文档内容
技巧 04 结构不良问题的应对策略与解析方法
目录
01考情透视·目标导航...................................................................................................2
02知识导图·思维引航...................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.................................................................................................9
题型一：三角函数与解三角形 9
题型二：数列 11
题型三：立体几何 13
题型四：函数与导数 15
题型五：圆锥曲线 17结构不良问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以解答题为主，应适度关注．1、灵活选用条件，“牵手”解题经验
对于试题中提供的选择条件，应该逐一分析条件考查的知识内容，并结合自身的知识体系，尽量选择
比较有把握的知识内容，纳入自己熟悉的知识体系中．因此，条件的初始判断分析还是比较重要的，良好
的开端是成功的一半嘛！
2、正确辨析题设，开展合理验证
对于条件组合类问题，初始状态更加的不确定，最关键的步骤在于对选项的条件进行组合后验证，应
从多个角度，考虑多种可能性的组合，这个分析过程对思维的系统性、灵活性、深刻性和创造性的考查提
出了新的要求，所以需要更加细致地完成这个验证过程．
3、全面审视信息，“活”学结合“活”用
数学必备知识是学科理论的基本内容，是考查学生能力与素养 的有效途径和载体，更是今后生活和学
习的基础．数学基础知识是数学核心素养的外显表现，是发展数学核心素养的有效载体．“活”的知识才
是能力，“活”的能力才是素养．我们在学习中要重视对教材内容的理解与掌握，夯实必备知识，并在此
基础上活学活用，提高思维的灵活性，才能更好地应对高考数学中考查的开放性、探究性问题．1．（2024年北京高考数学真题）在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ，
．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
2．（2023•北京）已知函数 ， ， ．
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）若 在 ， 上单调递增，且 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，求 、 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在 ， 上单调递减．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．（2022•北京）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ，
， ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
4．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求 的方程；
（2）过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，点 ， ， ， 在 上，且
， ．过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点 ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
① 在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
5．（2021•甲卷）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，
证明另外一个成立．
①数列 是等差数列；②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
6．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明： 恰有一个零点．
① ， ；
② ， ．
7．（2021•北京）在 中， ， ．
（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求
边上的中线的长．
条件① ；
条件② 的周长为 ；
条件③ 的面积为 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．题型一：三角函数与解三角形
【典例1-1】记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
① ；② ；③ ．
注：若选择多个组合分别解答，则按第一个解答计分．
【典例1-2】 的内角 的对边分别为 ，面积为 .已知 ，再从①②两个条件
中选取一个作为已知条件，求 的周长.
① ；② .
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
【变式1-1】在 中，角 的对边分别是 ，从下面的三个条件中选取适当的一个并解答如下
问题.
① ；② ；③ .(1)求 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
【变式1-2】在 中，点D在边BC上， ， ．
(1)若 ，证明：D为边BC的中点；
(2)从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求 ．
① ；
② ．
注：如果选择两个条件分别解答，那么按第一个解答计分．
1．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
① ；② ；③ .
(2)若点M为 外的一点，且 ， .当 为等边三角形时，求四边形
面积的取值范围.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.题型二：数列
【典例2-1】已知数列 的各项均为正数， ，记 为 的前n项和．
(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列；②数列 是等差数列；③ ．
(2)若 ，在（1）的条件下，将在数列 中，但不在数列 中的项从小到大依次排列构成数列
，求数列 的前20项和．
【典例2-2】已知等差数列 ，记 为 的前 项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，
解决下面问题．① ；② ；③ ．
(1)求 的最小值；
(2)设 的前 项和为 ，求 ．
【变式2-1】已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知_________， 是 的前 项和，证明： ．从① ，② 中选取一个补充至题中并完成问题．
【变式2-2】①数列 中，已知 ，对任意的 ， 都有 ，令 . 函数
②
对任意 有 ，数列 满足 ，令
.
在①、②中选取一个作为条件，求解如下问题.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)数列 是等差数列吗？请给予证明.
(2)求数列 的前 项和 .
1．已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和.
(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
① ；
② ；.
③
(2)在（1）的条件下，若 ，求 .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
题型三：立体几何
【典例3-1】如图，三棱锥 中， ， ， ，D是棱AB的中点，点E
在棱AC上.
(1)下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取
并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）；
①平面 ⊥平面 ；
② ；
.
③
(2)若三棱锥 的体积为 ，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面 与平面 所成二
面角的大小.【典例3-2】已知四棱锥 的底面 是正方形，给出下列三个条件：① ；② ；
③ 平面 .
(1)从①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；
(2)在（1）的条件下，若 ，当四棱锥 体积最大时，求二面角 的余弦值.
【变式3-1】如图，在四棱锥 中，侧棱 平面BCDE，底面四边形BCDE是矩形，
，点P，M分别为棱AE，AC的中点，点F在棱BE上．
(1)若 ，求证：直线 平面
(2)若 ，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．
①平面ADE与平面ABC的交线为直线l，l与直线CF成角的余弦值为
②二面角 的余弦值为1.如图，在四棱锥 中，侧棱 平面ABCD，底面四边形ABCD是矩形， ，点M，
N分别为棱PB，PD的中点，点E在棱AD上， .
(1)求证：直线 平面BNE；
(2)从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立.
①平面PAB与平面PCD的交线l与直线BE所成角的余弦值为 ；
②二面角 的余弦值为 .
注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分.
题型四：函数与导数
【典例4-1】如图，在四棱锥 中，侧棱 平面 ，底面四边形 是矩形，
，点 、 分别为棱 、 的中点，点 在棱 上．(1)若 ，求证：直线 平面 ；
(2)若 ，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．
①平面 与平面 的交线为直线 ， 与直线 成角的余弦值为 ；
②二面角 的余弦值为 ．
注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分．
【典例4-2】已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)从①②两组条件中选取一组作为已知条件，证明： 恰有一个零点．
① ；
② ．
注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分．【变式4-1】设方程 有三个实数根 .
(1)求 的取值范围；
(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，
若选②则该小问满分9分.
①证明： ；
②证明： .
【变式4-2】已知函数 ，其中e是自然对数的底数.
(1)若 时，试判断f（x）在区间（ ，0）的单调性，并予以证明；
(2)从下面两个条件中任意选一个，试求实数a的取值范围.
①函数 在区间[0， ]上有且只有2个零点；
②当 时， .
1．已知函数 ， .
(1)求函数 的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.①若 恒成立，求实数 的取值范围；
②若关于 的方程 有两个实根，求实数 的取值范围.
题型五：圆锥曲线
【典例5-1】设椭圆方程 的离心率为 ，上､下顶点分别为 ，右焦点为 ，且
__________．
在① ，② ③ 这三个条件中任选一个，填在上面的横线上，并解答．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交椭圆 于 两点（不同于 两点），且 ，试求直线 的方程．
注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．
【典例5-2】已知抛物线 .
(1)求抛物线在点 处的切线方程；
(2)若直线 交抛物线 于不同于原点 的两点 ， ，经研究，下面三个结论等价，请选择
其中一个作为条件，证明其他两个成立.
① ；②直线 过定点 ；③ ， .【变式5-1】已知 为平面直角坐标系上的动点，记其轨迹为曲线 ．
(1)请从条件 ，条件 中任选一个，求出曲线 的方程；
① ②
点 为动圆的圆心，动圆 与圆 内切，且与直线 相切；
①
已知 ，且点 关于直线 的对称点在曲线 上．
②
(2)过点 的直线交曲线 于 两点，分别以 为切点作 的两条切线交于点 ，求 面积
的最小值．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【变式5-2】在平面直角坐标系xOy中，已知圆A： ，点 ，点P为圆A上任意一点，
线段BP的垂直平分线和半径AP所在直线相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为C.
(1)求C的方程.
(2)斜率存在且不为0的直线l与C交于M，N两点，点D在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件，
证明另外一个成立.
① 轴；②直线l经过点 ；③D，B，N三点共线.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
1．已知：平面内的动点P到定点为 和定直线 距离之比为 ，(1)求动点P的轨迹曲线C的方程；
(2)若直线 与曲线C的交点为M，N，点 ，
当满足 a 时，求证： b .
;
①
;
②
③直线 过定点，并求定点的坐标.
④直线 的斜率是定值，并求出定值.
请在①②里选择一个填在a处，在③④里选择一个填在b处，构成一个真命题，在答题卡上陈述你的命题，
并证明你的命题
