文档内容
新定义题型 02 压轴解答题的深度剖析与策略归纳
目录
01考情透视·目标导航...................................................................................................2
02知识导图·思维引航...................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破...............................................................................................13
题型一：集合新定义 13
题型二：函数与导数新定义 18
题型三：立体几何新定义 25
题型四：三角函数新定义 34
题型五：平面向量与解三角形新定义 45
题型六：数列新定义 52
题型七：圆锥曲线新定义 57
题型八：概率与统计新定义 67
重难点突破：高等数学背景下新定义 75创新意识与创新应用是新时代的主旋律，也是高中数学教学与学习中需要不断渗透与培养的一种基本
精神与能力！借助“新定义”，可以巧妙进行数学知识中的概念类比、公式设置、性质应用、知识拓展与
创新应用等的交汇与融合，很好地融入创新意识与创新应用.
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，
要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年II卷第19题，17分
2024年北京卷第21题，15分 预测 2025 年新高考
理解概念，掌握
试卷第 19 题结构考查数
数列新定义 应用，提升思 2023年北京卷第21题，15分
列新定义问题，压轴题，
维。
2022年北京卷第21题，15分 难度比较大．
2021年北京卷第21题，15分1、代数型新定义问题的常见考查形式
（1）概念中的新定义；
（2）运算中的新定义；
（3）规则的新定义等．
2、解决“新定义”问题的方法
在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，
确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不
同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分
析与解决！1．（2024年北京高考数学真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届
满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司
赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 为一份保单的毛利润，估计 的数学期望 ；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 ，有索赔的保单的保费增加 ，试比较这种情况下一份保单毛
利润的数学期望估计值与（i）中 估计值的大小．（结论不要求证明）
【解析】（1）设 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得 .
（2）（ⅰ）设 为赔付金额，则 可取 ，
由题设中的统计数据可得 ，
， ，
，
故
故 （万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为 ，故 （万元），
从而 .
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具
体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；
若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未
投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概
率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设 ，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【解析】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中
1次，
比赛成绩不少于5分的概率 .
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
，，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为 ，则 ， ，
则 ，
应该由甲参加第一阶段比赛.
3．（2023年北京高考数学真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价
格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用
“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天
中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下
跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【解析】（1）根据表格数据可以看出， 天里，有 个 ，也就是有 天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：（2）在这 天里，有 天上涨， 天下跌， 天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是 ，
， ，
于是未来任取 天， 天上涨， 天下跌， 天不变的概率是
（3）由于第 天处于上涨状态，从前 次的 次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有 次，不变的
有 次，下跌的有 次，
因此估计第 次不变的概率最大.
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进
行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个
用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 ，
．试验结果如下：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
53 54
伸缩率 545 551 522 575 541 568 596 548
3 4
52 53
伸缩率 536 543 530 560 522 550 576 536
7 3
记 ，记 的样本平均数为 ，样本方差为 ．
(1)求 ， ；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否
则不认为有显著提高）
【解析】（1） ，
，，
的值分别为: ，
故
（2）由（1）知: ， ，故有 ,
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此
人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次
投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【解析】（1）记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
.
（2）设 ，依题可知， ，则
，
即 ，
构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．
（3）因为 ， ，
所以当 时， ，
故 ．
6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医
学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判
定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定为阳
性的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率 ％时，求临界值c和误诊率 ；(2)设函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 的最小值．
【解析】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，
．
（2）当 时，
；
当 时，
,
故 ，
所以 在区间 的最小值为 ．
7．（2022年新高考全国II卷数学真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的
年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【解析】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，所以
．
（3）设 “任选一人年龄位于区间[40,50)”， “从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，此人患这种疾病的概率为
．
8．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为
估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： ）
和材积量（单位： ），得到如下数据：
总
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
和
根部横截面积
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得 ．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 ．已
知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数 ．
【解析】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 ，
平均一棵的材积量为
（2）
则
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为 ，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得 ，解之得 ．
则该林区这种树木的总材积量估计为题型一：集合新定义
【典例1-1】给定平面上一些点的集合D及若干个点 若对于
为定值，我们就称 为一个稳定点集.
(1)判断集合 与点 构成的 是不是稳定点
集，并说明理由；
(2)判断集合 以及点 构成的 是不是稳
定点集，并说明理由；
(3)若集合 及单位圆 中的内接2024边形的顶点 ， ， ， 构成的
是一个稳定点集，求 的值.
【解析】（1）不是稳定点集，理由如下：
取 ，则 ；
取 ，则 ，
故 不是稳定点集.
（2）是稳定点集，理由如下：
设 ， ，则 ，
则
，为定值，故 是稳定点集.
（3）因为 是稳定点集，设 是单位圆上任意一点，所以 为定值，
所以 ，
因为 ，故 ，
因为 为定值，所以 为定值，
因为 是单位圆上任意一点，所以 ，故 .
【典例1-2】二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的
基数为2，进位规则“逢二进一”，借位规则“借一当二”．记十进制下的正整数 在二进制下的表示为
，若 ，则称 为
“Z20数”.记 表示集合 中“Z20数”的个数.
(1)计算 ；
(2)求 ；
(3)求证： ，有 ；并求出所有 ，使得 的取值唯一．
【解析】（1）记 表示集合 中“Z20数”的个数， 表示集合 中“Z20数”的个数，
由于 ，由于 ，故4不是“Z20数”
由于 ，由于 ，故5不是“Z20数”
由于 ，由于 ，故6不是“Z20数”
故由于 ，由于 ，故7是“Z20数”
由于 ，由于 ，故8不是“Z20数”
故 ，
综上可得 ，
（2） 表示集合 中在二进制表示下
恰有3个1的所有元素的个数.
因为 中有 个数其二进制表示恰有3个1，
因为在二进制表示下 ，
故 中在二进制表示下恰有3个1的数都是从右起第 位数字是1，
而在后 位中找两个位置放1，其余位置放0而得到的，故有 个
又 的二进制表示分别为
其中只有 的二进制表示中恰有3个1，
所以当 时， ．
（3）设 表示所有的“Z20数”表示的集合，因为在二进制表示下，
在 的个位数字后面添加一个0，恰为 在二进制下表示的数，
于是 与 同时属于 ，或者同时不属于 ，
且集合 比 恰少了一个 ，
而多了 两个数，因此
由 ，且对任意正整数 ，由（2）知都存在正整数 使得 ，并且由递推关系，可知存在正整数 使得 .
假设恰有一个 使得 ，则 ，
当且仅当 时成立，
由二进制表示知 必有 的形式.故 .
因此，使得 只有唯一解的全体 由正整数 给出，且唯一解为 ．
【变式1-1】已知集合 具有性质：对任意
， 与 至少有一个属于 ，则称 为“封闭集”．
(1)若集合 ， ，判断 ， 是否是“封闭集”?并说明理由；
(2)若集合 是“封闭集”，且 ，求集合 ；
(3)设集合 是“封闭集”，证明：当 时，
．
【解析】（1）集合 中，因为 ， ，所以集合 不是“封闭集”．
集合 中，
因为 ， ， ， ， ， ，
所以集合 是“封闭集”；
（2）因为 ，且 是“封闭集”，由于 ，
所以 ，则 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
则 ， ， ，由集合的元素互异性可知， ，而 ，所以 ，
故集合 ；
（3）因为 是“封闭集”，
所以 ，则 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
由集合元素的互异性可知
所以 ， ， ， ， ，
所以 ，
即 ①
所以当 时， ②
则① ②为
也即 ，命题得证．
1．已知m为大于0的偶数，集合 ．给定项
数为 的有限数列 ，对于集合 中任意元素 ，记
．
(1)若 ，数列 ，写出 的所有可能值．(2)对于各项均为正数的数列 ，证明：存在 ，使得
．
(3)对于各项均为正数的数列 和 ，证明：存在 ，使得
同时成立．
注： 表示 中最大的数， 表示 中最小的数．
【解析】（1）当 时，集合 .
中的元素 有以下几种情况：
当 时，数列 ，根据 ，则
.
当 时， .
当 时， .
当 时， .
当 时， .
当 时， .
所以 的所有可能值为 .
（2）设 ， .
令 ，其中 这样确定：当 时， ；当 时， ；对于其他的 （ ），
（这里 是使得 或 的下标）.则 .
所以 ，即存在 ，使得
.
（3）设 ， .
考虑所有 个 的值（因为 中元素个数为 个），这些值构成一个集合 ；所有 个
的值构成一个集合 .
将区间 等分成 个小区间 （ ），每个小区间长度为 ；将区间
等分成 个小区间 （ ），每个小区间长度为 .
由于 中元素个数为 ，根据抽屉原理，在 个 的值中，至少有两个值 和 落
在同一个小区间 内；在 个 的值中，至少有两个值 和 落在同一个小区间 内.
令 （这里 和 是使得 和 落在同一个小区间 内的 中的元素， 和 类
似）.
则 .
同理 .
所以存在 ，使得 同时成立．题型二：函数与导数新定义
【典例2-1】有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原
因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲
率定义如下：记 为 的导函数， 为 的导函数，则曲线 在点
处的曲率为 ．
(1)已知函数 ，求曲线 在点 处的曲率 ；
(2)已知函数 ，求曲线 的曲率 的范围．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
，故 ， ，
由曲率公式得 .
（2）因为 ，所以 ，
，由曲率公式得 ，
故 ，
则 ，
令 ，令 ，函数化为 ，令 ，则 ，函数化为 ，
对 进行变形，得到 ，
令 ，函数化为 ，
此时，我们研究 的范围即可，而 ，
当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，
而 ， ，
故 ，即 ，故 .
【典例2-2】牛顿法是17世纪牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法.
具体步骤如下：设 是函数 的一个零点，任取 作为 的初始近似值，过点 作曲线
的切线 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，并称 为 的1次近似值；过点 作曲线
的切线 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，称 为 的2次近似值；一直继续下去，得到
.一般地，过点 作曲线 的切线 ，记 与 轴交点的横坐标为 ，并
称 为 的 次近似值，称数列 为牛顿数列.
(1)若函数 的零点为 .求 的2次近似值；
(2)设 是函数 的两个零点，数列 为函数 的牛顿数列，数列
满足 .（i）求证：数列 为等比数列；
（ii）证明： .
【解析】（1）因为 ，则 ，
可得 ， ，
曲线 在 处的切线 为 ，
令 ，得 ，则 ， ，
曲线 在 处的的切线 为 ，
令 ，得 ，
所以 的2次近似值为 .
（2）（i）因为 ，则 ，
可得 ， ，
过点 作曲线 的切线 ，
令 ，得 ，
则 ，
又因为 是函数 的两个零点，则 ，且 ，则 ，
可得 ，
则 ，故数列 为等比数列；
（ii）记 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
所以 ，即 ，
由题意可得： ，记 ，则 ，
由 ，可得： ，即 ，即 ，
所以 .
【变式2-1】在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的
光滑曲线 ： 上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从 沿曲线段 运动到 点时， 点的切
线 也随着转动到 点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为 （它等于 的倾斜角与 的倾斜角之
差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，
因此可以定义 为曲线段 的平均曲率；显然当 越接近 ，即 越小， 就越能精确刻画曲线在点 处的弯曲程度，因此定义 （若极限存在）为曲线 在点 处的曲率.（其
中 ， 分别表示 在点 处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为 的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆 在 处的曲率；
(3)定义 为曲线 的“柯西曲率”.已知在曲线 上存在两点
和 ，若 且 处的“柯西曲率”相同，求 的最小值.
【解析】（1）易知单位圆上圆心角为 的圆弧 ，
所以 ，
（2）由题意 ，因为 在第一象限，所以 ，
， ，
故 ， ，故（3） ， ，
故 ，其中 ，
令 ， ，则 ，设 ，则 ，
令 ， ，
时， ， 在 递减，
时， ， 在 递增，
故 ；
令 ，
，
令 ，
则 ，当 时， 恒成立，
故 在 上单调递增，
可得 ，即 ，
故有 ，
则 在 递增，
故 ，故 的最小值为 .
1．设函数 的定义域为 ，其导函数为 ，区间 是 的一个非空子集．若对区间 内的任意
实数 ，存在实数 ，使得 ，且使得 成立，则称函数 为区间 上的
“ 函数”．
(1)判断函数 是否为 上的“ 函数”，并说明理由；
(2)若函数 是 上的“ 函数”．
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）证明： ， ．
【解析】（1）因为 ，则 ，
因为 ， ．
又 ，所以 ，
所以 对于任意 恒成立．
故 是 上的“ 函数”．
（2）（ⅰ） ，
由条件得 对任意的 恒成立，
即 任意的 恒成立．①当 时，对一切 成立．
②当 时， 恒成立．
设 ，则 对任意的 恒成立，
所以 在 上单调递减，可得 ．
③当 时，由 恒成立．
设 ，则 ，所以 在 上单调递减，
可得 ．
综上所述， 的范围是 ．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知， ．
对 ， ．
下面证： ， ，
即证 ， ．
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 成立．
所以 时，不等式 成立．
所以 ， 成立．题型三：立体几何新定义
【典例3-1】空间直角坐标系 中，任何一个平面的方程都能表示成 （其中
），且 为该平面的法向量.
(1)若平面 ， ，且 ，求实数 的值；
(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点 到平面 的距离为
，若记集合 所围成的几何体为 ，求 的内切球的表
面积；
(3)记集合 中所有点构成的几何体为 .
求 的体积 的值；
①
求 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小.
②
【解析】（1）根据题意，平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
所以 ，故 .
（2）不妨设 ，在平面 内取一点 ，则向量 ，
取平面 的一个法向量 ，
所以点 到平面 的距离为
对于 ，
当 时， 表示经过 ， ， 的平面在第一象限的部分.由对称性可知 表示 ， ， 这六个顶点形成的正八面体.
法1：设内切球的半径为 ，则 即为原点 到平面 的距离，
则 .
所以内切球的表面积为 ；
法2：考虑 ；
即为三个坐标平面与 围成的四面体，其四个顶点分别为 ， ， ， ，
此四面体的体积为 ，
由对称性知，正八面体 的体积 ，
设内切球的半径为 ，正八面体 的表面积为 ，
所以 ，解得： .
所以内切球的表面积为 ；
（3）由（2）可知 所围几何体是关于平面 ， ， 对称的，
其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中 、OB、 两两垂直，且 .集合 所表示的几何图形 也关于平面 ， ， 对称，
其在第一卦限内的部分 的图形如图（1），
图1
①如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果.
图2
所以 所构成的几何体 如图3所示.
图3
其中正方体 记为集合 所构成的区域.
而 构成了一个正四棱锥，且 到面 的距离为1，所以 ，
所以几何体 的体积 .
②从图2可以看出，几何体 在第一卦限的部分为有公共底面 的两个三棱锥 和 .
设其体积为 .
由正方体的性质可知 面 .
因为 ， ，
所以其体积 .
所以几何体 的体积 .
由题意可知：面 方程为 ，所以其法向量 ，面 方程为 ，其法向
量 .
所以
由图知两个相邻的面所成角为钝角.
故 相邻两个面所成角为 .
【典例3-2】球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球 的半径为 . 、 、 为
球面上三点，劣弧 的弧长记为 ，设 ，表示以 为圆心，且过 、 的圆，同理，圆 ， 的劣弧
、 的弧长分别记为 、 ，曲面 （阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角 ，
， 分别为 、 、 ，则球面三角形的面积为 .(1)若平面 、平面 、平面 两两垂直，求球面三角形 的面积；
(2)若平面三角形 为直角三角形， ，设 ， ， .则：
①求证：
②延长 与球 交于点 .若直线 ， 与平面 所成的角分别为 ， ， ， ，
为 中点， 为 中点，设平面 与平面 的夹角为 ，求 的最小值，及此时平面 截
球 的面积.
【解析】（1）若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有 ，
所以球面三角形ABC面积为 .
（2）①由余弦定理有： ，且 ，
消掉 ，可得 ；
②由AD是球的直径，则 ，
且 ， ， 平面BCD，
所以 平面BCD，且 平面BCD，则 ，
且 ， 平面ABC，可得 平面ABC，由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为 ，所以 ，
不妨先令 ，则 ，
由 ， ， ，
以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标
系，
设 ，则 ，
可得 ， ，
则 ，
设平面OBC法向量 ，则 ，
取 ，则 ，可得 ，
设平面EST法向量 ，则 ，
取 ，则 ，可得 ，
要使sinθ取最小值时，则 取最大值，
因为，
令 ，则 ，
可得 ，
当且仅当 取等．
则 取最大值 ， 为最小值，
此时点 ，可得 ， ，
设平面AEC中的法向量 ，则 ，
取 ，则 ，可得 ，
可得球心O到平面AEC距离为 ，
设平面AEC截球O圆的半径为r，则 ，
所以截面圆面积为 .
【变式3-1】定义：多面体 在点 处的离散曲率为
，其中 为多面体 的一个顶点， （
， 且 ）为多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 、平面 、 、平面 和平面 为多面体 的所有以 为公共点的面．如图，在四棱锥 中， 平面
，底面 为正方形， ， ．
(1)求四棱锥 在顶点 处的离散曲率；
(2)求四棱锥 内切球的表面积；
(3)若 是棱 上的一个动点，求直线 与平面 所成角的取值范围．
【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，则 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 、 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，即 ，
由离散曲率的定义得 ．
（2）因为四边形 为正方形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
设四棱锥 的表面积为 ，
则．
设四棱锥 的内切球的半径为 ，则 ，
所以 ，
所以四棱锥 内切球的表面积 ．
（3）如图，过 点作 交 于点 ，连接 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
则 为直线 与平面 所成的角．
易知，当 与 重合时， ；
当 与 不重合时，设 ，
在 中，由余弦定理得
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，所以 ．
当分母 最小时， 最大，即 最大，此时 （ 与 重合），
由 ，得 ，即 ，
所以 的最大值为 ，
所以直线 与平面 所成角的取值范围为 ．
1．在空间直角坐标系Oxyz中，这点 且以 为方向向量的直线方程可表示为
，过点 且以 为法向量的平面方程可表示为
．
(1)已知直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．请分别写出直线 和直线
的一个方向向量．
(2)若直线 与 都在平面 内，求平面 的方程；
(3)若集合 中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面
所在平面的夹角的余弦值．
【解析】（1）因为直线 的方程为 ，即 ，可知直线 的一个方向向量
；直线 的方程为 ，即 ，可知直线 的一个方向向量 .
（2）由题意可知：直线 过点 ，且其一个方向向量为 ，
直线 过点 ，且其一个方向向量为 ，
则 为平面 内一点.
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
所以平面 的方程为 ，即 .
（3）由集合 可知，
多面体 与坐标轴交于各点 ， ，如图所示，
可知四边形 为正方形，
边长 ，
所以，正方形 的面积为 ，
而正四棱锥 的高为 ，
则 ，
所以多面体 的体积为 .由集合 中所有的点构成了多面体 的各个面，
点 均满足方程 .
可知平面 的方程为 ，且该平面的一个法向量为 ，
同理可知，平面 的方程为 ，该平面的一个法向量为 ，
平面 的方程为 ，该平面的一个法向量为 ，
所以 .
由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为 .
故多面体 相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 .
综上， 的体积为 ，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 .
题型四：三角函数新定义
【典例4-1】在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的
三角函数：定义 为角 的正矢（ 或 ），记作 ；定义 为角 的余
矢（Coversed或coversedsine），记作 ．
(1)设函数 ，求函数 的单调递减区间；
(2)当 时，设函数 ，若关于 的方程 的有三个实
根 ，则：
①求实数 的取值范围；②求 的取值范围．
【解析】（1）因为
，
令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 .
（2）①因为
，
又 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 ，
当 时 ，且 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时 ，则 ，则 在 上单调递减，
所以 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减，
且 ， ， ， ， 的图象如下所示：
因为 有三个实数根，即 与 有三个交点，所以 ；
②由①可知 ， ，则 ，
所以 ， ，
所以
，
令 ，则 ，
所以 ，
因为 在 上单调递增，当 时 ，
当 时 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 .
【典例4-2】对于定义域为R的函数 ，若存在常数 ，使得 是以 为周期的周期函
数，则称 为“正弦周期函数”，且称 为其“正弦周期”.
(1)判断函数 是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
(2)已知 是定义在R上的严格增函数，值域为R，且 是以 为“正弦周期”的“正弦周期
函数”，若 ，且存在 ，使得 ，求 的值；
(3)已知 是以 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在 和 ，使得对任意 ，
都有 ，证明： 是周期函数.
【解析】（1） ，则 ，
故 ，
所以 是正弦周期函数.
（2）存在 ，使得 ，故 ，
因为 是以 为“正弦周期”的“正弦周期函数”，
所以 ，又 ， ，
所以 ，
又 ，
则 ，
故 ， ，
因为 ，所以 ，且 严格增，
由于 ， ，
故 ，解得 ，
则整数 ，
下证 .
若不然， ，则 ，由 的值域为R知，
存在 ， ，使得 ， ，
则 ，
，
由 严格单调递增可知 ，
又 ，
故 ，这与 矛盾.
故 ，综上所述， ；
（3）若 ，则由 可知 为周期函数.若 ，则对任意 ，存在正整数 ，使得 且 .
因为 是以 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且 ，
所以 ，
故 ，所以 ，
若 ，则同理可证（取 为负整数即可）.
综上，得证.
【变式4-1】如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对
这些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和
余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如： 角都是可解角.
(1)判断 ， ， 是否为可解数（无需说明理由）；
(2)证明： 角是可解角；
(3)已知每个可解数a都是某些整系数多项式函数 （ ）的零点，这些多
项式中，x的最高次数n最小，且系数 ， ， ，…， 的最大公约数为1的多项式函数称为a的最小
多项式函数.任一可解数a的最小多项式函数中x的最高次数n必为 （ ）.例如： 的最小多项式
函数不是 ，而是 .证明： 角不是可解角，并求整数度数的锐角中
最小的可解角.
【解析】（1）根据题意可知： 是可解数， 是可解数， 不是可解数
（2）设 ，则
又因为 ，所以 ，
解方程 ，得 是可解数，
又 显然是可解数，所以72°角是可解角.
（3）先证明 角不是可解角.
因为
，
所以 ，
即 是 的零点
根据已知结论，若 是可解数，那么它的最小多项式函数最高次项次数只能是1或2，
即 有整系数一次或二次因式，
法1：假设 ，整数a，b，c的最大公约数为1，整数p，q互质，不妨令 ，
，（ ， 完全同理）
则
若 ， ，当 时， ，则 且 ，无解；若 ， ，当 时， ，则 且 ，无解；
若 ， ，当 时， ，则 且 ，无解；
若 ， ，当 时， ，则 且 ，无解；
同理，若 ， ，也均无解
说明 不可能是可解数，20°角不是可解角
法2： 有整系数一次或二次因式，说明 存在有理零点
设它的有理零点为 ，m，n是互质的整数.
于是 ， ，
所以 ，得到m整除 ，
， ， ， ，同理n整除 ， .
得到 ， ， ， ，显然这些都不是 的零点，
说明 不可能是可解数， 角不是可解角；
设 ， 是可解角，则 ， ， ， 都是可解数，
容易看到可解数的加、减、乘以及开二次方根的结果还是可解数，
于是 ， ，
也是可解数，因此可解角的和、差、半角还是可解角，
因为 角不是可解角，
若 角是可解角，则多次相加后， 角也是可解角，矛盾，
同理， 角也不是可解角，
利用 ， 是可解角，因此 是整数度数的锐角中的最小可解角.
1．给定函数 ，设 ，若存在实数 ，使得 在区问 上是严格单调函
数，则称 为 的“正弦单调区间”，并将 的最大值称为 的“正弦单调值”．
(1)判断 是否存在“正弦单调区间”，并说明理由；
(2)若 ，证明：对任意的非零实数 ， 的“正弦单调值”为定值；
(3)若 ，当 变化时，求 的“正弦单调值”的最大值，以及 的“正弦单
调值”取最大值时实数 的取值集合．
【解析】（1）当 时， ，
此时 为偶函数，又 在 上递减，在 上递增.
故不存在闭区间 ，使得 在 上严格单调，
即 不存在“正弦单调区间”.
（2）当 时， ，
则 ，其中 ，
要使 存在“正弦单调区间” ，
则包含原点在内的单调区间应为严格递增区间.
又 .
①当 时，其中辅助角 ，不妨设 ，由 ，
令 ，即 ，解得 ，
由 ，则当 时，函数 的单调增区间为 ，
即 的最大值为 ；
②当 时，其中辅助角 ，
不妨设 ，由 ，
令 ，即 ，解得 ，
由 ，则当 时，函数 的单调增区间为 ，
即 的最大值为 ；
综上所述， 的“正弦单调值”为定值 .
（3）当 时， ，
，其中 .
①当 时， ，此时 为偶函数，
则在包含 的任意区间 上， 不可能是严格单调函数，
即不存在“正弦单调区间”；
②当 时，由 ，要使 存在“正弦单调区间” ，
则需要满足 在 上严格单调递增，即 ，
当 时， ，
令 ，即 ，解得 ，由 ，则当 时，函数 的单调增区间为 ，
即 的最大值为 ；
当 时， ，
当 时，则 ，
由零点存在性定理可知，存在 ，使 ；
当 时， ，
则由零点存在性定理可知，存在 ，使 .
当 时， .
令 ，得 ， 其中 .
如图，在同一直角坐标系中分别作函数 的图象，
由图可知 为函数 在 内的唯一零点，且为异号零点；为函数 在 内的唯一零点，且为异号零点，
又由 ，得 ，
则 ，
令 ，故有 ，则 .
由图可知， 当 时， ，此时 .
故当 时， ， ，
则 ，
在 上单调递增；
当 时， ；
当 时， ， ，
则 ， 在 上单调递增；
故可得当 时， ， 在 上单调递增；
又 为异号零点，故 ，且 ；
因此有 ，故此时 ，
所以，当 时， 的“正弦单调值”小于 .
当 时，同理可得如下结论（如图）：为函数 在 内的唯一零点，且为异号零点；
为函数 在 内的唯一零点，且为异号零点.
且由 ，得 ， ，
同理可知 ，
且可得当 时， ， 在 上单调递增；
又 为异号零点，故 ，且 ；
因此有 ，故此时 ，
所以，当 时， 的“正弦单调值”小于 .
③当 时，由 ，要使 存在“正弦单调区间” ，
则需要满足 在 上单调递减，即 ，
各类情况与 时同理可得.综上所述，当 变化时， 的“正弦单调值”的最大值为 ，
故 的“正弦单调值”取最大值时实数 的取值集合为 ．
题型五：平面向量与解三角形新定义
【典例5-1】如图，设 、 是平面内相交成 的两条射线， 、 分别为 、 同向的单
位向量，定义平面坐标系 为 仿射坐标系，在 仿射坐标系中，若 ，则记
.
(1)在 仿射坐标系中，若 ，求 ；
(2)在 仿射坐标系中，若 ， ，且 与 的夹角为 ，求 ；
(3)如图所示，在 仿射坐标系中， 、 分别在 轴、 轴正半轴上， ， ， 、
分别为 、 中点，求 的最大值.
【解析】（1）由题意可知， 、 的夹角为 ，
由平面向量数量积的定义可得 ，因为 ，则 ，.
则 ，所以 .
（2）由 ， ，得 ， ，
且 ，
所以， ，
，则 ，
，
因为 与 的夹角为 ，则 ，解得 .
（3）依题意设 、 ，
且 ， ， ，
因为 为 的中点，则 ，
因为 为 中点，同理可得 ，
所以， ，
由题意可知， ， ，则 ，
在 中依据余弦定理得 ，所以 ，
代入上式得， .
在 中，由正弦定理 ，
设 ，则 ，且 ，
所以， ， ，
，
为锐角，且 ，
因为 ，则 ，
故当 时， 取最大值 ，
则
【典例5-2】定义 三边长分别为 ， ， ，则称三元无序数组 为三角形数．记 为三角形数的全集，即 ．
(1)证明：“ ”是“ ”的充分不必要条件；
(2)若锐角 内接于圆O，且 ，设 ．
①若 ，求 ；
②证明： ．
【解析】（1） ，则 ，即 ，
∴ ，即 ，
同理可得 ， ，
则 成立，
取 ，则 为等腰直角三角形的三边，
但 ， ， 不能为三角形的三边，
故 推不出 ，
∴“ ”是“ ”的充分不必要条件．
（2）① ，则 ，
∴ ，
又因为 ，∴ ，
而 均为三角形内角，∴ ，
记 ，∴ ；
②由 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
同理得 ， ，
x，y，z可组成三角形，∴ .
∴
【变式5-1】定义向量 的“亲密函数”为 .设向量 的“亲密
函数”为 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)若方程 有三个连续的实数根 ， ， ，且 ， ，求实数 的值；
(3)已知 为锐角三角形， ， ， 为 的内角 ， ， 的对边， ，且 ，求
面积的取值范围.
【解析】（1）由题知 ，
令 ， ，解得 ， ，所以 的单调递增区间为 .
（2）因为 ，故 ，
根据正弦函数 图象，
且 可知， ，且 ， ，
得到 ，且 ，
又 ，故 ，故 ，
则 ，所以 ，
当 时， ，解得 ，
当 时，即 ，解得 ，
所以实数 的值为 或 .
（3）由（1）知， ，即 ，
在锐角 中， ，则 ，即 ，
由正弦定理 ，得 ，因此 ，
由 ，得 ，则 ，于是 ，
所以 面积的取值范围为 .
1．对于平面向量 ，定义“ 变换”：
，
(1)若向量 ， ，求 ；
(2)求证： ；
(3)已知 ， ，且 与 不平行， ， ，求证：
．
【解析】（1）因为向量
所以
所以 .
（2）因为 .所以
.
.
，所以 .
（3）方法一： ，
，
由（2）可得 ，
又因为
，即 ，
可得 ，
且 在 内单调递减， ，
可知 ，
所以 .
所以
方法二:设 ，
，
因为 ，，
所以
，
所以 .
题型六：数列新定义
【典例6-1】已知数列 的前n项和为 ，若对每一个 ，有且仅有一个 ，使得 ，
则称 为“X数列”．记 ，称数列 为 的“余项数列”．
(1)若 的前四项依次为 ，试判断 是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若 ，证明 为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知 的正项数列 为“X数列”，且 的“余项数列”为等差数列，证明 ．
【解析】（1） 不是“X数列”，
依题意， ，则 ， ，不符合题意，
所以 不是“X数列”.
（2）由 ，得当 时， ；当 时， ，
而 不满足 ，因此 ，令 ，即 ，则当 时，有 ，解得 ；
当 时， ，则 ，而 ，于是 ，
因此对每一个 ，有且仅有一个 且 ，使得 ，
即对任意 ，有且仅有一个 ，使得 ，所以 为“X数列”，
， ，
所以 的“余项数列”通项公式为 ， .
（3）由 是正项数列，得 单调递增，则 ， ，
由 ，且 为“X数列”，得 ，由 ，得 ，
的“余项数列” 为等差数列，则其公差 ，
由 ，得 ，
若 ，则当 时， ，与 矛盾，
则 ， ， ，即 ，
对于 ，若 ，则 ，与正项数列 矛盾，
于是 ， ，
因此 ， ，
当 时， ，又 ，
则 ， ，而 ，所以 .
【典例6-2】已知 是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前 项和为 ， ．集合， 中元素个数为 ，将 中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列 ．
若 ，则称数列 为 数列．
(1)若 ，写出一个 数列
(2)若 是公比为偶数的等比数列，证明： 为 数列：
(3)若 数列 是等差数列，求 的最小正整数．
【解析】（1）若 ，则 ，
此时 ，
，此时
故满足条件的 数列 有：1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8（写一个即可）
（2）证明： 为等比数列， 且 ，则公比 ．
为偶数， 为偶数， ，且 恒为奇数．
此时 ，而 ，故
，故 为 数列
（3）设数列 的公差为 ，则 ，
当 时，设此时前 项和为 ，，
又
的最小正整数为2，
当 时，设此时 的前 项和为 ，易知
，
的最小正整数为2．
综上所述， 的最小正整数为2
【变式6-1】若数列 是等差数列，则称 与 互为和等差数列．已知 为数列 的前 项
和．
(1)若 ， ，试问 与 是否互为和等差数列？说明你的理由．
(2)设 为等比数列， ，且 与 互为和等差数列．
①求 的通项公式；
②设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）当 时，
又 也满足 ．所以 ．
因为 ，且
所以 与 互为和等差数列．
（2）因为 ，所以 ，得 ．
因为 ，所以当 时， ，
即 ，
所以
又 ，所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列、
所以 ，即 ．
①因为 与 互为和等差数列，所以 为等差数列，
又 为等比数列，所以 的通项公式为 ．
② ，
故
1．把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为 .例如：函数列 可以记为
.记 为 的导函数.
(1)若 .证明： 为等差数列.(2)已知定义在 上的函数列 满足 ，且对任意的 ，都有 .
（i）设 ，证明： 的充要条件是 .
（ii）取定正数 ，使数列 是首项和公比均为 的等比数列，证明： .
【解析】（1）由题知 ，所以 ，
记 ，因为 ，
所以 为等差数列，即 是首项为 ，公差为 的等差数列.
（2）令 ，则 .
所以 在 上单调递增，所以当 时， ，
则当 时， .
（i）充分性：当 时，由题知 显然成立.
必要性：若 ，则由 时， ，得 ，
则 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 的充要条件是 .
（ii）由题知 ，且 ，则 ，
两边取自然对数得 ，则需 .
考虑函数 ，当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 .
因为 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，
则 ，即 .
题型七：圆锥曲线新定义
【典例7-1】定义：对椭圆 及任意一点 ，称直线 为 关于点
的“极线”.
结论1：若点 在椭圆 上，则 关于点 的极线就是 在点 处的切线.
结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点.
试根据上面的定义和结论解决下列问题：
已知 是椭圆 的两个焦点， 关于点 的极线 与 相交于 两点.
(1)求 ；
(2)设 在点 处的切线为 ，在点 处的切线为 ，过在 上且在 外一点 作 的两条切线，切点分别
为 ,证明：直线 相交于一点；
(3)若 是 上除顶点以外的任意一点，直线 和 分别与直线 相交于点 ，证明： 为定值.
【解析】（1）根据定义，可得 的方程为 ，即 ，
将其代入 的方程得 ，解得 ，
不妨取 ，所以 .
（2）根据所给结论可知 分别是 关于点 的极线，
如图（1），取 ，则 .
由 解得 所以 和 交于点 ，
要证明直线 相交于一点，只需证明直线 过点 即可.
设 .
根据所给结论，可知直线 ，直线 .
因为直线 和 都经过点 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，将 代入，得 ，方程也成立，
所以直线 过点 ，故直线 相交于一点.（3）由题意， 在 点处的切线方程为 ，则 与 平行，且经过坐标原点.
如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知 .
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
过 作 ，与 交于点 ，则 ，所以 .
另一方面，因为 ，所以 ，
从而 ，所以 .
因此 ，故 为定值.
【典例7-2】已知 为椭圆 上一点，对于 上任意两点 ， ，我们定义 关于 的
生成点的形成过程：过 作平行于 的直线交 于异于 的一个点（若 与 重合，则 为 在 处的
切线；若 与 处切线平行，则交点为 ），记为 ，且对 ，记 ，称
为 关于 的生成点列.
(1)已知 ， ，直接写出 和 的坐标；
(2)若 ，且 均在第一象限，证明： ；
(3)已知 为 上异于 的一点，且 在第一象限内，若 关于 的生成点列中至少有一点是 ，求出所有满足题意的点 的坐标.
【解析】（1）设 ，由 ， ，得直线 斜率 ，
则过点 且与 平行的直线为 ，即 ，
由对称性可知，直线 与椭圆交点为 ，即 ；
由 ，则 ，
由题意椭圆在点 处的切线方程为 ，
过点 作此切线的平行线 交椭圆于点 （异于点 ）；
故 ，设 ，则过点 ，
故设过点 且与直线 平行的直线方程为 ，
设椭圆在此点处的切线方程为 ，
联立椭圆方程 ，
由所求交点不同于点 ，则得 ，故 .故 ， .
（2）设椭圆 上任意一点 ，由椭圆 ，
则可设 ，其中参数 ，下面记 对应的参数 .
由 ，可知 ，由题意 均在第一象限，
则 ， ， .
由此，若 在椭圆 上，可设 ，
即 ，
若 ，若 ，
则 ，
由和差化积公式可得 ，
化简得 ，
则 ， ，所以 ，
特别地，若 ， ，则由 ，则 .
设 ，其中 .
设 ，根据上述结论由 ，可得 ，
即 ，则 ，
若 ，则 ， .
若 ，则 ，
结合图形可知 .
有 ，
所以若 ，则 仍然成立.
故同理可得 ， ，
则 .
（3）对于 生成的点列 ，下面用数学归纳法证明：
对任意 ， 成立
①当 时，则 时， ，满足结论 ；②当 （ ）时，都有 ，
则当 时，由点 与 的连线与点 与 的连线平行，
则由（2）可知， ， .
则
， ， ，
所以当 时， 也成立，
综合①②可知，对任意 ， 成立.
因此，若 关于 的生成点列中至少有一点是 ，
则存在正整数 ，使得 ，
可得 ，即 ，
由 在第一象限，则由 ，解得 ，
故所有满足题意的点 的坐标为 .
【变式7-1】已知 为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量 ，点A绕着点 逆时针旋
转 角后得到点 ，则 ，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的
任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们
称该二次曲线为“反比例曲线”．(1)证明曲线 是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式．
(2)证明：“双曲线 是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”．
(3)若存在双曲线 是“反比例曲线”，过原点 的直线 交该双
曲线 于点 ，将 绕点 旋转至能在双曲线 的渐近线上找到点 ，点 满足 ，以此
类推，过点 作斜率为 的直线交双曲线 于点 ，将 绕点 旋转至能在双曲线 的渐近
线上找到点 ，点 满足 ．在 中，设底边 上的高为 ，求 ．
【解析】（1）由题，在旋转变换公式中取 ，旋转变换后的坐标为 ．
得
则 ，将其代入 ，得 ，
化简得 ，故曲线 是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为 ；
或在旋转变换公式中取 ，旋转变换后的坐标为 ．
得
则 ，将其代入 ，得 ，
化简得 ，
故曲线 是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为 ，
综上，反比例函数图象的表达式为 或 .
（2）必要性：根据旋转的坐标变换公式，得 ，所以 ，
代入 得 ，
化简得 ，
“双曲线 是‘反比例曲线’”，
所以 ，解得 ，故该双曲线是等轴双曲线，必要性成立；
充分性：由等轴双曲线定义可知 ，即 ，代入（1）中的旋转变换公式，得 ，化简得 ，
故该双曲线是“反比例曲线”．
综上所述，“双曲线 是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”．
（3）由（2）可知，双曲线 的方程可进一步表示为 ，
因为旋转变换的角度 不影响最终的结果，故本题取 ，
且旋转变换后得到的反比例函数图象的表达式为 ，即 ．
设经过旋转变换后 ，
因为 是等腰三角形，所以 ，
根据反比例函数定义可得 ．
故 且 ．
从点 向 轴作垂线交于点 ，向 轴作垂线交于点 ，设矩形 的面积为 ，因为 ，
当 时， ．
由于 ， ，故当 时，
，
因为 ，所以 ，从而 ．
以此类推，
，
因为 ，
所以 ，可得 ．
1．现定义：若圆 上一动点 ，圆 外一定点 ，满足 的最大值为其最小值的两倍，则称 为圆
的“上进点”.若点 同时是圆 和圆 的“上进点”，则称 为圆“ ”的“牵连点”.已知圆
.
(1)若点 为圆 的“上进点”，求点 的轨迹方程并说明轨迹的形状；
(2)已知圆 ，且 均为圆“ ”的“牵连点”.（i）求直线 的方程；
（ii）若圆 是以线段 为直径的圆，直线 与 交于 两点，探究当 不断变化时，在 轴
上是否存在一点 ，使得 轴平分 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ，因为点 为圆 的“上进点”，
所以 ，即 ，又 ，得到 ，
所以 的轨迹方程为 ，点 的轨迹是以 为圆心､ 为半径的圆.
（2）（i）因为 为圆“ ”的“牵连点”，所以 同时为圆 与圆 的“上进点”，
由 为圆 的“上进点”，得 ，所以 ，
即点 在圆 上，
由 为圆 的“上进点”，由（1）知点 在圆 上，
所以点 是圆 和 的交点.
因为 均为圆“ ”的“牵连点”，
所以直线 为圆 和 的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得 ，故直线 的方程为 .
（ii）因为 的圆心为 ，半径为 ，
又 的圆心为 ，半径为 ，
所以直线 的方程为 ，与 联立得 的中点坐标为 ，
点S到直线 的距离为 ，则 ，所以圆 的方程为 ，
假设 轴上存在点 满足题意，设 .
则 ，即 ，整理得 .
将 ，代入上式可得 ，
整理得 ①，
联立 ，消 可得 ， ，
所以 ，代入①并整理得 ，
此式对任意的 都成立，所以 ，
故 轴上存在点 ，满足题意恒成立.
题型八：概率与统计新定义
【典例8-1】已知数列 的通项公式为 的通项公式为 ，设集合
.(1)在 中任取三个不同的元素，记所取的三个元素中在 中的元素个数为 ，求随机变量 的
分布列和数学期望.
(2)定义在全集 上的子集 的特征函数 .设 ，记事件 ：
，求事件 发生的概率 .
【解析】（1）由题可得 ，
所以 ，
由题意知 的所有可能取值为0，1，2， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
故 的数学期望 ；
（2）由集合 的特征函数的定义及 知，
事件 包含的所有样本点的集合为 .
设集合 中元素的个数为 ，
即数列 的前2010项与数列 的前15项中的相同项的个数为 ，
则事件 发生的概率 ，
对于数列 和 的相同项来说，
必定存在 ，使得 ，即 成立，
所以 ，所以 为正奇数，因为数列 和 均为递增数列，
且 ，
所以数列 的前2010项与数列 的前15项中的相同项为 ，
所以 ，所以事件 发生的概率 .
【典例8-2】在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源
熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量 的所有取值为
，定义信息熵：
(1)若 ，且 ，求随机变量 的信息熵；
(2)若 ，求随机变量 的信息熵；
(3)设 和 是两个独立的随机变量，求证： .
【解析】（1）若 ，则随机变量 的取值为1或2，
又 ，故 ，
，
所以随机变量 的信息熵为1.
（2）由题意，当 时， ，
，而 ，
，
令 ，则 ，两式相减得
，
所以 ，
则 .
（3）由题意， ，
，
而且 ， ，
所以.
【变式8-1】高血压（也称血压升高），是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象，
典型症状包括头痛、疲倦或不安、心律失常、心悸耳鸣等．最新的调查显示，中国成人高血压的患病率为
，大概每三位成人中就有一位是高血压患者．改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时
适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展．
(1)某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康
在脚下”徒步走活动．下表为开展活动后近5个季度社区高血压患者的血压情况统计．
季度 1 2 3 4 5
血压明显降低
320 270 210 150 100
（或治愈）人数
若血压明显降低（或治愈）人数 与季度变量 （季度变量 依次为 ）具有线性相关关系，请
预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？
(2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则：挑战权在任何一组，该组都
可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为 ，若甲组挑战乙组，则下
次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为 ， ；若挑战权在丙组，则挑战甲
组、乙组的概率分别为 ， ．
（ⅰ）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数 的分布列与数学期望；
（ⅱ）定义：已知数列 ，若对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数 ，使得当
时， （ 是一个确定的实数），则称数列 为“聚点数列”， 称为数列 的聚点．
经过 次挑战后，挑战权在甲组的概率为 ，证明数列 为“聚点数列”，并求出聚点 的值．附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，
．
【解析】（1）由已知可得 ，
．
又因为 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，
所以预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有42人．
（2）（ⅰ）由题知 的所有可能取值为0，1，2，
；
；
，
所以 的分布列为
0 1 2所以 ．
（ⅱ）设经过 次挑战后，挑战权在乙、丙组的概率分别为 ， ，
则当 时， ， ， ，
由后两个等式相加，得 ． ①
因为 ，所以 ， ，
代入①式得 ，
即 ，
所以 ．
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
即 ，
所以由 ，得 ，即 ，
所以对任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数 （ 表示不超过 的最大整数），使得当 时， ，
所以数列 为“聚点数列”，聚点 的值为 ．
1．错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利一欧拉的装错信封问题.现在定义错排数
为将 ， ， ， ， 共 个元素排列在 ， ， ， ， 共 个位置上，其中有 个元素
不在其对应位置上的情况数（ 的对应位置为 ， ， ）.容易得到， ， ，
，规定 .
(1)计算： ， ；
(2)记 ， 的前 项和为 ，证明： ；
(3)定义错排概率 为随机将 ， ， ， ， 共 个元素排列在 ， ， ， ， 共 个位置
上，其中恰有 个元素不在其对应位置上的概率，证明： .
【解析】（1） 可以排在 ， ， 上，有 种排法.
不妨设 排在 上，接下来讨论 .
当 排在 上时，剩下两个元素 ， 的排法有 （种）.
当 不排在 上时，可以排在 ， 上，有 种情况.
若 排在 上，剩下两个元素 ， 只有1种排法.
所以 .可以排在 ， ， ， 上，有 种情况.
不妨设 排在 上，接下来讨论 ，
①当 排在 上时，剩下三个元素 ， ， 分别不排在 ， ， 上，
则 ， ， 的不同排法有 （种）.
②当 不排在 上时，可以排在 ， ， 上，有 种排法，
若 排在 上，接下来讨论 .
（ⅰ）当 排在 上时，剩下两个元素 ， 的排法有 （种）；
（ⅱ）当 不排在 上时，可以排在 ， 上，有 种排法，
剩下两个元素 ， 只有1种排法.
故 .
（2）当 时， ，满足 .
当 时，要证明 ，只需证明 ，
所以只需证明 ， .
当 时， ，成立.
回到定义，当 时，对于 ，不妨从 开始排列，
设 排在 上，有 种排法.
接下来讨论 ，
①当 排在 上时，剩下 ， ， ， ， ， ， 共 个元素分别不在 ， ， ， ， ， ， 上，
共有 种排法.
②当 不排在 上时，
因为 ， ， ， ， ， ， 分别不在 ， ， ， ， ， ， 上，
所以 ， ， ， ， ， ， 共 个元素
分别不在 ， ， ， ， ， ， 上，
共有 种排法.
所以 .
所以 ， ，
即 ， .
综上， 成立.
（3）根据定义，
先从 个元素中选出 个元素，再对它们进行排列，并使它们均不排在对应位置上，
所以 .
所以 .
不妨记 ，
则 ，且 ， ， ，
得 ，
则 ，故 是等比数列，且公比为 ，
又 ，所以 ，
变形得 ，
则当 时， ， ，
， ，
累加得
经检验 ， 也符合上式，
所以 ，
所以 .
重难点突破：高等数学背景下新定义
【典例9-1】帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有
“阶”的概念，如果分子是 次多项式，分母是 次多项式，那么得到的就是 阶的帕德逼近，记作
．一般地，函数 在 处的 阶帕德逼近定义为： ，且满
足 ， ．
注： ．已知函数 在 处的 阶帕德逼近为 ．
(1)求 的解析式；
(2)当 时，比较 与 的大小；
(3)证明：当 时， ．
【解析】（1）由题意知 ，
，
即 解得
所以 ．
（2）设 ，则 ．
记 ，则 ．
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减．
所以当 时， ，
所以 ，仅当 时， ，故 在 上单调递减．
又因为 ，所以当 时， ，
当 时， ，
当 时， ．
即当 时， ，
当 时， ，
当 时， ．
（3）证明：要证当 时， ，需证 ．
设 ，则 ．
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ．
要证 ，只需证 ，需证 ．
记 ，易知 在 上单调递增．
由（2）知，当 时， ，即 ，
取 ，则有 ．
所以结论成立．
【典例9-2】请阅读下列2段材料：材料1：若函数 的导数 仍是可导函数，则 的导数 称为 的二阶导数，记为
：若 仍是可导函数，则 的数 称为 的三阶导数，记为 ；以此类推，
我们可以定义n阶导数：设函数 的 阶导数 （ ， ）仍是可导函数，则
的导数 称为 的n阶导数，记为 ，即 .
材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的
概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么帕德逼近就是 阶的帕德逼近.
一般地，函数 在 处的 阶帕德逼近函数定义为： 且满足
， ， ，…， （其中 …为自然对数的
底数）.
请根据以上材料回答下列问题：
(1)求函数 在 处的 阶帕德逼近函数 ，并比较 与 的大小；
(2)求证：当 时， 恒成立.
(3)在（1）条件下，若 在 上存在极值，求m的取值范围
【解析】（1）由 ， ，又 ，
所以可得 ，所以 ，
可知 ， ， ，由题意 ， ，所以 ，解得 ，
所以 ，令 ，
则 ，
所以 在其定义域 内为增函数，又 ，
所以 时， ； 时， ．
（2）当 时，要证 ，只需证 ，即证 ，
令 ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，所以 ，
所以只需证 ，即 ，所以只需证 ，
由（1）可知当 时， ，即 ，
所以 ，所以原不等式成立.
（3）由 ，
．
由 在 上存在极值，所以 在 上存在变号零点．令 ，则 ， ．
①当 时， ， 为减函数，所以 ，
所以 在 上为减函数， ，无零点，不满足条件．
②当 ，即 时， ， 为增函数， ，
在 上 为增函数， 无零点，不满足条件．
③当 ，即 时，令 ，即 ，所以 ．
当 时， ， 为减函数；
当 时， ， 为增函数，
所以 ；
令 ，则 ，当 时， ，
在 上单调递增， ，所以 恒成立；
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，
令 ，
令 ， ，
则 在 是单调递减， ，所以 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ， ，所以 ，
即 ，
由零点存在定理可知， 在 上存在唯一零点 ，
又由③知，当 时， ， 为减函数， ，
所以此时， ，在 内无零点，
所以 在 上存在变号零点，综上所述实数 的取值范围为 ．
【变式9-1】记 为有穷数列 的前 项和，若 满足下列两个条件则称为 阶“期待数列”：①
；② .形如 的数表表示2行 列的矩阵，设 是由 阶“期待数列”中的项任
意排列组成的2行 列的矩阵，记 为 阶“期待数列”组成的所有2行 列的矩阵的集合.设 为
的第 行各数之和 为 的第 列各数之和 ，记 为
， 中的最小值.
(1)若等差数列 是递增的2023阶“期待数列”，且 ，求 ；
(2)对所有的矩阵 ，求 的最大值；
(3)给定 ，对所有的矩阵 ，求 的最大值.【解析】（1）设等差数列 的公差 ，由题意可得 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，又 ，由 可得
，
所以 ，解得 ，
由 可得 .
（2）设 且 ，
若任意改变矩阵 的行的次序或列的次序，或把 中的每一个数都换成其相反数，得到新矩阵 ，则
，
不妨设 ，
由定义可知， ，
所以
，
当且仅当 时取等号，则 的最大值为 .
（3）设 ，
，
由（2）不妨设 ，由定义可知， ，
相加可得
.
当且仅当 ，且 时取等号，所以 ， 的最大值为
.
1．数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面
向量 ，其模定义为 .类似地，对于 行 列的矩阵 ，其
模可由向量模拓展为 （其中 为矩阵中第 行第 列的数， 为求和符号），记作 ，我
们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵 ，其矩阵模
.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.(1) ， ，矩阵 ，求使 的 的最小值.
(2) ， ，，矩阵
求 .
(3)矩阵 ，证明： ， ， .
【解析】（1）由题意得 .
若 ，则 ，即 .
因式分解得 .因为 ，所以 .
所以使 的 的最小值是10.
（2）由题得第1对角线上的平方和为 ，第2对角线上的平方和为
，
第 对角线上的平方和为
，
第 对角线上的平方和为 ，
所以
所以 .
（3）由题意知，证明
等价于证明 ，
注意到左侧求和式 ，
将右侧含有 的表达式表示为求和式有
故只需证 成立，
即证 成立，令 ，则需证 成立，
记 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递
增，
所以 ，
所以 在 上恒成立，即 成立，
所以原不等式成立.
