文档内容
第 12 讲 章节复习专题：三角形
目录
【考点一 判断三边是否能构成三角形】................................................................................................................3
【考点二 三角形的稳定性】....................................................................................................................................5
【考点三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围】....................................................................................6
【考点四 利用三角形的三边关系化简绝对值】....................................................................................................8
【考点五 利用三角形的内角和求角的度数】......................................................................................................10
【考点六 判断是否三角形的高线】......................................................................................................................13
【考点七 根据三角形的中线求解】......................................................................................................................15
【考点八 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积】.......................................................................18
【考点九 利用三角形的中线、高线、角平分线求解】......................................................................................22
【考点十 利用全等三角形的性质求解】..............................................................................................................27
【考点十一 全等三角形判定和性质多结论问题】..............................................................................................29
【考点十二 全等三角形的性质和判定】..............................................................................................................36
【考点十三 全等三角形的性质和判定探究综合题】..........................................................................................41
知识点01 三角形的概念及分类
1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.
2.三角形的分类
1)按边分类可以分为 ； (2)按角分类可以分为
(
知识点02 三角形基本元素角与边的有关定理
(1)三角形的内角和等于 .
(2)直接三角形两个锐角互余.
(3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边.
知识点03 三角形的中线、角平分线、中线
三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；
三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段；
三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。
三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段；
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以
后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表
如下：
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学科网（北京）股份有限公司线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与
从三角形的一个顶点向它的对边所在的 三角形中，连接一个顶点
文字语言 它的对边相交，这个角的顶
直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 和它对边中点的线段．
点与交点之间的线段．
图形语言
过点A作AD⊥BC于点D． 取 BC 边的中点 D，连接 作∠BAC的平分线 AD，交
作图语言
AD． BC于点D．
标示图形
1．AD是△ABC的高． 1．AD是△ABC的中线． 1．AD 是△ABC 的角平分
2．AD是△ABC中BC边上的高． 2．AD 是△ABC 中 BC 边 线．
3．AD⊥BC于点D． 上的中线． 2．AD 平分∠BAC，交 BC
符号语言
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． 于点D．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 3．BD＝DC＝ BC
4．点D是BC边的中点． 3．∠1＝∠2＝ ∠BAC．
因 为 AD 是 △ ABC 的 高 ， 所 以 因为 AD 是△ABC 的中 因为AD平分∠BAC，所以
AD⊥BC．
推理语言
(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 线，所以 BD＝DC＝ ∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．
1．线段相等．2．面积相
用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 角度相等．
等．
1．与边的垂线不同．
注意事项 — 与角的平分线不同．
2．不一定在三角形内．
三角形的三条高(或它们的延长线)交于 一个三角形有三条中线， 一个三角形有三条角平分
重要特征 一点． 它们交于三角形内一点． 线，它们交于三角形内一
点．
知识点04 全等三角形的概念和性质
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形．两个全等的三角形，经过变换而重合，相互重合的顶点
叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．
全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等．
知识点05 全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
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学科网（北京）股份有限公司（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或
“ASA”）.
特别说明：如图，如果∠A＝∠A'，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，则△ABC≌△ A'B'C' .
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以
写成“角角边”或“AAS”）
特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由
“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是
前者的推论.
知识点06 全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等．
【考点一 判断三边是否能构成三角形】
例题：（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1
【答案】C
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边，据此求解即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
B、∵ ，
∴长为6，3，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
C、∵ ，
∴长为2，2，3的三条线段能组成三角形，符合题意；
D、∵ ，
∴长为1，2，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（ ）
A．2，4，7 B．4，8，12 C．3，7，12 D．4，10，12
【答案】D
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；因此此题可根据
“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行求解．
【详解】解：A、 ，不能构成三角形，故不符合题意；
B、 ，不能构成三角形，故不符合题意；
C、 ，不能构成三角形，故不符合题意；
D、 ，能构成三角形，故符合题意；
故选D．
2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列长度的三根小木棒，把它们首尾顺次相接能摆成一个三角形的
是（ ）
A．1，1，3 B．5，6，7 C．1，8，18 D．3，4，10
【答案】B
【知识点】构成三角形的条件
【分析】此题考查了三角形的三边关系定理，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行
分析即可．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条
较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】解：A、 ，不能组成三角形，故此选项错误；
B、 ，能组成三角形，故此选项正确；
C、 ，不能组成三角形，故此选项错误；
D、 ，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（ ）
A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6
【答案】D
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查了三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 ，能构成三角形，不符合题意；
B、 ，能构成三角形，不符合题意；
C、 ，能构成三角形，不符合题意；
D、 ，不能构成三角形，符合题意；
故答案为：D．
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学科网（北京）股份有限公司【考点二 三角形的稳定性】
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其中所涉
及的数学原理是（ ）
A．三角形任意两边之和大于第三边 B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性定义是解题的关键．
根据三角形的稳定性进行作答即可．
【详解】解：图中的自行车的几根梁合成了一个三角形，是运用了三角形的稳定性原理．
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳
还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（ ）
A．两点之间，线段最短 B．三角形内角和等于180度
C．三角形具有稳定性 D．两边之和大于第三边
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题
的关键．
【详解】解：这是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
2．（24-25八年级上·新疆喀什·期末）以下图形不具有三角形稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改
变．
本题考查三角形的稳定性，关键在于熟记三角形具有稳定性的特征．
【详解】解：根据三角形的稳定性可得A、B、D都具有稳定性，不具有稳定性的是C选项．
故选：C．
3．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长
1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕
见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴
含的数学道理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性
C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、
房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连线转化为三角形而获得．根据三角形的稳定
性回答．
【详解】解：主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性．
故选：A
【考点三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围】
例题：（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围
．
【答案】
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】设第三边长为m，根据题意，得 即 ，解答即可．
本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键．
【详解】解：设第三边长为m，根据题意，得 即 ，
故答案为： ．
【变式训练】
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学科网（北京）股份有限公司1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）若 为三角形三边长，且 满足 ，则第三边
长 可能是 ．
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】绝对值非负性、确定第三边的取值范围
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质等知识点，熟知三角形任意两边之和大于第三
边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．先根据非负数的性质求出 、 的值，再由三角形的三
边关系即可得出结论．
【详解】解： 、 满足 ，
， ，
， ，
为三角形的三边长，
，即 ，
第三边长 可能是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
2．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为 和 ，他要选择
第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为 ，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于
第三边是解题的关键．
直接利用三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由三角形三边关系定理得： ，即 ．
故答案为： ．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个三角形的三边长为2，5，a，则a的取值范围是 ；
若此三角形的周长为偶数，则 ，此时三角形的形状是 三角形．
【答案】 5 等腰
【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于
第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系确定a的取值范围，即可求解．
【详解】解：一个三角形的三边长为2，5，a，
则 ，即 ，
若此三角形的周长为偶数，则 ，
此时三角形的形状是等腰三角形，
故答案为： ，5，等腰．
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学科网（北京）股份有限公司【考点四 利用三角形的三边关系化简绝对值】
例题：（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知 ， ， 为三角形的三边，化简 的结
果是
【答案】 /
【知识点】整式的加减运算、三角形三边关系的应用、化简绝对值
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的意义，整式的加减运算，掌握三角形的任意两边之
和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知， ， ，
进而去绝对值符号，合并同类项即可．
【详解】解： 、 、 是三角形的三边长，
， ，
，
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰 的三边长分别为5，11， ，则 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用，分两种情况讨论即可得出答案，掌握相
关知识是解题的关键．
【详解】解：当腰长为 时，则 ，
解得： ，
此时三边长为 ，
∵ ，
∴不能构成三角形，舍去，
当腰长为 时，则 ，
解得： ，
此时三边长为 ，能构成三角形，
综上， ，
故答案为： ．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等腰三角形的三边长分别为13， ，则该等腰三角形
的底边长为 ．
【答案】3或13
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边
关系判断是否能够组成三角形．分 ， 和 三种情况分别求出x的值，从而确
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学科网（北京）股份有限公司定出三角形的三边，再根据三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，最后根据三角形的周长的定义即
可求解．
【详解】解：分以下三种情况：
①当 ，
解得 ，
， ，
三角形的三边分别为8、8、13， ，
∴此时能组成三角形；
∴底边长为13；
② ，
解得 ，
，
三角形的三边分别为13、13、3， ，
∴此时能组成三角形，底边为3；
③ ，
解得 ，
综上所述，该三角形的底边等于3或13．
故答案为：3或13
3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末） 为三角形三边长，化简
的结果是 ．
【答案】0
【知识点】化简绝对值、三角形三边关系的应用、整式的加减运算
【分析】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．根
据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可．
【详解】解：解：因为a，b，c是三角形的三边长，
所以 ，
，
，
．
故答案为：0．
【考点五 利用三角形的内角和求角的度数】
例题：（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图， ， ， ，则 的度数
为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解
题的关键．根据三角形内角和定理求出 ，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】解： ， ，
，
，
．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）已知：如图，在 中， ， ，若
，则 ．
【答案】 /26度
【知识点】直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的性
质即可求解．
【详解】解： ， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
2．（2025九年级下·全国·专题练习）在 中， 为边 上的高， ， ，则
是 度．
【答案】 或
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查直角三角形的性质及与三角形高相关的问题，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．
根据题意，由于 类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部
讨论求解．
【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
在 中， 为边 上的高， ，
，
，
；
②高在三角形边上，如图所示：
可知 ，
，
故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：
在 中， 为边 上的高， ，
，
，
；
综上所述： 或 ，
故答案为： 或 ．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一副直角三角板如图放置．已知 ，当
时， 的度数为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 /75度
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、对顶角相等
【分析】本题考查直角三角形两锐角互余，对顶角的性质．证明 ，可得结论．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【考点六 判断是否三角形的高线】
例题：（24-25八年级上·北京·期中）如图所示， 中 边上的高线画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】画三角形的高
【分析】本题主要考查了画高线，
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学科网（北京）股份有限公司过点C作 ，交 的延长线于点H，点C和点H之间的线段即为所求作．
【详解】解：如图所示，过点C作 ，交 的延长线于点H，则 即为所求作的高线．
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·北京·期中）已知 ，作 边上的高，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】画三角形的高
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，掌握三角形高的作法成为解题的关键．
根据三角形高的定义，过A点作 的垂线即可解答．
【详解】解：作 边上的高，作图中正确为：
故选：C．
2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在 中， 边上的高是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】画三角形的高
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在 中， 边上的高是过点A向直线 所作的垂线段，
据此可得答案．
【详解】解：由三角形高的定义可知，在 中， 边上的高是线段 ，
故选：D．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图， ，垂足分别为C，D，E，则
下列说法不正确的是（ ）
A． 是 的高 B． 是 的高
C． 是 的高 D． 是 的高
【答案】C
【知识点】画三角形的高
【分析】本题考查三角线的高，根据三角形的高线的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ， 是 的高，正确，不符合题意；
B、 ， 是 的高，正确，不符合题意；
C、 ， 不是 的高，原说法错误，符合题意；
D、 ，则： ，故 是 的高，正确，不符合题意；
故选C．
【考点七 根据三角形的中线求解】
例题：（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在 中， ， ， 为中线，则
与 的周长之差的值为 ．
【答案】
【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司根据三角形中线的定义得到 ，再根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：∵ 为 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ 与 的周长之差为： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图， ， 分别为 ， 的中点，若 的面积为 ，
则 的面积是 ．
【答案】 /
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查的知识点是三角形中线的性质，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形的面积．
根据三角形中线平分三角形的面积即可得 ．
【详解】解： ， 分别为 ， 的中点，
即 是 的中线， 是 的中线，
，
．
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）在 中， 是 的平分线， 是 边上的中线．
若 ，则 ；若 ，则 ．
（2）在 中， ， 是边 上的中线， 的周长为 ， 的周长为 ，
则 ．
【答案】 /80度 3
【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键．
（1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由 是边 上的中线，可得 ，由题意知， 的周长为
， 的周长为 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵ 是 的平分线， ，
∴ ，
∵ 是 边上的中线， ，
∴ ，
故答案为： ，3；
（2）解：∵ 是边 上的中线，
∴ ，
由题意知， 的周长为 ， 的周长为 ，
∴ ， ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在 中， 是 边上的中线， ， 与
交于点F，若 的面积等于16．
（1） 的面积为 ；
（2）设 的面积为m， 的面积为n，则 ．
【答案】 4 /
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键．
（1）设 边上的高为h，根据题意，得 ， ，结合 得
，代入计算即可．
（2）根据 是 边上的中线， 的面积等于16，得到 ，结合 的
面积为m， 的面积为n，得到 即 ，连接 ，根据 ，得到
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学科网（北京）股份有限公司，根据 是 边上的中线， ，继而得到 ，得到 ，
代入解答即可．
【详解】（1）解：设 边上的高为h，根据题意，得 ，
，
∵ ，
∴ ，
故答案为：4．
（2）解：根据 是 边上的中线， 的面积等于16，得到 ，
又 的面积为m， 的面积为n，得到 即 ，
如图，连接 ，根据 ，
得到 ，
又 是 边上的中线， ，
故 ，
解得 ，
故 ．
故答案为： ．
【考点八 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积】
例题：（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1， 的三个顶
点都在格点上．
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学科网（北京）股份有限公司(1)画出 边上的高 和中线 ；
(2)画出 边上的高 ，并直接写出 的长（提示： 的长等于5）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、利用网格求三角形面积
【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高，
（1）取格点D，连接 即为 边上的高；取格点H，连接 交 于点E，中线 即为所求；
（2）取格点G，连接 交 的延长线于点F，高 即为所求，然后根据面积法求解即可．
【详解】（1）如图所示，高 和中线 即为所求；
（2）如图所示， 边上的高 即为所求；
∵ 的长等于5
∴
∴
∴ ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形
的顶点为格点，点A、B、C都在格点上．
18 / 54
学科网（北京）股份有限公司(1) 的面积 ______；
(2)只用直尺画出 的高 ；
(3)只用直尺过点C画 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】利用网格求三角形面积、画三角形的高、用直尺、三角板画平行线
【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握全等三角形性质，垂直定义，平行线性质，是解题的关键．
（1） 的面积用矩形面积减去周围3个三角形面积即得；
（2）取格点 ，根据网格特点，结合三角形的高的定义画图即可；
（3）借助网格，结合平行线的判定画图即可．
【详解】（1） ．
故答案为： ．
（2）解：如图，取点E，连接 ，交 于点H， 即为 的高．
（3）解：如图，取点D，连接 ， 即为所求作．
2．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期中）如图为 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方
形的顶点叫做格点．已知 的三个顶点均在格点上，按要求解答：
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学科网（北京）股份有限公司(1)请画出 的边 上的高 ；
(2)连接格点，用一条线段将 分成面积相等的两部分（直接画图即可）；
(3)直接写出 的面积为__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)10
【知识点】根据三角形中线求面积、利用网格求三角形面积、画三角形的高
【分析】本题考查作图与应用设计、三角形的高、面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
（1）过点 画 的垂线段即可， 的高 如图所示．
（2）取 的中点 ，如图线段 将 分成面积相等的两部分．
（3）根据 计算即可．
【详解】（1）解： 的高 如图所示．
（2）解：如图线段 将 分成面积相等的两部分．
20 / 54
学科网（北京）股份有限公司（3）解： ．
故答案为10．
3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）图①，图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为
格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在网格中按要求画图，保留作
图痕迹．
(1) 的面积为______，
(2)在图①中，过点C作线段 ，使点D为格点；
(3)在图②中，过点B作 的垂线段 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】画三角形的高、平行线的性质在生活中的应用、无刻度直尺作图、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了网格中应用与设计作图，平行线、三角形高的作法，三角形面积求法，灵活应用所学
知识解决问题．
（1）利用割补法计算即可；
（2）取格点D，作直线 即可；
（2）取格点F，连接 ，由网格线的特点得 ，同理（2）取格点G，作直线 交直线
于点E即可；
【详解】（1）解： ；
（2）解：如图所示，直线 为所求：
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学科网（北京）股份有限公司（3）解：如图所示，线段 为所求：
【考点九 利用三角形的中线、高线、角平分线求解】
例题：（24-25八年级上·北京·期中）如图，在 中， 是中线， ， ．
(1)求 与 的周长差．
(2)点E在边 上，连接 ，若 与四边形 的周长相等，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1） 的周长 ， 的周长 ，由中线的定义可得 ，即可
解答；
（2）由图可知 的周长 ，四边形 的周长 ， ，所以
，则可解得 长．
【详解】（1）解： 的周长 ， 的周长 ，
∵ 是中线，
∴ ，
∴ 与 的周长差： ；
（2）解：由图可知： 的周长 ，四边形 的周长 ，
又∵ 的周长与四边形 的周长相等，D是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
22 / 54
学科网（北京）股份有限公司又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·四川达州·期中）如图， 中， ， 于 ， 平分 交
于 ．
(1)当 ， 时，求 的度数；
(2)猜想： 与 有什么关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，见解析
【知识点】三角形角平分线的定义、与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线和三角形的高等知识，熟练掌握相关知识
是解题关键．
（1）首先利用三角形内角和定理解得 的值，结合 平分 易知 ，再求得
的值，利用 求解即可；
（2）结合三角形内角和定理、三角形的高和角平分的定义可知， ，再推导
，然后根据 即可获得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2） ，理由如下：
解：∵ 分别是 的高和角平分线，
23 / 54
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∴ ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在 中， 是角平分线， 是中线， 是高线．
(1)如果 ，求 的长；
(2)如果 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2) ，
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查三角形的高、中线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的高、中线、角平
分线定义是解题的关键．
（1）根据三角形中线定义求解即可．
（2）先根据三角形内角和定理求出 ，再根据三角形角平分线定义求得 ，
然后由 是高线，则可求得 ，即可由 求解．
【详解】（1）解：因为 是 的中线，所以 ．
因为 ，所以 ．
（2）解：因为 ，
所以 ．
因为 是 的角平分线，
所以 ．
因为 是 的高线，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
3．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在 中， ， 为直线 上任意一点，连结 ，
于点 ， 于点 ． 为 边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2
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学科网（北京）股份有限公司分）
【画图探究】（1）如图①，当点 在边 上时，请画出 ，猜想 ， ， 之间的数量关系并证
明．
【运用】（2）如图②，当点 为 中点时， 与 的数量关系为___________
【拓展】（3）如图③，当点 在 的延长线上时， 、 、 之间的数量关系为___________；
【答案】（1）作图见解析； ，证明见解析；（2） ，理由见解析；（3）
，理由见解析
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、画三角形的高
【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积，
（1）过点 作 交 于一点 ，再根据 列式化简，即可得证；
（2）同理得 ，根据点 为 中点时得 ，继而推
出 ，可得结论；
（3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论．
解题的关键是熟练运用数形结合思想．
【详解】解：（1）依题意， 边上的高 如下图所示：
， ， 之间的数量关系： ．
证明：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） 与 的数量关系为： ．
理由：如图，过点 作 交 于点 ，
25 / 54
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点 为 中点时，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3） ， ， 之间的数量关系： ．
理由：如图，过点 作 交 于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点十 利用全等三角形的性质求解】
例题：（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知 ，若 ，则
．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，据此可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为； ．
7．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图， ， 在 边上， ， ，
则 的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由
三角形全等得到 ，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解： ， ，
，
是 的外角， ，
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图， ，点D在 边上．若 ， ，
则 °．
【答案】80
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质以及三角形的外角性质，根据 ，
，则 ，即可作答．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
27 / 54
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
故答案为：80
2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图 ， ， ．点P在线段
上以1 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段 上以x 的速度由点B向点D运动，它们
运动的时间为 ．若 与 全等，则x的值为 ．
【答案】1或
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符
合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当 与 全等时，分 和
两种情况，根据全等的性质列方程求解即可．
【详解】解：∵点P的运动速度为 ，点Q的运动速度为 ，它们运动的时间为 ， ，
，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴当 与 全等时，有两种情况：
①当 时，
， ，
∴ ， ，
解得 ， ；
②当 时，
， ，
∴ ， ，
解得 ， ，
综上所述， 的值是1或 ，
故答案为：1或 ．
28 / 54
学科网（北京）股份有限公司【考点十一 全等三角形判定和性质多结论问题】
例题：（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在 中， ， 的角平分线 ，
相交于点P，过P作 交 的延长线于点F，交 于点H．有下列结论：① ；②
；③ ；④ ；其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
【答案】B
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质、三角形角平分
线的定义
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线定义，三角形外角的性质，证明三角形全等是解题
的关键．
根据三角形内角和以及角平分线的定义得 继而得出 的度数，即可判断①；推出
根据 证明即可，即可判断②；证明 ， 得 ，
根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④；证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 、 ，
，
，
∴ ，故结论①正确；
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
29 / 54
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ， 故结论②正确；
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ， 故结论③错误；
又∵ ，
∴ ，即 ， 故结论④正确，
∴正确的个数是 个．
故选： B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在 中， 为中线，过点B作 于点E，过点C
作 于点F．延长 至点G，使得 ，连接 ．下列结论中正确的个数为（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．先利用
证明 ，可得 ， ，可判断①；再利用 证明 ，得到
，再利用三角形的外角性质可得 ，可判断②；利用全等三角形的性质可
30 / 54
学科网（北京）股份有限公司得 ， ，可判断③；由 得到 ，再利用三角形的面积公式可判断
④，即可得出结论．
【详解】解： 为中线，
，
， ，
，
又 ，
，
，故①正确； ，
又 ，
，
，
，
由于 与 不一定相等，故②不正确；
由全等三角形的性质可得： ， ，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，结论中正确的有①③④，共3个．
故选：C．
2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在 中， ，以 为边，作 ，
满足 ，点E为 上一点，连接 ， ，连接 ．下列结论：① ；②
；③若 ，则 ；④ ．其中正确的个数是（ ）
31 / 54
学科网（北京）股份有限公司A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
延长 至G，使 ，从而得出 ，进一步证明 ，且 ，利用
证明 ，根据全等三角形的性质即可判断②；根据线段的等量代换推导即可判断④；设
，则 ，根据平行线的性质，及角的计算即可得出 即可判断③；当
时，可得出 ； 时，则无法说明 ，即可判断①．
【详解】解：如图，延长 至G，使 ，设 与 交于点M，
，
，
垂直平分 ，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
32 / 54
学科网（北京）股份有限公司， ，
②是正确；
，
，
平分 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则无法说明 ；
①是错误的；
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
③是正确的；
，
，
，
，
④是正确的；
故选C．
3．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，点A， ， ， 在同一直线上， 于点 ，
于点 ，连接 ，交 于点 ，且 为 的中点．若 ，则下列结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
33 / 54
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转全等三角形解决问题．分别证
明 ， ，可得结论．
【详解】解： ， ，
，
是 的中点，
，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确，
，
， ，
，故②正确，
，
在 和 中，
，
∴ ，
， ，故③正确，④错误；
综上所述：正确的个数有3个；
故选：C．
4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在 中，分别延长 ， 边上的中线 ， 到 ，
，使 ， ，则下列说法：① ；② ；③ ；④四边形 的
面积是 面积的 倍．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据三角形中线求长度、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，平行线的判定；由 ，
34 / 54
学科网（北京）股份有限公司， ，根据“ ”证明 ，得 ， ，所以
，可判断②正确；同理 ， ，所以 ， ，
，则 ， ，可判断①正确，③正确；由 ， ，证明 、 、
三点在同一条直线上，则 ，设两条平行线 与 之间的距离为 ，则
，可证明 ，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【详解】解： 是 的中线，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
故②正确；
同理 ，
， ，
， ，
故①正确；
， ，
、 、 三点在同一条直线上，
，
设两条平行线 与 之间的距离为 ，
，
，
，
，
故④正确；
在 和 中，
，
，
35 / 54
学科网（北京）股份有限公司，
故③正确，
故选：D．
【考点十二 全等三角形的性质和判定】
例题：（24-25八年级上·北京·期中）如图，点 在一条直线上， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、用SAS证明三角形全等（SAS）、全等三角形的性质
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形全等的性质与判定，掌握全等知识点的应用
是解题的关键．
（ ）根据平行线的性质可得 ，根据线段的和差关系可得 ，进而根据即证明；
（ ）由全等三角形的性质得 ，再通过三角形外角性质求出 即可；
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ；
（2）解：由（ ）得 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
36 / 54
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【变式训练】
1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图， 中， 是 边上的中线，E，F为直线 上的点，
连接 ， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，试求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
（1）利用中点性质可得 ，由平行线性质可得 ，再由对顶角相等可得
，即可证得结论；
（2）由题意可得 ，再由全等三角形性质可得 ，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ，点 在边 上，
，点 ， 在线段 上， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 的面积为 ， 的面积为 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的面积求法，熟练掌握全等三
角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由 ， ，三角形外角的性质 ，
，推出 ， ，利用 证明 ，即可得出
；
（2）由（1）得 ，得出 ，由 的面积为 ， 的面积为 ，
，得出 ， ，进一步根据 计算得出答案即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，
∵ 的面积为 ， ，
∴ ， ，
∵ 的面积为 ，
38 / 54
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知 和 ， ， ， ，
与 交于点 ，点 在 上．
(1)试说明 ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是
解答本题的关键．
（1）根据 证明 即可；
（2）先根据全等三角形的性质得到 ，再利用外角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 ，
，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知 ，D、A、E三点均在直线 上，且
．
39 / 54
学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，若 ， ， ，则线段 的长为 ；
(2)如图2，判断 、 、 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若将“ ”变为“ ”，其他条件不变，且
， ，则线段 的长为 ．
【答案】(1)9
(2) ，理由见解析
(3)3
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质．
（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得 ，再利用 证明 ，得
，据此即可求解；
（2）利用平角的定义和三角形内角和定理得 ，再利用 证明 ，得
，可得答案；
（3）利用邻补角的定义得 ，再利用三角形的外角性质可得到 ，再利用 证明
，得 ，可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
40 / 54
学科网（北京）股份有限公司（3）解：∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【考点十三 全等三角形的性质和判定探究综合题】
例题：（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知，D，A，E三点在直线m上，在直线m上方有 ，
且满足 ．
【积累经验】
（1）如图1，当 时，猜想线段 、 、 之间的数量关系并说明理由．
【类比迁移】
（2）如图2，当 时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， 是钝角， ， ， ，直线
与 的延长线交于点 ，若 ， 与 的面积之和为2，请直接写出 的面积．
【答案】（1） ，见解析；（2）（1）中的结论成立，见解析；（3）
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的
判定与性质．
（1）由 得到 ， ，进而得到
，然后结合 得证 ，推出 ， ，即可求解；
（2）由 得到 ，进而得到
，然后结合 得证 ，推出 ， ，即可证明；
（3）由 ， ，得出 ，证明 ，得出
，求出 ，根据 ，得出 ．
【详解】解：（1） ，
， ，
41 / 54
学科网（北京）股份有限公司，
在 和 中，
，
，
， ，
，
即 ；
（2） 仍然成立，理由如下：
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
；
（3） ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
∵ 与 的面积之和为2，
∴ ，
设 的底边 上的高为 ，则 的底边 上的高为 ，
42 / 54
学科网（北京）股份有限公司，
．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题．
初步感知
如图1，在 中， 为中线，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
在 延长线上取一点 ，连接 ，使 ．
（1）填空： ________ ．（填“ ”“ ”或“ ”）
（2）求证： ．
（3）试说明： ．
拓展应用
（4）如图2，在 中， 是钝角，点 在边 上， ，点 在边 上，点 在边
的延长线上， ， ，若 ， 的面积是9，求 与
的面积之和．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4） 与 的面积之和为
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的
判定与性质是解题的关键．
（1）由题意易得 ， ， ，然后可得 ，于
是得解；
（2）由（1）可得 ，进而可得 ，利用 即可得出结论；
（3）由（1）可知 ，由（2）可知 ，然后根据三角形之间的面积关系即可
得出结论；
（4）由题意可得 ，进而可得 ，于是可得 ，设 的
底边 上的高为h，则 的底边 上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案．
【详解】（1）解：∵在 中， 为中线，
∴ ，
43 / 54
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）证明：由（1）可知： ，
，
，
，
，
；
（3）证明：由（1）可知 ，由（2）可知 ，
， ，
；
（4）解： ， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
设 的底边 上的高为h，则 的底边 上的高为h，
， ，
，
，
，
与 的面积之和为 ．
2．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】
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学科网（北京）股份有限公司如图1，在 中， ，求边 上的中线 的取值范围．
（1）中线 的取值范围是______．
【类比迁移】
（2）如图2，在四边形 中， 为 的中点，点 在 上， ，
，求证： 平分 ．
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， 是边 上的中线，E是 上一点，连接 并延长交 于点F，
，求证： ．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析
【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线
问题)
【分析】本题考查了三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关
系等知识．
（1）延长 到 ，使得 ，连接 ，得出 ，根据三角形三边关系即可求解；
（2）延长 交 延长线于 ，得到 ，得到 ， ，进而求得
，可证明结论；
（3）延长 到点 ，使得 ，连接 ，得出 ，从而得到 ，
，进而得到 从而证明．
【详解】（1）解：如图1，延长 到点 ，使得 ，连接 ．
为边 上的中线，
，
在 和 中，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
即 ，
；
故答案为： ；
（2）证明：如图2，延长 交 的延长线于点 ，
，
，
， ，
为 的中点，
，
，
， ，
，
，
即 ，
平分 ；
（3）证明：如图3，延长 到点 ，使 ，连接 ，
在 和 中， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
，
，
，
，
，
，
．
3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【问题情境】
（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一
个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接 并延长到D，
使 ；连接 并延长到E，使 ，连接 并测量出它的长度，如果 ，求 间
的距离．
【探索应用】
（2）如图2，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．解决此问题可以用如
下方法：延长 到点E使 ，再连接 （或将 绕着点D逆时针旋转 得到 ，把
， ， 集中在 中，利用三角形三边的关系即可判断，中线 的取值范围是什么？并说明
理由．
【拓展提升】
（3）如图3，在 中， ， ， ， ， 的延长线交
于点F，求证： ．
【答案】（1） 间的距离为 ；（2） ，理由见解析；（3）证明见解析．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）证明 ，由全等的性质得出 ；
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，证明 ，可得 ，再由三角形三边
关系即可求解；
（3）在 上截取 ，易证 ，得到 ， ，再证明
，得到 ，即可得出结论．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）如图，连接 ，
在 和 中，
∵ ，
∴
∴ ，
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：在 上截取 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
4．（24-25八年级上·河北保定·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如
图1， 平分 ，A为 上一点，过点A作 ，垂足为C，延长 交 于点B，可直接
根据_____（填字母依据）证明 ；
【类比解答】（2）如图2，在 中， ， 平分 ， 于点E，延长
交 于点F，求 的度数；
【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边 与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块
直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取 的平分线 ；②过点A作
于点D．已知 ， ， 的面积为30，请直接写出 的面积；
【拓展延伸】（4）如图4，在 中， ， ， 平分 ， ，交 的
延长线上于点E，试探究 和 之间的数量关系，并证明你的结论．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） ；（3） 的面积为10；（4） 和 之间的数量关系为
；证明见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，学会添加常用辅助线，构
造全等三角形解决问题是解题的关键．
（1）首先由角平分线得到 ，然后由垂直得到 ，然后证明出
；
（2）同（1）可得， ，得到 ，然后根据 结合三角形外角的
性质得到 ，进而求解即可；
（3）如图所示，延长 交 于点E，同（1）可得， ，得到 ， ，
然后求出 ，然后得到 ，然后根据 的面积为30得到
，进而求解即可；
（4）如图：延长 交 延长线于F，证明 ，推出 ，再证明
，进而完成解答．
【详解】解：（1）∵ 平分 ，
∴
∵
∴
又∵
∴ ；
（2）同（1）可得，
∴
∵
∴
∴
∴
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）如图所示，延长 交 于点E
同（1）可得，
∴ ，
∵
∴
∴
∴
∵ 的面积为30
∴
∴
∵
∴ 的面积 ；
（4） ，理由如下：
如图：延长 交 延长线于F，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
5．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在 中， ， ， 为直线 上一
动点，连接 ．在直线 的右侧作 ，且 ．
观察发现：
（1）如图①，当点 在线段 上时，过点 作 的垂线，垂足为 ，判断线段 与 之间的关系，
并说明理由；
探究迁移：
（2）将如图①中的 ， 连接，交直线 于点 ，我们很容易发现 ．如图②，当点 在线段
的延长线上时，连接 交直线 于点 ，线段 和线段 之间的关系有没有变化？此时
吗？说说理由．
拓展应用：
（3）如图③，当点 在线段 的延长线上时，当 ， 时，求 和 的面积．
【答案】（1） 且 ，理由见解析；（2）线段 与 之间的关系不变， ，理
由见解析；（3） 和 的面积分别为24和88
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质．通过“同角的余角相等”证明两角相等和灵活运用
“割补法”求三角形面积是解答本题的关键．
（1）通过证明 ，然后根据全等三角形的性质可得 ，再结合两条线段的位置
关系进而得出结论；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先证明 可得线段 和 的关系不变，再证明 ，同样
可得出 ；
（3）由（2）可知， 和 ，可得 ， ， ，易
得线段 和 的长度，进而求出 ；对于 的面积，根据 ，可由
“割补法”得到 ，即可求出答案．
【详解】（1）结论： ， ，理由如下，
根据题意可知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 和 ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故线段 与 之间的关系为： 且 ；
（2）结论：线段 与 之间的关系不变， ，理由如下：
从图②可知， ， ，
∴ ，
同理可得， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故本题结论为： 与 之间的关系不变， ；
（3）如图③，当点 在线段 的延长线上时，
同理可得， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
则根据图形面积割补法可得：
，
∴ ，
∴ 和 的面积分别为24和88．
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