三棱
锥 的体积为___________， 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球
上运动，且始终保持 ，则点 的轨迹的周长为___________.
题型五：内切球问题
【典例分析】
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱锥 中，侧面与底面所成角的
正切值为 ， ，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一期末）已知某圆锥的内切球（球与圆锥
侧面､底面均相切）的体积为 ，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·河南·高二阶段练习）已知正四面体 的棱长为12，球 内切于正
四面体 是球 上关于球心 对称的两个点，则 的最大值为
___________.
【提分秘籍】①等体积法：将空间几何体拆分为以内切球球心 为顶点的多个几何体，再利
用等体积法求出内切球半径 ，主要用于多面体内切球问题；
例如：在四棱锥 中，内切球为球 ，求球半径 .方法如下：
即： ，可求
出 .
②独立截面法：主要用于旋转体中，通过独立截面（过球心的截面），在截面中求出内切
球的半径.
【变式演练】
1．（2022·浙江台州·模拟预测）在四棱锥 中，平面 平面 ，
为边长为1的等边三角形，底面 为矩形.若四棱锥 存在一个内切球（内切
球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切
球），则内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图， 已知圆锥顶点为 ， 其轴截面
是边长为 6 的为正三角形， 为底面的圆心， 为圆 的一条直径， 球 内
切于圆锥 （与圆锥底面和侧面均相切）， 点 是球 与圆锥侧面的交线上一动点，
则（ ）
A．圆锥的表面积是 B．球 的体积是
C．四棱锥 体积的最大值为 D． 的最大值为
3．（2023·江西江西·高三阶段练习（理））如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，
遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门
吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和
正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为 ，则模型中九个球的体积和为
__________.
4．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别
与正方体内切，求两球半径之和.
一、单选题
1．（2022·重庆市永川北山中学校高三期中）在三棱锥 ，若 平面 ，
， ， ， ，则三棱锥 外接球的表面积是（ ）
A．100π B．50π C．144π D．72π
2．（2022·全国·高三专题练习）金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它
的结构是由8个等边三角形组成的正八面体. 若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏扬州·高三期中）古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内
有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以
为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知球 是棱长为1的正方体 的内
切球，则平面 截球 的截面面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表
面积为 ，则此圆台的体积为（ ）A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内
切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦
点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电
筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生
了椭圆的截面．如图，在地面的某个占 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得
与小球相切．若 ，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东广州·高三阶段练习）在正四棱台 中，上､下底面边长分别
为 ，侧棱长为 ，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·天津和平·二模）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为 ，该圆锥的内切
球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（ ）
.
A． B． C．3 D．
二、多选题9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知圆锥 的底面半径 ，侧面
积为 ，内切球的球心为 ，外接球的球心为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．外接球 的表面积为
B．设内切球 的半径为 ，外接球 的半径为 ，则
C．过点 作平面 截圆锥OP的截面面积的最大值为2
D．设母线 中点为 ，从 点沿圆锥表面到 的最近路线长为
10．（2022·福建·莆田第五中学高三期中）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有
一动点M、N，若线段MN的最小值为 ，则（ ）
A．正四面体的外接球的表面积为 B．正四面体的内切球的体积为
C．正四面体的棱长为12 D．线段MN的最大值为
三、填空题
11．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）在四边形 中， ，
为等边三角形，将 沿边 折起，使得 ，则三棱锥 外接
球的体积为______.
12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在三棱锥 中，二面角
和 的大小都为 ， ， ， ，则三棱
锥 的外接球与内切球的表面积的比值为__________.
13．（2022·全国·高三专题练习）在正三棱锥S－ABC中， ，△ABC的
边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．
14．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（文））连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为__________.
15．（2022·全国·高三专题练习）在高为2的直三棱柱 中，AB⊥AC，若该直三
棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为___________.
16．（2022·广西柳州·三模（文））已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的
四个面是全等的锐角三角形.设等腰四面体的三组对棱长分别为a、b、c，则该四面体的体
积计算公式为， ，其中 ．在等腰四面
体A－BCD中， ， ， ，则该四面体的内切球表面积为
_________．
17．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史
上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆
柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内
切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，
则该比值的最大值为________．
