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专题 07 函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：含参数函数单调性讨论........................................................................................................2
题型二：导数与数列不等式的综合问题............................................................................................3
题型三：双变量问题............................................................................................................................4
题型四：证明不等式............................................................................................................................5
题型五：极最值问题............................................................................................................................6
题型六：零点问题................................................................................................................................7
题型七：不等式恒成立问题................................................................................................................8
题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题........................................................................................9
题型九：利用导数解决一类整数问题..............................................................................................10
题型十：导数中的同构问题..............................................................................................................11
题型十一：洛必达法则......................................................................................................................12
题型十二：导数与三角函数结合问题..............................................................................................13
重难点突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题..................................................................14
02 重难创新练....................................................................................................................................17题型一：含参数函数单调性讨论
1．已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程．
(2)当 时，证明： 有两个不同的极值点．
(3)讨论 的单调性．
2．（2024·高三·浙江·期中）已知函数 ，其中 .
(1)若曲线 在点 处的切线垂直于直线 ，求a的值；
(2)讨论函数 的单调性.
3．已知函数 ，讨论 的单调性.题型二：导数与数列不等式的综合问题
4．已知首项为1的正项数列 满足 .
(1)探究数列 的单调性；
(2)证明： .
5．已知函数 ．
(1)若 ，证明： ；
(2)记数列 的前 项和为 ．
（i）若 ，证明： ．
（ii）已知函数 ，若 ， ， ，证明： .
6．（2024·高三·四川绵阳·开学考试）已知函数 ．
(1)当 时，证明： ；
(2)现定义： 阶阶乘数列 满足 ．若 ，证明： ．题型三：双变量问题
7．已知函数 .
(1)判断函数 的奇偶性；
(2)若函数 在 处有极值，且关于 的方程 有3个不同的实根，求实数 的取值范
围；
(3)记 .若对任意 且 时，均有 成立，求实数 的
取值范围.
8．（2024·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 在定义域上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 ；求证： ；
(3)设 ， 是函数 的两个极值点，求证： .
9．已知函数 .(1)若 ，求 的图象在 处的切线方程；
(2)若 恰有两个极值点 ， .
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： .
题型四：证明不等式
10．当 时，证明： .
11．已知函数 .
(1)若 ，且 恰有3个零点，求 的取值范围；
(2)若 ，证明:当 时， .
12．设函数 ．
(1)当 时，证明： ．(2)当 时，证明： ．
题型五：极最值问题
13．已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调性；
(2)若函数 在 处取得极小值，求实数 的取值范围．
14．（2024·高三·湖南·期中）已知函数 .
(1)证明： ；
(2)设函数 ，证明：函数 有唯一的极值点.
15．已知函数 ．
(1)当 时，关于 的方程 在区间 内有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围；(2)求函数 在区间 上的最小值．
题型六：零点问题
16．已知函数 有两个零点 ，
(1)求 的单调区间和极值；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的最小值；
(3)证明： .
17．（2024·高三·江西上饶·期中）已知函数 .
(1)若 的图象在 处的切线方程为 ，求 的值；
(2)若 ，证明： ；
(3)讨论 的零点的个数.18．已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 .
(1)求 ， 的值：
(2)求证： 有且只有一个零点；
(3)记 的零点为 ，曲线 在 处的切线 与 轴交于 .若 ，求 的取值范围.
题型七：不等式恒成立问题
19．已知函数 .
(1)若 ，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
20．已知函数 ．（其中 是自然对数的底， ， ）．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若 恒成立，求整数 的最大值（ ）．
21．已知函数 ．(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2) 恒成立，求a的取值范围．
题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题
22．已知函数 ， .
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）设 ，试讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若存在正实数 满足 ，求证： .
23．已知函数 .
(1)若该函数在 单调递增，求 的取值范围.
(2)当 时，若方程 有两个实数根 ，且 ，证明： .
24．已知函数 ．(1)若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若函数 恰有两个极值点 ，且 的最大值为 ，求证： ．
25．已知函数 ．
(1)若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 、 是两个不相等的实数，且 ．求证： ．
题型九：利用导数解决一类整数问题
26．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，求k的值；
(3)设m为整数，且对于任意正整数n， ，求m的最小值.27．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ， 的图像在(1,f (1))处的切
线过原点．
(1)求 的值；
(2)设 ， ，其中 ，若对 ，总 ，使 成
立，求整数 的取值范围．
28．已知函数 ， （ ）.
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若 对任意 恒成立，求整数a的最小值.
题型十：导数中的同构问题
29．已知关于x的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
30．（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数 和 有相同的最小值．(1)求 ；
(2)是否存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横
坐标成等差数列？说明理由．
31．已知函数 ．
当 时，求函数 的单调增区间；
若函数 在 上是增函数，求实数a的取值范围；
若 ，且对任意 ， ， ，都有 ，求实数a的最小值．
32．已知函数 ．
（1）讨论函数 的零点的个数；
（2）证明： ．
33．（2024·江西宜春·一模）已知函数 ， .(1)讨论 的单调性；
(2)对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
题型十一：洛必达法则
34．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若对任意的 恒成立，求 的范围.
35．已知函数 ，若当 时， ，求 的取值范围．
36．已知函数 ，如果当 ，且 时， ，求 的取值范围．题型十二：导数与三角函数结合问题
37．已知函数 与 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 .
(1)求函数 与 的解析式；
(2)若对于 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
38．已知函数 ， ，其中 ．
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)若 ，证明： ．
39．（2024·高三·北京朝阳·期中）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 在区间 上的零点个数；
(3)若 ，其中 ，求证： .重难点突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题
40．若 为 上任意 个实数，满足 ，当且仅当
时等号成立，则称函数 在 上为“凸函数”.也可设可导函数 在 上的导
函数为f'(x)，若f'(x)在区间 上单调递减，则称 为区间 上的凸函数.
若 为 上任意 个实数，满足 ，当且仅当
时等号成立，则称函数 在 上为“凹函数”.也可设可导函数 在 上的导
函数为f'(x).若f'(x)在区间 单调递增；则称 为区间 上的凹函数.（这里关于凹凸函数的不等
式即为著名的琴生不等式.）
(1)讨论函数 ， 的凹凸性，并求锐角 中，求 的最小值；
(2)已知函数 .
（ⅰ）当 时，讨论 的凹凸性；
（ⅱ）平面直角坐标系中的点 称为函数 的“ 切点”，当且仅当过点 恰好能作曲线y=f (x)的
条切线，其中 .当 时，点 在 轴右侧且为 的“ 切点”，求点 的集合.（不需要写出求解
过程）41．（2024·上海奉贤·一模）若函数 的图象上存在 个不同点 、 、 、 处的
切线重合，则称该切线为函数 的一条 点切线，该函数具有 点切线性质．
(1)判断函数 ， 的奇偶性并写出它的一条 点切线方程（无需理由）；
(2)设 ，判断函数 是否具有 点切线性质，并说明理由；
(3)设 ，证明：对任意的 ， ，函数 具有 点切线性质，并求出所有相
应的切线方程．
42．记 ， 分别为函数 ， 的导函数.若存在 ，满足
且 ，则称 为函数 与 的一个“ 点”；若仅满足 则称 为
函数 与 的一个“ 点”.
(1)证明：函数 与 不存在“ 点”，但存在“ 点”；
(2)若函数 与 存在“ 点”，求实数 的值；
(3)已知 ， 其中实数 且 ．若使函数 与 区间 内存在
三个“ 点”，求实数 的取值范围．1．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若 有两个不同的极值点 ．
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明： ．
2．若函数 是定义在 上的函数，且存在 ， ，使得 在 上的值域仍为 ，则
称 为 上的保值函数，区间 叫做 的保值区间．
(1)求 在 上的所有保值区间；
(2)证明： 在 上存在保值区间；
(3)若 为 上的保值函数，证明： ．
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 .(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 在 上单调递增，求正实数 的取值范围；
(3) 时，证明： .
4．（2024·高三·重庆·开学考试）已知 .
(1)若存在两个不同的 使得 的最小值为0，证明： ；
(2)设 （ 为常数），且当 恒成立时， 的最小值为 ，求 的取值集合.
5．（2024·高三·全国·单元测试）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)从①②两组条件中选取一组作为已知条件，证明： 恰有一个零点．
① ；
② ．
注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分．6．（2024·高三·上海·单元测试）设函数 ，其中 ，曲线 过
点 ．
(1)求a，b的值；
(2)求证 在 时，恒大于零，其中 ；
(3)证明：当 时， ．
7．（2024·北京·三模）已知 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 存在两个不同的极值点 ，求证： ．
8．（2024·浙江绍兴·三模）若函数 在区间 上有定义，且 ， ，则称 是 的一个
“封闭区间”．
(1)已知函数 ，区间 且 的一个“封闭区间”，求 的取值集合；
(2)已知函数 ，设集合 ．
（i）求集合 中元素的个数；
（ii）用 表示区间 的长度，设 为集合 中的最大元素．证明：存在唯一长度为 的闭区间 ，使得 是 的一个“封闭区间”．
9．已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
