专题 03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................11
题型一：直接利用单调性 11
题型二：引入媒介值 13
题型三：含变量问题 15
题型四：构造函数 18
题型五：数形结合 23
题型六：特殊值法、估算法 27
题型七：放缩法 30
题型八：同构法 35重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 40
指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以
选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年北京卷第9题，5分
预测 2025 年高考趋
2024年天津卷第5题，5分 势，指对幂比较大小或以
2022年新高考I卷第7题，5分 小题压轴，预计：
掌握指对幂大小
指对幂比较大小 比较的方法与技 2022年天津卷第5题，5分 （1）以选择、填空题型
巧 呈现，侧重综合推理。
2022年甲卷第12题，5分
2021年II卷第7题，5分
（2）构造灵活函数比较
大小将成为考查热点。
2021年天津卷第5题，5分（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如ax 1和ax 2，利用指数函数y=ax的单调性；
②指数相同，底数不同，如xa 和xa 利用幂函数y=xa单调性比较大小；
1 2
③底数相同，真数不同，如log x 和log x 利用指数函数log x单调性比较大小；
a 1 a 2 a
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小
关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
x2 xn eθx
①ex=1+x+ +⋯+ + xn+1
2! n! (n+1)!
x3 x5 x2n+1
②sinx=x− + −⋯+(−1) n +o(x2n+2 )
3! 5! (2n+1)!
x2 x4 x6 x2n
③cosx=1− + − +⋯+(−1) n +o(x2n )
2! 4! 6! (2n)!
x2 x3 xn+1
④ln(1+x)=x− + −⋯+(−1) n +o(xn+1 )
2 3 n+1
1
⑤
=1+x+x2+⋯+xn+o(xn
)
1−x
n(n−1)
⑥(1+x) n=1+nx+ x2+o(x2 )
2!1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x−1)+f(x−2)，且当
x<3时f(x)=x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f(10)>100 B．f(20)>1000
C．f(10)<1000 D．f(20)<10000
【答案】B
【解析】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，
又因为f(x)>f(x−1)+f(x−2)，
则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，
f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，
f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，
f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377
f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，
f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
2．（2024年天津高考数学真题）设a=4.2−0.2，b=4.20.2，c=log 0.2，则a，b，c的大小关系为
4.2
（ ）
A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b
【答案】D
【解析】因为y=4.2x在R上递增，且−0.2<0<0.2，所以0<4.2−0.2<4.20<4.20.2，
所以0<4.2−0.2<1<4.20.2，即0<a<1<b，
因为y=log x在(0,+∞)上递增，且0<0.2<1，
4.2
所以log 0.2<log 1=0，即c<0，
4.2 4.2
所以c<a<b，
故选：D
3．（2024年北京高考数学真题）已知(x ,y )，(x ,y )是函数y=2x的图象上两个不同的点，则（ ）
1 1 2 2
y + y x +x y + y x +x
A．log 1 2< 1 2 B．log 1 2> 1 2
2 2 2 2 2 2
y + y y + y
C．log 1 2<x +x D．log 1 2>x +x
2 2 1 2 2 2 1 2
【答案】B
【解析】由题意不妨设x <x ，因为函数y=2x是增函数，所以0<2x 1<2x 2，即0<y <y ，
1 2 1 2
对于选项AB：可得 2x 1+2x 2 >√2x 1·2x 2=2 x 1 + 2 x 2 ，即 y 1 + y 2>2 x 1 + 2 x 2 >0，
2 2
y + y x 1 +x 2 x +x
根据函数y=log x是增函数，所以log 1 2>log 2 2 = 1 2，故B正确，A错误；
2 2 2 2 2
对于选项D：例如x =0,x =1，则y =1,y =2，
1 2 1 2
y + y 3 y + y
可得log 1 2=log ∈ (0,1)，即log 1 2<1=x +x ，故D错误；
2 2 22 2 2 1 2
1 1
对于选项C：例如x =−1,x =−2，则y = ,y = ，
1 2 1 2 2 4
y + y 3 y + y
可得log 1 2=log =log 3−3∈ (−2,−1)，即log 1 2>−3=x +x ，故C错误，
2 2 28 2 2 2 1 2
故选：B.
4．（2023年天津高考数学真题）设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5，则a,b,c的大小关系为（ ）A．a<b<c B．b<a<c
C．c<b<a D．c<a<b
【答案】D
【解析】由y=1.01x在R上递增，则a=1.010.5<b=1.010.6，
由y=x0.5在[0,+∞)上递增，则a=1.010.5>c=0.60.5.
所以b>a>c.
故选：D
(1) 0.7 1
5．（2022年新高考天津数学高考真题）设a=20.7，b= ，c=log ，则a,b,c的大小关系为
3 23
（ ）
A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a
【答案】D
【解析】因为20.7>
(1) 0.7
>0=log 1>log
1
，故a>b>c.
3 2 23
故选：D.
6．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由9m=10可得m=log 10=
lg10
>1，而lg9lg11<
(lg9+lg11) 2
=
(lg99) 2
<1=(lg10) 2 ，所以
9 lg9 2 2
lg10 lg11
> ，即m>lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0.
lg9 lg10
又lg8lg10<
(lg8+lg10) 2
=
(lg80) 2
<(lg9) 2 ，所以
lg9
>
lg10
，即log 9>m，
2 2 lg8 lg9 8
所以b=8m−9<8log
8
9−9=0.综上，a>0>b.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由9m=10，可得m=log 10∈(1,1.5)．
9根据a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1) ，则f' (x)=mxm−1−1，
1
令f' (x)=0，解得 x =m1−m ，由m=log 9 10∈(1,1.5) 知x 0 ∈(0,1) .
0
f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a>b ，
又因为f(9)=9log 9 10−10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是
该题的最优解．
31 1 1
7．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a= ,b=cos ,c=4sin ，则（ ）
32 4 4
A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b
【答案】A
【解析】[方法一]：构造函数
π
因为当x∈ ( 0, ) ,x<tanx
2
c 1 c
故 =4tan >1，故 >1，所以c>b；
b 4 b
1
设f(x)=cosx+ x2−1,x∈(0,+∞)，
2
f' (x)=−sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，
(1) 1 31
故f >f(0)=0，所以cos − >0，
4 4 32
所以b>a，所以c>b>a，故选A
[方法二]：不等式放缩
π
因为当x∈ ( 0, ) ,sinx<x，
2
取x=
1
得：cos
1
=1−2sin2
1
>1−2
(1) 2
=
31
，故b>a
8 4 8 8 324sin 1 +cos 1 =√17sin (1 +φ ) ，其中φ∈ ( 0, π) ，且sinφ= 1 ,cosφ= 4
4 4 4 2 √17 √17
1 1 1 π π 1
当4sin +cos =√17时， +φ= ，及φ= −
4 4 4 2 2 4
1 4 1 1
此时sin =cosφ= ，cos =sinφ=
4 √17 4 √17
1 1 4 1 1
故cos = < =sin <4sin ，故b<c
4 √17 √17 4 4
所以b>a，所以c>b>a，故选A
[方法三]：泰勒展开
31 0.252 1 0.252 0.254
设x=0.25，则a= =1− ，b=cos ≈1− + ，
32 2 4 2 4!
1
sin
1 4 0.252 0.254
c=4sin = ≈1− + ，计算得c>b>a，故选A.
4 1 3! 5!
4
[方法四]：构造函数
c 1 π 1 1 c
因为 =4tan ，因为当x∈ ( 0, ) ,sinx<x<tanx，所以tan > ,即 >1，所以c>b；设
b 4 2 4 4 b
1
f(x)=cosx+ x2−1,x∈(0,+∞)，f' (x)=−sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则
2
(1) 1 31
f >f(0)=0 ,所以cos − >0，所以b>a,所以c>b>a，
4 4 32
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
c 1 π 1 1 c
因为 =4tan ，因为当x∈ ( 0, ) ,sinx<x<tanx，所以tan > ,即 >1，所以c>b；因为当
b 4 2 4 4 b
x∈ ( 0, π ) ,sinx<x，取x= 1 得cos 1 =1−2sin2 1 >1−2 (1) 2 = 31 ，故b>a，所以c>b>a．
2 8 4 8 8 32
故选：A．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
π
方法5：利用二倍角公式以及不等式x∈ ( 0, ) ,sinx<x<tanx放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
2
1
8．（2022年新高考全国I卷数学真题）设a=0.1e0.1,b= ，c=−ln0.9，则（ ）
9
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b
【答案】C
【解析】方法一：构造法
1 x
设f(x)=ln(1+x)−x(x>−1)，因为f' (x)= −1=− ，
1+x 1+x
当x∈(−1,0)时，f' (x)>0，当x∈(0,+∞)时f' (x)<0，
所以函数f(x)=ln(1+x)−x在(0,+∞)单调递减，在(−1,0)上单调递增，
1 10 1 1 10
所以f( )<f(0)=0，所以ln − <0，故 >ln =−ln0.9，即b>c，
9 9 9 9 9
1 9 1 9 − 1 1 1 1
所以f(− )<f(0)=0，所以ln + <0，故 <e 10，所以 e10< ，
10 10 10 10 10 9
故a<b，
1
(x2−1)ex+1
设g(x)=xex+ln(1−x)(0<x<1)，则g' (x)=(x+1)ex+ = ,
x−1 x−1
令ℎ(x)=ex (x2−1)+1，ℎ' (x)=ex (x2+2x−1)，
当0<x<√2−1时，ℎ' (x)<0，函数ℎ(x)=ex (x2−1)+1单调递减，
当√2−1<x<1时，ℎ' (x)>0，函数ℎ(x)=ex (x2−1)+1单调递增，
又ℎ(0)=0，
所以当0<x<√2−1时，ℎ(x)<0，
所以当0<x<√2−1时，g' (x)>0，函数g(x)=xex+ln(1−x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>−ln0.9，所以a>c故选：C.
方法二：比较法
0.1
a=0.1e0.1 ， b= ， c=−ln(1−0.1) ，
1−0.1
① lna−lnb=0.1+ln(1−0.1) ，
令 f(x)=x+ln(1−x),x∈(0,0.1],
1 −x
则 f '(x)=1− = <0 ，
1−x 1−x
故 f(x) 在 (0,0.1] 上单调递减，
可得 f(0.1)<f(0)=0 ，即 lna−lnb<0 ，所以 a<b ；
② a−c=0.1e0.1+ln(1−0.1) ，
令 g(x)=xex+ln(1−x),x∈(0,0.1],
1
(1+x)(1−x)ex−1
则 g'(x)=xex+ex− = ，
1−x 1−x
令 k(x)=(1+x)(1−x)ex−1 ，所以 k'(x)=(1−x2−2x)ex>0 ，
所以 k(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 k(x)>k(0)>0 ，即 g'(x)>0 ，
所以 g(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 g(0.1)>g(0)=0 ，即 a−c>0 ，所以 a>c.
故 c<a<b.
a=log 0.3,b=log 0.4,c=0.40.3
9．（2021年天津高考数学试题）设 2 1 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
2
A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<c<b
【答案】D
【解析】∵log 0.3<log 1=0，∴a<0，
2 2
5
∵log 0.4=−log 0.4=log >log 2=1，∴b>1，
1 2 22 2
2
∵0<0.40.3<0.40=1，∴0<c<1，∴a<c<b.
故选：D.
1
10．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知a=log 2，b=log 3，c= ，则下列判断正确的是（ ）
5 8 2
A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c
【答案】C
1
【解析】a=log 2<log √5= =log 2√2<log 3=b，即a<c<b.
5 5 2 8 8
故选：C.
11．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=√1.04−1．则（ ）
A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<a<b
【答案】B
【解析】[方法一]：
a=2ln1.01 =ln1.012 =ln(1+0.01) 2 =ln(1+2×0.01+0.012) >ln1.02=b，
所以b<a；
下面比较c与a,b的大小关系.
2 2 2(√1+4x−1−x)
记f (x)=2ln(1+x)−√1+4x+1，则f (0)=0，f'(x)= − = ，
1+x √1+4x (1+x)√1+4x
由于1+4x−(1+x) 2=2x−x2=x(2−x)
所以当0<x<2时，1+4x−(1+x) 2>0，即√1+4x>(1+x)，f'(x)>0，
所以f (x)在[0,2]上单调递增，
所以f (0.01)>f (0)=0，即2ln1.01>√1.04−1，即a>c；
2 2 2(√1+4x−1−2x)
令g(x)=ln(1+2x)−√1+4x+1，则g(0)=0，g'(x)= − = ，
1+2x √1+4x (1+x)√1+4x
由于1+4x−(1+2x) 2=−4x2，在x>0时，1+4x−(1+2x) 2<0，
所以g'(x)<0，即函数g(x)在[0，+∞)上单调递减，所以g(0.01)<g(0)=0，即ln1.02<√1.04−1，即
b<c；
综上，b<c<a，故选：B.
[方法二]：
(x2+1)
令f (x)=ln −x−1(x>1)
2
(x−1) 2
f'(x)=- <0，即函数f(x)在（1，+∞)上单调递减
x2+1
f (√1+0.04)<f (1)=0,∴b<c
(x2+3)
令g(x)=2ln −x+1(1<x<3)
4
(x−1)(3−x)
g'(x)= >0，即函数g(x)在（1，3)上单调递增
x2+3
g(√1+0.04)⟨g(1)=0,∴a⟩c
综上，b<c<a，
故选：B.
题型一：直接利用单调性
1
【典例1-1】设a=21.2,b=lg3,c=ln ，则a、b、c的大小顺序为（ ）
3
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b
【答案】A
1
【解析】由函数y=lnx,y=lgx在(0,+∞)上单调递增，可得ln <ln1=0， 0=lg1<lg3<lg10=1.
31
因函数y=2x在R上单调递增，则21.2>21=2.故ln <ln1=0=lg1<lg3<1<21.2 ，
3
即a>b>c.
故选：A
【典例1-2】（2024·高三·黑龙江鸡西·期中）已知函数f (x)=2x+x，g(x)=log x+x，ℎ(x)=x3+x的零
2
点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．b>a>c
【答案】B
【解析】由函数解析式可知三个函数在定义域上均为单调递增函数.
1
∵f (0)=20+0=1>0，f (−1)=2−1−1=− <0，故−1<a<0，
2
(1) 1 1 1
∵g =log + =− <0，g(1)=log 1+1=1>0，故0<b<1，
2 22 2 2 2
ℎ(0)=0，故c=0，
a<c<b.
∴
故选：B.
利用指对幂函数的单调性判断
【变式1-1】已知a=log 6,b=log 2,c=e−2，比较a，b，c的大小为（ ）
5 0.5
A．b>a>c B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c
【答案】C
【解析】因为函数y=log x在(0,+∞)上单调递增，
5
所以a=log 6<log 5=1，
5 5
又c<1，所以a>c，又因为函数y=log x在(0,+∞)上单调递减，
0.5
所以b=log 2<log 1=0，因为c>0，
0.5 0.5
所以b<c，综上，a>c>b.
故选：C.【变式1-2】已知a=0.33π，b=
(1) e
（e为自然对数的底数）c=tan1，比较a，b，c的大小（ ）
e
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．c>b>a
【答案】D
( π)
【解析】由三角函数线可得：不等式tanx>x>sinx,x∈ 0, ，
2
则c=tan1>1，
又函数y=xe为增函数，y=0.33x为减函数，
则1>
(1) e
>
(1) e
>0.33e>0.33π>0，
e 3
所以1>b>a，
综上所述：c>b>a，
故选D．
(5)− 5 (7) 3 14
1．（2024·江西新余·一模）故a= 7，b= 5，c=log ，则a，b，c的大小顺序是（ ）
7 5 3 5
A．b<a<c B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a
【答案】D
(5)− 5 (7) 5 (7) 3 15 14
【解析】a= 7= 7>b= 5>1=log >c=log ，
7 5 5 3 5 3 5
所以c<b<a，
故选：D
2．已知实数a，b满足2a+a=2,b=log 3，则（ ）
16
A．a>b B．a<b C．a=b D．a，b的大小无法判断
【答案】A
1 1 1
【解析】函数f(x)=2x+x在R上单调递增，且f( )=√2+ <2，则由2a+a=2，得a> ，
2 2 21
又b=log 3<log 4= ，所以a>b.
16 16 2
故选：A
题型二：引入媒介值
(1) −2
【典例2-1】（2024·高三·江西·期中）已知a=ln2,b=cos2,c= ，则a，b，c的大小顺序为（ ）
2
A．c>a>b B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c
【答案】A
【解析】a=ln2>ln√e=
1
，b=cos2<0，c=
(1) −2
=22=4，则c>a>b.
2 2
故选：A
3 1
【典例2-2】三个数a=sin
2
，
b=23
，c=ln3−ln2的大小顺序是（ ）
A．a<b<c B．c<a<b
C．a<c<b D．b<c<a
【答案】B
3 1 3
【解析】a=sin
2
∈ (0,1)，
b=23>1
，c=ln3−ln2=ln
2
∈ (0,1)，
所以b最大，
π 3 π √3 3
因为 < < ，所以 <sin <1，
3 2 2 2 2
9 3 3 1 3 3
因为 <e，所以 <√e，则ln <ln√e= ，所以sin >ln ，
4 2 2 2 2 2
即c<a<b.
故选：B
寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．【变式2-1】已知a=log 3，b= (3) 3 2 ，c=cos ( − 5 π ) −sin ( − π ) ，比较a，b，c的大小为（ ）
2 2 3 2
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
【答案】B
【解析】易知c=cos ( − 5 π ) −sin ( − π )=cos π +sin π = 3 ，
3 2 3 2 2
3 (3) 1 (3) 2
a=log 3>log (2√2)= = =c>b= 3.
2 2 2 2 2
故选：B
(1) 2
【变式2-2】已知a=ln4，b=lg4，c= 3，则（ ）
4
A．c<b<a B．b<a<c C．b<c<a D．a<c<b
【答案】A
1 (1) 2 (1) 1 1
【解析】因为ln4>lne=1，lg4<lg10=1，lg4>lg√10= ， 3< 2= ，
2 4 4 2
(1) 2
所以 3<lg4<ln4，所以c<b<a.
4
故选：A.
1．已知a=log 8，b=log 0.5，c=log 3，则（ ）
0.4 0.6 2
A．b>a>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a
【答案】D
3
【解析】a=log 0.4 8<log 0.4 1=0，而 0.62=√0.216<√0.25=0.5<0.6 ，
3 3 3
则1=log 0.6<log 0.5<log 0.62= ，又c=log 3>log 2√2= ，
0.6 0.6 0.6 2 2 2 2所以c>b>a.
故选：D
2 ln3 3
2．已知a= ，b= ，c= ，则（ ）
ln4 ln2 2
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
【答案】D
2 1 ln3 3 3
【解析】由题意可得：a= = =log e，b= =log 3，c= =log 22=log √8，
2ln2 ln2 2 ln2 2 2 2 2
因为3>√8>e，且y=log x在定义域(0,+∞)内单调递增，
2
可得log 3>log √8>log e，所以b>c>a．
2 2 2
故选：D.
3．已知a=log 0.7，b=1.40.7，c=0.71.4，则a，b，c的大小关系是（ ）
1.4
A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a
【答案】B
【解析】由于a=log 0.7<log 1=0，0<c=0.71.4<0.70=1=1.40<1.40.7=b，
1.4 1.4
所以a<c<b.
故选：B
题型三：含变量问题
【典例3-1】[新考法]若0<2a<b<1，x =ab，x =(2a) b，x =b2a，x =(2b) 2a，则（ ）
1 2 3 4
A．x <x <x <x B．x <x <x <x
4 3 1 2 1 2 3 4
C．x <x <x <x D．x <x <x <x
2 1 4 3 3 4 1 2
【答案】B
【解析】方法一：因为b>0，所以函数y=xb在(0,+∞)上单调递增．
因为a>0，所以ab<(2a) b，即x <x ．
1 2同理，由函数y=x2a在(0,+∞)上单调递增，得b2a<(2b) 2a，即x <x ．
3 4
因为0<2a<b，所以(2a) 2a<b2a．
因为0<2a<1，所以y=(2a) x在R上单调递减，
所以(2a) b<(2a) 2a，所以(2a) b<b2a，即x <x ，
2 3
所以x <x <x <x ．
1 2 3 4
方法二：
1 1
由0<2a<b<1，令a= ，b= ，
8 2
则x =
√1
=
√2
，x =
1
，x =
(1)
4
1
=
√4 8
，x =1．
1 8 4 2 2 3 2 2 4
√2 1 √4 8
因为 < < <1，所以x <x <x <x ．
4 2 2 1 2 3 4
故选：B．
【典例3-2】（2024·高三·河北邢台·期中）已知1<m<n<2, a=nm, b=mn, c=log m，则a, b, c的大小
n
关系是（ ）
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．c>b>a
【答案】A
【解析】因为1<m<n<2，所以y=nx,y=mx,y=log x在(0,+∞)上均单调递增，
n
所以a=nm>n1>1, b=mn>m1>1, c=log m<log n=1，即a>c,b>c，
n n
lnx 1−lnx
对于a,b，构造函数f (x)= ⇒f'(x)= ，
x x2
lnm lnn
易知e>x>0时，f'(x)>0，即此时函数单调递增，则f (m)<f (n)⇒ < ，
m n
所以nlnm<mlnn⇒lnmn<lnnm，
因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，所以mn<nm，综上a>b>c.
故选：A
对变量取特殊值代入或者构造函数
【变式3-1】（多选题）已知正数a,b满足ea(1−lnb)=1，则（ ）
1
A．e<b<e2 B．ea+ >2
ea
C．ea>b D．ea−lnb>1
【答案】BCD
1 1
【解析】对于A中，因为a>0，可得0< <1，又因为1−lnb= ，所以0<1−lnb<1，
ea ea
可得0<lnb<1，解得1<b<e，所以A不正确；
1 √ 1
对于B中，由a>0，则ea>1，则ea+ ≥2 ea ⋅ =2，
ea ea
1 1
当且仅当ea= ，即a=0时，等号成立，因为a>0，所以ea+ >2，所以B正确，
ea ea
对于C中，由函数f (x)=ex−x−1，可得f'(x)=ex−1，
当x<0时，f'(x)<0，f (x)单调递减；
当x>0时，f'(x)>0，f (x)单调递增，
所以f(x) =f (0)=0，则f (x)=ex−x−1≥0，即ex≥x+1，
min
当且仅当x=0时，等号成立，
因为a>0时，因为ea(1−lnb)=1，可得1−lnb=e−a>−a+1，
所以a>lnb，即ea>b，所以C正确；
对于D中，由1−lnb=e−a，所以ea+1−lnb=ea+e−a>2，可得ea−lnb>1，所以D正确.故选：BCD.
(1) b
【变式3-2】（2024·陕西西安·统考一模）设a>b>0,a+b=1且x=− ,y=log a,z=log ab，则
a 1 (1 + 1)
b a b
x,y,z的大小关系是（ ）
A．x<z<y B．z<y<x
C．y<z<x D．x<y<z
【答案】A
1
【解析】由a>b>0,a+b=1，可得0<b< <a<1，
2
z=log ab=log ab=log ab=−1
则 (1
+
1) a+b 1
a b ab ab
y=log a=−log a>−log b=−1
因为0<b<1，所以log a<log b=1，则 1 b b ，
b b
b
(1) b
因为x=− <−1，所以x<z<y．
a
故选：A．
1．（多选题）若0<a<b<c，且lga+lgb+lgc=0，则下列各式一定成立的是（ ）
A．2a+2b>4 B．ab<1 C．a+c2>2 D．a2+c>2
【答案】BC
【解析】因为lga+lgb+lgc=0，所以lgabc=0，则abc=1，
1
又由于0<a<b<c，所以0<a<1，c>1，ab= ，则ab<1，故B正确；
c
c √c
因为 >1，所以a+c2>2√ac2=2 >2，故C正确；
b b
1
当a= ，b=1，c=2时，可2a+2b=√2+2<4，故A错误；
2
1 2 3 1 3
当a= ，b= ，c= 时，a2+c= + <2，故D错误.
√3 √3 2 3 2
故选：BC.2．（多选题）若0<a<b<1，则（ ）
A．ab<ba B．ab+1<a+b
C．a1−b<b1−a D．log (1+b)>log (1+a)
a b
【答案】AC
【解析】A选项中，因为0<a<1，故y=ax在R上单调递减，故ab<aa，
因为y=xa在(0,+∞)上单调递增，故aa<ba，综上，ab<aa<ba，A正确；
B选项中，由于a+b−ab−1=(a−1)(1−b)<0，而已知0<a<b<1，所以B不正确；
lna lnb
C选项中，a1−b<b1−a⇔(1−b)lna<(1−a)lnb⇔ < ，
1−a 1−b
1
lnx −1+lnx
设f(x)= (0<x<1)，则 x ，
1−x f '(x)= (0<x<1)
(1−x) 2
1
设g(x)=lnx+ −1(0<x<1)，
x
x−1
则g'(x)= <0⇒g(x)>g(1)=0⇒f '(x)>0，
x2
所以f(x)在(0,1)上递增，这样f(a)<f(b)，故C正确；
1 1 4 2√3 10
D选项中，取a= ，b= ，则log (1+b)=log =log ，log (1+a)=log ，
9 3 a 1 3 1 3 b 1 9
9 3 3
2√3 6√3 10 4 10
又 = > >1，故log (1+b)=log <log (1+a)=log ，所以D错误.
3 9 9 a 1 3 b 1 9
9 3
故选：AC.
题型四：构造函数
ln√2 ln3 1
【典例4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知a= ,b= ,c= ，则a,b,c的大小为（ ）
2 6 2eA．b>c>a B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a
【答案】D
1
ln2 1 lne
【解析】因为 ln√2 2 ln2，c= = ，
a= = = 2e 2e
2 2 4
lnx
设f(x)= ,x>0，
2x
1
⋅(2x)−2lnx
则 f' (x)= x = 1−lnx，
(2x) 2 2x2
所以当x∈(0,e)时，f' (x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(e,+∞)时，f' (x)<0，f(x)单调递减；
所以a=f(2)<f(e)=c，b=f(3)<f(e)=c，
ln2 3ln2 ln8 ln9 2ln3 ln3
又因为a= = = < = = =b，
4 12 12 12 12 6
所以c>b>a.
故选：D.
2−ln2 1 ln2
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）若a= ，b= ，c= ，则a，b，c的大小顺序为（ ）
e2 2e 4
A．a<c<b B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c
【答案】B
lnx (e2 )
【解析】构造函数f (x)= ，则a=f ，b=f (e)，c=f (2)，
2x 2
1−lnx
由f'(x)= ，令f'(x)>0得0<x<e，令f'(x)<0得x>e，
2x2
则f (x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减．
因为2<e，所以f (2)<f (e)，所以c<b；
e2 (e2
)
因为e< ，所以f (e)>f ，所以b>a；
2 2令x x =e2 ，且1<x <e<x ，则f (x )−f (x )=f (x )−f
(e2
) =
lnx
1−
(2−lnx
1
)x
1 ，
1 2 1 2 1 2 1 x 2x 2e2
1 1
lnx (2−lnx)x
令g(x)= − ，x∈ (1,e)，
2x 2e2
1−lnx 1−lnx e2−x2
则g'(x)= − =(1−lnx) >0，
2x2 2e2 2e2x2
所以g(x)在(1,e)上单调递增，
又g(e)=0，所以g(x)<0，所以f (x )<f (x )，
1 2
因为
e2
×2=e2 ，且1<2<e<
e2
，所以a=f
(e2
) >f (2)=c，所以c<a<b.
2 2 2
故选：B
构造函数比大小是高考数学的重点题型，它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。
“形”的构造：不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根
据 “ 若 函 数 单 调 递 增 ， 则 ； 若 函 数 单 调 递 减 ，
”判断．
“数”的构造：观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数．
1 x x2
【变式4-1】[新考法]设函数f (x)=x+lnx，g(x)=xlnx−1，ℎ(x)=1− + + 在(0,+∞)上的零点分
x 2 3
别为a,b,c，则a,b,c的大小顺序为（ ）
A．c<b<a B．b>c>a
C．c>a>b D．b>a>c
【答案】B
1
【解析】因为f (x)=x+lnx，f' (x)=1+ >0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
x
(1) 1 (1 )
又因为f = −ln20<0,f(1)=10>0，所以存在a∈ ,1 使得f (a)=0，
2 2 2(1 )
所以a∈ ,1 ，
2
1
因为g(x)=xlnx−1，g' (x)=lnx+1，令g' (x)=0，解得x= ，
e
当x∈ ( 0, 1) 时，g'(x)<0，则g(x)在 ( 0, 1) 上单调递减，
e e
当x∈ (1 ,+∞ ) 时，g'(x)>0，则g(x)在 ( 0, 1) 上单调递增，
e e
又因为g(1)=−1<0,g(2)=2ln2−1>0,∴b∈(1,2)，
又ℎ(x)=1− 1 + x + x2 ，x∈(0,+∞)，所以 ℎ' (x)= 2x + 1 + 1 >0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
x 2 3 3 2 x2
(1) (1 )
又ℎ <0，ℎ(1)>0，所以存在c∈ ,1 使得ℎ(c)=0，所以b最大，
2 2
5 1 1 1 1
= = = > 1
5 1 − 1
因为8 8 1.6 √2.56 √e，所以ln >ln =lne 2=− ，
8 √e 2
5
(5) 5 5 5 (1 5)
f =ln + >−0.5+ >0，∴a∈ , ，
8 8 8 8 2 8
25
(5 )
又 (5) 8 5 64 ，∴c∈ ,1
ℎ =1− + + <0 8
8 5 16 3
∴a<c<b.
故选：B．
5−√5
【变式4-2】已知a=√5，b=ln(√5+1)，c= ，试比较a，b，c的大小（ ）
4
A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a
【答案】B
【解析】设m(x)=lnx−x+1,
1
则当x>1时m' (x)= −1<0,m(x)单调递减，
x故m(√5+1)=ln(√5+1)−(√5+1)+1<m(1)=0,
故ln(√5+1)<√5,进而b<a，
设n(x)=4lnx+x−6,
由于函数y=lnx和y=x均为定义域内的单调递增函数，
所以n(x)=4lnx+x−6为(3,+∞)上的单调递增函数，
因此n(√5+1)=4ln(√5+1)+(√5+1)−6>n(3)=4ln3−3>0，
−(√5+1)+6 5−√5
故4ln(√5+1)+(√5+1)−6>0⇒ln(√5+1)> = ，
4 4
故b>c，
因此a>b>c，
故选：B
√1.02
1．已知a=ln(sin1.02)，b= ，c=ln1.02，则（ ）
51
A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<a<c
【答案】C
π
( )
【解析】因为y=sinx在 0, 内单调递增，
2
π
则0=sin0<sin1.02<sin =1，即sin1.02∈ (0,1)，
2
又因为y=lnx在(0,+∞)内单调递增，
则a=ln(sin1.02)<ln1=0，c=ln1.02>ln1=0，可得a<c；
x
令x=0.02，则b= ，c=ln(1+x)，
√1+xx
构建f (x)=ln(1+x)− ,x>0，
√1+x
x
√1+x−
则 1 2√1+x (√1+x−1) 2 ，
f'(x)= − =− <0
1+x 1+x 2(1+x)√1+x
可知f (x)在(0,+∞)上递减，则f (0.02)<f (0)=0，即c<b；
综上所述：a<c<b.
故选：C.
1 1 π 1
2．若a= ，b=cos( − )，c= ，则a、b、c满足的大小关系式是（ ）.
3 3 2 π
A．a>b>c B．a<b<c C．a>c>b D．b>c>a
【答案】A
1 1 1 π 1
【解析】显然 > ，即a>c，而b=cos( − )=sin ，
3 π 3 2 3
设f(x)=x−sinx(0<x<1)，求导得f' (x)=1−cosx>0,f(x)在(0,1)上单调递增，
1 1
则f(x)>f(0)=0，即当0<x<1时，x>sinx，因此a= >sin =b；
3 3
x3 x2
设g(x)=sinx−x+ (0<x<1)，求导得g' (x)=cosx−1+ ，
6 2
x2
令φ(x)=cosx−1+ (0<x<1)，φ' (x)=−sinx+x>0，
2
则函数φ(x)，即g' (x)在(0,1)上单调递增，g' (x)>g' (0)=0，
x3
即函数g(x)在(0,1)上单调递增，于是g(x)>g(0)=0，则当0<x<1时，sinx>x− ，
6
1 3
( ) 1 1 1
从而 1 1 3 1 1 53 ，而 ≈0.318，即有b=sin > =c，
sin > − = − = ≈0.327 π 3 π
3 3 6 3 162 162
所以a>b>c.
故选：A
1 3
3．设a=√e−1,b= ,c=1−ln ，则（ ）
2 2A．c>a>b B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
【答案】B
1
【解析】因为a=√e−1>√2.25−1= ，所以a>b；
2
3 3 3 1 3 1
因为函数y=lnx单调递增，√e> ，所以ln <ln√e，即ln < ，则1−ln > ，所以c>b；
2 2 2 2 2 2
1
构造函数f
(x)=ex−1−2x+1+lnx，则f'(x)=ex−1−2+
，
x
1 1
令g(x)=ex−1−2+ ，则g'(x)=ex−1−
，
x x2
显然g'(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g'(x)≥g'(1)=0，
故f'(x)在[1,+∞)上单调递增，所以f'(x)≥f'(1)=0，所以f (x)在[1,+∞)上单调递增，
(3) 3 3 3
从而f >f (1)=0，故有√e−2× +1+ln >0，整理得√e−1>1−ln ，
2 2 2 2
所以a>c，故a>c>b．
故选：B
题型五：数形结合
【典例5-1】函数f (x)=2x+x，g(x)=log x+x，ℎ(x)=√x+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c，的
2
大小顺序为（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
【答案】C
【解析】令f (x)=0，即2x=−x，
令g(x)=0，即log x=−x，
2
令ℎ(x)=0，即√x=−x，分别作出y=2x，y=log x，y=√x和y=−x的图象，
2
如图所示：由图象可知：c=0，所以b>c>a.
故选：C.
a b c
【典例5-2】实数a,b,c∈ R满足a−4=ln <0，b−3=ln <0，c−2=ln <0，则a，b，c的大小为
4 3 2
（ ）
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
【答案】D
x−1
【解析】设f (x)=x−lnx，则f'(x)= ，令f'(x)>0⇒x>1，f'(x)<0⇒x<1，
x
∴f (x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，f (x)≥f (1)=1
由条件可知f (a)=f (4)>f (b)=f (3)>f (c)=f (2)，
a b c
且a−4=ln <0，b−3=ln <0，c−2=ln <0，故有a<4,b<3,c<2，
4 3 2
如下图所示，作出函数简图，可知a,b,c<1，由f (a)>f (b)>f (c)⇒a<b<c，
故选：D
转化为两函数图象交点的横坐标
3x
【变式5-1】[新考法]已知函数f (x)= .设a+b+c=0,abc<0，则（ ）
1+3x3 3
A．f (a)+f (b)+f (c)< B．f (a)+f (b)+f (c)≤
2 2
3 3
C．f (a)+f (b)+f (c)> D．f (a)+f (b)+f (c)≥
2 2
【答案】C
【解析】由题意，函数f(x)的定义域为R，
1 3x 1 3x−1 1 1
令g(x)=f(x)− = − = = − ，
2 1+3x 2 2(3x+1) 2 3x+1
3−x−1 1−3x
则g(−x)= = =−g(x)，
2(3−x+1) 2(3x+1)
3x−1 1 1
所以g(x)为奇函数，且g(x)= = − 在R单调递增，如图所示，
2(3x+1) 2 3x+1
因为a+b+c=0,abc<0，
所以不妨设a<0,c>b>0，
设点A(b+c,g(b+c))，
g(b+c)
则OA的直线方程为y= x，
b+c
g(b+c) g(b+c)
如图，因为g(b)> b,g(c)> c，
b+c b+c
g(b+c) g(b+c) g(b+c)
所以两式相加得g(b)+g(c)> b+ c= (b+c)=g(b+c)，
b+c b+c b+c
又因为g(b+c)=g(−a)=−g(a)，
所以g(a)+g(b)+g(c)>g(b+c)+g(a)=−g(a)+g(a)=0，
1 1 1
所以f(a)− +f(b)− +f(c)− >0，
2 2 2
3
即f(a)+f(b)+f(c)>
.
2
故选：C.8 12 1
【变式5-2】已知a=0.80.5+0.80.7+0.80.9，b=0.60.8+0.70.8+0.80.8， c=e − 15+e − 35+e − 5，则
（ ）
A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a
【答案】A
【解析】设f (x)=0.8x，画出f (x)的图象，
故f (x)为下凸函数，
当x ≠x 时 f (x 1 )+f (x 2 ) >f (x 1 +x 2 ) ，
1 2 2 2
所以0.80.5+0.80.9>2×0.80.7，a=0.80.5+0.80.7+0.80.9>3×0.80.7．
设g(x)=x0.8(x>0)，画出g(x)图象，
故g(x)为上凸函数，当x ≠x 时 g(x 1 )+g(x 2 ) <g (x 1 +x 2 ) ，
1 2 2 2
所以b=0.60.8+0.70.8+0.80.8<3×0.70.8，同一坐标系内画出f (x)=0.8x和r(x)=0.7x的图象，
又y=0.7x在R上单调递减，故0.80.7>0.70.7>0.70.8，所以a>b．
1 1 1
设ℎ(x)=lnx−1+ (0<x<1)，则 ℎ'(x)= − <0，ℎ(x)在(0,1)上单调递减，
x x x2
所以0<x<1时ℎ(x)>ℎ(1)=0，
1 4( 5) 8
所以lnx>1− ，0.8ln0.6> 1− =− ，
x 5 3 15
8 12 1
所以 0.60.8>e − 15，同理可得 0.70.8>e − 35， 0.80.8>e − 5，
8 12 1
相加得 0.60.8+0.70.8+0.80.8>e − 15+e − 35+e − 5，b>c，
所以a>b>c．
故选：A
1．若实数a，b，c满足a2b=a3c=6，则下列不等关系中不可能成立的是（ ）
A．c<a<b B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c
【答案】D
6
【解析】由已知得2b=3c= ，易知a>0，
a
6
设直线l：y= ，作出y=2x，y=3x，直线l图象，
a6
如图：当 >1时，0<a<6，0<c<b，
a
6
当0< <1时，a>6，b<c<0，
a
所以a<b<c不可能成立，
故选:D.
2．已知(x ,y ),(x ,y )是函数y=log x图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（ ）
1 1 2 2 2
x +x y 1 +y 2 x +x y 1 +y 2 2 y + y 2 y + y
① 1 2<2 2 ；② 1 2>2 2 ；③log <− 1 2 ；④log >− 1 2 .
2 2 2 x +x 2 2 x +x 2
1 2 1 2
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】B
(x +x y + y )
【解析】如图所示，设A(x ,y )，B(x ,y )，AB的中点为M 1 2, 1 2 ，
1 1 2 2 2 2
( y 1 +y 2 y + y )
点N在函数y=log x的图象上，且MN//x轴，则N 2 2 , 1 2 ，
2
2
x +x y 1 +y 2
由图知点N在M的左侧，即 1 2>2 2 ，故①错误，②正确；
2
x +x y 1 +y 2 y + y 2 y + y
则log 1 2>log 2 2 = 1 2，即−log > 1 2 ，
2 2 2 2 2 x +x 2
1 2
2 y + y
即log <− 1 2 ，故③正确，④错误.
2 x +x 2
1 2
故选：B.题型六：特殊值法、估算法
【典例6-1】（2024·高三·四川·期中）已知(x ,y )、(x ,y )是函数y=log x图象上不同的两点，则（ ）
1 1 2 2 2
y + y x +x y + y x +x
A． 1 2<log 1 2 B． 1 2>log 1 2
2 2 2 2 2 2
x +x x +x
C．y + y <log 1 2 D．y + y >log 1 2
1 2 2 2 1 2 2 2
【答案】A
【解析】由题意不妨设0<x <x ，因为y=log x是增函数，所以log x <log x ，即y <y ．
1 2 2 2 1 2 2 1 2
(x +x ) 2
log x +log x =log (x x )<log 1 2 ，
2 1 2 2 2 1 2 2 2
x +x y + y x +x
则y + y <2log 1 2，即 1 2<log 1 2，A正确，B错误；
1 2 2 2 2 2 2
3 x +x
取x =1，x =2，则y =0，y =1，y + y =1=log 2>log =log 1 2，C错误．
1 2 1 2 1 2 2 22 2 2
1 1 1 3 x +x
取x = ，x = ，则y =−2，y =−1，y + y =−3=log <log =log 1 2，D错误．
1 4 2 2 1 2 1 2 28 28 2 2
故选：A.
【典例6-2】已知x,y∈ R，且x+ y>0，则（ ）
1 1
A． + >0 B．x3+ y3>0
x yC．lg(x+ y)>0 D．sin(x+ y)>0
【答案】B
1 1 x+ y 1 1
【解析】因为 + = ，又x+ y>0，故不能确定 + >0，
x y xy x y
1 1 1
反例为：x=2，y=−1，此时x+ y>0， + =− <0，A错误，
x y 2
因为x+ y>0，所以x>−y，又函数y=x3为增函数，
所以x3>(−y) 3=−y3，故x3+ y3>0，B正确，
当x+ y=1>0时，lg(x+ y)=0，C错误，
当x+ y=2π时，sin(x+ y)=0，D错误.
故选：B.
估算要比较数值的大致范围，从而判断其大小关系。
【变式6-1】设a=3e−0.2，b=2e0.2，c=2.4，则（ ）
A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a
【答案】D
b c
【解析】由题意，得 =e0.2 ， =1.2=0.2+1．
2 2
令f (x)=ex−x−1，x>0，则f'(x)=ex−1>0，
所以f (x)在(0,+∞)上单调递增，
所以f (x)>f (0)=0，即ex>x+1(x>0)，
b c
所以 > ，则b>c，故排除A，B．
2 2
因为
a
=
3
e−0.4 ，
(3) 5
=
243
≈7.59，(e0.4) 5 =e2≈7.39，
b 2 2 32所以 (a) 5 = (3) 5 (e−0.4) 5 ≈ 7.59 >1，所以 a >1，
b 2 7.39 b
所以a>b．
故选：D．
1 1
【变式6-2】（多选题）已知正数x,y满足x−y+1= − ，则（ ）
x y
A．lg(y−x+1)>0 B．cosy>cosx C．2025y−x>1 D．|y−2|>|x−2|
【答案】AC
1 1 1
【解析】由题意可得x− +1= y− >x− ，
x y x
1
令函数f (x)=x− ,x>0，易知f (x)在(0,+∞)上单调递增，
x
1 1
由x− <y− 可得f (x)<f (y)，即可得x<y；
x y
对于A，由y>x，可得y−x+1>1，故lg(y−x+1)>0，故A正确；
π 1+√5 π
对于B，分别取x=1< ，y= > ，则cosy<0<cosx,故B错误；
2 2 2
π 1+√5 π |√5−3|
对于D，分别取x=1< ，y= > ，|y−2|= <|x−2|=1，故D错误；
2 2 2 2
对于C，因为y−x>0，2025>1，则 2025y−x>1，故C正确.
故选：AC．
1
1．已知a=sin1.01，b= ，c=ln1.04，则a，b，c的大小关系是（ ）
1.02
A．b>a>c B．a>b>c C．a>c>b D．b>c>a
【答案】A
π π √2 √3
【解析】因为sin <sin1.01<sin ，所以 <a< ，
4 3 2 21
又b= ，所以b>a，
1.02
1
1.042<e，则1.04<√e，c=ln1.04<ln√e= ，
2
所以a>c，所以b>a>c.
故选：A.
2．已知a=log 0.05，b=0.51.002，c=20.05，则下列判断正确的是（ ）
2
A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．b<a<c
【答案】A
【解析】由对数函数性质知a=log 0.05<0，由指数函数性质知b=0.51.002 ∈(0,1)，
2
由指数函数性质知c=20.05>20=1，所以a<b<c．
故选：A．
5 3+log 2
3．已知a= ，b=√3，c= 3 ，则（ ）
3 2
A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a
【答案】D
25
【解析】∵ a2= <3=b2 ，∴ a<b，
9
1 3+log 2 7
∵ log 2>log √3= ，∴ c= 3 > ，
3 3 2 2 4
∵
(7) 2
=
49
>3，∴ c=
3+log
3
2
>
7
>√3=b，
4 16 2 4
∴ c>b>a.
故选：D.
题型七：放缩法
【典例7-1】（2024·高三·四川德阳·开学考试）已知a=log 2，b=log 3，c=0.51.2，比较a，b，c的大
3 4
小为（ ）A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．b>a>c
【答案】D
ln2 ln3 ln2⋅ln4−(ln3) 2
【解析】a−b= − = ，
ln3 ln4 ln3⋅ln4
因为ln2,ln4>0，
1 1
所以ln2+ln4>2√ln2⋅ln4，即ln2⋅ln4< (ln8) 2< (ln9) 2=(ln3) 2 ，
4 4
所以ln2⋅ln4<(ln3) 2，且ln3⋅ln4>0，
所以a<b，
1 1
又因为a=log 2>log √3= ,c=0.51.2<0.51= ，
3 3 2 2
所以a>c，
综上，b>a>c，
故选：D.
1
19 37
【典例7-2】（2024·河南·模拟预测）已知a=e19,b= ,c=1+ln ，则a,b,c的大小关系是（ ）
18 35
A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b
【答案】A
1
19
【解析】由a=e19,b= 可构造函数f (x)=ex−x−1，
18
则f'(x)=ex−1，令f'(x)=0，解得x=0，
因此可得当x∈ (0,+∞)时，f'(x)>0，即f (x)在(0,+∞)上单调递增，
当x∈ (−∞,0)时，f'(x)<0，即f (x)在(−∞,0)上单调递减，
可知f (x)在x=0处取得极小值，也是最小值，所以f (x)≥f (0)=0，
1
即ex≥x+1，故e−x≥−x+1，即 ≥1−x
ex1
1 19
1 e19< =
当0<x<1时，有ex< ，所以 1 18，可得a<b；
1−x 1−
19
2x
令g(x)=ln(x+1)− ,x>0，
x+2
1 4 x2
则g'(x)= − = >0，
x+1 (x+2) 2 (x+1)(x+2) 2
故g(x)在(0,+∞)上单调递增，
2x
可得g(x)>g(0)=0，即ln(x+1)> ，
x+2
2
2×
2 ( 2 ) 35 1 37 1 19
取x= ，则ln +1 > = ，所以1+ln >1+ = ，可得c>b；
35 35 2 18 35 18 18
+2
35
综上可得，a<b<c.
故选：A
放缩法比较指对幂大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的
形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保
比较结果的准确性。
【变式7-1】（2024·浙江杭州·一模）对∀x∈[1,+∞），不等式((lnax) 2−1)(ex−b)≥0恒成立，则
（ ）
( 1) ( 1)
A．若a∈ 0, ，则b≤e B．若a∈ 0, ，则b>e
e e
[1 ) [1 )
C．若a∈ ,e ，则ab=ee D．若a∈ ,e ，则ba=ee
e e
【答案】D
【解析】由((lnax) 2−1)(ex−b)≥0得(lnax−1)(lnax+1)(ex−b)≥0，对于选项A、B，若a∈ ( 0, 1) ，可令a= 1 ，不等式可化为(lnx−3)(lnx−1)(ex−b)≥0，
e e2
当x∈ [e3,+∞)时，lnx−3≥0,lnx−1>0，
要使(lnx−3)(lnx−1)(ex−b)≥0恒成立，则需ex−b≥0，即b≤ex恒成立，
∴b≤(ex ) =ee3 ，
min
当x∈(e,e3 )时，lnx−3<0,lnx−1>0，
要使(lnx−3)(lnx−1)(ex−b)≥0恒成立，则需ex−b≤0，即b≥ex恒成立，
∴b≥(ex
) ，
max
∴b≥ee3，
当x∈[1,e]时，lnx−3<0,lnx−1≤0，
要使(lnx−3)(lnx−1)(ex−b)≥0恒成立，则需ex−b≥0，即b≤ex恒成立，
∴b≤(ex ) =e，
min
综上可得，不存在b使得不等式(lnx−3)(lnx−1)(ex−b)≥0恒成立，选项A、B错误.
[1 )
对于选项C、D，若a∈ ,e ，
e
∵x∈[1,+∞）
1
∴ax≥ ，
e
∴lnax+1≥0，
要使不等式(lnax−1)(lnax+1)(ex−b)≥0恒成立，则需(lnax−1)(ex−b)≥0，
∵函数y=lnax−1,y=ex−b在[1,+∞）为增函数，
∴函数y=lnax−1,y=ex−b有相同的零点，
e
由lnax−1=0得x= ，由ex−b=0得，x=lnb，
ae
∴ =lnb，即e=alnb，
a
∴lnee=lnba，
∴ba=ee，选项D正确.
故选D.
1 3
【变式7-2】已知a=√e−1，b=sin ，c=ln ，则（ ）
2 2
A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a
【答案】D
【解析】构造m(x)=ex−x−1，0≤x≤1，
则m'(x)=ex−1≥0对0≤x≤1恒成立，则m(x)在[0,1]单调递增，
此时m(x)=ex−x−1≥m(0)=0，当且仅当x=0时取等，
(1) 1 1
所以m =√e− −1>0，则a=√e−1> ；
2 2 2
构造n(x)=ln(1+x)−x，0≤x≤1，
1 −x
则n'(x)= −1= ≤0对0≤x≤1恒成立，则n(x)在[0,1]单调递减，
x+1 x+1
此时n(x)=ln(1+x)−x≤n(0)=0，当且仅当x=0时取等，
(1) 3 1 3 1
所以n =ln − <0，则c=ln < ；
2 2 2 2 2
构造p(x)=sinx−x，0≤x≤1，
则p'(x)=cosx−1≤0对0≤x≤1恒成立，则p(x)在[0,1]单调递减，
此时p(x)≤p(0)=0，当且仅当x=0时取等，
(1) 1 1 1 1
所以p =sin − <0，则b=sin < ；
2 2 2 2 2
则a>c，a>b；
下面比较b和c的大小：π 1 1−cosx−xcosx
设f (x)=ln(1+x)−sinx，0<x< ，f'(x)= −cosx= ，
6 1+x 1+x
π
设g(x)=1−cosx−xcosx，0<x< ，g'(x)=sinx−(cosx−xsinx)=(x+1)sinx−cosx，
6
π π 1 π √3
易知g'(x)在 ( 0, ) 上单调递增，则g'(x)<g'( )= ( 1+ ) − <0，
6 6 2 6 2
π
( )
所以g(x)在 0, 上单调递减，g(x)<g(0)=0，
6
π π
即f'(x)<0在 ( 0, ) 上恒成立，则f (x)在 ( 0, ) 上单调递减，
6 6
由
1
∈ ( 0,
π
) ，则f
(1)
<f (0)=0，即ln
3
<sin
1
，则c<b，
2 6 2 2 2
综上所述，c<b<a.
故选：D.
1．已知a=log 3+log 4，3a+4a=5b，则（ ）
2 9
A．a>b>2 B．b>a>2 C．a>2>b D．b>2>a
【答案】A
【解析】 ∵ log 3>0，log 4>0，
2 9
1 √ 1
∴a=log 3+log 4=log 3+log 2=log 3+ ≥2 log 3⋅ =2，
2 9 2 3 2 log 3 2 log 3
2 2
1
∵log 3≠ ，∴等号取不到，
2 log 3
2
∴a>2，
∵ 3a+4a=5b，
∴ 5b=3a+4a>32+42=52，
∴b>2，3 x 4 x
令f (x)=( ) +( ) −1，
5 5
3 4
∵ < <1，∴f (x)单调递减，且f (2)=0，
5 5
∴f (a)<0，可得 3a+4a<5a．
于是 5b<5a，
∴b<a，
∴a>b>2．
故选：A.
2．已知a=log 7，b=log 8，c=log 10，则a，b，c的大小关系是（ ）
5 6 8
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a
【答案】A
【解析】因5log 6 8=(6× 5 ) log 6 8 =6log 6 8×( 5 ) log 6 8 <8×( 5 ) log 6 6 = 20 <7=5log 5 7 ，
6 6 6 3
故log 8<log 7，即b<a；
6 5
又6log 8 10=(8× 6 ) log 8 10 =8log 8 10×( 3 ) log 8 10 <10×( 3 ) log 8 8 = 15 <8=6log 6 8 ，
8 4 4 2
故log 10<log 8，即c<b.
8 6
故有c<b<a即a>b>c.
故选：A.
21
3．设a=tan0.21，b=ln1.21,c= ，则下列大小关系正确的是 （ ）
22
A．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a
【答案】B
π
【解析】设
ℎ(x)=tanx−x,0<x<
，则
2
cosx⋅cosx−(−sinx)sinx 1 π
ℎ'(x)= −1= −1>0,0<x< ，
cos2x cos2x 2π
( )
所以ℎ(x)=tanx−x在 0, 上单调递增，
2
π
所以ℎ(x)=tanx−x>ℎ(0)=0，即tanx>x,0<x<
，
2
π 1 x
令f (x)=x−ln(1+x),0<x< ，则f'(x)=1− = >0，
2 1+x 1+x
π
( )
所以f (x)=x−ln(1+x)在 0, 上单调递增，
2
π
( )
从而f (x)=x−ln(1+x)>f (0)=0，即x>ln(1+x)，x∈ 0, ，
2
π
( )
所以tanx>x>ln(1+x)，x∈ 0, ，
2
从而当x=0.21时，a=tan0.21>b=ln1.21，
π √3 2 44 63 21
a=tan0.21<tan = < = < = =c，
6 3 3 66 66 22
所以c>a>b.
故选：B.
题型八：同构法
π
( )
【典例8-1】[新考法]已知α,β∈ 0, ，且eα−2cos2α=eβ−sin2β−1=0，则（ ）
2
A．α>β B．α=β
C．α<β D．无法确定α，β的大小
【答案】C
【解析】令f (x)=ex−2cos2x，则f'(x)=ex+4sin2x，
π
( )
当x∈ 0, 时，2x∈ (0,π)，sin2x>0，
2
故f'(x)=ex+4sin2x>0恒成立，π
故f (x)=ex−2cos2x在x∈ ( 0, ) 上单调递增，
2
π π
π π
又f (0)=1−2=−1<0，f ( )=e4 −2cos =e4 >0，
4 2
π
( )
由零点存在性定理得α∈ 0, ，
4
令g(x)=ex−sin2x−1，则g'(x)=ex−2cos2x，
π
由上面的求解可知g'(x)=ex−2cos2x在x∈ ( 0, ) 上单调递增，
2
π
且存在α∈ ( 0, ) ，使得g'(α)=0，
4
π
当x∈ (0,α)时，g'(x)<0，当x∈ ( α, ) 时，g'(x)>0，
2
π
所以g(x)=ex−sin2x−1在x∈ (0,α)上单调递减，在x∈ ( α, ) 上单调递增，
2
π
π
又g(0)=0，g ( )=e2 −1>0，
2
π
( )
故零点β∈ α, ，使得g(β)=0，
2
所以α<β.
故选：C
【典例8-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知0<a<b,log x+log y<log y+log x，则下列说法正
a b a b
确的是（ ）
A．当log b>0时，x>y B．当log b>0时，x<y
a a
C．当log b<0时，x<y D．当log b<0时，x,y大小不确定
a a
【答案】B
【解析】由0<a<b,log x+log y<log y+log x可知，x>0,y>0，
a b a b移项可得log x−log y<log x−log y，
a a b b
x x
即log <log ，
a y b y
x
当0<a<b<1时，log b>0，此时 <1，即x<y，故A错，B对，
a y
x
当1<a<b时，log b>0，此时 <1，即x<y，故A错，B对，
a y
x
当0<a<1<b时，log b<0，此时 >1，即x>y，故C，D错，
a y
故选：B.
同构法比较指对幂大小，核心在于构造相同结构的函数。通过变形使待比较式具有相同函数形式，利
用函数单调性或图像直观比较大小。关键在于准确识别并构造同构函数，简化比较过程。
1
【变式8-1】（2024·高三·江西·期中）已知 a>0,b>0,ea=ab(1+lnb) ，则（ ）
A．lnb>a B．alnb>1
C．e>ba D．a(1+lnb)<1
【答案】C
【解析】A选项，当b∈ (0,1)时，lnb<0，因为a>0，所以A错误；
1
1 1
C选项，a>0,b>0，由 ea=ab(1+lnb) ，得 ea=blnb+b=elnblnb+b>elnblnb，
a
(1)
令f (x)=xex，则f >f (lnb)，
a
f'(x)=(x+1)ex，由f'(x)>0，得x>−1，由f'(x)<0，得x<−1，
则函数f (x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，且x<0时，f (x)<0，当x>0时，f (x)>0，
(1) 1 1
因为a>0，由f
a
>f (lnb)，得
a
>lnb，即
ea>b
，所以e>ba，选项C正确；
B选项，由C知e>ba，则lne>lnba，即1>alnb，所以B错误；
1 1
D选项，因为 ea>b,ea=ab(1+lnb) ，所以ab(1+lnb)>b，得a(1+lnb)>1，D错误.
故选：C.
【变式8-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足log a+log 3=log b+log 4，则下
3 b 3 a
列关系式中可能正确的是（ ）
A．∃a,b∈(0,+∞)，使|a−b|>1 B．∃a,b∈(0,+∞)，使ab=1
C．∀a,b∈(1,+∞)，有b<a<b2 D．∀a,b∈(0,1)，有b<a<√b
【答案】ABC
【解析】由log a+log 3=log b+log 4
3 b 3 a
1 1
得log b− =log a− ，
3 log b 3 log a
3 4
1
令f(x)=log x− ，则f(x)分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，
3 log x
3
1
令g(x)=log x− ，则g(x)分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，
3 log x
4
当x∈(0,1)时，f (x)的值域为R，当x∈(2,+∞)时，g(x)的值域为(log 2−2,+∞)，
3
所以存在b∈(0,1),a∈(2,+∞)，使得f(b)=g(a)；同理可得，存在b∈(2,+∞),a∈(0,1)，使得f(b)=g(a)，
因此∃a,b∈(0,+∞)，使|a−b|>1，故选项A正确．
令ab=1，则方程log a+log 3=log b+log 4
3 b 3 a
可化为log 3+log 4=2log b，
b b 3
ln3×ln12
由换底公式可得(lnb) 2= >0，
2
显然关于b的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a,b∈(0,+∞)，使ab=1，故选项B正确．
1 1 1
当a,b∈(1,+∞)时，因为log b− =log a− <log a− ，所以f(b)<f(a)．
3 log b 3 log a 3 log a
3 4 3
又f (x)在(1,+∞)上单调递增，所以b<a．
1 1 1
因为log b− =log a− >log a− ，
3 log b 3 log a 4 log a
3 4 4
1
令ℎ(x)=x− ，则ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增．
x
因为ℎ(log b)>ℎ(log a)，所以log b>log a，
3 4 3 4
从而log b>log a=log √a>log √a，所以b>√a．
3 4 2 3
综上所述，b<a<b2，故选项C正确．
1 1 1
当a,b∈(0,1)时，因为log b− =log a− >log a− ，所以f(b)>f(a)．
3 log b 3 log a 3 log a
3 4 3
又f (x)在(0,1)上单调递增，所以b>a．
1 1 1
因为log b− =log a− <log a− ．
3 log b 3 log a 4 log a
3 4 4
1
令ℎ(x)=x− ，则ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
x
因为ℎ(log b)<ℎ(log a)，所以log b<log a，
3 4 3 4从而log b<log a=log √a<log √a，所以b<√a．
3 4 2 3
综上所述，b2<a<b，故选项D错误．
故选：ABC．
1．若正数a，b，c满足ea+2a=eb+3b=ec+c（e为自然对数底数），则（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
【答案】D
【解析】令f (x)=ex+x，显然f (x)在R上单调递增，
又a，b，c为正数，所以ec+c=ea+2a>ea+a，即f (c)>f (a)，所以c>a，
令g(x)=ex+2x，则g(x)在R上单调递增，又ea+2a=eb+3b>eb+2b，即g(a)>g(b)，所以a>b，
综上可得c>a>b.
故选：D
2．已知正数a，b，c满足alnb=bec=ca，则（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．b>c>a
【答案】A
【解析】由alnb=ca得c=lnb，即b=ec，所以b−c=ec−c，
令ℎ(x)=ex−x(x>0)，ℎ' (x)=ex−1(x>0)，
当x∈(0,+∞)时，ℎ' (x)>0，ℎ(x)在(0,+∞)单调递增，
所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，所以ℎ(c)=ec−c>0，
则有b−c=ec−c>0，所以b>c；
e2c
由bec=ca得ec·ec=ca，即a= ，
ce2c e2c−cec ec (ec−c)
所以a−b= −ec= = ，
c c c
因为ec>0,c>0,ec−c>0，所以a−b>0，即a>b，故a>b>c．
故选：A.
3．（多选题）已知a>0，b>0且满足ab−2b+bln(ab)=e，则下列结论一定正确的是（ ）
A．ab>e B．ab<e C．ab>e2 D．ab<e2
【答案】AD
【解析】等式ab−2b+bln(ab)=e，等号两边同除以b，
e
可得a−2+ln(ab)= ，
b
e
所以a+lna= −lnb+2，
b
e
所以a+lna= +(1−lnb)+1，
b
e e
所以a+lna= +ln +1，
b b
e e (e)
构造函数a+lna= +ln +1，则f (a)=f +1，
b b b
显然，函数f (x)=x+lnx在定义域(0,+∞)内是增函数，
e
所以a> ，即ab>e．
b
而ab−e=b(2−ln(ab))，而ab>e，
故2−ln(ab)>0，故ab<e2，故D正确.
故选：AD．重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法
1 1 1
【典例9-1】[新考法]若a= ,b=sin ,c= ，则a、b、c满足的大小关系式是（ ）
3 3 π
A．a>b>c B．a<b<c C．a>c>b D．b>c>a
【答案】A
1 1
【解析】由于 > ，所以a>c.
3 π
设f (x)=x−sinx(0≤x≤1)，
f'(x)=1−cosx>0,f (x)在[0,1]上单调递增，
所以f (x)≥f (0)=0，所以当0<x<1时，f (x)>0，
(1) 1 1 1 1
则f = −sin >0, >sin ，即a>b.
3 3 3 3 3
x3
设g(x)=sinx−x+ (0≤x≤1)，
6
x2
(
x2
)
'
g'(x)=cosx−1+ , cosx−1+ =−sinx+x≥0，
2 2
所以g'(x)在[0,1]上单调递增，g'(x)≥g'(0)=0，
所以g(x)在[0,1]上单调递增，g(x)≥g(0)=0，
x3 x3
所以当0<x<1时，g(x)>0，即sinx−x+ >0,sinx>x− ，
6 6
(1) 3
所以 1 1 3 1 1 53 ，
sin > − = − = ≈0.327
3 3 6 3 162 162
1 1 1
而 ≈0.318，所以sin > ,b>c，所以a>b>c.
π 3 π
故选：A
1
【典例9-2】已知a=e0.2−1，b=ln1.2，c= ，则（ ）
6A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b
【答案】B
0.22+6×0.2+12 13.24
【解析】利用帕德逼近，得a=e0.2−1≈ −1= −1≈0.2214，
0.22−6×0.2+12 10.84
3×1.22−3 1.32 1
b=ln1.2≈ = ≈0.1823，c= ≈0.1666，综上，c<b<a．
1.22+4×1.2+1 7.24 6
故选：B
帕德逼近估算法比较指对幂大小，即通过构造有理函数逼近原函数，利用逼近函数的性质来估计原函
数值的大小，从而比较指对幂的大小。关键在于选择合适的逼近阶数，以确保逼近的精度和有效性。
31 1 1
【变式9-1】已知a= ,b=cos ,c=4sin ，则（ ）
32 4 4
【答案】A
31 0.252 1 0.252 0.254
【解析】设x=0.25，则a= =1− ，b=cos ≈1− + ，
32 2 4 2 4!
1
sin
1 4 0.252 0.254
c=4sin = ≈1− + ，计算得c>b>a，故选A．
4 1 3! 5!
4
ln1.5
【变式9-2】已知a=e0.3，b= +1，c=√1.5，则（ ）
2
A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．a<c<b
【答案】B
【解析】利用帕德逼近可得，
0.32+6×0.3+12 13.89
a=e0.3≈ = ≈1.3499
0.32−6×0.3+12 10.29
ln1.5 1 3×1.52−3 1 3.75
b= +1≈ × +1= × +1≈1.2027
2 2 1.52+4×1.5+1 2 9.25
1 1
c=√1.5=√1+0.5≈1+ ×0.5− ×0.52=1.21875
2 8
综上，b<c<a．
故选：B．1
1．设a=0.1e0.1,b= ,c=−ln0.9，则（ ）
9
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b
【答案】C
( (0.01) 2 ) 1
【解析】a=0.1e0.1≈0.1 1+0.1+ =0.1105，b= ≈0.1111
2 9
(1) 2
10 ( 1) 1 9
c=−ln0.9=ln =ln 1+ ≈ − =0.1049
9 9 9 2
∴c<a<b
故选C
2．a=2ln1.01,b=ln1.02,c=√1.04−1，则（ ）
A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．a<c<b
【答案】B
(0.01) 2 (0.01) 3 )
【解析】a=2ln1.01=2ln(1+0.01)≈2(0.01− + =0.0199，
2 3
(0.02) 2
b=ln(1+0.02)≈0.02− =0.0198，
2
1(
−
1)
(0.04) 2
1 1 2 2
c=√1.04−1=(1+0.04)2−1≈1+ ×0.04+ −1=0.02−0.00002=0.0198
2 2
∴b<c<a，故选B
