第4章第07讲模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型（8类热点题型讲练）（解析版）_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（2025春季新版）持续更新

第 07 讲 模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型 目录 【模型一 平移型模型】............................................................................................................................................1 【模型二 轴对称型模型】........................................................................................................................................3 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】............................................................................................................6 【模型四 一线三等角模型】....................................................................................................................................9 【模型五 三垂直模型】..........................................................................................................................................14 【模型六 旋转型模型】..........................................................................................................................................18 【模型七 倍长中线模型】......................................................................................................................................23 【模型八 截长补短模型】......................................................................................................................................29 【模型一 平移型模型】 例题：（2025·陕西宝鸡·一模）如图，点 ， ， ， 在同一直线上， ， ， ． 求证： ． 【答案】证明见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行同位 角相等 【分析】本题考查平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据“两直线平行，同位角相等”得 ，证明 得 ，根据平行线的判定即可得证．解题的关 键是掌握全等三角形的判定和性质． 【详解】证明：∵ ， ∴ ， 在 和 中， 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【变式训练】 1．如图，在 ACD和 CEB中，点A、B、C在一条直线上，DE，AD∥EC，ADEC．求证：  ACD≌  CBE． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得出AECB，再根据全等三角形的判定定理ASA证明 ACD≌  CBE． 【详解】 AD∥EC， AECB， 在 ACD和 CEB中， AECB  ADEC ，  DE △ACD≌△CBE(ASA)． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关 键． 2．（2024上·新疆和田·八年级统考期末）如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ， ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 的度数． 【答案】(1)见解析 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司(2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的性质与判定 是解题的关键． （1）先证明 ，然后根据 证明 即可； （2）根据全等三角形的性质得出 ，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明： ， ，且 ， ， 在 和 中， ， ， （2）解：由（1）可知， ， ， ， ， ， ． 【模型二 轴对称型模型】 例题：（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图， 与 相交于点E， ， ．求证： ． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据“ ”可得出 ，则可得出答案． 本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 3 / 35 学科网（北京）股份有限公司【详解】证明： ， ， 即： 在 和 中， ， ， （全等三角形对应角相等）． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，点 是线段 的中点， ．求证： ． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 证明 ，即可得证． 【详解】证明： 点 是线段 的中点， ， 在 与 中， ， ， ． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，点B，M，N，C在同一直线上， ， ，求证： ． 4 / 35 学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明 ．证明 ，即可解决问题． 【详解】证明： ， ， ∵ ∴ 在 与 中 ， ， ∴ ． ∴ 3．（2024上·山西阳泉·八年级统考期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示， ， ， ， ，求 的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明 ，再证明 ，即可得到 ． 【详解】解：∵ ， ， 即 ． 在 与 中， ． ． ∵ ， ． 5 / 35 学科网（北京）股份有限公司【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 例题：如图，在四边形ABCD中， 于点B， 于点D，点E，F分别在AB，AD上， ， ． (1)若 ， ，求四边形AECF的面积； (2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)48 (2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与 S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可； （2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角 形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋ ∠ECF＝2∠DFC (1) 解：连接AC，如图， 在△ACE 和△ACF中 ∴△ACE ≌△ACF（SSS）． ∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC． ∵CB⊥AB，CD⊥AD， 6 / 35 学科网（北京）股份有限公司∴CD＝CB＝6． ∴S△ACF＝S△ACE＝ AE·CB＝ ×8×6＝24． ∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48． (2) ∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC 证明：∵△ACE ≌△ACF， ∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC． ∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补， ∴∠DFC＝∠BEC． ∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC， ∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC ＝∠DAB＋∠ECF． ∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC 【点睛】 本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 【变式训练】 1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上 一点，且CE=BF． (1)试说明：DE=DF： (2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论． (3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么 条件时，（2）中结论仍然成立？ 【答案】(1)见解析； (2)CE+BG=EG，理由见解析； (3)当∠EDG=90°- α时，（2）中结论仍然成立． 【解析】 【分析】 （1）首先判断出 ，然后根据全等三角形判定的方法，判断出 ，即可判断出 ． （2）猜想 、 、 之间的数量关系为： ．首先根据全等三角形判定的方法，判断出 7 / 35 学科网（北京）股份有限公司，即可判断出 ；然后根据 ，可得 ， ，再根据 ，判断出 ，据此推得 ，所以 ，最后根据 ，判断出 即可． （3）根据（2）的证明过程，要使 仍然成立，则 ，即 ，据此解答即可． (1) 证明： ， ， ， ， 又 ， ， 在 和 中， ， ． (2) 解：如图，连接 ， 猜想 、 、 之间的数量关系为： ． 证明：在 和 中， ， ， ， 又 ， ， ， 8 / 35 学科网（北京）股份有限公司由（1），可得 ， ， ， 即 ， ， 在 和 中， ， ， 又 ， ， ； (3) 解：要使 仍然成立， 则 ， 即 ， 当 时， 仍然成立． 【点睛】 本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意 推出规律是解此题的关键． 【模型四 一线三等角模型】 例题：【探究】如图①，点B、C在 的边 上，点E、F在 内部的射线 上， 分别是 、△CAF的外角．若 ， ，求证：△ABE≌△CAF． 【应用】如图②，在等腰三角形ABC中， ， ，点D在边 上， ，点E、F在 线段 上， ，若 的面积为9，则 与 的面积之和为 ． 9 / 35 学科网（北京）股份有限公司【答案】探究：见解析；应用：6 【分析】探究：根据 ， ，得出 ，根据 ， 得出 ，再根据 证明即可； 应用：根据全等三角形的性质得出： ，进而得出 ，根据 ， 的面积为9，得出 ，即可得出答案． 【详解】探究 证明：∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和△CAF中， ∴ ； 应用 解：∵△ABE≌△CAF， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 的面积为9， ∴ ， ∴ 与 的面积之和为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【变式训练】 10 / 35 学科网（北京）股份有限公司1．已知 是经过 顶点C的一条直线， ．E、F分别是直线 上两点，且 ． (1)若直线 经过 的内部，且E、F在射线 上，请解决下面问题： ①如图1，若 ， ，求证： ； ②如图2，若 ，探索三条线段 的数量关系，并证明你的结论； (2)如图3，若直线 经过 的外部， ，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给 予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明． 【答案】(1)①见解析；② ，见解析 (2)不成立， ，见解析 【分析】（1）①利用垂直及互余的关系得到 ，证明 ≌ 即可；②利用三等角模 型及互补证明 ，得到 ≌ 即可； （2）利用互补的性质得到 ，证明 ≌ 即可． 【详解】（1）①证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ； ②解： ． 证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， 11 / 35 学科网（北京）股份有限公司∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ； （2）解： ． 理由：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关 键． 2．（2024上·湖南株洲·八年级校联考期末）（1）如图①，已知∶ 中， ，直线 经过点 于 于 ，求证∶ ； （2）拓展∶如图②，将（1）中的条件改为∶ 中， 三点都在直线 上，并且 ， 为任意锐角或钝角，请问结论 是否成立？如成立，请证明； 若不成立，请说明理由； （3）应用∶如图③，在 中， 是钝角， ， ， 直线 与BC的延长线交于点 ，若 的面积是12，求 与 的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）先证明 ， ，然后根据 即可证明 ； （2）先证明 ，再证明 ，再利用全等三角形的性质可得结论； 12 / 35 学科网（北京）股份有限公司（3）同（2）可证 ，得出 ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等 于底的比，得出 即可得出结果． 【详解】解：（1）∵ ， ∴ ，且 ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ； （2）成立，证明如下： ∵ ， ∴ ，且 ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ． （3）同（2）可证 ， ∴ ， 设 的底边 上的高为h，则 的底边 上的高为h， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 与 的面积之和为6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及不同底等高 的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出 是解决问题的关键． 【模型五 三垂直模型】 13 / 35 学科网（北京）股份有限公司例题：（24-25八年级下·广东东莞·开学考试）如图（1） ， ， 于 ， 于 ． (1)求证： ； (2)如图（2）其它条件不变的前提下，将 所在的直线旋转到 的外部，若 ， ， 求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键． （1）根据同角的余角相等可得 ，然后利用 即可证明 ； （2）同理可证 ，根据全等三角形的性质可得 ，问题得解． 【详解】（1）证明：∵ 于 ， 于 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （2）解：∵ 于 ， 于 ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 14 / 35 学科网（北京）股份有限公司∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【变式训练】 1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系， 并加以证明． 【答案】(1)90° (2)见解析 (3)CD= BE + DE，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由∠BAC=90°可直接得到 90°； （2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据 AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE． （3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE． (1) ∵∠BAC=90° ∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90° 故答案为：90°． (2) 证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90° 15 / 35 学科网（北京）股份有限公司∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且EA=DC 由图可知：DE = EA+AD = DC+BE． (3) ∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90° ∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且AE=CD 由图可知：AE = AD +DE ∴ CD= BE + DE． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线 段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质． 2．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在 中， ， ，直线 经过点 C，且 于D， 于E． (1)当直线 绕点C旋转到①的位置时，求证：① ；② ； (2)当直线 绕点C旋转到②的位置时，求证： ； (3)当直线 绕点C旋转到③的位置时，试问 、 、 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量 16 / 35 学科网（北京）股份有限公司关系，不需要证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3) (或 ， )． 【分析】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用， 解此题的关键是推出证明 和 全等的三个条件．题型较好． （1）①已知已有两直角相等和 ，再由同角的余角相等证明 即可证明 ； ②由全等三角形的对应边相等得到 ， ，从而得证； （2）根据垂直定义求出 ，根据等式性质求出 ，根据 证出 和 全等，再由全等三角形的对应边相等得到 ， ，从而得证； （3）同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系． 【详解】（1）①证明：∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ； ②由①知， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ； （2）证明：∵ 于D， 于E， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ． 17 / 35 学科网（北京）股份有限公司∴ ， ， ∴ ． （3）解：同（2）理可证 ． ∴ ， ， ∵ ∴ ，即 ； 当 旋转到图3的位置时， 、 、 所满足的等量关系是 (或 ， )． 【模型六 旋转型模型】 例题：如图， ， ， ． （1）求证： ； （2）若 ，试判断 与 的数量及位置关系并证明； （3）若 ，求 的度数． 【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3） 【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可； （2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可； （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA 【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD ∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴ ∠CAE=∠BAD， ∵AB=AC，AE=AD 在△AEC和△ADB中 18 / 35 学科网（北京）股份有限公司∴ △AEC≌△ADB（SAS） （2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下： 将直线CE与AB的交点记为点O， 由（1）可知△AEC≌△ADB， ∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD， ∵∠BOF=∠AOC，∠ =90°， ∴ ∠BFO=∠CAB=∠ =90°， ∴ CE⊥BD． （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由（1）知△AEC≌△ADB， ∴两个三角形面积相等 故AM·CE=AN·BD ∴AM=AN ∴AF平分∠DFC 由（2）可知∠BFC=∠BAC= ∴∠DFC=180°- ∴∠CFA= ∠DFC= 19 / 35 学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题 的关键； 【变式训练】 1．如图，在 ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转 120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点． △ （1）求证：AE＝CD； （2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°． 【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证； （2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合， ∴BD＝BE，∠EBD＝120°， ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°， ∴∠DBC＝∠ABE， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD； （2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°， ∴∠BED＝∠BDE＝ （180°﹣120°）＝30°， ∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE ＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是 解题的关键． 2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时 针旋转90°，得到线段CE，连接EB． （1）操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量关 系为 ； （2）猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两 种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明； 20 / 35 学科网（北京）股份有限公司（3）拓展延伸 若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积． 【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析； （3）72或2 【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案； （2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论； （3）首先求出BE的长度，然后利用S△AED •AD•EB即可求解． 【详解】解：（1）如图1中， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CBE＝∠A， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠CBA＝45°， ∴∠CBE＝∠A＝45°， ∴ABE＝90°， ∴AB⊥BE， ∵AB＝AD+BD，AD＝BE， ∴AB＝BD+BE， 故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE． （2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD． 21 / 35 学科网（北京）股份有限公司理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE， ∵AD＝AB+BD，AD＝BE， ∴BE＝AB+BD． ②如图3中，结论：BD＝AB+BE． 理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴AD＝BE， ∵BD＝AB+AD，AD＝BE， ∴BD＝AB+BE． （3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7， ∴BE＝AD＝5+7＝12， ∵BE⊥AD， ∴S△AED •AD•EB 12×12＝72． 如图3中，∵AB＝5，BD＝7， ∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2， 22 / 35 学科网（北京）股份有限公司∵BE⊥AD， ∴S△AED •AD•EB 2×2＝2． 【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键． 【模型七 倍长中线模型】 例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图， 是 的中线， ， ，求中线 的取值范围． 【答案】 【分析】延长 到 ，使 ,证明两边之和大于 ，两边之差小于 ，证明三角形 全等，得到线段相等，等量代换得 ． 【详解】解：如图，延长 至 ，使 ，连接 ， ∵ 为 中点， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ， 在 中， ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 23 / 35 学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全 等三角形． 【变式训练】 10．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】 如图1，在 中， ，求边 上的中线 的取值范围． （1）中线 的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形 中， 为 的中点，点 在 上， ， ，求证： 平分 ． 【拓展应用】 （3）如图3，在 中， 是边 上的中线，E是 上一点，连接 并延长交 于点F， ，求证： ． 【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线 问题) 【分析】本题考查了三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关 系等知识． （1）延长 到 ，使得 ，连接 ，得出 ，根据三角形三边关系即可求解； （2）延长 交 延长线于 ，得到 ，得到 ， ，进而求得 ，可证明结论； （3）延长 到点 ，使得 ，连接 ，得出 ，从而得到 ， ，进而得到 从而证明． 【详解】（1）解：如图1，延长 到点 ，使得 ，连接 ． 为边 上的中线， ， 在 和 中， 24 / 35 学科网（北京）股份有限公司， ， ， ， ， 即 ， ； 故答案为： ； （2）证明：如图2，延长 交 的延长线于点 ， ， ， ， ， 为 的中点， ， ， ， ， ， ， 即 ， 平分 ； （3）证明：如图3，延长 到点 ，使 ，连接 ， 25 / 35 学科网（北京）股份有限公司在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1， 中， 若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方 法：延长 到E，使 ，连接 ．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到 ，得到 ，在 中求得 的取值范围，从而求得 的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关 系． (2)如图2， 是 的中线， ， ， ，试判断线段 与 的数量 关系，并加以证明； (3)如图3，在 中，D，E在边 上，且 ．求证： ． 【答案】(1) (2) ，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系． 26 / 35 学科网（北京）股份有限公司（1）由作图可得 ，根据“ ”证得 ，得到 ，在 中，根据三 角形的三边关系有 ，代入即可求解； （2）延长 到M，使得 ，连接 ，则 ，由（1）同理可证 ， 得到 ， ，从而 ，又 ，因此 ，进而得证 ，故 ； （3）取 的中点为M，连接 并延长至N，使 ，连接 、 ，证得 得到 ，证得 得到 ． 延长 交 于F，由三角形的三边关系得到 ，即 ． 【详解】（1）∵ ， ∴ ∵ 是 边上的中线， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵在 中， ， 即 ， ∴ ． 故答案为： （2） ， 理由：如图，延长 到M，使得 ，连接 ， ∴ ， ∵ 是 的中线， ∴ ， 27 / 35 学科网（北京）股份有限公司在 和 中 ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （3）取 的中点为M，连接 并延长至N，使 ，连接 、 ， ∵点M是 的中点， ∴ ， 在 和 中， 28 / 35 学科网（北京）股份有限公司∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ， 延长 交 于F， 则 ，且 ， ∴ ， ∴ ， 即 ． 【模型八 截长补短模型】 例题：（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在 中， ， ， 与 的平分线 ， 交于点 ． (1)求 的度数； (2)求证： ． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、证一条线段等于两条线段 和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截 长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出 的度数，再利用角平分线得到 、 的大小，最后求出外 29 / 35 学科网（北京）股份有限公司角 的度数； （2）在 上 ，构造 ，再利用条件证明 ，从而得到 解题． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∵ 与 的平分线 ， 交于点 ∴ , ， ∵ 是 的外角， ∴ ； （2）证明：在 上截取 ，连接 ， ∵ 平分 ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， 在 和 中 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 30 / 35 学科网（北京）股份有限公司∴ ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图1，四边形 中， ， 是 上一点， 平分 ， 平分 ．则线段 的长度满足的数量关系为______； （2）如图2，将（1）中的条件“ ”改为“ ”，其他条件不变，（1）中的结 论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请举出反例； （3）将（1）中的条件“ ”改为“ ”，其他条件不变，试探究线段 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ；（2）成立，理由见解析；（3） ，理由见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差 （全等三角形的辅助线问题）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据题意作出合理的辅助线构 建全等三角形是解题的关键． （1）过点有作 ，根据 得出 ，再根据 平分 ，得出 ，即可证明 ，最后根据全等三角形对应边相等，即可得结果； （2）在 上截取 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，最后 根据全等三角形的性质可得结论； （3）在 上截取 ， ，连接 ，先证明 ，再证明 ，然后证明 为等边三角形，最后求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点有作 ， ， ． 又 ， 31 / 35 学科网（北京）股份有限公司． 平分 ， ． 又 ． ． ． 同理可得 ． ． 故答案为： ； （2）成立，理由如下： 在 上截取 ，连接 ，如图所示： 、 分别平分 、 ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ； （3） ，理由如下： 在 上截取 ， ，连接 ，如图所示： 32 / 35 学科网（北京）股份有限公司、 分别平分 、 ， ， ， 在 和 中， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 为等边三角形 ， ； 2．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在 中， 平分 ，交 于点D，且 ，则 ， ， 之间存在怎样 的数量关系？并说明理由． 方法运用 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长 至点E，使得 ，连接 ， ……，请判断 ， ， 之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在 上截取线段构造全等三角形来 解题．如图3，在线段 上截取 ，使得 ①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出 辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形 中， ， ， ，若 ，求 的度数． 【答案】（1） ，见解析 （2）①AC ②DF，见解析 （3） 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、全等的性质和SAS综合 （SAS）、全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的有关计算 【分析】（1）利用 证明 ，得出 ，从而证得 ，所以 ，即 可得出结论 ； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长 至点G，使 ，连接 ，利用 证明 ，得出 ， ，从而可证得 ．即可利用 证明 ，得出 ，即可由 求解． 【详解】（1） ． 理由：∵ 平分 ， ∴ ． 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， 34 / 35 学科网（北京）股份有限公司∴ ． ∵ ， ∴ ． （2）①AC ②DF． 辅助线如图1所示． （3）如图2，延长 至点G，使 ，连接 ， ． ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司