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第 5 章 一元一次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）
知识点一、一元一次方程的概念
1.方程：含有未知数的等式叫作方程．
2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。
4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。
知识点二、等式的基本性质
等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。
1
学科网（北京）股份有限公司字母表达式为： ．
等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。
字母表达式为： ．
知识点三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 (a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是
方程的解．
知识点四、一元一次方程的应用
一元一次方程应用题解题一般步骤：
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
知识点五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
2
学科网（北京）股份有限公司（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝ ×100%）；
（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工
作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S ＋S =S ；追及问题：S -S =S ；
甲 乙 总 快 慢 相距
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
考点1：一元一次方程及方程的解
【例题1】（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x的方程 是一元一次方程，则m的值为
（ ）
A．1 B． C．1或 D．以上结果均不正确
【答案】B
【分析】本题考查根据一元一次方程的定义求出参数，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式
方程，叫做一元一次方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，且 ，
∴ ；
故选B．
【变式1】（23-24七年级上·贵州遵义·期中）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3
学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元一次方程要分为两步：（1）判断是否是整式
方程；（2）对整式方程化简，化简后判断是否只含有一个未知数，并且未知数的指数是1只含有一个未知数．
【详解】解：A．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故正确，符合题意；
B．含有两个未知数，是二元一次方程，故错误，不符合题意；
C．未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故错误，不符合题意；
D．分母含有未知数，是分式方程，故错误，不符合题意．
故选：A．
【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知 是方程 的解，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了方程解的定义，使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
将 代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
【详解】解：将 代入原方程得 ，
解得： ，
∴a的值为2．
故答案为：2．
【变式3】（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知方程 是关于x的一元一次方程，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的定义、代数式求值、有理数的乘方，根据一元一次方程的定义可得 ，即
，再代入求值即可．
【详解】解：∵方程 是关于x的一元一次方程，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得， ．
4
学科网（北京）股份有限公司考点2：等式的基本性质
【例题2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等
式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若 ，当 时， ，原变形错误，不符合题意；
B、若 ，则 ，原变形正确，符合题意；
C、若 ，则 ，原变形错误，不符合题意；
D、若 ，则 ，原变形错误，不符合题意；
故选：B
【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
【答案】C
【分析】本题主要考出来等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键．根据等式的基本性质，逐项进
行判断即可．
5
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、 ，两边都乘以2，得 ，故本选项错误，不符合题意.
B、 ，当 时， ，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，等号两边都减y加3，得 ，故本选项正确，符合题意；
D、 ，当 时， ，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）写出下列等式变形的依据．
（1）由 ，得 ， ；
（2）由 ，得 ， ；
（3）由 ，得 ， ．
【答案】 等式的性质1 等式的性质2 等式的性质2
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式
的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．分析题意，回忆等式的性质；根据等式的性质
1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，对（1）进行分析；根据等式的性质2：等式的两边同
乘（或除以）同一个数（除数不为0），结果仍相等，对（2）（3）进行分析．
【详解】解：（1）由 ，得 ，依据是等式的性质1；
（2）由 ，得 ，依据是等式的性质2；
（3）由 ，得 ，依据是等式的性质2．
故答案为：等式的性质1；等式的性质2；等式的性质2
【变式3】（2024七年级上·浙江·专题练习）在将等式 变形时，小明的变形过程如下：
因为 ，
所以 ，（第一步）
所以 ．（第二步）
(1)上述过程中，第一步的依据是什么？
6
学科网（北京）股份有限公司(2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因．
【答案】(1)第一步的依据是：等式的性质1
(2)小明第二步的结论不正确，理由见解析
【分析】此题考查了等式性质的应用能力．
（1）运用等式的性质1进行求解；
（2）根据等式的性质2进行解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴根据等式的性质1，两边都加上 ，
得 ，
∴第一步的依据是：等式的性质1；
（2）解：小明第二步的结论不正确，理由如下：
∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的两个数，等式仍然成立，
∴当 时，等式的两边都除以x，等式不成立，
∴小明第二步的结论不正确．
考点3：一元一次方程的解法
【例题3】（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的
方法是解决问题的关键．
（1）先去分母，再括号，移项，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答．
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学科网（北京）股份有限公司（2）先去分母，再括号，移项，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答．
【详解】（1）解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
（2）解：去分母， ，
去括号， ，
移项， ，
合并同类项， ，
系数化1， ．
【变式1】（24-25七年级上·山东德州·期中）解下列方程：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数
化为1成为解题的关键．
（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】（1）解： ，
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学科网（北京）股份有限公司去括号，得∶ ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
（2）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得， ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．
（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：
去括号得： ，
移项合并得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ；
（2）解：
去分母得： ，
移项合并得： ，
解得： ．
【变式3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，
然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可．
（1）先移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可；
（2）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可；
（3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可．
【详解】（1）解： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（2）解： ，
去括号得： ，
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学科网（北京）股份有限公司移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（3）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ．
考点4：一元一次方程的应用
【例题4】（2024七年级上·全国·专题练习）甲、乙、丙三辆卡车所运货物的吨数之比是 ，已知甲车比丙车多
运货物12吨，则三辆卡车共运货（ ）
A．120吨 B．130吨 C．140吨 D．150吨
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“甲车比丙车多运货物12吨”列方程
求解．
【详解】解：设甲卡车运货 吨，则乙卡车运货 吨，丙卡车运货 吨，
由题意得： ，
解得： ，
三辆卡车共运货 （吨）．
故选：C．
【变式1】（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“ ”型框中的 个数（如
阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这 个数的和不可能的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．105
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这 个数中最小
的数为 ，则这 个数的和为 ，分别代入各选项中的数，解之可得出 的值，结合 为整数，即可得出结论．
【详解】解：设这 个数中最小的数为 ，则另外 个数分别为 ， ， ， ， ， ，
这 个数的和为 ．
A．根据题意得： ，
解得： ，
在第四列，符合题意，
这 个数的和可以是 ，选项A不符合题意；
B．根据题意得： ，
解得： ，
在第五列，符合题意，
这 个数的和可以是 ，选项B不符合题意；
C．根据题意得： ，
解得： ，
不是整数，不符合题意，
这 个数的和不可能是 ，选项C符合题意；
D．根据题意得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得：x=6，
在第一列，符合题意，
这 个数的和可以是105，选项D不符合题意．
故选：C．
【变式2】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，
要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，根据甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍列方程即可．
【详解】解：设调配到甲煤厂x吨，则调配到乙煤厂 吨，
依题意，得 ，
故答案为：
【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大
僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有 个和尚分 个馒头，如果大和尚 人分 个，
小和尚 人分 个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题．
【答案】小和尚有 人，大和尚有 人．
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有 人，则大和尚有 人，根据 个馒头列出方程
即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设小和尚有 人，则大和尚有 人，
由题意得， ，
解得 ，
（人），
答：小和尚有 人，大和尚有 人
考点5：三种思想
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学科网（北京）股份有限公司思想1：转化思想
【例题5】（2024七年级上·浙江·专题练习）定义新运算： ，例如： ，
那么当 时， 的值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次方程．根据定义的新运算，表示出 的式子，再与 成立方程，求出解即可．
【详解】解：
，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）定义：若 ，则称 与 是关于 的关联数．例如：若 ，
则称 与 是关于2的关联数；若 与 是关于3的关联数，则 的值是（ ）
A．−2 B．-1 C．3 D．6
【答案】A
【分析】此题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程求解即可．
【详解】根据题意可得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得， ．
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
【变式2】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）定义一种新运算“ ”的含义为： ．例如：
，若 ，则x的值为 ．
【答案】
【分析】已知等式利用题中新定义化简，整理即可求出x的值．
本题考查新定义运算及解一元一次方程算，解题关键是弄清题中的新定义．
【详解】解： ，
∵
，
∴
整理得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【变式3】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）定义新运算 ，如 ；
若 ，则称a与b互为“望一”数；
若 ，则称a与b互为“望外”数；
(1)计算： ．
(2)下列互为“望一”数的是 ．互为“望外”数的是 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
(3)若 ，则x可以取哪些整数？
【答案】(1)4；
(2)①④；③⑤；
(3) 或0或1．
15
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了新定义运算、绝对值的化简、解一元一次方程等知识点，根据新定义将所给等式转化为带有绝对
值的式子是解答本题的关键．
（1）根据新定义的运算代入数值计算即可；
（2）根据新定义的运算代入数值计算，再根据“望一”数和“望外”数的定义逐个进行判断即可；
（3）根据新定义的运算化简后，通过分类讨论 的取值范围把含有绝对值的方程转化为一元一次方程，即可求解；
【详解】（1）解： ，
，
，
，
故答案为：4．
（2）① ，
是互为“望一”数；
② ，
既不是互为“望一”数，也不是互为“望外”数；
③ ，
是互为“望外数”；
④ ，
是互为“望一数”；
⑤ ，
是互为“望外数”；
综上所述：互为“望一”数的是①④，互为“望外”数的是③⑤．
故答案为：①④；③⑤．
（3） ，
16
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
当 时， ，
解得 ，
当 时， 恒成立，
则满足 的任意实数 都满足题意，
当 时， ，
解得 ，
的取值范围为 ，
又 为整数，
或0或1．
思想2：分类讨论思想
【例题6】（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，且 、 满足
，动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点 从点 出发，以每
秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒．若点 、 同时出发，当 、 两点相距 个
单位长度时， 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】根据 可得 ， ，由已知条件可得 表示的数是 ， 表示的数是 ，而
、 两点相距 个单位长度，故可列方程 ，解之即可得出答案．
【详解】解： ，
， ，
解得： ， ，
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学科网（北京）股份有限公司动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速
度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒，
表示的数是 ， 表示的数是 ，
根据题意可得：
，
即： ，
解得： 或 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方程，列代数式，
整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含 的代数式表示 、 表示的数并列方程解决问题是解题的关键．
【变式1】．（24-25七年级上·湖南永州·期中）数轴上点A、B分别表示数字a、b，且 若动点P以
每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，
当运动时间为（ ）秒时，P、Q相距3个单位长度．
A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方程，列代数式，
整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含 的代数式表示 、 表示的数并列方程解决问题是解题的关键．根据
可得 ， ，由已知条件可得 表示的数是 ， 表示的数是 ，而 、 两点相距
3个单位长度，故可列方程 ，解之即可得出答案．
【详解】解： ，
， ，
解得： ， ，
动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀
速运动，设运动时间为 秒，
18
学科网（北京）股份有限公司表示的数是 ， 表示的数是 ，
根据题意可得：
，
即： ，
解得： 或3，
故选：C．
【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）根据绝对值的定义我们知道： 表示5与 之差的绝对值，
实际上也可理解为5与 两数在数轴上所对的两点之间的距离．若 ，则x的值为 ．
【答案】 或4
【分析】本题考查的是绝对值的含义，一元一次方程的应用，分三种情况：当 时，当 时，当 时，
再化简绝对值，建立一元一次方程求解即可．
【详解】解：当 时， ，
∴ ，
解得： ，
当 时，
，
当 时，
∴ ，
解得： ，
综上： 或 ；
故答案为： 或4
【变式3】（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）先阅读，后解题：
因为 ， ，所以当 时，可得 或 ．若解方程 ，可将绝对值符号内的 看成一个
整体，则可得 或 ，分别解方程可得 或 ．利用上面的知识，解方程：
19
学科网（北京）股份有限公司(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2) 或
【分析】（1）根据材料提示，绝对值的性质，解一元一次方程的方法即可求解；
（2）根据材料提示，绝对值的性质，解一元一次方程的方法即可求解；
【详解】（1）解： ，
∴当 时， ；当 时， ；
∴ 的解为 或 ．
（2）解： ，
∴当 时， ；当 时， ；
∴ 的解为 或 ．
【点睛】本题主要考查绝对值的化简求值，解一元一次方程的方程，理解材料提示，掌握绝对值的性质，解方程的方
法是解题的关键．
思想3：整体思想
【例题7】（23-24七年级上·全国·课后作业）在解方程 时，可先将 ，
分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程 ，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用
这种方法解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．
20
学科网（北京）股份有限公司（2）将 、 分别看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．
【详解】（1）移项，得 ，
整体合并，得 ，
即 ，解得 .
（2） .
移项、合并同类项得 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
解得 .
【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解决本题的关键是要注意用了整体代入思想
【变式1】（21-22七年级上·云南昆明·期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例
如，在解方程 时，把 看作一个整体．
令 ，得： ，
去括号，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
故 ，解得 ．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：
21
学科网（北京）股份有限公司【答案】x=
【分析】把x+2看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可．
【详解】解：令a=x+2，则2a=2x+4，
原方程得： ，
去括号，得：4a-20=1，
移项，得：4a=21，
系数化为1，得：a= ．
故x+2= ，
解得x= ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键．
【变式2】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）【阅读材料】如何化简整式 呢？数学教材第
76页提示，可以把 看成一个整体，进而 ．“看
成一个整体”在数学中称为“整体思想”，它往往能把复杂问题简单化，在数学问题的解决中应用广泛．请参考阅读
材料，解决以下问题：
【尝试应用】
（1）填空：已知 ， ，则 ______；
【拓展探究】
（2）若关于 的一元一次方程 的解是 ，求关于 的方程 的解是多
少；
【迁移提升】
【答案】（ ） ；（ ）
【分析】（ ）首先由 得 ，然后将 ， ，代入 之中进行
计算即可得出答案；
（ ）首先设 则方程 可转化为 ，进而得 ，然
22
学科网（北京）股份有限公司后结合已知可得出 ，进而得 ，由此解出 即可；
【详解】（ ）∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴
，
故答案为： ；
（ ）设 ，
则方程 可转化为： ，
即 ，
∵关于 的一元一次方程 的解是 ，
∴关于 的一元一次方程 的解是 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即关于 的方程 的解是 ；
【变式3】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程
为“美好方程”．例如：方程 和 为“美好方程”．
(1)若关于 的方程 与方程 是“美好方程”，求 的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为 ，求 的值；
(3)若关于 的一元一次方程 和 是“美好方程”，利用整体思想，求关于 的一元一次
方程 的解．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
23
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了一元一次方程的解；
（1）先表示两个方程的解，再求解；
（2）根据条件建立关于 的方程，再求解；
（3）求出关于 的一元一次方程 的解，然后利用整体思想解决问题；
利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
关于 的方程 与方程 是“美好方程”，
，
；
（2） “美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为 ，
另一个方程的解为： ，
两个解的差为8，
或 ，
或 ；
（3） ，
，
关于 的一元一次方程 和 是“美好方程”，
24
学科网（北京）股份有限公司关于 的一元一次方程 的解为： ，
关于 的一元一次方程 中， ；
关于 的一元一次方程 的解为 ；
一、单选题
1．（2023·海南·中考真题）若代数式 的值为7，则x等于（ ）
A．9 B． C．5 D．
【答案】C
【分析】根据题意得出 ，然后解方程即可．
【详解】解：∵代数式 的值为7，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得出 ．
2．（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案．
25
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误；
B、若 ，则 ，故此选项错误；
C、若 ，则 ，故此选项正确；
D、若 ，则 ，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．
3．（2023·四川南充·中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不
足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去
度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列
方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设长木长为x尺，则绳子长为 尺，根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺”，可列出方程．
【详解】设长木长为x尺，则绳子长为 尺，根据题意，得
故选：A
【点睛】本题考查一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．
4．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三
种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ）
26
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式 ， ，然后化简代
入即可解题．
【详解】解：设“▲”的质量为a，
由甲图可得 ，即 ，
由乙图可得 ，即 ，
∴ ，
故选C．
二、填空题
5．（2021·湖南张家界·中考真题）已知方程 ，则 ．
【答案】
【分析】直接移项求解一元一次方程的解．
【详解】解： ，
，
解得： ，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的解，解题的关键是：掌握解一元一次方程的一般步骤．
6．（2021·山东枣庄·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数
字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则 的值为
．
【答案】1
27
学科网（北京）股份有限公司【分析】如图（见解析），先根据“每一横行、两条斜对角线上的数字之和都是15”求出图中①和②表示的数，再根
据“每一竖行上的数字之和都是15”建立方程，解方程即可得．
【详解】解：如图，由题意，图中①表示的数是 ，
图中②表示的数是 ，
则 ，
解得 ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确求出图中①和②所表示的数是解题关键．
三、解答题
7．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程 时，第一步出现了错误：
解： ，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)见解析；
(2) .
【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解
（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
【详解】（1）
28
学科网（北京）股份有限公司（2）解： ，
去分母，得， ，
移项，得： ，
合并同类页，得： ，
解得： ．
8．（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次
数，需重新投，计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分
3 1
（分）
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分；
(2) ．
【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）根据题意列一元一次方程即可求解.
29
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：由题意得 (分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
（2）解：由题意得 ，
解得： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关
系，列出方程，再求解．
9．（2023·北京·中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，
左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是 ，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的
．某人要装裱一副对联，对联的长为 ，宽为 ．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天
头长．（书法作品选自《启功法书》）
【答案】边的宽为 ，天头长为
【分析】设天头长为 ，则地头长为 ，边的宽为 ，再分别表示础装裱后的长和宽，根
据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．
【详解】解：设天头长为 ，
30
学科网（北京）股份有限公司由题意天头长与地头长的比是 ，可知地头长为 ，
边的宽为 ，
装裱后的长为 ，
装裱后的宽为 ，
由题意可得：
解得 ，
∴ ，
答：边的宽为 ，天头长为 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．
一、单选题
1．（24-25七年级上·浙江金华·期中） 与 是互为相反数， （ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】D
【分析】此题考查了解一元一次方程、代数式求值．利用互为相反数两数之和为0列出一元一次方程，求出一元一次
方程的解即可解答．
【详解】解：∵ 与 互为相反数，
∴
∴ ，
31
学科网（北京）股份有限公司则 ，
故选：D．
2．（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】D
【分析】本题考查等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式
子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．根据等式
的性质逐项判断即可．
【详解】A．当 时， ，此时 和 不一定相等，故该选项错误，不符合题意；
B．如果 ，那么 ，故该选项错误，不符合题意；
C．如果 ，那么 ，故该选项错误，不符合题意；
D．如果 ，那么 ，正确，符合题意．
故选：D．
3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中，是一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的定义；根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次
方程，进行判断即可．
【详解】解：A， 中含有2个未知数，不是一元一次方程，不合题意；
B， 中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意；
C， 是一元一次方程，符合题意；
D， 不是整式方程，不是一元一次方程，不合题意；
32
学科网（北京）股份有限公司故选C．
4．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】本题主要考查的是方程的定义，解题的关键是理解方程的定义．
依据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未
知数），逐个判断即可．
【分析】解：A、 不含未知数，不是方程，故此选项不符合题意；
B、 是方程，故此选项符合题意；
C、 不是等式，故此选项不符合题意；
D、 不是等式，故此选项不符合题意．
故选：B．
5．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把方程 去分母后，正确的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为∶去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1，方程两边
同乘以8去分母得到结果，即可做出判断．
【详解】解：方程去分母，得 ，
故选：B．
6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知 ，下列不相等的是（ ）
A． 与 B． 与
33
学科网（北京）股份有限公司C． 与 D． 与
【答案】D
【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上
（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不
能为0），所得的结果仍是等式．根据等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．若 ，则 ，所以A选项不符合题意；
B．若 ，则 ，所以B选项不符合题意；
C．若 ，则 ，所以C选项不符合题意；
D．若 ，则 ，所以D选项符合题意．
故选：D．
7．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知 是关于 的一元一次方程，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫一元一次方程，即可求出答案．
【详解】解：根据一元一次方程的定义得到 且 ，
由 解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
8．（23-24七年级上·河南周口·期末） 是关于x的一元一次方程 的解，则m的值是（ ）
34
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．−7
【答案】A
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把 代入方程计算即
可求出m的值．
【详解】解：把 代入方程得： ，
解得： ，
故选：A．
9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生
产螺母22个或螺栓16个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下
面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据实际问题抽象一元一次方程，要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，
所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍 螺母数量．
设分配 名工人生产螺栓，则 名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按 配套，可得出方程．
【详解】解：设分配 名工人生产螺栓，则 名生产螺母，
∵一个螺栓配套两个螺母，每人每天生产螺母22个或螺栓16个，
∴可得 ．
故选：A．
10．（2024七年级上·全国·专题练习）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车
各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车
可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
35
学科网（北京）股份有限公司【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，
最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
【详解】解：由题知，
因为每3人乘一车，最终剩余2辆车，
所以总人数可表示为： ，
因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，
所以总人数可表示为： ，
则可建立方程： ．
故选：B．
二、填空题
11．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若关于x的多项式 中不含有x的一次项，则 ．
【答案】
【分析】先合并同类项，再令x的系数为0，列式解答即可．
本题考查了整式中的不含项计算，解方程，熟练掌握计算是解题的关键．
【详解】解： ，
由不含有x的一次项，
故 ，
解得 ．
故答案为： ．
12．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若 和 互为相反数，则 ．
【答案】7
【分析】本题考查相反数的性质，掌握互为相反数的两个数和为0是解决问题的关键．根据相反数的性质列方程，直
36
学科网（北京）股份有限公司接求解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ 和 互为相反数，
∴ ，
解得： ，
故答案为：7．
13．（2024七年级上·全国·专题练习）在 ① ，② ，③ ，④ 中，方程有
（填序号）．
【答案】②③
【分析】本题考查了方程，熟练掌握方程的定义是解题的关键．
根据含有未知数的等式叫方程，可得答案．
【详解】解：∵① ，是等式但不含未知数，故不是方程；
∵② ③ ，含有未知数的等式，故是方程；
④ ，含有未知数但不是等式，故不是方程，
故答案为：②③．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）如果方程 是关于x的一元一次方程，那么 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟记一元一次方程的定义是解题的关键．
根据一元一次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵方程 是关于x的一元一次方程，
∴ ，
解得： ．
故答案为：0．
15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若关于 的单项式 与 的差仍为单项式，则 的值为
37
学科网（北京）股份有限公司．
【答案】
【分析】本题考查同类项的判断，合并同类项，代数式求值．掌握同类项的定义是解答本题的关键．
由题意可得单项式 与 是同类项，即可得出 ，解出 、 的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵单项式 与 的差仍为单项式，
∴单项式 与 是同类项，
，
解得： ，
，
故答案为： ．
16．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知关于x的一元一次方程 的解是正整数，则整数m的值为
．
【答案】3或4或6
【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于m的方程是解题关键．
根据方程的解是正整数，可得4的约数，根据4的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：由 ，得 ，
因为关于x的方程 的解是正整数，
得 ，或 ．
解得 ，或 ．
故答案为：3或4或6．
17．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知 、 、 三点在同一直线上，某人乘船由 地顺流而下到 地，然
后又逆流而上到 地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是8千米/小时，水流速度是2千米/小时，若 、 两地
38
学科网（北京）股份有限公司距离为2千米，则 、 两地之间的距离是 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程是解答关键．
设 、 两地之间的距离是 千米，分两种情况：当 在线段 上时，当 在线段 的反向延长线上时，根据顺流
速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度列出方程求解．
【详解】解：设 、 两地之间的距离是 千米，
当 在线段 上时，
则 ，
解得 ．
当 在线段 的反向延长线上时，
，
解得 ，
即 、 两地之间的距离是 或 ．
故答案为： 或 ．
18．（2024七年级上·全国·专题练习）某学校需要购买一批电脑，有两种方案．方案1：到商家直接购买，每台需要
7000元；方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装费等其他费用合计3000元，学校添置
台电脑时，两种方案的费用相同．
【答案】3
【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式．
设学校添置x台电脑，根据“两种方案的费用相同”列出方程并解答．
【详解】解：设学校添置x台电脑，
由题意，得 ，
解得： ，
答：当学校添置3台电脑时，两种方案的费用相同；
39
学科网（北京）股份有限公司故答案为：3．
三、解答题
19．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为
1等．
（1）通过合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值；
（2）通过移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值．
【详解】（1）解： ，
，
；
（2） ，
，
，
．
20．（2024七年级上·山东·专题练习）解方程：
(1) ；
(2) ；
40
学科网（北京）股份有限公司(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程：
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（3）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（4）先证明原方程，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】（1）解： ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化1得， ；
（2）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
41
学科网（北京）股份有限公司移项，得 ，
合并同类项，得 ，
两边同除以−7，得 ；
（3）解： ，
去小括号，得 ，
整理，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
3
两边同除以 ，得 ；
2
（4）解：
整理，得： ，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化成1，得： ．
42
学科网（北京）股份有限公司21．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知关于 的方程 是一元一次方程，求 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，列出方程与不等式，求解即可．
【详解】解：由题意，得 ，且 ，
所以 ，且 ，
所以 ．
22．（2024七年级上·全国·专题练习）已知 与 是同类项，试判断 是不是方程
的解．
【答案】是
【分析】本题考查了同类项和方程的解，方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替
未知数，所得到的式子左右两边相等．同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相
同，是易混点．
根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，求出m和n值，再代入 从而求出x的值．把x的值代入方程
进行检验即可判断．
【详解】解：∵ 与 是同类项，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
把 代入方程 ，
左边 ，
右边 ，
43
学科网（北京）股份有限公司左边＝右边．
∴ 是方程 的解．
23．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果方程 的解与方程 的解相同，求
字母a的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握一元一次方程的解法是解题
的关键．
先解方程求出 ，然后把求出的方程的解代入 ，再解关于 的方程求出 即可．
【详解】解：对方程 ，
去分母得 ，
去括号得 ，
移项、合并同类项得 ，
系数化为1得 ；
把 代入 ，得 ，
解得： ．
24．（2024七年级上·全国·专题练习）多项式 是五次四项式，且单项式 与该多项式的次
数相同，求m，n的值．
【答案】
【分析】本题考查多项式次数及项数，解一元一次方程等．根据题意列式可得 ，继而列式 可得
．
【详解】解：∵多项式 是五次四项式，
∴ ，
∴ ，
44
学科网（北京）股份有限公司∵单项式 与该多项式的次数相同，
∴ ，
∴ ．
25．（2024七年级上·浙江·专题练习）小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线
反向匀速而行．出发后 两人相遇．相遇时小刚比小强多行进 ，相遇后 小刚回到A地．
(1)两人的行进速度分别是多少？
(2)相遇后经过多少时间小强到达A地？
【答案】(1)两人的行进速度分别是 ，
(2)相遇后经过 小强到达A地
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系列出方程；
（1）可根据相遇时两人所用时间相等，且两人所行路程之和为环形公路的距离，从而列出方程求出解；
（2）利用路程÷速度=时间即可解答；
【详解】（1）解：设小刚的速度为 ，则相遇时小刚走了 ，小强走了 ，
由题意得， ，
解得： ，
则小强的速度为： ，
答：两人的行进速度分别是 ， ；
（2） ．
答：相遇后经过 小强到达A地．
26．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是 ，点B对应的数是
10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速
度向右运动，设运动时间为t秒．
45
学科网（北京）股份有限公司(1) 两点之间的距离为______；
(2)当 时，P、B两点之间的距离为______；
(3)在运动过程中，线段 、 、 中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)12
(2)9
(3)是；当 或3或 或4或6时，线段 、 、 中存在两条线段相等
【分析】（1）直接由数轴上两点间距离计算方法即可完成；
（2）分别求出此时两点表示的数，由数轴上两点间距离计算方法即可完成；
（3）分5种情况考虑，利用距离相等建立一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵点A对应的数是 ，点B对应的数是10，
∴A、B两点之间的距离为： ；
（2）解：当 时，点P表示的数为： ，
点Q表示的数为： ，
∴P、Q两点之间的距离为： ；
（3）解：在运动过程中，线段 、 、 中存在两条线段相等，理由如下：
依题意得： ， ，
有以下几种情况：
①当 且P与Q不重合时，如图所示
则有： ，
解得： ；
②当P与B重合时，即 ，如图所示．
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学科网（北京）股份有限公司则有： ，
解得： ；
③当 时，如图所示．
则有： ，
解得： ；
④当P与Q重合时，即 ，
则有： ，
解得： ；
⑤当 时，如图所示：
则有： ，
解得： ；
综上所述，当 或3或 或4或6时，线段 、 、 中存在两条线段相等．
【点睛】本题考查了数轴上两点间距离，动点问题，有理数的运算，一元一次方程等知识，解题的关键是利用分类讨
论思想．
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