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2016年贵州省铜仁市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备
选答案，其中只有一个是正确的．请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上
1．（4分） 的相反数等于（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（4分）如图是我国几家银行的标志，其中即是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（4分）单项式 的系数是（ ）
A． B． C．2 D．
π
4．（4分）已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离是（
）
A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．以上都不对
5．（4分）今年，我市全面启动“精准扶贫”工作，某校为了了解九年级贫困生人数，对该校
九年级6个班进行摸排，得到各班贫困生人数分别为12，12，14，10，18，16，这组数据的众
数和中位数分别是（ ）
A．12和10 B．12和13 C．12和12 D．12和14
6．（4分）下列命题为真命题的是（ ）
A．有公共顶点的两个角是对顶角 B．多项式x2﹣4x因式分解的结果是x（x2﹣4）
C．a+a＝a2 D．一元二次方程x2﹣x+2＝0无实数根
7．（4分）我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日
至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭和大雁分别从南海和北海同时起
飞，经过x天相遇，可列方程为（ ）
第1页（共26页）A．（9﹣7）x＝1 B．（9+7）x＝1 C．（ ﹣ ）x＝1 D．（ + ）x＝1
8．（4分）如图，在同一直角坐标系中，函数y＝ 与y＝kx+k2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，
PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
10．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE．将△ADE沿AE对
折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论： △ABG≌△AFG； BG
＝GC； EG＝DE+BG； AG∥CF； S△FGC ＝3.6．其中正①确结论的个数是（ ② ）
③ ④ ⑤
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）计算：|﹣ |＝ ．
12．（4分）太和殿（明朝称为奉天殿、黄极殿），俗称“金銮殿”，面积为2377.00m2，用科学记
第2页（共26页）数法表示这个数是 ．
13．（4分）方程 ﹣ ＝0的解为 ．
14．（4分）函数 的自变量x取值范围是 ．
15．（4分）将矩形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，试问∠AEF+∠BEG＝
．
16．（4分）如图，点A，B，C在 O上，∠OBC＝18°，则∠A＝ ．
⊙
17．（4分）为全面推进“新两基”（基本普及15年教育及县域内义务教育基本均衡）工作，
某县对辖区内的80所中小学上半年工作情况进行了专项督导考核，成绩分别记为A，B，
C，D四等，绘制了扇形统计图（如图），则该县被考核的学校中得A等成绩的有 所．
18．（4分）如图是小强用铜币摆放的4个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第n个图案需要
个铜币．
三、解答题：（本大题共4个小题，第19题每小题5分，第20，21，22题每小题5分，共40分，
第3页（共26页）要有解题的主要过程）
19．（5分）计算：（﹣1）2016﹣ +（cos60°）﹣1+（ ﹣ ）0+83×
（﹣0.125）3．
20．（5分）化简（ + ）÷ ，然后选一个合适的数代入求值．
21．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在
AC，BC上，求证：DE＝DF．
22．（10分）在四个完全相同的小球上分别标上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的
口袋里搅匀，小明同学随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记
下标号．
（1）请你用画树状图或列表的方法分别表示小明同学摸球的所有可能出现的结果．
（2）按照小明同学的摸球方法，把第一次取出的小球的数字作为点M的横坐标，把第二次取
出的小球的数字作为点M的纵坐标，试求出点M（x，y）落在直线y＝x上的概率是多少？
第4页（共26页）23．（10分）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：
sin（ ± ）＝sin cos ±cos sin
α β α β α β
tan（ ± ）＝
α β
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan75°＝tan（45°+30°）＝ ＝ ＝2+
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
（1）计算：sin15°；
（2）某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．
李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C处，
在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．
四、解答题(本大题满分12分)
24．（12分）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场
调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提
高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
第5页（共26页）（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
五、解答题（本大题满分12分）
25．（12分）如图，已知AB是 O的直径，点P为圆上一点，点C为AB延长线上一点，PA＝
PC，∠C＝30°． ⊙
（1）求证：CP是 O的切线．
（2）若 O的直径⊙为8，求阴影部分的面积．
⊙
六、解答题(本大题满分14分)
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点
C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM
与Rt△BOC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共26页）2016 年贵州省铜仁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备
选答案，其中只有一个是正确的．请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上
1．（4分） 的相反数等于（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
【考点】14：相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解： 的相反数等于 ，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数相反数．
2．（4分）如图是我国几家银行的标志，其中即是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：中国银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
中国工商银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
中国人民银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
中国农业银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
中国建设银行标志：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对
第7页（共26页）折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
3．（4分）单项式 的系数是（ ）
A． B． C．2 D．
π
【考点】42：单项式．
【分析】直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，进而得出答案．
【解答】解：单项式 的系数是： ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了单项式的定义，正确把握单项式系数的定义是解题关键．
4．（4分）已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离是（
）
A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．以上都不对
【考点】JC：平行线之间的距离．
【分析】分 直线c在直线a、b外， 直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解．
【解答】解①：如图， 直线c在a、b②外时，
∵a与b的距离为5cm①，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5+2＝7cm，
直线c在直线a、b之间时，
②∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5﹣2＝3cm，
综上所述，a与c的距离为3cm或7cm．
故选：C．
第8页（共26页）【点评】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，
垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
5．（4分）今年，我市全面启动“精准扶贫”工作，某校为了了解九年级贫困生人数，对该校
九年级6个班进行摸排，得到各班贫困生人数分别为12，12，14，10，18，16，这组数据的众
数和中位数分别是（ ）
A．12和10 B．12和13 C．12和12 D．12和14
【考点】W4：中位数；W5：众数．
【分析】依据众数和中位数的定义解答即可．
【解答】解：∵12出现的次数最多，
∴众数为12．
将这组数据按照从小到大的顺序排列：10、12、12、14、16、18．
中位数＝ ＝13．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是众数和中位数的定义，掌握众数和中位数的定义是解题的关键．
6．（4分）下列命题为真命题的是（ ）
A．有公共顶点的两个角是对顶角
B．多项式x2﹣4x因式分解的结果是x（x2﹣4）
C．a+a＝a2
D．一元二次方程x2﹣x+2＝0无实数根
【考点】O1：命题与定理．
【分析】分别利用对顶角的定义以及分解因式、合并同类项法则、根的判别式分析得出答案．
【解答】解：A、有公共顶点的两个角不一定是对顶角，故此选项错误；
B、多项式x2﹣4x因式分解的结果是x（x+2）（x﹣2），故此选项错误；
C、a+a＝2a，故此选项错误；
D、一元二次方程x2﹣x+2＝0，b2﹣4ac＝﹣7＜0，故此方程无实数根，正确．
故选：D．
第9页（共26页）【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定义是解题关键．
7．（4分）我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日
至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭和大雁分别从南海和北海同时起
飞，经过x天相遇，可列方程为（ ）
A．（9﹣7）x＝1 B．（9+7）x＝1 C．（ ﹣ ）x＝1 D．（ + ）x＝1
【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】直接根据题意得出野鸭和大雁的飞行速度，进而利用它们相向而行何时相逢进而得
出等式．
【解答】解：设野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为：
（ + ）x＝1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出每天飞行的距离是解
题关键．
8．（4分）如图，在同一直角坐标系中，函数y＝ 与y＝kx+k2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】F3：一次函数的图象；F7：一次函数图象与系数的关系；G2：反比例函数的图象；G4：
反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数y＝ 与一次函数y＝kx+k2中系数k的符号进行分类讨论即可．
【解答】解：∵函数y＝ 与y＝kx+k2的系数k相同，k2＞0，
∴当k＞0时，直线经过一二三象限，双曲线分布在一三象限，与各选项不符；
第10页（共26页）当k＜0时，直线经过一二四象限，双曲线分布在二四象限，与C选项符合，
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解决问题的关键是掌握反比例函数
的性质以及一次函数图象与系数的关系．
9．（4分）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，
PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】JA：平行线的性质；KF：角平分线的性质．
【专题】11：计算题．
【分析】作PE⊥OA于E，如图，先利用平行线的性质得∠ECP＝∠AOB＝30°，则PE＝ PC＝
2，然后根据角平分线的性质得到PD的长．
【解答】解：作PE⊥OA于E，如图，
∵CP∥OB，
∴∠ECP＝∠AOB＝30°，
在Rt△EPC中，PE＝ PC＝ ×4＝2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PE⊥OA，PD⊥OB，
∴PD＝PE＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．解决本题的
关键是把求P点到OB的距离转化为点P到OA的距离．
10．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE．将△ADE沿AE对
第11页（共26页）折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论： △ABG≌△AFG； BG
＝GC； EG＝DE+BG； AG∥CF； S△FGC ＝3.6．其中正①确结论的个数是（ ② ）
③ ④ ⑤
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】先计算出DE＝2，EC＝4，再根据折叠的性质AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D
＝90°，∠FAE＝∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB＝GF，
∠BAG＝∠FAG，所以∠GAE＝ ∠BAD＝45°；GE＝GF+EF＝BG+DE；设BG＝x，则GF
＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x
＝3，则BG＝CG＝3，则点G为BC的中点；同时得到GF＝GC，根据等腰三角形的性质得
∠GFC＝∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB＝∠AGF，然后根据三角形外角性
质得∠BGF＝∠GFC+∠GCF，易得∠AGB＝∠GCF，根据平行线的判定方法得到
CF∥AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为 ，可计算
S△FGC ．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE＝2DE，
∴DE＝2，EC＝4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，
∴∠GAE＝∠FAE+∠FAG＝ ∠BAD＝45°，所以 正确；
①
第12页（共26页）设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，
在Rt△CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x，
∵CG2+CE2＝GE2，
∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，
∴BG＝3，CG＝6﹣3＝3
∴BG＝CG，所以 正确；
∵EF＝ED，GB＝②GF，
∴GE＝GF+EF＝BG+DE，所以 正确；
∵GF＝GC， ③
∴∠GFC＝∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
而∠BGF＝∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF＝∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴CF∥AG，所以 正确；
过F作FH⊥DC ④
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴ ，
EF＝DE＝2，GF＝3，
∴EG＝5，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比为： ＝ ，
∴S△FGC ＝S△GCE ﹣S△FEC ＝ ×3×4﹣ ×4×（ ×3）＝ ＝3.6，所以 正确．
⑤
故正确的有 ，
故选：D．①②③④⑤
第13页（共26页）【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状
和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了三角形全等的判定与性质、勾股
定理和正方形的性质．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）计算：|﹣ |＝ ．
【考点】15：绝对值．
【分析】根据一个负实数的绝对值等于它的相反数求解即可．
【解答】解：|﹣ |＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了实数绝对值的定义：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值
是它的相反数，0的绝对值是0．
12．（4分）太和殿（明朝称为奉天殿、黄极殿），俗称“金銮殿”，面积为2377.00m2，用科学记
数法表示这个数是 2.377×1 0 3 m 2 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】分析：科学记数法表示数，就是把一个数写成a×10n形式，其中a为整数，且1≤|a|＜
10，n为整数．
【解答】解：2377.00＝2.377×103
故答案为：2.377×103m2
【点评】本题考查科学记数法的记法．正确理解科学表示方法是正确求解的关键．
13．（4分）方程 ﹣ ＝0的解为 x ＝﹣ 3 ．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】依据解分式方程的步骤： 去分母； 求出整式方程的解； 检验； 得出结论．
【解答】解：去分母，得：5x﹣3（①x﹣2）＝0②， ③ ④
整理，得：2x+6＝0，
解得：x＝﹣3，
第14页（共26页）经检验：x＝﹣3是原分式方程的解，
故答案为：x＝﹣3．
【点评】本题主要考查解分式方程能力，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．
14．（4分）函数 的自变量x取值范围是 x ≥ 1 ，且 x ≠ 3 ．
【考点】62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件；E4：函数自变量的取值范围．
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二
次根式的意义，被开方数x﹣1≥0；根据分式有意义的条件，x﹣3≠0，则函数 的
自变量x取值范围就可以求出．
【解答】解：根据题意得：
解得x≥1，且x≠3，
即：自变量x取值范围是x≥1，且x≠3．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
15．（4分）将矩形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，试问∠AEF+∠BEG＝
90° ．
【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】17：推理填空题．
【分析】根据翻折的定义可以得到各角之间的关系，从而可以得到∠AEF+∠BEG的度数，从
而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
∠AEF＝∠FEA′，∠BEG＝∠GEA′，
∵∠AEF+∠FEA′+∠BEG+∠GEA′＝180°，
第15页（共26页）∴∠AEF+∠BEG＝90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
16．（4分）如图，点A，B，C在 O上，∠OBC＝18°，则∠A＝ 72 ° ．
⊙
【考点】M5：圆周角定理．
【专题】11：计算题；559：圆的有关概念及性质．
【分析】由OB＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，进而求出∠BOC的度数，再利用圆周
角定理求出∠A的度数即可．
【解答】解：∵OB＝OC，∠OBC＝18°，
∴∠OBC＝∠OCB＝18°，
∴∠BOC＝144°，
∵∠A与∠BOC都对 ，
∴∠A＝72°，
故答案为：72°
【点评】此题考查了圆周角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关
键．
17．（4分）为全面推进“新两基”（基本普及15年教育及县域内义务教育基本均衡）工作，
某县对辖区内的80所中小学上半年工作情况进行了专项督导考核，成绩分别记为A，B，
C，D四等，绘制了扇形统计图（如图），则该县被考核的学校中得A等成绩的有 5 6 所．
【考点】VB：扇形统计图．
【分析】用总学校数×A等的百分比即可．
【解答】解：80×（1﹣25%﹣3%﹣2%）＝56（所）；
第16页（共26页）故答案为：56．
【点评】本题主要考查了扇形统计图，解题的关键是从扇形统计图得出正确的数据．
18．（4分）如图是小强用铜币摆放的4个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第n个图案需要
n （ n +1 ） +1 个 铜 币 ．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【分析】找出相邻两个图形铜币的数目的差，从而可发现其中的规律，于是可求得问题的答案．
【解答】解：n＝1时，铜币个数＝1+1＝2；
当n＝2时，铜币个数＝1+1+2＝4；
当n＝3时，铜币个数＝1+1+2+3＝7；
当n＝4时，铜币个数＝1+1+2+3+4＝11；
…
第n个图案，铜币个数＝1+1+2+3+4+…+n＝ n（n+1）+1．
故答案为： n（n+1）+1．
【点评】本题主要考查的是图形的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．
三、解答题：（本大题共4个小题，第19题每小题5分，第20，21，22题每小题5分，共40分，
要有解题的主要过程）
19．（5分）计算：（﹣1）2016﹣ +（cos60°）﹣1+（ ﹣ ）0+83×（﹣0.125）3．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】根据有理数的乘方法则、零次幂的性质、特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣3+2+1﹣1
＝0．
【点评】本题考查的是实数的运算，掌握有理数的乘方法则、零次幂的性质、特殊角的三角函
数值是解题的关键．
20．（5分）化简（ + ）÷ ，然后选一个合适的数代入求值．
第17页（共26页）【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】11：计算题．
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分得到原式＝﹣ ，再根据
分式有意义的条件把x＝10代入计算即可．
【解答】解：原式＝ •
＝﹣ ，
当x＝10时，原式＝﹣ ＝﹣ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出
分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要
进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
21．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在
AC，BC上，求证：DE＝DF．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
【专题】14：证明题．
【分析】连接CD，构建全等三角形，证明△ECD≌△FBD即可．
【解答】解：连接CD，
∵∠C＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝ AB＝BD，
∵AC＝BC，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠B＝45°，
∴∠CDF+∠BDF＝90°，
∵ED⊥DF，
第18页（共26页）∴∠EDF＝90°，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，
∴∠EDC＝∠BDF，
∴△ECD≌△FBD，
∴DE＝DF．
【点评】本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，运用了直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一的性质，同时要熟知等腰直角三角形的
特殊性：如两个锐角都是45°；在全等三角形的证明中，常运用同角的余角相等来证明角
相等．
22．（10分）在四个完全相同的小球上分别标上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的
口袋里搅匀，小明同学随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记
下标号．
（1）请你用画树状图或列表的方法分别表示小明同学摸球的所有可能出现的结果．
（2）按照小明同学的摸球方法，把第一次取出的小球的数字作为点M的横坐标，把第二次取
出的小球的数字作为点M的纵坐标，试求出点M（x，y）落在直线y＝x上的概率是多少？
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有可能的结果，注意是放回实验
还是不放回实验；
（2）由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y＝x的情况，再利用概率公式求解即可求
得答案．
【解答】解：（1）
列表得：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
第19页（共26页）3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
画树状图得：
则小明共有16种等可能的结果；
（2）由（1）中的表格知，共有16个结果，每种结果出现的可能性都相同，其中满足条件的点有
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）落在直线y＝x上；
∴点P（x，y）落在直线y＝x上的概率是 ＝ ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意区分放回与不放回实验，列表法或
画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况
数与总情况数之比．
23．（10分）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：
sin（ ± ）＝sin cos ±cos sin
α β α β α β
tan（ ± ）＝
α β
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan75°＝tan（45°+30°）＝ ＝ ＝2+
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
（1）计算：sin15°；
（2）某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．
李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C处，
在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．
第20页（共26页）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】（1）把15°化为45°﹣30°以后，再利用公式sin（ ± ）＝sin cos ±cosasin 计算，即可
求出sin15°的值； α β α β β
（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB＝AE+BE即可得出结论．
【解答】解：（1）sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝ × ﹣ × ＝
（2）在Rt△BDE中，∵∠BED＝90°，∠BDE＝75°，DE＝AC＝7米，
∴BE＝DE•tan∠BDE＝DE•tan75°．
∵tan75°＝2+ ，
∴BE＝7（2+ ）＝14+7 ，
∴AB＝AE+BE＝ +14+7 ＝14+8 （米）．
答：纪念碑的高度为（14+8 ）米．
【点评】本题考查了：（1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目
中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．（2）解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，
先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键．
四、解答题(本大题满分12分)
24．（12分）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场
调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提
高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
第21页（共26页）（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
【考点】AD：一元二次方程的应用；HE：二次函数的应用．
【分析】（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据“当售价每个为12元时，销售
量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数关系
式；
（2）设王大伯获得的利润为W，根据“总利润＝单个利润×销售量”，即可得出W关于x的函
数关系式，代入W＝840求出x的值，由此即可得出结论；
（3）利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W＝﹣10（x﹣20）2+1000，根据二次函数的
性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，
根据题意可知：y＝180﹣10（x﹣12）＝﹣10x+300（12≤x≤30）．
（2）设王大伯获得的利润为W，则W＝（x﹣10）y＝﹣10x2+400x﹣3000，
令W＝840，则﹣10x2+400x﹣3000＝840，
解得：x ＝16，x ＝24，
1 2
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．
（3）∵W＝﹣10x2+400x﹣3000＝﹣10（x﹣20）2+1000，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝20时，W取最大值，最大值为1000．
答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出y关于x的函数
关系式；（2）根据数量关系找出W关于x的函数关系式；（3）利用二次函数的性质解决最
值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数的关系
式是关键．
五、解答题（本大题满分12分）
25．（12分）如图，已知AB是 O的直径，点P为圆上一点，点C为AB延长线上一点，PA＝
PC，∠C＝30°． ⊙
（1）求证：CP是 O的切线．
（2）若 O的直径⊙为8，求阴影部分的面积．
⊙
第22页（共26页）【考点】MD：切线的判定；MO：扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OP，由等腰三角形的性质得出∠C＝∠OPA＝30°，∠APC＝120°，求出
∠OPC＝90°即可；
（2）证明△OBP是等边三角形，阴影部分的面积＝扇形OBP的面积﹣△OBP的面积，即可得
出结果．
【解答】（1）证明：连接OP，如图所示：
∵PA＝PC，∠C＝30°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴∠APC＝120°，
∵OA＝OP，
∴∠OPA＝∠A＝30°，
∴∠OPC＝120°﹣30°＝90°，
即OP⊥CP，
∴CP是 O的切线．
（2）解⊙：∵AB是 O的直径，
∴∠APB＝90°， ⊙
∴∠OBP＝90°﹣∠A＝60°，
∵OP＝OB＝4，
∴△OBP是等边三角形，
∴∠POC＝60°，
∵OP⊥CP，
∴∠C＝30°，
∴OC＝2OP＝2OB＝8，
∴PC＝ ＝ ＝4 ，
∴阴影部分的面积＝扇形OBP的面积﹣△OBP的面积＝ ﹣ × ×4×4 ＝
﹣4 ．
第23页（共26页）【点评】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性
质、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定．证明三角形是等边三角形是解决问题
（2）的关键．
六、解答题(本大题满分14分)
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点
C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM
与Rt△BOC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）确定出当△ACP的周长最小时，点P就是BC和对称轴的交点，利用两点间的距离公式
计算即可．
（3）作出辅助线，利用tan∠MDN＝2或 ，建立关于点N的横坐标的方程，求出即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，
∴
∴ ，
第24页（共26页）∴抛物线解析式为y＝ x2﹣ x﹣1＝ （x﹣ ）2﹣ ，
∴抛物线的顶点坐标为（ ，﹣ ），
（2）如图1，
连接BC与抛物线对称轴的交点就是点P，连接AC，AP，
∵点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴PA＝PB，
∵B（2，0），C（0，﹣1），
∴直线BC解析式为y＝ x﹣1，
∵点P在抛物线对称轴上，
∴点P的横坐标为 ，
∴点P的纵坐标为﹣ ，
∴P（ ，﹣ ），
（3）如图2，
过点作NF⊥DM，
第25页（共26页）∵B（2，0），C（0，﹣1），
∴OB＝2，OC＝1，
∴tan∠OBC＝ ＝ ，tan∠OCB＝ ＝2，
设点N（m， m2﹣ m﹣1），
∴FN＝|m﹣ |，FD＝| m2﹣ m﹣1+ |＝| m2﹣ m+ |，
∵Rt△DNM与Rt△BOC相似，
∴∠MDN＝∠OBC，或∠MDN＝∠OCB，
当∠MDN＝∠OBC时，
①
∴tan∠MDN＝ ＝ ，
∴ ＝
∴m＝ （舍）或m＝ 或m＝﹣ ，
∴N（ ， ）或（﹣ ， ），
当∠MDN＝∠OCB时，
②
∴tan∠MDN＝ ＝2，
∴ ＝2，
∴m＝ （舍）或m＝ 或m＝﹣ ，
∴N（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）；
∴符合条件的点N的坐标（ ， ）或（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的对称性，三角函数，三角形
周长的计算，绝对值方程，过点N作抛物线对称轴的垂线是解本题的关键也是难点．
第26页（共26页）
