文档内容
专题 07 函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................28
题型一：含参数函数单调性讨论 28
题型二：导数与数列不等式的综合问题 32
题型三：双变量问题 40
题型四：证明不等式 48
题型五：极最值问题 55
题型六：零点问题 62
题型七：不等式恒成立问题 70
题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 77
题型九：利用导数解决一类整数问题 86
题型十：导数中的同构问题 93
题型十一：洛必达法则 101
题型十二：导数与三角函数结合问题 108
重难点突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题 115本节内容在高考中常作为压轴题出现，涉及函数零点个数、不等式证明及存在性等问题，综合性强且
难度较大。解决这类导数综合问题，需要综合运用分类讨论、构造函数、等价转化、设而不求等多种思维
方法，并结合不等式、方程等相关知识。这类问题不仅思维难度大，而且运算量也相当可观。可以说，考
生一旦攻克了本节内容，就将具备出色的逻辑推理、数学运算、数据分析和直观想象等核心素养。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年天津卷第20题，16分
2023年I卷第19题，12分
掌握技巧，灵活
不等式 2023年甲卷第21题，12分
应用求解
函数与导数在高中数学
2023年天津卷第20题，16分
中占据重要地位，不仅是重
2022年II卷第22题，12分 点考查内容，也是高等数学
的基础。通过对近十年高考
2024年II卷第16题，15分 数学试题的分析，可以总结
明确概念，掌握 出五大核心考点：一是含参
极最值 2023年乙卷第21题，12分
求解方法 函数的单调性、极值与最值
2023年II卷第22题，12分 问题；二是函数的零点求解
问题；三是不等式恒成立与
存在性的探讨；四是函数不
2024年I卷第18题，17分
等式的证明技巧；五是导数
2024年甲卷第21题，12分
中涉及三角函数的问题。其
理解概念，熟练
恒成立与有解 2022年 北京卷第20题，12分 中，函数不等式证明中的极
转化求解
值点偏移、隐零点问题、含
2021年天津卷第20题，16分
三角函数形式的问题以及不
2020年I卷第21题，12分 等式的放缩技巧，是当前高
考函数与导数压轴题的热门
2022年甲卷第21题，12分 考点。
理解原理，熟练
零点问题 2022年I卷第22题，12分
求解应用
2022年乙卷第20题，12分1、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极
值点为 ），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x．
0
（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数 ，若证 ，则令
．
（3）判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
（4）比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．
（5）转化，即利用函数 的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间
的关系，进而得到所证或所求．
【注意】若要证明 的符号问题，还需进一步讨论 与x 的大小，得出 所在
0
的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿
于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内
在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单
调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个
适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能
获得简洁明快的思路，有着非凡的功效
2、应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题．
3、 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
题中的不等式即可．1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，
故 ，
因为 在 上为增函数，
故 在 上为增函数，而 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 处取极小值且极小值为 ，无极大值.
（2） ，
设 ，
则 ，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 ，即 ，
所以 在 上为增函数，故 .当 时，当 时， ，
故 在 上为减函数，故在 上 ，
即在 上f'(x)<0即 为减函数，
故在 上 ，不合题意，舍.
当 ，此时 在(0,+∞)上恒成立，
同理可得在(0,+∞)上 恒成立，不合题意，舍；
综上， .
2．（2024年天津高考数学真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若 对任意x∈(0,+∞)成立，求实数 的值；
(3)若 ，求证： ．
【解析】（1）由于 ，故 .
所以 ， ，所以所求的切线经过 ，且斜率为 ，故其方程为 .
（2）设 ，则 ，从而当 时 ，当 时 .
所以 在 上递减，在 上递增，这就说明 ，即 ，且等号成立当且仅当 .
设 ，则
.当 时， 的取值范围是 ，所以命题等价于对任意 ，都有 .
一方面，若对任意 ，都有 ，则对 有
，
取 ，得 ，故 .
再取 ，得 ，所以 .
另一方面，若 ，则对任意 都有 ，满足条件.
综合以上两个方面，知 的值是2.
（3）先证明一个结论：对 ，有 .
证明：前面已经证明不等式 ，故 ，
且 ，
所以 ，即 .
由 ，可知当 时 ，当 时 .
所以 在 上递减，在 上递增.
不妨设 ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当 时，有 ，结论
成立；情况二：当 时，有 .
对任意的 ，设 ，则 .
由于 单调递增，且有
，
且当 ， 时，由 可知
.
所以 在 上存在零点 ，再结合 单调递增，即知 时 ， 时
.
故 在 上递减，在 上递增.
①当 时，有 ；
②当 时，由于 ，故我们可以取 .
从而当 时，由 ，可得
.
再根据 在 上递减，即知对 都有 ；
综合①②可知对任意 ，都有 ，即 .根据 和 的任意性，取 ， ，就得到 .
所以 .
情况三：当 时，根据情况一和情况二的讨论，可得 ，
.
而根据 的单调性，知 或 .
故一定有 成立.
综上，结论成立.
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【解析】（1）当 时，则 ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）解法一：因为 的定义域为R，且 ，
若 ，则 对任意x∈R恒成立，
可知 在R上单调递增，无极值，不合题意；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，则 ，
可知 在(0,+∞)内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为(1,+∞)；
解法二：因为 的定义域为R，且 ，
若 有极小值，则 有零点，
令 ，可得 ，
可知 与 有交点，则 ，
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，符合题意，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，
因为则 在(0,+∞)内单调递增，
可知 在(0,+∞)内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为(1,+∞).4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
【解析】（1） 时， ，其中 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，而f'(x)≥0成立，故 即 ，
所以 的最小值为 .，
（2） 的定义域为(0,2)，
设 为y=f (x)图象上任意一点，
关于 的对称点为 ，
因为 在y=f (x)图象上，故 ，
而 ，
，
所以 也在y=f (x)图象上，
由 的任意性可得y=f (x)图象为中心对称图形，且对称中心为 .
（3）因为 当且仅当 ，故 为 的一个解，所以 即 ，
先考虑 时， 恒成立.
此时 即为 在 上恒成立，
设 ，则 在(0,1)上恒成立，
设 ，
则 ，
当 ， ，
故 恒成立，故 在(0,1)上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 时， ，
故 恒成立，故 在(0,1)上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 ，则当 时，
故在 上 为减函数，故 ，不合题意，舍；
综上， 在 上恒成立时 .
而当 时，
而 时，由上述过程可得 在(0,1)递增，故 的解为(0,1)，即 的解为 .
综上， .
5．（2023年北京高考数学真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，
则 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
则 ，
令 ，解得 ，不妨设 ， ，则 ，
易知 恒成立，
所以令 ，解得 或 ；令 ，解得 或 ；
所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
即 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 和 .（3）由（1）得 ， ，
由（2）知 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
当 时， ， ，即
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， 在 上单调递减，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减；
所以 在 上有一个极大值点；
当 时， 在 上单调递增，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， ，
所以 ，则 单调递增，
所以 在 上无极值点；
综上： 在 和 上各有一个极小值点，在 上有一个极大值点，共有 个极值点.6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线y=f (x)在点 处的切线方程．
(2)若函数 在(0,+∞)单调递增，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，
则 ，
据此可得 ，
所以函数在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由函数的解析式可得 ，
满足题意时 在区间 上恒成立.
令 ，则 ，
令 ，原问题等价于 在区间 上恒成立，
则 ，
当 时，由于 ，故 ， 在区间 上单调递减，
此时 ，不合题意;
令 ，则 ，
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
即 在区间 上单调递增，所以 ， 在区间 上单调递增， ，满足题意.
当 时，由 可得 ，
当 时， 在区间 上单调递减，即 单调递减，
注意到 ，故当 时， ， 单调递减，
由于 ，故当 时， ，不合题意.
综上可知：实数 得取值范围是 .
7．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
则
，
令 ，由于 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ， ，所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减.
（2）法一：
构建 ，
则 ，
若 ，且 ，
则 ，解得 ，
当 时，因为 ，
又 ，所以 ， ，则 ，
所以 ，满足题意；
当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
综上所述：若 ，等价于 ，
所以 的取值范围为 .
法二：
因为 ，
因为 ，所以 ， ，故 在 上恒成立，
所以当 时， ，满足题意；
当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
当 时，因为 ，
令 ，则 ，
注意到 ，
若 ， ，则 在 上单调递增，
注意到 ，所以 ，即 ，不满足题意；
若 ， ，则 ，
所以在 上最靠近 处必存在零点 ，使得 ，
此时 在 上有 ，所以 在 上单调递增，
则在 上有 ，即 ，不满足题意；
综上： .
8．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；(2)若 恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）
令 ,则
则
当
当 ,即 .
当 ,即 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减
（2）设
设
所以 .
若 ,即 在 上单调递减,所以 .
所以当 ,符合题意.
若
当 ,所以 .
.
所以 ,使得 ,即 ,使得 .
当 ,即当 单调递增.
所以当 ,不合题意.
综上, 的取值范围为 .
9．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，
则 ，
据此可得 ，
函数在 处的切线方程为 ，即 .
（2）令 ，
函数的定义域满足 ，即函数的定义域为 ，
定义域关于直线 对称，由题意可得 ，
由对称性可知 ，
取 可得 ，
即 ，则 ，解得 ，
经检验 满足题意，故 .
即存在 满足题意.
（3）由函数的解析式可得 ，
由 在区间 存在极值点，则 在区间 上存在变号零点;
令 ，
则 ，
令 ，
在区间 存在极值点，等价于 在区间 上存在变号零点，
当 时， ， 在区间 上单调递减，此时 ， 在区间 上无零点，不合题意;
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，
所以 在区间 上无零点，不符合题意；
当 时，由 可得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 的最小值为 ，
令 ，则 ，
函数 在定义域内单调递增， ，
据此可得 恒成立，
则 ，
由一次函数与对数函数的性质可得，当 时，
，
且注意到 ，
根据零点存在性定理可知: 在区间 上存在唯一零点 .
当 时， ， 单调减，
当 时， ， 单调递增，所以 .
令 ，则 ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以
，
所以函数 在区间 上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数 得取值范围是 .
10．（2023年天津高考数学真题）已知函数 ．
(1)求曲线y=f (x)在 处的切线斜率；
(2)求证：当 时， ；
(3)证明： ．
【解析】（1） ，则 ，所以 ，故 处的切线斜率为 ；
（2）要证 时 ，即证 ，
令 且 ，则 ，
所以 在 上递增，则 ，即 .
所以 时 .
（3）设 ， ，
则 ，
由（2）知： ，则 ，
所以 ，故 在 上递减，故 ；
下证 ，
令 且 ，则 ，
当 时 ， 递增，当 时 ， 递减，
所以 ，故在x∈(0,+∞)上 恒成立，
则 ，所以 ， ，…， ，
累加得： ，而 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，故 ；
综上， ，即 .
11．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【解析】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
（2）方法一：由（1）得， ，
要证 ，即证 ，即证 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
方法二：
令 ，则 ，
由于 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以要证 ，即证 ，即证 ，令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
12．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
【解析】（1）构建 ，则 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ；
构建 ，
则 ，
构建 ，则 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
即 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ；
综上所述： .（2）令 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，
若 ，则 ，
因为 在定义域内单调递减， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 是 的极小值点，不合题意，所以 .
当 时，令
因为 ，
且 ，
所以函数 在定义域内为偶函数，
由题意可得： ，
（i）当 时，取 ， ，则 ，
由（1）可得 ，
且 ，
所以 ，
即当 时， ，则 在 上单调递增，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递减，
所以 是 的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当 时，取 ，则 ，由（1）可得 ，
构建 ，
则 ，
且 ，则 对 恒成立，
可知 在 上单调递增，且 ，
所以 在 内存在唯一的零点 ，
当 时，则 ，且 ，
则 ，
即当 时， ，则 在 上单调递减，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递增，
所以 是 的极大值点，符合题意；
综上所述： ，即 ，解得 或 ，
故a的取值范围为 .
13．（2022年新高考天津数学高考真题）已知 ，函数
(1)求曲线y=f (x)在 处的切线方程；
(2)若曲线y=f (x)和y=g(x)有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；（ii）求证： ．
【解析】（1） ，故 ，而 ，
曲线 在点 处的切线方程为 即 .
（2）（i）当 时，
因为曲线 和 有公共点，故 有解，
设 ，故 ，故 在 上有解，
设 ，故 在 上有零点，
而 ，
若 ，则 恒成立，此时 在 上无零点，
若 ，则 在 上恒成立，故 在 上为增函数，
而 ， ，故 在 上无零点，
故 ，
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，
而 ， ，
故 在 上存在唯一零点 ，
且 时， ； 时， ；
故 时， ； 时， ；
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，
因为 在 上有零点，故 ，故 ，而 ，故 即 ，
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，
而 ，故 .
（ii）因为曲线 和 有公共点，
所以 有解 ，其中 ，
若 ，则 ，该式不成立，故 .
故 ，考虑直线 ，
表示原点与直线 上的动点 之间的距离，
故 ，所以 ，
下证：对任意 ，总有 ，
证明：当 时，有 ，故 成立.
当 时，即证 ，
设 ，则 （不恒为零），
故 在 上为减函数，故 即 成立.
综上， 成立.
下证：当 时， 恒成立，
，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 恒成立.下证： 在 上恒成立，即证： ，
即证： ，即证： ，
而 ，故 成立.
故 ，即 成立.题型一：含参数函数单调性讨论
【典例1-1】设 ， .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 ，试讨论 的单调性.
【解析】（1）若 ，则 ， ，
又 ，故 ，
所以 在 处的切线方程为 ，
即 ；
（2） ， ，
当 时， ，令 ，即 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减， , 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递增，
当 ，即 时，令 ，解得 ，或 ，令 ．解得 ，
所以 在 ， , 上单调递增， , 上单调递减；当 ，即 时，令 ，解得 ，或 ，令 ．解得 ，
所以 在 ， , 上单调递增， , 上单调递减．
综上：当 时，所以 在 上单调递减， , 上单调递增；
当 时，所以 在 ， , 上单调递增， , 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时，所以 在 ， , 上单调递增， , 上单调递减．
【典例1-2】已知函数 .
(1)若函数 存在一条对称轴，求 的值；
(2)求函数 的单调区间.
【解析】（1）因为函数 ，
所以函数定义域为(−1,1)，且函数 存在一条对称轴，故对称轴为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，故 ，
当且仅当 时上式恒成立，故 .
（2）由题意 ，
当 时，有 且 ，所以f'(x)<0，故 的单调减区间为(−1,1)；
当 时，令 ，
且当 时，f'(x)>0，当 时，f'(x)<0，
所以 的单调增区间为 ，单调或区间为 ；
综上，当 时， 的单调减区间为 ，无增区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
1、导函数为含参一次型的函数单调性
导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数
不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调
区间．
2、导函数为含参二次型函数的单调性
当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次
函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：
（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域；
（2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判
定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．
3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性
当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．
“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．
在此我们首先要清楚 之间的联系是如何判断原函数单调性的．
（1）二次求导目的：通过 的符号，来判断 的单调性；
（2）通过赋特殊值找到 的零点，来判断 正负区间，进而得出 单调性．【变式1-1】已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性．
【解析】（1）当 时， ，
求导得 ，则 ，
即切线的斜率为 ，又 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，
化简得 ．
（2）求导得 ，
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
【变式1-2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ， ，讨论函数 的单调性.【解析】（1） ， ，则 ，
则 ，即切线斜率 ，
故切线方程为 ，即 ；
（2）函数 的定义域为 ， ，
，
当 时， ，由 ，可得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，
①当 时， ，当 或 时， ，
即函数 在 和 上单调递增，
当 时， ，即函数 在 上单调递减；
②当 时，则对任意的 ，即函数 在 上单调递增；
③当 时， ，
当 或 时， ，即函数 在 和 上单调递增，当 时， ，即函数 在 上单调递减.
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
1．已知函数 ．讨论当 时， 的单调性．
【解析】由题意 ，则 ，
当 时，对于 ，则 恒成立， 在(0,+∞)上单调递减．
当 时，对于 有2个大于0的零点，分别是 ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时，f'(x)<0， 在 和 上单调
递减．
综上，
当 时， 在(0,+∞)上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 和 上单调
递减．
题型二：导数与数列不等式的综合问题
【典例2-1】[新考法]（2024·陕西榆林·模拟预测）不动点在数学和应用中具有重要作用，不动点是指被函
数映射到其自身的点.对于函数 ，我们把满足 的 称为函数 的不动点，已知函数
.
(1)证明： 在 有唯一的不动点 ；
(2)已知 ，且 的前 项和为 .证明：
① 为递增数列， 为递减数列，且 ；
.
②
【解析】（1）令 ，
则 ， ， ，
所以当 时， 在 上递减，
而 ，故 在 有唯一的零点，即 在 有唯一的不动点 .
（2）①因为 ，
所以 ， 在 上单调递增；
，
所以 ，
而 在 的不动点为 ，
所以 ，
假设 时， 成立，
则 ，即 成立，
结合 可得：对于任意 恒成立，
故 为递增数列， 为递减数列，且 ；
②
，
因为 ，所以 ，因此 ，即 ，
故 .【典例2-2】已知函数 .
(1)讨论函数 极值点的个数；
(2)当 时，数列 满足： .求证： 的前 项和满足 .
【解析】（1）由 ， ，
则 ，
当 时， ，令 ，得 ，
所以函数 有唯一极值点；
当 时，令 ，即 ，
由于 ，设方程 的两根为 ，
则 ，所以 ，
所以函数 有唯一极值点；
当 时，令 ，即 ，
当 ，即 时，设方程 的两根为 ，
则 ， ，
所以函数 有两个极值点；
当 ，即 时，方程 无解，所以函数 无极值点.
综上所述，当 时，函数 有唯一极值点；
当 时，函数 有两个极值点；
当 时，函数 无极值点.
（2）当 时， ， ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，
当 时， ，
由 ，可得 ，
所以 ，则 ， ，
可得 ，所以 .
设 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，则 ，
所以，
所以 ，
则 ，
所以 ，
则 .
综上所述， .
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过
程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可
以达到减少运算量的目的．
【变式2-1】[新考法]（2024·高三·辽宁·开学考试）已知函数 （ 是自然对数的底数）.
(1)若 ，求 的极值；
(2)若 ，求 ；
(3)利用（2）中求得的 ，若 ，数列 满足 ，且 ，证明：
.
【解析】（1）由题意得 ，则 ，为减函数，
令 得 ，
所以当 时，f'(x)>0， 单调递增，
当 时，f'(x)<0， 单调递减，
所以 在 处取得极大值，极大值为f (1)=0，无极小值；
（2）因为 ，所以 ，
从而 ，
所以 ，即 ，
设 ，注意到 ，
所以 ，即 为 的极大值点，
由 ，令 ，解得 ，
检验，当 时， ，
当 时， ， 单调递增，
当x∈(0,+∞)时， ， 单调递减，
所以 成立，
综上， ；
（3）由（2）得 ，从而 ， ，
则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以 ，
因为 ，所以 ， ，……， ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
因为 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故 ，
又 ，所以 ，即 ，证毕.
【变式2-2】已知函数 在点 处的切线与 轴重合．
(1)求函数 的单调区间与极值；
(2)已知正项数列 满足 ， ， ，记数列 的前 项和为 ，求证：
．
【解析】（1）因为 ，且 ，
由题意可得 ，即 ，可得 ，
可知 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；可知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 有极大值 ，无极小值．
（2）由（1）可得 ，当且仅当 时取等号，
可得 ，当且仅当 时取等号，
等价变形为 ，即 ，当且仅当 时取等号，
代入题干中可得 ，
则 ，即 ，
当 时， ，即 ，
且 符合上式，所以 ， ，则 ，
由 ，令 得 ，即 ，
所以 .
1．牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似如图设 是y=f (x)的一个零点，任意选取 作为
的初始近似值，过点(x ,f (x ))作曲线y=f (x)的切线 ， 与 轴的交点为横坐标为 ，称 为 的1次
0 0
近似值，过点(x ,f (x ))作曲线y=f (x)的切线 ， 与 轴的交点为横坐标为 ，称 为 的2次近似值．
1 1一般地，过点 作曲线y=f (x)的切线 ， 与 轴的交点为横坐标为 ，就称 为 的
次近似值，称数列 为牛顿数列．
(1)若 的零点为 ， ，请用牛顿切线法求 的2次近似值；
(2)已知二次函数 有两个不相等的实数根 ，数列 为 的牛顿数列，数列 满足
，且 ．
（ⅰ）设 ，求 的解析式；
（ⅱ）证明：
【解析】（1）
，所以
当 ，所以
当 ，
所以 的2次近似值为 .
（2）（ⅰ）因为二次函数 有两个不等实根 ,
所以不妨设 ，则 ，
因为 所以
所以在横坐标为 的点处的切线方程为
令 则
即 ，
所以 .
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知，
所以 .
因为 所以 所以 .
令 则 ，又
所以 ，
数列 是公比为2的等比数列.
.
令 ，则
当 时， ，所以 在 单调递减，
所以 ，即
因为 所以 即 ..
题型三：双变量问题
【典例3-1】已知函数 ．
(1)求函数 的最值；
(2)若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，求证： ．
【解析】（1）函数 的定义域为 ．
令f'(x)<0，解得 ；令f'(x)>0，解得 ．
所以 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以 ．
所以 无最大值，最小值为 ；
（2） ， ．
因为 有两个不同的极值点 ，所以 ， ．
欲证 ，即证 ，又 ，
所以原式等价于 ①.
由 ， ,得 ②.
由①②知原问题等价于求证 ，
即证 ．
令 ，则 ，上式等价于求证 ．
令 ，则 ，
因为 ，所以 恒成立，所以 单调递增， ，
即 ，所以原不等式成立，即 ．
【典例3-2】已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)已知 有两个极值点 ，且 ，
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求 的最小值．
【解析】（1）当 时， ，
则 ，得 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .（2）（i） ，
又 是函数 的两个极值点，所以 是方程 的两个正根
则 ，解得 ，
经检验，当 时，符合题意.
所以实数 的取值范围为 .
（ii）由（i）知 ，则 ， ，
，
令 ，
则 ，
当 时， ，则 单调递减
当 时， ，则 单调递增
故当 时， 取得最小值 ，
所以 ，即 的最小值为 .破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
【变式3-1】（2024·高三·江苏无锡·期中）已知函数 .
(1)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)过点 可以作曲线 的两条切线，切点分别为 .
①求实数 的取值范围；
②证明：若 ，则 .
【解析】（1）易知 ，令 ，则 ，
显然 时， ， 时， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，即 ；
（2）①设切点 ，易知 ， ，则有 ，
即 ，
令 ，则 有两个交点，横坐标即分别为 ，
易知 ，显然 时， ， 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 时有 ， 时也有 ， ，则要满足题意需 ，即 ；
②由上可知： ，
作差可得 ，即 ，
由①知： 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，
则 始终单调递减，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
不难发现 ， ，
所以由弦长公式可知 ，
所以 ，
设
所以由 ，即 ，证
毕.
【变式3-2】（2024·四川成都·模拟预测）定义运算： ，已知函数
．
(1)若函数 的最大值为0，求实数a的值；(2)证明： ．
(3)若函数 存在两个极值点 ，证明： ．
【解析】（1）由题意知： ， ，
①当 时，f'(x)<0， 在 单调递减，不存在最大值．
②当 时，由 得 ，
当 ，f'(x)>0； ，f'(x)<0，
函数y=f (x)的增区间为 ，减区间为 ．
，令 ，求导得 ，
当 时， ，函数 递减，当 时， ，函数 递增，
因此 ， ．
（2）由（1）知， ，即 ，
当 时， ．
．
．
（3）“函数ℎ(x)存在两个极值点 ”等价于
“方程 有两个不相等的正实数根”
故 ，解得 ，
要证 ，即证 ，
，不妨令 ，故
由 得 ，令
在 恒成立，
所以函数φ(x)在 上单调递减，故 ．
成立．1．已知函数 .
(1)若直线 与函数 的图象相切，求实数 的值；
(2)若函数 有两个极值点 和 ，且 ，证明： .（ 为自然对数的底
数）
【解析】（1） ，定义域为 .
设切点 ， .
且 ，
解得 ， ，故实数 的值为2；
（2） ，定义域为 .
，
因为 有两个极值点 和 ，所以 至少有两个不相等的正根.
令 ，令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减.
当 时， 取最大值，最大值为 .
当 ；当 ，
则 至多两个零点，要使 有两个零点，必有 ， .
由 ，两式作差得 ①，
令 ，由 得 ，
则 ，代入①式得 ，
，则 ，
故所证不等式转化为 ， ，
只需证 ，即证： .
令 ， ，
，
， ， 在 上单调递增，
，其中 ，
故 ， ，即不等式 得证.
题型四：证明不等式
【典例4-1】（2024·高三·四川·期中）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；(2)若 ，证明： .
【解析】（1）解 ，
令
得 时， ，当 时， ，
故 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） ，
要证明 ，则只需证明 ，
令 ，
，
，
，当且仅当 时，上式等号成立，
当 时， 在区间 上单调递减，
，即 ，
当 时， 得证.
【方法二】证明：令 ，，
，
，当且仅当 时，上式等号成立，
，
又 当 时， 在区间 上单调递减，
，
当 时， 得证.
【典例4-2】已知 ，证明： .
【解析】证明 设 ，
则 ，ℎ(x)单调递增，
所以当 时， ，
即
所以 ，
所以要证 ，
只需证明 ，
设 ，则 ，
则 时，f'(x)<0， 单调递减；
时，f'(x)>0， 单调递增.所以 的最小值为 .
当 时， ， ，
所以 .
当 时，设 ，
则 ，
设 ，则 ，
因为 在 上单调递增，
且 ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
又 ，
所以 在 上恒成立，
故F(x)在 上单调递增，
在 上恒成立.
综上，当 时， .
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【变式4-1】已知函数 （ ）.
(1)讨论函数 的单调区间；
(2)当 时，证明： .
【解析】（1） ，
①当 时，当 时， 时， ，
所以 的递增区间是 ，递减区间为 ；
②当 时，当 时， 时， ，
所以 的递增区间是 ，递减区间为 ；
③当 时， 的递增区间是 ，无减区间；
④当 时，当 时， 时， ，
所以 的递增区间是 ，递减区间为 .
综上，当 时， 的递增区间是（ ），递减区间为 ；
当 时， 的递增区间是 ，递减区间为 ；
当 时， 的递增区间是 ，无减区间；
当 时， 的递增区间是 ，递减区间为 .
（2）当 时， ，由题意可得，只需证明 ，方法一：令 ，
则 ，
令 ，易知 在 上单调递增，
，
故存在 ，使得 ，即 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
故 时， 取得唯一的极小值，也是最小值.
，
所以 ，即当 时， .
方法二：不等式 等价于 ，
只需证 ，
令 ，所以 ，
当 时， 单调递减， 时， 单调递增，
所以 ，即 ，当且仅当 时取得等号，
令 代替 得到 ，
函数 在 上单调递增，且 ，故存在 ，使得 ，
所以 ，当且仅当 时取得等号，
所以 ，即当 时， .
【变式4-2】已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 的值；
(2)设函数 ，给出 的定义域，并证明：曲线 是轴对称图形；
(3)证明： .
【解析】（1）因为 ，
则 ，
由题意可知， ，解得 .
（2） ，
对于函数 ，
有 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，
对于函数 ，则 ，可得 ，解得 或 ，
所以，函数 的定义域为 ，故该定义域关于直线 对称，因为
，
故函数 的图象关于直线 对称，所以曲线 是轴对称图形.
（3）当 时， ，
则 ，令 ，
则 ，
当 时， ，则函数 在 上为增函数，此时， ，
即 ，所以，函数 在 上为增函数，此时， ，
取 ，可得 ，
于是 ，即 ，
所以， ，
故 .1．已知函数 .
(1)当 时，求函数在 的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)证明：当 时， .
【解析】（1）当 时, ，所以 .
得 ，点 处的切线斜率为 ，
所以函数 的图像在点 处的切线方程为： ，
即： .
（2）由 得 ，
当 时， 恒成立，则 在 上单调递减；
当 时，令 得 ，
当 时， ， 在 单调递减，
当 时， ， 在 单调递增.
综上所述，
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（3）由（2）可知，当 时，的最小值 .
要证 ，
只需证
只需证
设 .
则 ，令 得 .
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增.
所以 在 处取最小值，且 ，
所以 得证，
即 得证.
题型五：极最值问题
【典例5-1】已知函数 .
(1)若 在其定义域内单调递增，求实数 的取值范围；(2)若 ，且 有两个极值点 ， ，其中 ，求 的取值范围.
【解析】（1） 的定义域为(0,+∞)，
∵ 在(0,+∞)上单调递增，
∴ 在(0,+∞)上恒成立，即 在(0,+∞)上恒成立，
又 ，当且仅当 时等号成立，
∴ ；
（2）由题意 ，
∵ 有两个极值点 ，
∴ 为方程 的两个不相等的实数根，
由韦达定理得 ， ，
∵ ，∴ ，
又 ，解得 ，
∴
，
设 （ ），
则 ，(1 )
∴ 在 ,1 上单调递减，
2
又 ， ，
∴ ，
即 的取值范围为 .
【典例5-2】（2024·四川眉山·一模）已知函数 .
(1)当 时，求 的零点个数；
(2)设 ，函数 .
（i）判断 的单调性；
（ii）若 ，求 的最小值.
【解析】（1）由题可知 ，则 ，
令 ，可得 ，
当 时 ， 在 单调递减，
当 时 ， 在 单调递增，
，
又 ， ，
即 在 和 内各有一个零点，
有2个不同的零点.
（2）（i）由题可知 ，则 ，
令 ，可得 或 ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 和 上单调递减.
（ii）由 ，可得 ， 是关于 的方程
的两个不同的实根，
故 ， ，即 .
故
，
设 ，
当 时， ，
为 上的增函数，
的最小值为 ，
故 的最小值为 .
利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．
只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，
对新函数再用导数进行求值、证明等操作．
【变式5-1】（2024·高三·天津·期末）已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)令 .
（i）讨论函数 极值点的个数；
（ii）若 是 的一个极值点，且 ，证明： .
【解析】（1）因为 ，所以 .
所以 ， .
所以函数 在 处的切线方程为： ，即 .
（2）（i）因为 ，（ ）.
所以 ，（ ）
当 时， 在(0,+∞)上恒成立，所以函数 在(0,+∞)上是增函数，不存在极值点；
当 时，设 ，则 在(0,+∞)上恒成立.
所以ℎ(x)在(0,+∞)上是增函数.
又 ， ，所以唯一存在 ，使得 .
当x∈(0,x )时，ℎ(x)<0，所以 ，所以 在 上单调递减；
0
当x∈(x ,+∞)时，ℎ(x)>0，所以 ，所以 在 上单调递增.
0
所以 是函数 唯一的极小值点，无极大值点.
综上：当 时， 无极值点；当 时， 只有 个极小值点.（ii）因为 是 的一个极值点，
由（i）可知， 且 .
所以 .
因为 ，所以 .
设 ， ，则 ，则 在(0,+∞)上为减函数，且 ，
由 ，所以 .
设 ，则 ，
由φ'(x)>0 ；由φ'(x)<0 .
所以φ(x)在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上单调递减，且 .
所以 ，所以 .
所以 .
因为 ，所以 ， ，
相乘得：
所以 .
【变式5-2】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)若 存在最大值，且最大值小于0，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时，则 ，可得f (1)=0， ，即切点坐标为(1,0)，切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2） 定义域为(0,+∞)，且 ，
若 ，则 对任意x∈(0,+∞)恒成立．
所以 在(0,+∞)上单调递增，无极值，不合题意，
若 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
可知 在 上单调递增， 上单调递减，
则 有极大值 ，无极小值，
由题意可得： ，即 .
令 ， ， 在 上单调递减,
又 ，不等式 等价于 ，解得 .
综上 的取值范围是 ．
1．已知函数 ．
(1)判断 在区间 上的单调性；
(2)求 在区间 上的极值点的个数．【解析】（1）由已知可得， ，
当 时， ， ．
令 ， ，
当x∈(0,π)时， 单调递增，此时 ，
当x∈(0,π)时， ，即 ，
∴f (x)在 上单调递增．
（2）令 ，
当 时， ， ，
所以 ．
令 ， ，令 ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以当x∈(0,+∞)时， ，
所以φ(x)在(0,+∞)上单调递减，此时 ．
所以当 时，ℎ'(x)<0，ℎ(x)单调递减， ，
所以 ，使 ，即 在 内有1个极值点．
令 ，当 时，由 ，得到令 ，
当 时， ，则 ，
所以 ．
令 ，则 ，
由（1）中的g(x)>0得 ，所以 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，所以当x∈(0,+∞)时， ，
所以 在(0,+∞)上单调递增，此时 ．
所以当 时， ， 单调递增．
又 ， ．
所以 使 ，所以ℎ(x)在 上单调递减，在 上单调递增．
又 ，所以 ．又 ，
所以 使 ，即 在 内有1个极值点．
综上， 在 内的极值点的个数为2．题型六：零点问题
【典例6-1】已知曲线 在 处的切线方程为 ．
(1)求a，b；
(2)若函数 有两个零点，求实数m的取值范围．
【解析】（1） ，
，
所以 ,解得 .
（2） ，
函数 有两个零点，
相当于曲线 与直线 有两个交点，
，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 时， 取得极小值 ，
又 时， , 时， ，
所以实数m的取值范围为 ．
【典例6-2】（2024·高三·湖北·期中）设函数 .
(1)讨论函数 在区间 上的单调性；(2)判断并证明函数 在区间 上零点的个数.
【解析】（1） ，且 .
当 时， ， ，
从而 ，
即此时函数 在区间 上单调递增；
当 时， ， ，
从而 ，
即此时函数 在区间 上单调递减.
∴综上所述，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
（2） ，又 ，且函数 在区间 上单调递减，
∴函数 在区间 上存在唯一的零点.
当 时，记 ，
从而 ，且此时 ， ，
∴ ， 在区间 上单调递增.， ，∴存在 ，使得
且 时， ，即此时 在区间 上单调递减；
时， ，即此时 在区间 上单调递增.
∴由 ，得 ，
即函数 在区间 上无零点；
而由 ， ，
即函数 在区间 上有唯一的零点.
∴函数 在区间 上有2个零点.
函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参
数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与 轴（或直线 ）在某区间上的
交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
【变式6-1】已知 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若 恰有1个极大值点和1个极小值点．①求极大值与极小值的和；
②判断 零点的个数．
【解析】（1）由题可得，函数 的定义域为(0,+∞)， ，
当 时， ， ，
故切点为(1,0)，切线在该点处的斜率为 ，
故曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为 ，即 ．
（2）由（1）得 ，
因为分母 在定义域内恒成立，所以导函数的符号取决于分子的符号，
令 ，其对应一元二次方程的判别式 ．
若 ，此时 ，则 且不恒为0，所以f'(x)≥0且不恒为0，所以 在(0,+∞)上单调递
增，故 没有极值点，
若 ，此时 或 ，则g(x)=0有两个不等实根 ，不妨设 ，
由一元二次方程根与系数的关系可得 ，则 同号．
当 时， ，两根均为负数，则g(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以f'(x)>0，所以 在
(0,+∞)上单调递增，则 没有极值点；
当 时， ，两根均为正数，故当 或 时，g(x)>0，所以f'(x)>0，所以 的
单调递增区间为 ， ，当 时，g(x)<0，所以f'(x)<0，所以 的单调递减区间为 ，故 有极大值点 ，极
小值点 ．
故 时， 恰有1个极大值点和1个极小值点．
① ，
故极大值与极小值的和为0．
②由①知， ， ，则 ，
又由①知， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
因为f (1)=0，所以 ， ，当 时， ；当 时， ，
故 在 ， 上各有一个零点，又f (1)=0，所以 有3个零点．
【变式6-2】已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，
求导得 ，则 ，
又 ，故切线方程为 ，
化简得 ．
（2）法一： 的定义域为(0,+∞)，因为函数 在(0,+∞)上有两个零点，
令 ，
则 ，
即 ，所以 ，
令 ，x∈(0,+∞)，
所以将函数 的零点问题转化为 的图象和直线 的交点问题，
求导得
，
因为 的分母 恒成立，
令 ，x∈(0,+∞)，
则 ，易知ℎ(x)在 时单调递增，
在x∈(2,+∞)时单调递减， ，
则ℎ(x)<0恒成立，所以令 ，解得 ，
所以当 时， ， 在(0,1)单调递减；
当 时， ， 在(1,+∞)单调递增，
所以 ，又因为 ， ； ； ，
则 的图象如图③所示，
图③
要使 的图象和直线 有两个交点，
由图象知 ，即 ，
所以 的取值范围为 ．
法二： 的定义域为(0,+∞)，
，
①当 时， ，
易知 在(0,1)内单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
当 时， ，当 时， ， ，
若 在(0,+∞)上有两个零点，
则 ，即 ；
②当 时， ，
令 ，解得 （舍）或 ，
可知 在(0,+∞)上有一个零点，不满足题意；③当 时，当 或x∈(1,+∞)时，f'(x)>0； 时，f'(x)<0，
故 在 ，(1,+∞)单调递增，在 单调递减，
又 ，
作出函数图象如图①所示，
图①
所以 在(0,+∞)上至多有一个零点，不满足题意；
④当 时，f'(x)≥0， 单调递增，
故 在(0,+∞)上至多有一个零点，不满足题意，
⑤当 时，当x∈(0,1)或 时，f'(x)>0；当 时，f'(x)<0，
故 在(0,1)， 单调递增，在 单调递减，
又 ，
作出函数图象如图②所示，
图②
故 在(0,+∞)上至多有一个零点，不满足题意；
综上， 的取值范围为 ．1．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)设 ，求证：当 时， 有且仅有2个不同的零点．
（参考数据： ）
【解析】（1）由题设 ，则 ，
又 ，则在 、 上 ，在 上 ，
所以 的递增区间为 、 ，递减区间为 .
（2）由 ，得 ，即方程在 上有且仅有2个不同的根，
等价于 与 在 上有2个交点，且 ，
①当 时，存在 ，且 图象连续且单调递增，
所以 在 上有且仅有1个零点，即 使 ，
当 时， ， 在 上递减，
当 时， ， 在 上递增，
所以 在 上存在唯一极小值点 ，
则 ，记 ，则 ，故 在 上单调递减，
所以 ，故 上 恒成立，
则 ，
综上， 时， 与 在 上有1个交点；
②当 时， ，即 在 上单调递增，
而 在 上递增，故 在 上递增，
而 ，由①知 ，
所以 时， 与 在 上有1个交点；
③当 时， ，
令 ，则 ，即 在 上单调递增，
所以 ，
所以 时， 与 在 上无交点；综上， 时， 与 在 上有2个交点，
即当 时， 有且仅有2个不同的零点，得证.
题型七：不等式恒成立问题
【典例7-1】（2024·高三·天津滨海新·期末）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若存在 时，使 成立，求a的取值范围.
(3)若不等式 对任意 恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）当 时，函数 的定义域为 ，求导得 ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
所以函数 的递减区间为 ，递增区间为 .
（2）依题意， ，则 ，
于是存在 ， 成立，设 ，
则 ，函数 在 上递增， ，所以 .
（3）依题意， 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
设 ，则 对任意 恒成立，
下面证明 对任意 恒成立，
设 ， ，求导得 ，当且仅当 时取等号，
函数 在 上单调递减，则 ，即 ，
于是 对任意 恒成立，只需 在 上单调递增，
即 在 上恒成立，则 在 上恒成立，因此 ，
所以实数 的取值范围为 .
【典例7-2】已知函数 ．
(1)已知 在 处取得极小值，求a的值；
(2)对任意 ，不等式 恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）因为 ，定义域为
所以
因为 在 取得极小值，所以 ，所以 ，
检验： ，定义域为 ，，
x 3
- 0 +
↓ 极小值 ↑
所以 ；
（2）因为 对 恒成立
所以令
① 即 时， 恒成立，
在 单调递增 恒成立，
② 即 时， ，
x 1
- 0 +
0 ↓ 极小值 ↑
所以 ，与题意不符，舍去，
综上所述： ．
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数
后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论
法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， ．
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子集．
【变式7-1】已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)设 .
（i）当 时，求函数 的单调区间；
（ii）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 的定义域为 ，所以 ，令 ，解得 ，
当 时， ，即 在 上单调递增；
当 时， ，即 在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值 ，无极小值.
（2）（i）函数 的定义域为 ，
则 .
当 时，由 ，解得 或 ；
由 ，解得 ，
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，由 ，解得 或 ；
由 ，解得 ，
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，由 ，得函数 在 上单调递增；
当 时，由 ，解得 ；由 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，递减区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，递减区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，无减区间；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 .
（ii） 在 上恒成立可转化为 在 上恒成立，
设 ， ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，
又 ， ，
则函数 在 内存在唯一的零点 ，
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增，
又 ，得 ，
则 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
【变式7-2】（2024·重庆·模拟预测）设 ，已知函数 .
(1)当函数 在点 处的切线 与直线 平行时，求切线 的方程；
(2)若函数 的图象总是在 轴的下方，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，则 ，解得 ，则 ，又 ，所以切点为 ，
所以切线 的方程为 ，即 .
（2）由题意知 ，因为 ，所以当 时， ，
此时函数 在区间 上单调递增，又 时， ，不合题意，
当 时，由 得 ，当 时， ， 时，
即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，
设 ，
此时 ，所以 ，即 为减函数，而 ，
要使函数 的图象总是在 轴的下方，必须 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 的取值范围是 ．
1．已知 ，函数 ， （ 是自然对数的底数）．
(1)讨论函数 极值点的个数；
(2)若 对任意的x∈R恒成立，求实数 的值；
(3)在第（2）小题的条件下，若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．【解析】（1）当 时，由 知f (x)单调递增，所以f (x)极值点的个数为 ；
当a>0时，对 有 ，对 有 ，
所以f (x)在 上递减，在 上递增，所以f (x)恰有 个极值点 .
综上，当 时，f (x)极值点的个数为 ；
当a>0时，f (x)极值点的个数为 ；
（2）根据已知有 ，所以 ，故a>0.
此时由（1）中得到的单调性，可知f (x)仅在 处取得最小值.
假设 ，则 ，但 ，这导致矛盾，所以 ，即 .
当 时，由（1）中得到的单调性知f (x)在 处取得最小值，所以 ，确实满足条
件.
综上， 的值为 .
（3）此时 ， ，根据（2）的结论，我们有 .
设 ，则 .
再设 ，则 .
情况一：若 ，则对x>0有 ，故 在 上递增，从
而对x>0有 .
从而 在 上递增，这就意味着对 都有 .
从而对任意 ，都有 ，不满足条件；
情况二：若 ，令 是两个正数 和 中较小的一个，则对 有.
故 在 上递减，从而对 有 .
从而 在 上递减，这就意味着 ，所以存在 使得
，满足条件.
综合以上两种情况，可知 的取值范围是 .
题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题
【典例8-1】已知函数 .
(1)若 ，当 与 的极小值之和为0时，求正实数 的值；
(2)若 ，求证： .
【解析】（1） 定义域均为 ，
，令 ，解得： ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
在 取极小值，且 ；
又 ，令 ，解得： ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，在 取极小值，且
所以 ，解得： .
（2）令 ，因为 ，所以 ，
由 可得：
（1）-（2）得： ，所以 ，
要证： ，只要证： ，
只要证： ，
不妨设 ，所以只要证： ，
即证： ，令 ，只要证： ，
令 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
即有 成立，所以 成立.
【典例8-2】已知函数 ， ．
(1)若 在 处取得极值，求 的值；
(2)设 ，试讨论函数 的单调性；
(3)当 时，若存在实数 ， 满足 ，求证： ．【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，解得： ．
验证：当 时， ，
易得 在 处取得极大值．
（2）因为 ，
所以 ，
①若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ， 函数 在 上单调递减；
②若 ， ，
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
（3）证明：当 时，因为 ，
所以 ，
所以 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
所以函数 在 时，取得最小值，最小值为1，
所以 ，即 ，所以 ，
当 时， 此时不存在 ， 满足等号成立条件，
所以 ．
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对
x=x
称性．若函数f (x)在 0 处取得极值，且函数y=f(x)与直线y=b交于A(x ,b),B(x ,b)两点，则
1 2
x +x x +x
的中点为M( 1 2,b)，而往往x ≠ 1 2 ．如下图所示．
AB 2 0 2
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
x
极值点偏移的定义：对于函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点
0
，方程f (x)的解分别为
x +x
，且 ，（1）若 1 2 ≠x ，则称函数 在区间 上极值点x 偏移；
x 、x ax ，则函数 在区间 上极值点x 左偏，简称极值点x 左偏；（3）若
2 0 y=f(x) (x ,x ) 0 0
1 2
x +x
1 2 0，且当 时， ，
所以当 时，方程 有两个不同的根，即方程 有两个不同的根，
故 的取值范围是(0,1)．
（ii）不妨设 ，则 ，且 ．
法一：
当 时，结合（i）知 ，即 ；
当 时， ．
设
则
所以 在区间(0,1)内单调递增，
则 ，即 ，
所以
又 在区间(1,+∞)内单调递减，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
故 ，所以 ，得证．
法二：
设 ，x∈(0,+∞)，则 ，
所以ℎ(x)在区间(0,+∞)内单调递增，又ℎ(1)=0，
所以 ，即 ．
又 ，所以 ，
又 在区间(1,+∞)内单调递减．
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，得证．
1．已知函数 为其导函数．
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数 ，使得 ，证明： ．
【解析】（1） ，当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减．所以 ，
解得 ，即 的取值范围为 ．
（2）证明：不妨设 ，则 ，要证 ，
即证 ，则证 ，则证 ，所以只需证 ，即 ．
令 ，则 ， ．
当 时， ，则 ，
所以 在 上单调递减，则 ．所以 ．
由（1）知 在 上单调递增，所以 ，从而 成立．
2．[新考法]已知函数 ．
(1)讨论 的单调区间；
(2)已知 ，设 的两个极值点为 ，且存在 ，使得 的图象与 有三
个公共点 ；
①求证： ；
②求证： ．
【解析】（1） ， ，
其中 ， ，
当 时，即 ，此时 恒成立，
函数 在区间 单调递增，
当 时，即 或 ，
当 时， 在区间 上恒成立，即函数 在区间 上单调递增，
当 时， ，得 或 ，
当 ，或 时， ，
当 时， ，
所以函数 的单调递增区间是 和 ，
单调递减区间是 ，
综上可知，当 时，函数 的单调递增区间是 ；
当 时，函数 的单调递增区间是 和 ，
单调递减区间是 ；
（2）①由（1）知，当 时，函数 的单调递增区间是 和 ，
单调递减区间是 ， 、 是方程 的两根，
有 ， ，
又 的图象与 有三个公共点 ，
故 ，则 ，
要证 ，即证 ，又 ，
且函数 在 上单调递减，即可证 ，
又 ，即可证 ，令 ， ，
由 ，
则
恒成立，
故 在 上单调递增，即 ，
即 恒成立，即得证；
②由 ，则 ，
令 ， ，
则
，
故 在 上单调递增，即 ，
即当 时， ，由 ，故 ，又 ，故 ，
由 ， ，函数 在 上单调递减，故 ，
即 ，又由①知 ，故 ，
又 ，
故 .
题型九：利用导数解决一类整数问题
【典例9-1】已知函数 .
(1)证明： 有两个极值点，且分别在区间 和 内；
(2)若 有3个零点，求整数 的值.
参考数据： ， ， ， .
【解析】（1）函数 ，求导得 ，
令 ，求导得 ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 在 上单调递减，且 ， ，
因此 在 内有且仅有一个零点；
则 在 上单调递增，
且 ， ，因此 在 内有且仅有一个零点；
则函数 有两个零点，且分别在区间 和 内，
设 的两个零点为 ，
当 时， ，当 或 时， ，
则 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 有两个极值点，且分别在区间 和 内.
（2）依题意， ，而 ，
即 ，
因此 ，解得 ，
由 ，得 ，且 为整数，则 或0，
故整数 的值为 或0.
【典例9-2】已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)当 时，若 在 时恒成立，求整数 的最大值．
【解析】（1）当 时， ，
所以 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取得极大值 ，无极小值.
（2） ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
当 时，当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
综上所述：当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增， 上单调递减.
（3） 在 时恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，且
，所以 在 存在唯一实数 ，
使得 ，即 ，所以
当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递减， 上单调递增，
所以 ，
故 ，又 ，整数 的最大值为5．
分离参数、分离函数、半分离
【变式9-1】函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 只有一个解，则当 时，求使 成立的最大整数k.
【解析】（1）函数 ，定义域为 ，则 ，
因为 ，设 ， ，
则令 得， ， ，
当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ， ，
单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
综上所述： 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
（2）若 即 只有一个解，
因为 使方程成立，所以只有0是 的解，
当 时， 无非零解，
设 ，则 ，
当 ， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增，
所以 最小值为 ，
当 时， ，当 时， ，
故 定有零点，又因为 无非零解，有零点应还是0，
所以 ，所以 ，则 ，
，得 ， ， ，
所以 ，得 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 时， ，所以 ，则 在(0,+∞)单调递增，
又 ，
所以 使得 ，所以 ，且 ，
当x∈(0,x )时， ， 单调递减，
0当x∈(x ,+∞)时， ， 单调递增，
0
所以 最小值 ，且 ，
得 ，
又因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，故整数 的最大值为2.
【变式9-2】（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ，若存在 ，使得 .
①求 的取值范围；
②设 为整数，若当 时，相应的 总满足 ，求 的最小值.
【解析】（1）由 ，知 .
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 ；若 ，则
.
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）①此时 ，故 .
若 ，则当 时，有 .故 在 和 上递增，故在 上递增.
所以，如果有 ，则必定有 ，故这样的 不存在；
若 ，则 .
记 ， ，则 ， ，故 ， .
据 的表达式可知，当 或 时 ，当 时 .
从而 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
根据 的单调性，有 . 再取正实数 满足 ， ，
，就有 ，且由 有
.
所以必定存在 使得 ，取 ，就有 .
综上， 的取值范围是 .
②首先，在上面①的解析中我们已经证明当 时 递增，这就意味着当 时有
，即 .
下面回到原题，据题意有 . 根据 的单调性，知 .
一方面，此时有，
所以 ，故 .
从而 ，解关于 的不等式可得
，故 ；
去分母并移项得 ，即 .
另一方面，当 时，由 ， ，
可知 ，从而 .
此时可验证 满足条件，而 .
综合以上两个方面，可知 的最小值是 .
1．已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线的斜率小于1，求 的取值范围．
(2)若整数k使得 对 恒成立，求整数k的最大值．
【解析】（1）因为 ，得到 ，所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
由题意得 ，解得 ，所以 的取值范围 .
（2）因为“ 对 恒成立”等价于“当 时， 恒成立”，
令 ，所以 ，
令 ，得 ，
当 变化时， 与 的变化情况如下表所示：
－ 0 ＋
极小
单调递减 单调递增
值
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故函数 的最小值 ，
令 ，则 ，
①当 时，因为 的最小值 ，
所以 对于 恒成立，符合题意，
②当 时，由 ，得函数 在 单调递减，
所以 ，故此时 的最小值 ，不符合题意，
所以整数 的最大值是2．题型十：导数中的同构问题
【典例10-1】（2024·内蒙古·三模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1） 的定义域为 .
关于 的方程 ，
当 时， ， ，所以 在 上单调递增.
当 时， ，此时 ，
，所以 在 上单调递增.
当 时，则 是方程 的两根.
又 ，所以 ，
令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由 ，可得 ，即 .令 ，易知 单调递增.
由 ，可得 ，则 ，即 .
设 ，则 ，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 ，
所以 ，则 的取值范围为 .
【典例10-2】已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证： 在 上恒成立；
（3）求证：当 时， ．
【解析】（1）解：函数 的定义域为 ， ，
令 ，即 ，△ ，解得 或 ，
若 ，此时△ ， 在 恒成立，
所以 在 单调递增．
若 ，此时△ ，方程 的两根为：
， 且 ， ，
所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，在 上单调递增．
若 ，此时△ ，方程 的两根为：
， 且 ， ，
所以 在 上单调递增．
综上所述：若 ， 在 单调递增；
若 ， 在 ， 上单调递增，
在 上单调递减．
（2）证明：由（1）可知当 时，函数 在 上单调递增，
所以 （1） ，所以 在 上恒成立．
（3）证明：由（2）可知 在 恒成立，
所以 在 恒成立，
下面证 ，即证2 ，
设 ， ，
设 ， ，
易知 在 恒成立，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 在 单调递增，
所以 ，所以 ，即当 时， ．
法二： ，即 ，
令 ，则原不等式等价于 ，
，令 ，则 ， 递减，
故 ， ， 递减，
又 ，故 ，原结论成立．
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程 和 呈现同构特征，则 可视为方程
的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进
而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”： ， ；寻找“亲戚函数”是
关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果 满足的方程为同构式，则 为方程所表示曲
线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线 的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于 与 的同
构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解【变式10-1】（2024·高三·天津西青·期末）已知函数 和 ．
(1)若曲线数 与 在 处切线的斜率相等，求 的值；
(2)若函数 与 有相同的最小值．
①求 的值；
②证明：存在直线 ，其与两条曲线 与 共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点
的横坐标成等差数列．
【解析】（1） ，
由题知 ，即 ，即 .
（2）① 的定义域为 ，而 ，
若 ，则 ，此时 无最小值，不合题意，故 .
令 ，得 ，
当 单调递减，
当 单调递增，
所以 .
的定义域为 ，而 .
当 单调递减，
当 单调递增，所以 .
因为 和 有相同的最小值，
故 ，整理得到 ，其中 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，而 ，
故 的唯一解为 ，故 的解为 .
综上， .
② ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增；
在 上单调递减，在 上单调递增，且 .
当 时，此时 ，
显然 与两条曲线 和 共有0个交点，不符合题意；
当 时，此时 ，
故 与两条曲线 和 共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
当 时，首先，证明 与曲线 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ，
(令 ，则 )，所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且
只存在1个零点，设为 .
其次，证明 与曲线和 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ，
（令 ，则 ）
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且只存在1个零点，设为 ，
再次，证明存在 ，使得 ，
因为 ，所以 ，
若 ，则 ，即 ，
所以只需证明 在 上有解即可，
即 在 上有零点，
因为 ，
所以 在 上存在零点，取一零点为 ，令 即可，
此时取
则此时存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
最后证明 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为所以 ，
又因为 在 上单调递减， 即 ，所以 ，
同理，因为 ，
又因为 在 上单调递增， 即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即直线 与两条曲线 和 从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【变式10-2】对任意 ，若不等式 恒成立，求a的取值范围.
【解析】由 ，得 ，即 ，所以 .
令 ，设 ，
则当 时 单调递减，当 时， 单调递增，故当 ，故
故 ，则 ，即 .
记 ，则 ，
当 单调递增，当 单调递减，所以 ，故
由 ，得 ，即 ，当 时，上式取等号，所以 .综上， 的取值范围为
1．2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数 ， ，直线 为曲线 与
的一条公切线.
(1)求 ；
(2)若直线 与曲线 ，直线 ，曲线 分别交于 三
点，其中 ，且 成等差数列，证明：满足条件的 有且只有一个.
【解析】（1）设 与 相切于点 ，而 ，
则 ，即 ， ，则切点为 ， ，即 ；
设 与 相切于点 ，而 ，
，即 ，则切点为 ， ， ，
所以 ， .
（2）依题意， ，则 ， ， ，
由 成等差数列，得 ，即 ， ，
令 ，求导得 ，
令 ，求导得 ，显然函数 在 上单调递增，
， ， 则 ，使得 ，即 ，
当 时， ；当 时， ， 在 上递减，在 上递增，，
由 ，得 ，则 ，即 ，函数 在 上单调递增，
， ，因此 在 上存在唯一零点，
所以满足条件的 有且只有一个.
2．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围.
【解析】（1） ，
当 时， 在R上是减函数.
当 时，y=f'(x)是增函数.令 ，解得 .
当 时，f'(x)<0；
当
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在R上是减函数；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2） ，即 .
令函数 ，则 ，所以 ，
因为 在(0,+∞)上单调递增，所以 ，即 .
令函数 ，则 .
当x∈(0,1)时，ℎ'(x)>0；当 .
所以ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以 .
故 的取值范围为 .
题型十一：洛必达法则
【典例11-1】已知函数 在 处取得极值，且曲线 在点 处
的切线与直线 垂直.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】(1) ， ；
函数 在 处取得极值， ；
又 曲线 在点 处的切线与直线 垂直， ；
解得： ；（2）不等式 恒成立可化为 ，即 ；
当 时，恒成立；当 时， 恒成立，
令 ，则 ；
令 ，则 ；
令 ，则 ；
得 在 是减函数，故 ，进而
（或 ， ，
得 在 是减函数，进而 ）．
可得： ，故 ，所以 在 是减函数，
而 要大于等于 在 上的最大值，但当 时， 没有意义，
变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案， ，故答案为 ．
【典例11-2】设函数 .当 时， ，求 的取值范围.
【解析】由题设 ，此时 .
①当 时，若 ，则 ， 不成立；
②当 时，当 时， ，即 ；若 ，则 ；
若 ，则 等价于 ，即 .
记 ，则 .
记 ，则 ， .
因此， 在 上单调递增，且 ，所以 ，
即 在 上单调递增，且 ，所以 .
因此 ，所以 在 上单调递增.
由洛必达法则有 ，
即当 时， ，即有 ，所以 .
综上所述， 的取值范围是 .
法则1、若函数 和 满足下列条件：
（1） 及 ；
（2）在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
（3） ，那么 = ．
法则2、若函数 和 满足下列条件：（1） 及 ；（2） ， 和 在 与 上可导，且 ；
（3） ，
那么 = ．
法则3、若函数 和 满足下列条件：
（1） 及 ；
（2）在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
（3） ，
那么 = ．
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的 ， ， ， 洛必达法则也成立．
（2）洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型．
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ， 型定式，否
则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，
应从另外途径求极限．
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
【变式11-1】设函数 ．如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围．
【解析】 ，若 ，则 ；
若 ，则 等价于 ，即
则 .
记 ，
因此，当 时， ， 在 上单调递减，且 ，
故 ，所以 在 上单调递减，
而 .
另一方面，当 时， ，
因此 .
【变式11-2】已知 ．
（1）求 的单调区间；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
令 ，则所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 时， （1） ，
即 在 上单调递增，
所以 的增区间为 ，无减区间．
（2）对任意 ，不等式 恒成立等价于对任意 ， 恒成立．
当 ， 对任意 ，不等式 恒成立等价于对任意 ， 恒成立．
记 ，则 ，
记 ，
则 ，
所以 在 单调递减，又 （1） ，
所以， 时， ，即 ，
所以 在 单调递减．
所以 ，
综上所述， 的取值范围是 ．1．已知函数 ．
（1）若函数 在点 ， （1） 处的切线 经过点 ，求实数 的值；
（2）若关于 的方程 有唯一的实数解，求实数 的取值范围．
【解析】解：（1） ， 在点 ， （1） 处的切线 的斜率 （1）
，
又 （1） ， 切线 的方程为 ，
即 ，由 经过点 ，
可得 ．
（2）证明：易知 为方程的根，
由题只需说明当 和 时原方程均没有实数解即可．
①当 时，若 ，显然有 ，而 恒成立，此时方程显然无解，
若 ， ， ，
令 ，故 在 单调递增，在 单调递减，
故 在 单调递减 ，
从而 ， ，此时方程 也无解．
若 ，由 ，
记 ，则 ，
设 ，则 有 恒成立，
恒成立，
故令 在 上递增，在 上递减（1） ，可知原方程也无解，
由上面的分析可知 时， ，方程 均无解．
②当 时，若 ，显然有 ，而 恒成立，此时方程显然无解，
若 ，和①中的分析同理可知此时方程 也无解．
若 ，由 ，
记 ，则 ，
由①中的分析知 ，
故 在 恒成立，从而 在 上单调递增，
当 时， ，
如果 ，即 ，则 ，
要使方程无解，只需 ，即有
如果 ，即 ，此时 ， ，方程 一定有解，不满足．
由上面的分析知 时， ，方程 均无解，
综合①②可知，当且仅当 时，方程 有唯一解，
的取值范围为 ．题型十二：导数与三角函数结合问题
【典例12-1】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知
(1)将 ， ， ， 按由小到大排列，并证明；
(2)令 求证: 在 内无零点.
【解析】（1）令 ，
则 ，令 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
则 在 上单调递增，
则 ，
所以当 时， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
则 ，
即当 时， ，又 ，当 时， ，
即当 时，
综上：
（2）要证 在 内无零点，
只需证
由（1）知
只需证 ；
即证： ，
即证： ，
令 ，
则 。
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增；
所以当 时， ，
则 在 单调递增，
所以即 在 内无零点.
【典例12-2】已知函数 ．
(1)讨论 的单调区间
(2)若函数 ， ，证明： ．
【解析】（1）由题知，函数 的定义域为 ，
，
当 时，有 ，
当 或 时，f'(x)>0，当 时，f'(x)<0，
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，有 ， ，
所以 在 上单调递增；
当 时，有 ，
当 或 时，f'(x)>0，当 时，f'(x)<0，
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．
（2）由（1）知：当 时， 在(0,1)上单调递增，所以，当x∈(0,1)时， ，即 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
分段分析法
【变式12-1】已知函数 ， ，
(1)求证： ， ；
(2)若 在 上单调递增，求 的最大值；
(3)设 ， ， ，试判断 的大小关系.
【解析】（1）令 ，
则 ，由于在 上时， ，
，
即 在 上单调递减，
，
即 ；
（2） ，在 上单调递增，
在 上恒成立，即 恒成立，
令 ， ，
， ，
，即函数 在 上单调递增，
，
，
即 的最大值为 ；
（3）令 ，则
当 时， ，函数 在 上单调递减，
，即 ，
，
令 ，
则
由（1）可得 在 上单调递增，
，
，即 ，即 ，
综上所述 .
【变式12-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知函数 ．(1)当 时，求 在 处的切线方程：
(2)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(3)若 ， ，证明： ．
【解析】（1）当 时， ，
所以 ， ，
又因为 ，
所以 在 处的切线方程为 .
（2）由题知， 在 时恒成立，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 或 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 .
（3）证明：由（2）知， 时， 在 上单调递增，
所以 ， ，
因此，当 时， ，因为 ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
故当 时， ．
1．已知函数 ， ．
(1)函数 在 处与 处的切线分别为 ， ，且直线 ， 之间的距离为 ，求证 ；
(2)若 为空集，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由已知 ， ，
， ， ，则 ，
方程为 ，即 ，
方程为 ，即 ，
则 ，要证 ，即证 ，即证 ，即 ，也即证 ，
而 ，
所以 成立．
（2）由题意 无实解，即 无实数解，即 除0以外无其它实数解，
时，方程为 有无数解，不合题意，
时， ，而 ，且 时， ，因此方程 除0以外无其它实数解，
满足题意，
时，方程 化为 ，
设 ，则 ，
记 ，则 ，
当 ，即 时， ， 是减函数，即 是减函数，
又 ，所以 时， ， 递增， 时， ， 递减，
所以 ， 时， ，
所以方程 除0以外无其它实数解，满足题意，
当 时， 有无数解，设锐角 是它的解，则 ，
时， ， 递增，
又 ，则 时，则 ，即 ，
所以 递增，而 ，所以 ，又 ，
所以 在 上有一个零点，即 有不是0的根，不合题意，综上， 取值范围是 .
2．已知函数 ，其中 ，
(1)证明： ；
(2)探究 是否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
【解析】（1）设函数 ，其中 ，则 ，
令 ，其中 ，
所以， ，
所以 在 上单调递增，故 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 .
（2）由题意可得
因为 ，则 ，
由（1）可得，
所以 ，
因为 ，
所以所以对任意的 ，
故函数 在 上单调递减，无最小值．
重难点突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题
【典例13-1】若存在一个数 ，使得函数 定义域内的任意 ，都有 ，则称 有下界，
是 的一个下界．
(1)求函数 的下界 的取值范围；
(2)判断 是否是下界为 的函数，并说明理由；
(3)若函数 ， 是 的一个整数下界，求 的最大值．（参考数据：
， ）
【解析】（1）因为函数 的定义域为 ，对任意的 ， ，则 ，
因为 ，令 ，可得 ，列表如下：
减 极小值 增
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，则 ，所以， ，因此，函数 的下界 的取值范围为 .
（2）令 ，其中 ， ，
因为函数 、 在 上均为增函数，
故函数 在 上为增函数，且 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
所以， ，故 ，
因此，函数 是下界为 的函数.
（3）当 时， ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，
因为 ，所以， ，
因为 ， ，
所以，存在 ，使得 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
所以，，
令 ，其中 ，
，
所以，函数 在 上单调递减，所以， ，
所以， ，且 ，
因此，整数 的最大值为 .
【典例13-2】一般地，设函数 在区间 上连续，用分点 将区间
分成 个小区间，每个小区间的长度为 ，在每个小区间 上任取一点
，作和式 ．如果当 无限接近于0（亦即 时，
上述和式 无限趋近于常数 ，那么称该常数 为函数 在区间 上的定积分，记为 ．
当 时，定积分 的几何意义表示由曲线y=f (x)，两直线 与 轴所围成的曲边梯
形的面积（如下图）．
如果 是区间 上的连续函数，并且 ，那么(1)求 ；
(2)设函数 ．
（1）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）数列 满足 ，利用定积分的几何意义，证明： ．
【解析】（1）由于 ，故 .
（2）由 ，
①由 恒成立，得 恒成立．
令 ，则 ．
当 时， ，此时 在 , 上单调递增，
又 ，所以 在 , 恒成立．
当 时，当 时，有 ，此时 在 上单调递减，在 单调递增，
又 ， 在 恒成立，与 矛盾．
综上所述， ．
②由 ，可得 ，所以 ．
即数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，故 ，
所以 ，
由题意可得 是由曲线 ，两直线 ， 与 轴所围成的曲边梯形的面积．而 表示图一阴影所示各矩形的面积和，
所以 ，不等式的左边成立．
表示图二阴影所示各矩形的面积和，
所以 ，不等式的右边成立．
故得证.
函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生
对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点
考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
【变式13-1】（2024·上海徐汇·一模）已知定义域为 的函数y=f (x)，其导函数为y=f'(x)，若点
在导函数y=f'(x)图象上，且满足 ，则称 为函数y=f (x)的一个“ 类数”，函数
y=f (x)的所有“ 类数”构成的集合称为“ 类集”.
(1)若 ，分别判断 和 是否为函数y=f (x)的“ 类数”，并说明理由；
(2)设y=f'(x)的图象在R上连续不断，集合 .记函数y=f (x)的“ 类集”为集合 ，若
，求证： ；(3)已知 ，若函数y=f (x)的“ 类集”为R时 的取值构成集合 ，求当
时 的最大值.
【解析】（1） ，
是函数 的“ 类数”；
，
不是函数 的“ 类数”.
（2）因为函数 的“ 类集”为集合 ，且 ，
所以存在 ，使得 且 ，
若 ，则 ，所以 ，
因为函数 的图象是连续不断的，
不妨设 ，由零点存在定理知，必存在 使得 ，
所以 存在零点，即 .
（3） ，则 .
先证明 ：
因为函数 的“ 类集”为 ，
所以对任意 ，
令 ，则 ，因为函数 的值域为 ，
所以当 时，必有 ，
即 对于 恒成立，
所以函数 的最小正周期 应有 ，即 ，则 .
再证明 ，此时 ，对于任意 .
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，
所以 时函数 的“ 类集”为 ，即 .
我们不难发现，上述过程中令 也成立.因此， 的最大值是 .
【变式13-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）定义：如果函数 在定义域内，存在极大值 和极小值
且存在一个常数 ，使 成立，则称函数 为极值可差比函数，常数 称
为该函数的极值差比系数．已知函数 ．
(1)当 时，判断 是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在 使 的极值差比系数为 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3)若 ，求 的极值差比系数的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，
所以 ，当 时， ；当 时， ．
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ，极小值为 ，
所以 ，因此 极值可差比函数．
（2） 的定义域为 ， ，即 ，
假设存在 ，使得 的极值差比系数为 ，
则 、 是方程 的两个不等正实根，
，解得 ，不妨设 ，则 ，
由于
所以 ，从而 ，
得 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，有 ，
因此 式无解，即不存在 使 的极值差比系数为 ．（3）由（2）知极值差比系数为 ，
即极值差比系数为 ，不妨设 ，
令 ，则 ，极值差比系数可化为 ，
，
又 ，即 ，解得 ，
令 ，则 ，
设
所以 在 上单调递减，当 时， ，
从而 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
即 ．
故 的极值差比系数的取值范围为
1．已知曲线 的图象上存在A，B两点，记直线AB的方程为 ，若AB恰为曲线 的一条切线，且直线 与曲线 相切于A，B两点， ， ，则称函数 为
“切线上界”函数.
(1)试判断函数 是否为“切线上界”函数.若是，求出一组点A，B；否则，请说明理
由；
(2)已知 为“切线上界”函数，求实数a的取值范围；
(3)证明：当 时， 为“切线上界”函数.
【解析】（1） ，
当 ，即 时，
取得极大值，也是最大值 ，
中，不妨令 和 ，得 和 ，
故 ，
此时满足AB恰为曲线y=f (x)的切线，且直线y=g(x)与曲线y=f (x)相切于A，B两点，
， ，则 是“切线上界”函数.
（2） 在 上单调递增， 在(0,+∞)上单调递增，
故 不会同在 ， 或 ， 上，
不妨设切点A(x ,y )在 上，切点B(x ,y )在 上，
1 1 2 2
由于 ，故在A(x ,y )处的切线方程为 ，
1 1
，故在B(x ,y )处的切线方程为 ，
2 2两切线为同一切线，故 ，
由①得 ③，将③代入②得 ，
故 ， ，
令 ， ，
则 ，
故 在(0,+∞)上单调递减，
故 ，所以 ；
（3）证明： ， ，
设切点 ， ，
设直线 方程为 ，满足 ，
直线 的斜率为 ，
，故 在 处的切线斜率为 ，
在 处的切线斜率为 ，
故 ，所以 ，
由 ，化简得 ，
令 ，故 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，
要证 时， 为“切线上界”函数，
只需证 在R上存在不同两点，其函数值相等，
即证连续函数 在R上不单调即可，
令 ，则 ，
显然 不恒大于等于0或恒小于等于0，
故 在R上不单调即可，结论得证.
