文档内容
第 10 讲 解题技巧专题：全等三角形中的动点问题
目录
【考点一 三角形全等中动点多结论问题】............................................................................................................1
【考点二 利用三角形全等求解动点边、角问题】................................................................................................8
【考点三 利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题】...............................................................................14
【考点四 利用三角形全等求证线段之间的关系问题】......................................................................................29
【考点五 利用三角形全等求证角之间的关系问题】..........................................................................................39
【考点一 三角形全等中动点多结论问题】
例题：（24-25八年级上·北京大兴·期末）如图， 中， ， 是中线，有下面四个结论：①
与 的面积相等；② ；③若点P是线段 上的一个动点（点P不与点A，
D重合），连接 ，则 的面积比 的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点
（点P与点Q不重合），若 ，连接 ， ，则 ．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知 ， ， ， 其中 ， 点P
以每秒2个单位长度的速度沿着 路径运动． 同时，点Q以每秒x个单位长度的速度沿着
路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动． 它们的运动时间为t秒．
①若 ，则点P 运动路程始终是点Q运动路程的2倍；
②当P、Q两点同时到达A点时， ；
③若 ， ， 时， ；
④若 与 全等， 则 或 ；
以上说法正确的个数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在 中， ， 的角平分线 ， 相
交于点P，过P作 交 的延长线于点F，交 于点H．有下列结论：① ；②
；③ ；④ ；其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在 中， 为中线，过点B作 于点E，过点C
作 于点F．延长 至点G，使得 ，连接 ．下列结论中正确的个数为（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024·贵州·模拟预测）如图， 中， ， 是中线，有下面四个结论：① 与
的面积相等；② ；③若点P是线段 上的一个动点（点P不与点A，D重合），
连接 ，则 的面积比 的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点
Q不重合），若 ，连接 ， ，则 ．所有正确结论的序号是 。
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学科网（北京）股份有限公司【考点二 利用三角形全等求解动点边、角问题】
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在 中， ， 是线段 上的一动点（不与
点 ， 重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ．当
时， 的度数为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在 中， ， ， 是 的平
分线．若P，Q分别是 和 上的动点，当 最小时， 的度数是 ．
2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在 中， ，P、Q分别为边 上两个动点，
在运动过程中始终保持 ，连接 和 ，当 值达到最小时， 的值为 ．
3．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形 中， ， ，连接 ，在射
线 上存在两动点 ，满足 ，若 ，当 的值最小时，则
（用 ， 表示）
4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， 、 分别为 、 上的两个动点，则 的最小值为 ．
【考点三 利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题】
例题：（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在长方形 中， ， ，延长 到点E，
使 ．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿 方向向终点A运动．设点P的运动
时间为t秒，当 和 全等时，t的值为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线 ， 平分 ，过点 作 交
于点 ．动点 ， 同时从点 出发，其中动点 以 的速度沿射线 运动，动点 以
的速度在直线 上运动．已知 ，设动点 ， 的运动时间为 ．当动点 在直线 上运
动时，若 与 全等，则 的值为 ．
2．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在 中， ， ， ，
，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边 运动，回到点A停止，速度为
，设运动时间为 ．若 的面积等于 面积的一半，则 s．
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学科网（北京）股份有限公司3．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图， 于点 ， ， ，射线 于点 ，
一动点 从 点出发以2个单位 秒沿射线 运动，点 为射线 上一动点，随着 点运动而运动，且
始终保持 ，若点 经过 秒 ， 与 全等，则 的值为 秒．
4．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，在等腰 中， ，点 为射线
上的动点， ，且 ， 与 所在的直线交于点 ，若 ，则 与 的比值
为 ．
5．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ．点C
在直线l上，动点P从A点出发沿 的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿 路径向终
点A运动．点P和点Q分别以每秒 和 的速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运
动，分别过点P和Q作 直线l于M， 直线l于N．当 与 全等时，点P的运动时间
为 秒．
6．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图， 在 中， 已知 ， ，
， 直线 ， 动点D从点C开始沿射线 方向以每秒 的速度运动，动点E也同时
从点C开始在直线 上以每秒 的速度运动，连接 ，设运动时间为t秒．
（1） 的长为 (用含 t 的式子表示)
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学科网（北京）股份有限公司（2）当 时， t的值应为 ．
7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图， 中， ，直线 经过点
且与边 相交．动点 从点 出发沿 路径向终点 运动；动点 从点 出发沿
路径向终点 运动．点 和点 的速度分别为 和 ，两点同时出发并开始计时，当点 到达终
点 时计时结束．在某时刻分别过点 和点 作 于点 ； 于点 ，设运动时间为 秒．
①当点 在 上时， （用含 秒代数式表示）；
②当 秒时， 与 全等．
8．（24-25八年级上·江西新余·期中）如图，直线 经过 的直角顶点 ， 的边上有两个动
点 、 ，点 以 的速度从点A出发，沿 移动到点 ，点 以 的速度从点 出发，
沿 移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点 、 分别作
， ，垂足分别为点 、 ，若 ， ，设运动时间为 ，则当
时，以点 、 、 为顶点的三角形与以点 、 、 为顶点的三角形全等．
9．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图 ，在 中， ， ， ，
，现有一动点 从点 出发，沿着三角形的边 运动，回到点 停止，速度为
，设运动时间为 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图 ，当 时， _____ ．
(2)如图 ，当 ______ 时， 的面积等于 面积的一半；
(3)如图 ，在 中， ， ， ， ， 在 的边上，若
另外有一个动点 ，与点 同时从点 出发，沿着边 运动，回到点 停止 在两点运动过程
中的某一时刻，恰好 ≌ ，求点 中的运动速度．
【考点四 利用三角形全等求证线段之间的关系问题】
例题：（24-25八年级上·广东肇庆·期末）【问题背景】如图1，在 中，已知 ， ，
是 的高， ， ，过点 的直线 ，动点 从点 开始沿射线 方向
以 的速度运动，动点 也同时从点 开始在直线 上以 的速度向远离 点的方向运动，连接
、 ，设运动时间为 秒．
【思考尝试】
（Ⅰ）请直接写出 、 的长度（用含有t的代数式表示）： ________ ， ________ ．
（Ⅱ）当 为多少时， 的面积为 ？
【深入探究】
（Ⅲ）如图2，当点D在线段 上，且 时， 是否与 全等？说明理由：此时
的值为多少？
（Ⅳ）请利用备用图探究，当点 在线段 的延长线上，且 时， 与 有什么数量关系？请
说明理由．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知等腰三角形 ， ， 为射线 上一动点，连
接 ，以 为边在直线 的右侧作等腰三角形 ， ， ，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，当点 在边 上时，请探究 ， ， 之间的数量关系．
(2)如图2，当点 在 的延长线上时，（1）中 ， ， 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，
请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由．
2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图 为等腰三角形， ， D为直线 上
一动点，以 为腰向右侧作等腰三角形 且 ，连接直线 ．
(1)求证： ；
(2)若D恰好在 的中点上(如图)，求证： ；
(3)
①若点D为线段 上任一点(B，C点除外)时，试探究 与 的位置关系．
②若点D为直线 线除点B，C外任意一点， 与 的位置关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请说明理由．
3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）四边形 中， ， ， ， 分别是边 ，
上的动点，且 ．
(1)如图1，当 ， 分别在线段 ， 上时，
①填空：若设 ，则 之间的数量关系是______；
②猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想；
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学科网（北京）股份有限公司(2)如图2，当 ， 分别运动到在线段 ， 延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍
然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明．
4．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）如图1， 是 的平分线，要求利用该图形画一对位于
所在直线两侧的全等三角形，方法如下：在 的两边上用圆规截取长度相等的两条线段 ，
，在角平分线上任取一点D，连接 ， ，则 ．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题．
(1)如图2，在 中， 是直角， ， ， 分别是 和 的平分线， ，
相交于点F．
①在 上截取 ，连接 ．求证： ；
②请判断 与 的数量关系，并说明理由；
(2)如图3， 是 的外角 的平分线，D是射线 上的一个动点（不与点A重合），猜想
与 的大小关系，并证明你的猜想．
【考点五 利用三角形全等求证角之间的关系问题】
例题：（23-24八年级上·湖南永州·期中）在 中， ， ，点D为 上一动点．
(1)如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足 ， ．求证： ；
(2)在（1）的条件下，求证： ；
(3)由（1）我们知道 ，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作 于F，连接AF．
那么 的度数是否发生变化？请证明你的结论．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）点P、Q分别是边长为 的等边 的边 、 上的动点，
点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s．
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学科网（北京）股份有限公司(1)连接 、 交于点M，则在P、Q运动的过程中， 变化吗？若变化，则说明理由；若不变，
则求出它的度数；
(2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线 、 上运动，直线 、 交点为M，则
变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在 中， ，点E为 上一动点，过
点A作 于D，连接 ．
(1)【观察发现】
如图①， 与 的数量关系是 ；
(2)【尝试探究】
点E在运动过程中， 的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求 的度数；
(3)【深入思考】
如图②，若E为 中点，探索 与 的数量关系．
3．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）在 中， ，点 是射线 上一动点(不与点
重合)，以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
(1)如图1，当点 在线段 上时， 与 有何数量关系，请说明理由．
(2)在（1）的条件下，当 时，那么 ________度．
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学科网（北京）股份有限公司(3)设 ．
①如图2，当点 在线段 上， 时，请探究 与 之间的数量关系．并证明你的结论；
②如图3，当点 在线段 的延长线上， 时，请将图3补充完整并直接写出此时 与 之间
的数量关系．
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