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第 4 课时一次函数的应用
基础篇
1．直线kx-3y＝8，2x+5y＝-4交点的纵坐标为0，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】
根据交点的意义，确定交点坐标，代入含有k的直线的解析式即可求解.
【详解】
∵直线kx-3y＝8，2x+5y＝-4交点的纵坐标为0，
∴x=-2，
∴把x=-2,y=0代入直线kx-3y=8，得：
-2k=8，
∴k=-4,
故选B.
【点睛】
本题考查了一次函数的交点问题，牢记交点坐标同时满足两个函数的解析式是解题的关键.
2．已知某等腰三角形的周长为36，腰长为 ，底边长为 ，那么 与 之间的函数关系式及定义域是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据等腰三角形的定义和三角形的周长公式，即可求出 与 之间的函数关系式，然后根据实际意义和三
角形三边关系即可求出 的取值范围.
【详解】
解：∵等腰三角形的周长为36，腰长为 ，底边长为 ，
∴∴ 与 之间的函数关系式为：
由题意可得：
即：
解得：
故选D.
【点睛】
此题考查的是函数的实际应用及求自变量的取值范围，掌握等腰三角形的定义、三角形的周长公式和三角
形三边关系是解决此题的关键.
3．用长为50的栏杆围成一个长为x宽为y的长方形，则y与x的函数关系为（ ）
A．y=25－x B．y=25+x C．y=50－x D．y=50+x
【答案】A
【分析】
通过长方形的周长公式可得到y与x的函数关系．
【详解】
解： 长为50的栏杆围成一个长为x宽为y的长方形，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查一次函数的实际应用，属于基础题，根据条件列出一次函数的解析式是解决本题的关键．
4．如图，一次函数 与 的图象交点的横坐标为3，则下列结论：
① ；② ；③当 时， 中，正确结论的个数是 （ ）A．0 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
①由一次函数y =kx+b的图象过第一、二、四象限，即可得出k＜0，由此即可得出①正确；②由一次函数
1
y =x+a的图象过第一、三、四象限，即可得出a＜0，由此得出②错误；③根据两一次函数图象的上下位置
2
关系即可得出当x＜3时，y ＞y ，即③正确．综上即可得出结论．
1 2
【详解】
①∵一次函数y =kx+b的图象过第一、二、四象限，
1
∴k＜0，①正确；
②∵一次函数y =x+a的图象过第一、三、四象限，
2
∴a＜0，②错误；
③观察函数图象，发现：
当x＜3时，一次函数y =kx+b的图象在一次函数y =x+a的图象的上方，
1 2
∴当x＜3时，y ＞y ，③正确．
1 2
综上可知：正确的结论为①③．
故选：C．
【点睛】
考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是逐条分析三个选项是否正确．本题属于基础题，难度不
大，解决该题型题目时，熟悉一次函数图象与一次函数系数的关系是关键
5．已知一次函数 的图像与 轴、 轴分别交于 两点，当 的面积为 时，那么 的值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
先求出点A和点B的坐标，即可求出OA和OB，然后根据三角形的面积公式即可求出结论．
【详解】
解：当y=0时，则 ，解得：x= ；
当x=0时，则
∴点A的坐标为（ ，0），点B的坐标为（0，1）
∴OA= ，OB=1
∵ = OA·OB
∴ ×1=2
整理可得 =4
∴
故选C．
【点睛】
此题考查的是一次函数与几何问题，求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题关键．
6．如图，一天早上8点，小明和爸爸一起开车去看望距他家60千米的爷爷、奶奶．他们离开家的距离S
（千米）与汽车行驶的时间t（分）之间的关系如图所示．已知汽车在途中停车加了一次油．根据图象中
提供的信息，下列描述不正确的是（ ）A．加油用了10分钟
B．他们在8点55分到达爷爷家
C．若OA//BC，则加油后汽车的速度是80千米/时
D．若加油后的速度是90千米/时，则a的值是25
【答案】D
【分析】
根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是平滑曲线，故应分段考虑．
【详解】
解：A、图中加油时间为25至35分钟，共10分钟，故本选项不合题意；
B、他们在8点55分到达爷爷家，说法正确，故本选项不合题意；
C、因为OA//BC，所以 ，解得a＝ ，所以加满油以后的速度＝ 千米/小时，
说法正确，故本选项不合题意；
D、由题意： ，解得a＝30，原说法错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键．
7．一根蜡烛长30cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时蜡烛剩余的长度h（cm）和燃烧时间t（小时）之间
的函数关系用图像可以表示为中的（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】
根据蜡烛剩余的长度=总长度-燃烧的长度就可以得出函数的解析式，由题意求出自变量的取值范围就可以
得出函数图象．
【详解】
解：由题意，得
y=30-5t，
∵y≥0，t≥0，
∴30-5t≥0，
∴t≤6，
∴0≤t≤6，
∴y=30-5t是降函数且图象是一条线段．
故选B．
【点睛】
本题考查一次函数的解析式的运用，一次函数的与实际问题的关系的运用，一次函数的图象的运用，自变
量的取值范围的运用，解答时求出函数解析式及自变量的范围是关键．
8．如图所示，购买一种苹果，所付款金额 （单元：元）与购买量 （单位：千克）之间的函数图像由
线段 和射线 组成，则一次购买 千克这种苹果，比分五次购买，每次购买 千克这种苹果可节省（
）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】B
【解析】
【分析】可由函数图像计算出2千克以内每千克的价钱，超出2千克后每千克的价钱，再分别计算出一次购买 千
克和分五次购买各自所付款金额.
【详解】
解：由图像可得2千克以内每千克的价钱为： （元），超出2千克后每千克的价钱为：
（元），一次购买 千克所付款金额为： （元），分五次购买所付款
金额为： （元），可节省 （元）.
【点睛】
本题考查了函数的图像，正确从函数图像获取信息是解题的关键.
9．五一假期小明一家自驾去距家360km的某地游玩，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公
路．若小汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，行驶的路程y（单位：km）与时间x
（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．小汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h
B．小汽车在高速公路上的行驶速度为120km/h
C．乡村公路总长为90km
D．小明家在出发后5.5h到达目的地
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一次函数图象的性质和“路程=速度×时间”的关系来分析计算即可.
【详解】解：小汽车在乡村公路上的行驶速度为：（270﹣180）÷（3.5﹣2）＝60km/h，故选项A正确，
小汽车在高速公路上的行驶速度为：180÷2＝90km/h，故选项B错误，
乡村公路总长为：360﹣180＝180km，故选项C错误，
小明家在出发后：2+（360﹣180）÷60＝5h到达目的地，故选项D错误，
故选：A．
【点睛】
一次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意读懂图形及熟练掌握“路程=速度×时间”的关系是
解题的关键.
10．如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离y（千米）与时间t（分钟）之间的函数图象，
根据图象信息，下列说法不正确的是（ ）
A．张大爷去时所用的时间多于回家的时间．
B．张大爷在公园锻炼了40分钟
C．张大爷去是走上坡路，回家时走下坡路
D．张大爷去时的速度比回家时的速度慢
【答案】B
【分析】
根据图象可以得到张大爷去时所用的时间和回家所用的时间，在公园锻炼了多少分钟，也可以求出去时的
速度和回家的速度，根据可以图象判断去时是否走上坡路，回家时是否走下坡路．
【详解】
解：根据图像可知：
A、张大爷去时所用的时间为15分钟，回家所用的时间为5分钟，故说法正确；
B、张大爷在公园锻炼了40-15=25分钟，故说法错误；
C、据A张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路，故说法正确．
D、张大爷去时用了15分钟，回家时候用了5分钟，因此去时的速度比回家时的速度慢，故说法正确．
故选：B．【点睛】
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能
够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
11．在全民健身越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示．有
下列说法：①前半小时甲选手的速度为8千米/时；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终
点；④甲选手的速度一直比乙慢．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由图象可得，
前半小时甲选手的速度为：8÷0.5＝16（千米/小时），故①错误；
第1小时两人都跑了10千米，故②正确；
甲比乙晚到达终点，故③错误；
甲选手前0.5小时的速度比乙选手快，0.5小时以后的速度小于乙选手的速度，故④错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
12．某弹簧的长度 与所挂物体的质量 （kg）之间的关系为一次函数，其函数图象如图所示，则不挂物
体时弹簧的长度为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出x=0时，y的值．
【详解】
解：设y与x的关系式为y=kx+b，
∵图象经过（5，12.5）（20，20），
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当x=0时，y=10，
即弹簧不挂物体时的长度是10cm．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，正确求出函数关系式是解题关键．
13．在A、 两地之间有汽车站 （ 在直线 上），甲车由 地驶往 站，乙车由 地驶往A地，两
车同时出发，匀速行驶；甲、乙两车离 站的距离 ， （千米）与行驶时间 （小时）之间的函数图
象如图所示，则下列结论：①A、 两地相距360千米；②甲车速度比乙车速度快15千米/时；③乙车行
驶11小时后到达A地；④两车行驶4.4小时后相遇；其中正确的结论有（ ）A．1 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
利用图象信息以及速度，时间，路程之间的关系一一判断即可；
【详解】
解：A、B两地相距＝360+80＝440（千米），故①错误，
甲车的平均速度＝ ＝60（千米/小时），乙车的平均速度＝ ＝40千米/小时，60-40=20（千米/小
时）故②错误，
乙车的平均速度＝ ＝40千米/小时，440÷40＝11（小时），乙车行驶11小时后到达A地，故③正确，
设t小时相遇，则有：（60+40）t＝440，
t＝4.4（小时），
∴两车行驶4.4小时后相遇，故④正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数图象的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示
的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．
14．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车
行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），若如图中的折线表示y与x之间的函数关系，则
下列结论错误的是（ ）A．甲、乙两地相距1000千米
B．点B的实际意义是两车出发后3小时相遇
C．普通列车从乙地到达甲地时间是9小时
D．动车的速度是250千米/小时
【答案】C
【分析】
根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由图象可得，
甲、乙两地相距1000千米，故选项A正确；
点B的实际意义是两车出发后3小时相遇，故选项B正确；
普通列车从乙地到达甲地时间是12小时，故选项C错误；
普通列出的速度为1000÷12＝ （千米/小时），动车的速度为：1000÷3﹣ ＝250（千米/小时），
故选项D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．2020年12月22日8时38分，G8311次动车组列车从合肥南站始发，驶向沿江千年古城、“黄梅戏”
故乡安庆．这标志着京港高铁合肥至安庆段正式开通运营．运行期间，一列动车匀速从合肥开往安庆，一
列普通列车匀速从安庆开往合肥，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（h），两车之间的距离y
（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法正确的有（ ）
①合肥、安庆两地相距176km，两车出发后0.5h相遇；
②普通列车到达终点站共需2h；③普通列车的平均速度为88km/h；
④动车的平均速度为250km/h．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据题意和函数图象中的数据，可以逐项判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由图象可得，
合肥、安庆两地相距176km，两车出发后0.5h相遇，故①正确；
普通列车到达终点站共需2h，故②正确；
普通列车的平均速度为：176÷2＝88（km/h），故③正确；
动车的平均速度为：176÷0.5﹣88＝352﹣88＝264（km/h），故④错误．
故选：C
【点睛】
本题考查了一次函数的综合应用，明确题意，读懂图像，利用数形结合思想是解题关键．
16．某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为 时两种消费卡所需费用分别为 ， 元，
， 与 的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（ ）
A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可．
【详解】
解：利用图象，当游泳次数大于10次时，
在 上面，即 ＞ ，
∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键．
17．1号探测气球从海拔5m处出发，与此同时2号探测气球从海拔15m处出发，两个气球所在位置的海
拔y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示，当上升________min时，两球之间的
距离是5m．
【答案】10或30
【分析】
根据两点间的距离为5，利用两函数值构造绝对值方程，分类解方程即可
【详解】
解：∵两球之间的距离是5m，
∴ ，
合并得 ，
∴当 时，解得 ，
当 时，解得 ，
当上升10或30min时，两球之间的距离是5m．
故答案为10或30．【点睛】
本题考查一次函数的应用，掌握两球之间的距离利用两函数值之差的绝对值，分类解方程是解题关键．
提升篇
18．为全面落实乡村振兴总要求，充分发扬“为民服务孺子牛”“创新发展拓荒牛”“艰苦奋斗老黄牛”
精神，某镇政府计划在该镇试种植苹果树和桔子树共100棵．已知平均每棵果树的投入成本和产量如表所
示，且苹果的售价为10元/kg，桔子的售价为6元/kg．
成本（元/棵） 产量（kg/棵）
苹果树 120 30
桔子树 80 25
设种植苹果树x棵．
（1）若种植苹果树和桔子树共获利y元，求y与x之间的函数关系式；
（2）若种植苹果树45棵，求种植苹果树和桔子树共获利多少元？
【答案】（1） ；（2）种植苹果树和桔子树共获利11950元．
【分析】
（1）由题意易得桔子树有 棵，然后根据题意可进行求解；
（2）把x=45代入（1）中函数解析式进行求解即可．
【详解】
解：（1）设种植苹果树x棵，则桔子树有 棵，由题意得：
=
= ；
∴y与x之间的函数关系式为 ；（2）由（1）可得：y与x之间的函数关系式为 ，
∴把x=45代入得： ；
答：种植苹果树和桔子树共获利11950元．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系 中，点A、B分别是直线 与x、y轴的交点．
（1）已知点C在第一象限，如果四边形 是平行四边形，求点C的坐标；
（2）在（1）的条件下，点D在x轴上，如果四边形 是等腰梯形，求直线 的表达式．
【答案】（1）（4，3）；（2）
【分析】
（1）利用过一次函数解析式，求出A，B两点坐标，再根据题意画出草图，可以得到AB平行且等于CD，
由坐标与平移的关系可以求得C点坐标；
（2）由于四边形ABCD是等腰梯形，过C作x轴垂线，垂足为M，可以证明△ABO≌△DCM，得到MD的长
度，得到D的坐标，利用待定系数法求出直线CD的表达式．
【详解】
解：（1）令x=0，则y=3，
令y=0，则 ，∴x=-4，
∵点A、B分别是直线 与x、y轴的交点，
∴A（-4，0），B（0，3），
∵点C在第一象限，如果四边形ABCO是平行四边形，如图，
∴AB∥CD，且AB=CD，
由坐标与平移的关系可得，C（4，3）；
（2）如图，过C作CM⊥x轴于M，
则∠AOB=∠DMC=90°，M（4，0），
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠BAO=∠CDM，
AB=DC，在△ABO与△DCM中，
，
∴△ABO≌△DCM（AAS），
∴AO=DM=4，
∴OD=OM+MD=8，
∴D（8，0），
设直线CD的解析式为y=k（x-8），代入点C（4，3），
则k= ，
∴直线CD的表达式为 ．
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了平行四边形存在性问题，注意利用坐标与平移的关系可以得到坐标，同时
要注意作坐标轴的垂线，求出垂线段长度，是求点的坐标的基本方法．
19．某一品牌的乒乓球在甲、乙两个商场的标价都是每个4元，在销售时都有一定的优惠．甲商场的优惠
条件是购买不超过10个按原价销售，超过10个，超出部分按8折优惠；乙商场的优惠条件是无论买多少
个都按8.5折优惠．
（1）分别写出在甲、乙两个商场购买这种乒乓球应付金额y元与购买个数x（x＞10）个之间的函数关系
式；
（2）若要购买30个乒乓球，到哪家商场购买合算？请说明理由．
【答案】（1） ， ；（2）到乙商店购买合算，理由见解析．
【分析】
（1）分别根据两个商场的优惠方案，写出关系式．
（2）将x=30，代入（1）中的两个关系式，比较金额即可判断．
【详解】
解：（1）根据题意得， =10×4+(x-10)×4×80%， =4×85%x；∴ ， ；
（2）当x=30时， =3.2×30+8=104（元），
=3.4×30=102（元）；
∵ ＞ ，
∴到乙商店购买合算．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的实际应用，根据商场的优惠方案确定关系式是解题的关键．
20．如图，直线y＝2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，△ABP的面积是 ，求点P的坐标．
【答案】（1） ；（2）（1.5，0）或（﹣4.5，0）
【分析】
（1）把x＝0，y＝0分别代入函数解析式，即可求得相应的y、x的值，则易得点OA、OB的值，然后根据
三角形面积公式求得即可；
（2）由B、A的坐标易求：OB＝3，OA＝ ．然后由三角形面积公式得到S ＝ AP•OB＝ ，则AP＝
△ABP
3，由此可以求得点P的坐标．
【详解】
解：（1）由x＝0得：y＝3，即：B（0，3）．由y＝0得：2x+3＝0，解得：x＝﹣ ，即：A（﹣ ，0），
∴OA＝ ，OB＝3，
∴△AOB的面积： ×3× ＝ ；
（2）由B（0，3）、A（﹣ ，0）得：OB＝3，OA＝ ，
∵S ＝ AP•OB＝ ，
△ABP
∴ AP＝ ，
解得：AP＝3．
∴P点坐标为（1.5，0）或（﹣4.5，0）．
【点睛】
本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数 ，( ，且k，b为常数)的图像是一条直
线，它与x轴的交点坐标是 ；与y轴的交点坐标是 ，直线上任意一点的坐标都满足函数关
系式 ．
21．某地自米水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，
超计划部分每吨按0.8元收费．
（1）某月该单位用水3200吨，水费是 元；若用水2800吨，水费是 元；
（2）写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式；
（3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位这个月的用水量为多少吨？
【答案】（1）1660元；1400元 （2）y=0.5x（x≤3000）；y=1500+0.8（x-3000）（x＞3000） （3）3050吨
【分析】
（1）根据题意，用水3200吨超出计划用水量，所以需分别计算水费，再总和；用水2800吨符合计划用水
量，直接计算即可；
（2）根据两种情况分别写出函数式即可；
（3）缴费1540元大于计划用水量水费1500元，所以选择第二个函数表达式带入解答即可.
【详解】
解：（1）根据题意，用水3200吨超出计划用水量，所以3000×0.5+200×0.8=1660元；用水2800吨符合计
划用水量，所以2800×0.5=1400元；
（2）用水在计划内：y=0.5x（x≤3000）
用水超出计划用水量：y=1500+0.8（x-3000）（x＞3000）
（3）缴费1540元大于计划用水量水费1500元，所以1540=1500+0.8（x-3000） 解得 x=3050.
【点睛】
此题重点考查学生对一次函数的理解和实际应用，熟练掌握一次函数的实际应用能力是解题的关键.
22．暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为500元的两家旅行社．经协
商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长学生
都按八折收费．假设这两位家长带领 名学生去旅游．
（1）分别写出甲、乙旅行社的收费 （元）、 （元）关于 的函数关系式；
（2）他们应该选择哪家旅行社更合算？
【答案】（1） ； ；（2）当学生人数超过4人时，选择甲旅行社更省
钱，当学生人数少于4人时，选择乙旅行社更省钱，学生人数等于4人时，选择甲、乙旅行社一样
【分析】
（1）根据甲旅行社的收费=两名家长的全额费用+学生的七折费用，可得到 与 的函数关系式；再根据
乙旅行社的收费=两名家长的八折费用+学生的八折费用，可得到 与 的函数关系式；
（2）根据题意结合两个函数的解析式建立不等式，可以确定学生人数，然后根据不同人数情况进行方案
确定即可．
【详解】（1）由题意得： ，
；
（2）当 时，即：
解得： ，
当 时，即：
解得： ，
当 时，即：
解得： ，
答：当学生人数超过4人时，选择甲旅行社更省钱，当学生人数少于4人时，选择乙旅行社更省钱，学生
人数等于4人时，选择甲、乙旅行社一样．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，仔细审题，找准数量关系，准确列出函数解析式是解题关键．
