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第 11 讲 三角形单元提升卷
（范围：全章，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2、3、5 B．5、15、8 C．10、16、8 D．3、6、9
【答案】C
【知识点】三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了能够成三角形三边的条件，“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”．
根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：
A、 ，2、3、5不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、 ，5、15、8不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、 ，10、16、8能组成三角形，故此选项符合题意；
D、 ，3、6、9不能组成三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．如图， ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题主要考查全等三角形的性质．由全等三角形的性质易得 ，进一步计算可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
3．下面四个图形中，线段 是 的高的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】画三角形的高
【分析】本题主要考查了三角形的高的画法，理解三角形的高的定义，掌握高的画法是关键．
根据高的画法知，过点B作 边上的高，垂足为E，其中线段 是 的高．
【详解】解：由图可得，线段 是 的高的图是D选项．
故选：D．
4．如图，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解．熟知三角形的稳定性是解题关键．
【详解】解：工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性．
故选C．
5．如图，平行线 ， 被直线 所截，直线 与 的交点是 ， 直线 于点 ．若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了平行线的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据平行线的性质求出 ，进而求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
故选：B ．
6．根据下列已知条件，能画出唯一的 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断
即可.
【详解】A.如图 和 的斜边都是 ，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意；
B ，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C ，画出的三角形大小不确定，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题
意；
D ，符合全等三角形的判定定理 ，能画出唯一的三角形，故本选项符合题
意；
故选：D．
7．如图，在 中， 是边 上的中线， 的周长比 的周长多 ．若 ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据
三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：∵ 是边 上的中线，
∴ ，
∵ 的周长比 的周长多 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
8．我们可以用角尺平分一个任意角．做法如下：如图， 是一个任意角，在边 和 上分别取
，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 ， 重合．过角尺顶点 的射线 便是
的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用 证明 ，得 ，
即可解决问题．
【详解】解：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
即射线 是 的平分线，
故选：D．
9．如图，在 中， ， 是高， 是中线， 是角平分线， 交 于点 ，交
于点 ．下面说法中：① ：② ；③ ；④ ．正确的是
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
【答案】C
【知识点】三角形角平分线的定义、三角形的外角的定义及性质、根据三角形中线求面积、与三角形的高
有关的计算问题
【分析】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质
是解题的关键．
根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得 ，利用三角形外角的性质结合角
平分线的定义可求解 ，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定
④．
【详解】解：∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ 是 的高线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
根据已知条件无法证明 ，故④错误，
综上所述，正确的是①②③．
故选：C．
10．如图， ， ， 于点 ， 于点 ， 、 分别是 、 上的点，
且 ，下列结论中① ，② ，③ 平分 ，④ 平分 ，⑤
．其中正确的结论是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤
【答案】C
【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的有关计算
【分析】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知
识，正确地作出辅助线并且证明 是解题的关键．连接 ，可证明
，得到 ，故① 正确；由E、F分别是 上的任意点，可知 与
不一定相等， 与 也不一定全等，可判断，②错误；延长 到点G，使 ，连接
，先证明 得 ，由 ， ，
可以推导出 ，则 ，即可证明 ，得 ，因为
，所以 ，可判断③正确，因为 ，所以
，可判断⑤正确；由 平分 结合 ，推出与题干互相
矛盾，可得④错误．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 于点 于点D，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ 与 不一定相等，
∴ 与 不一定全等，故②错误；
延长 到点G，使 ，连接 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ 平分 ，故③⑤正确；
若 平分 ，而 ，
∴ ，与题干信息矛盾，故④错误；
故选C.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．三角形三边长为 ，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边，据此求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵三角形三边长为 ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
12．如图， ，只添加一个条件使 ，添加的条件是 ．（只需添加一个即
可）．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，即可解答．
【详解】解：添加的条件是： ，
理由：在 和 中，
，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
13．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助
“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是 ．
【答案】③
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会
把实际问题转化为数学问题解答是关键．
显然第③中有完整的三个条件，用 可得到现要的三角形与原三角形全等．
【详解】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用 可得三角形全等，故应带第③块．
故答案为：③．
14．已知 ， ， 为三角形的三边，化简 的结果是
【答案】 /
【知识点】整式的加减运算、三角形三边关系的应用、化简绝对值
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的意义，整式的加减运算，掌握三角形的任意两边之
和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知， ， ，
进而去绝对值符号，合并同类项即可．
【详解】解： 、 、 是三角形的三边长，
， ，
，
，
故答案为： ．
15．如图，点 、 、 、 在同一直线上， 于点 ， 于点 ，连结 ，交 于点
，且 为 的中点，若 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④
，其中正确的是 （填序号）．
【答案】①②③
【知识点】全等三角形的性质、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、线段的和与差、根
据平行线判定与性质证明
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，平行线的判定与性质，熟练掌握全
等三角形的判定与性质是解题关键．
利用全等三角形的判定方法证得 、 即可逐项分析判断．
【详解】解：① 为 的中点，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，故①正确；
② 由①得： ，且 ，
，
，故②正确；
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学科网（北京）股份有限公司③ 由②得： ，
由①得： ，
，
，
由①得： ，且 ，
，
在 和 中，
，
，
，故③正确；
④ 由③得： ，
，
，
，
若 ，则 ，
，
现有条件无法得出 ，故④错误；
故答案为：①②③．
16．已知 是 的高， ， ，则 的度数是
【答案】 或
【知识点】三角形的识别与有关概念、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了三角形的高线，解题的关键是要分情况讨论．分高 在 内部和外部两种情况
讨论求解即可．
【详解】解：①如图 ，当高 在 的内部时，
；
②如图 ，当高 在 的外部时，
，
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学科网（北京）股份有限公司综上所述， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．已知 、 、 为 的三边长．若 为等腰三角形，且周长为 ，已知 ，求 的值．
【答案】 ．
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得解．
【详解】解： 、 、 为等腰三角形 的三边长，且周长为 ， ，
分两种情况：
当 为腰长时，底边 ，
，
不能构成三角形，故 为腰长舍去；
当 为底边时，腰长 ，
为底边，6为腰长符合三角形的三边关系，
，
综上所述， ．
18．如图，点E在边BC的延长线上，已知 ．求证： ．
【答案】见解析
【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、两直线平行同位角相等
【分析】题目主要考查三角形全等的判定 ，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
根据平行线的性质得出 ，再由全等三角形的判定即可证明．
【详解】证明： ，
，
∵
在 和 中，
，
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学科网（北京）股份有限公司．
19．如图，在由边长为1的小正方形构成的 的网格中， 的顶点A，B，C均在格点上．请按要求
完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
(1)如图1，在网格内找一点P，使得 ，作出 ．
(2)如图2，作 中 边上的中线 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等三角形综合问题
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的性质和判定等知识．
（1）根据全等三角形的概念，结合全等三角形的判定定理找到符合要求的点P即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质，取格点 和 ，连接 交 于点D，点D即为 中点，连接
即可．
【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求．（点P在点A右侧一个单位格点处）；
；
（2）解：如图所示，线段 即为所求．（取格点 和 ，连接 交 于点D，点D即为 中点，连
接 即可）．
20．如图，四边形 中， ，点 在 边上， 平分 ， 平分 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)按三角形内角的大小分类，试判断 的形状，并说明理由；
(2)若 ， ，求点 到 的距离．
【答案】(1)直角三角形，理由见解析
(2)5
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平
分线的有关计算、点到直线的距离
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，点到直线的距离，三角形内角和定理等知
识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）由 得到 ，再由角平分线的定义得到
，再由三角形内角和定理即可说理；
（2）过点 作 于点 ，证明 和 ，即可得到
．
【详解】（1）解： 为直角三角形，理由如下：
∵ ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
为直角三角形；
（2）解：过点 作 于点 ．
，
，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
．
点 到 的距离为5．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．如图，已知 为 的两条高，点 在 上，已知 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法， ，
， ， ， ．
（1）根据“ ”证明 即可；
（2）根据 ，求出 ．根据三角形全等的性质得出 ，最后求出结
果即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）证明： 为 的高，
．
，
，
在 和 中
．
（2）解： ，
．
由（1），知 ，
．
．
22．【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①，在 和 中， 分别是 和 边上的高线，且 ，则
和 是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用 ， 分别表示 和 的面积．
则 ，
∵ ，
∴ ．
【性质应用】
(1)如图②，D是 的边 上的一点．若 ，则 __________；（直接写出
答案）
(2)如图③，在 中，D，E分别是 和 边上的点．若 ， ， ，
15 / 23
学科网（北京）股份有限公司则 ＝__________， ＝_________；（直接写出答案）
(3)如图③，在 中，D，E分别是 和 边上的点，若 ， ， ，
请用含 的式子表示 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了新定义：等高三角形定义及其性质，利用此性质是解题的关键；
（1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解；
（2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解；
（3）由 ，利用等高三角形的性质求得 的面积；由 及等高三角形的性质
求得 的面积．
【详解】（1）解：∵ 是等高三角形，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司23．已知 ，D、A、E三点均在直线 上，且 ．
(1)如图1，若 ， ， ，则线段 的长为 ；
(2)如图2，判断 、 、 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若将“ ”变为“ ”，其他条件不变，且
， ，则线段 的长为 ．
【答案】(1)9
(2) ，理由见解析
(3)3
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质．
（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得 ，再利用 证明 ，得
，据此即可求解；
（2）利用平角的定义和三角形内角和定理得 ，再利用 证明 ，得
，可得答案；
（3）利用邻补角的定义得 ，再利用三角形的外角性质可得到 ，再利用 证明
，得 ，可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．已知 ， 平分 ， 平分 ，
(1)求 的度数．
(2)如图2，过点E的直线交射线 于点C，交射线 于点D，求证： ；
(3)如图3，过点E的直线交射线 的反向延长线于点C，交射线 于点D， ，
，求 的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、全等三角形综合问题
【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，根据角平分线的定义得到
，于是得到结论；
（2）在 上截取 ，连接 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，等量代
换即可得到结论；
（3）延长 交 于F，根据全等三角形的性质得到 ，根据全等三角形的性质得到
，设 ， ，根据 ，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
18 / 23
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：延长 交 于F，
19 / 23
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为8．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线的定义，正确的
作出辅助线是解题的关键．
25．已知，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 上的点，且
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学科网（北京）股份有限公司．
(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当 时．
小王同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ，连接 ．
请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明 _____；再证明了 _____，即可得出 ， ， 之间的数量
关系为_____．
(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当 时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的
结论，如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，若 、 分别是边 、 延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段 ， ， 之间
的数量关系为_____．（不用证明）
【答案】(1)图见解析， ， ，
(2)成立，证明见解析
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．
（1）根据题意，画出图形，先证明 ，再证明 ，即可得出结论；
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，即可得出
结论；
（3）在 上取一点 ，使 ，先证明 ，再证明 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：补全图形，如图：
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学科网（北京）股份有限公司解题思路为：先证明 ，再证明 ，即可得出 之间的数量关系为
；
故答案为： ， ， ；
（2）解：成立，证明如下：
延长 到点 ，使 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：在 上取一点 ，使 ，
22 / 23
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
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