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第 08 讲 解题技巧专题：全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型
目录
【模型一 全等三角形模型之倍长中线模型】........................................................................................................1
【模型二 全等三角形模型之截长补短模型】........................................................................................................6
【过关检测】............................................................................................................................................................11
【模型一 全等三角形模型之倍长中线模型】
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添
加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角
形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则 ；若连结EC，则
；
2、中点型:如图2， 为 的中点.
证明思路：若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 ;
若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 .
3、中点+平行线型：如图3, ，点 为线段 的中点.
证明思路：延长 交 于点 (或交 延长线于点 )，则 .
例题1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
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学科网（北京）股份有限公司如图1，在 中，若 ， ，求BC边上的中线 的取值范围．小明在组内经过合作交流，
得到了如下的解决方法：如图2，延长 到点E，使 ，连结BE，请根据小明的方法思考：
（1）根据已知和作图，图2中 与 全等吗？为什么？
（2）根据已知条件，写出线段 的取值范围；
[解题感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的
已知条件和结论转化到一个三角形中．
[问题解决]
（3）如图3， 是 的中线， 交 于点F，且 ，试说明： ．
例题2．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知 中， 是 边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长 至E，使 ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （依据1），
∴ ，
在 中， （依据2），
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线 ，使 ，构造了一对全等三角形，将 ， ， 转化到一个三角
形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之
间的关系．
（2）任务二：如图3， ， ，则 的取值范围是 ；
A． ； B． ； C．
（3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4， 中， ，D为 中点，求证： ．
【模型二 全等三角形模型之截长补短模型】
【模型解读】
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，
可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
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学科网（北京）股份有限公司（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例题1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ， 平分 交 于点
D．求证： ．
例题2．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在 中， ， ，
与 的平分线 ， 交于点 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
例题3．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形 中， ，点 ，点 分别在边
， 上，已知 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若点 ，点 分别在边 ， 的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成
立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由．
【过关检测】
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．在 中， ， 是 边上的中线，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在长方形 中，E为 的中点，F为 上一点，若 ，则 与 的数
量关系是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知AC平分 ， 于E， ，则下列结论① ；②
；③ ；④ ．其中，正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
4．已知， 中， ， ， 为 的中点，则中线 的取值范围为 ．
5．如图， 中， 为 的中点， 是 上一点，连接 并延长交 于 ．若 ，
， ，那么 的长度为 ．
6．在四边形 中， ， 与 互补，点E、F分别在射线 、 上，且
，当 ， ， 时， 的周长等于 ．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题
7．如图，在 中， 平分 ，E为 的中点， ，求证： ．
8．如图，已知 ， 的平分线与 的平分线相交于点 ，连接 并延长交 于点 ，
试说明： ．
9．如图，在四边形 中， 与 交于点 ， 平分 ， 平分 ，
．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
10．（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证
明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1， 中，若 ，求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在 中， 是
边上的中线，E是 上一点，延长 交 于F．若 ，求证： ．
11．【发现问题】
（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1， ， ，中线 的取值范围是多少？
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长 到 ，使得 ；
②连接 ，通过三角形全等把 、 、 转化在 中；
③利用三角形的三边关系可得 的取值范围为 ，从而得到 的取值范围是
_____；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题拓展】
（2）如图2， ， ， 与 互补，连接 、 ， 是 的中点，求证：
：
（3）如图3，在（2）的条件下，若 ，延长 交 于点 ， ， ．求 的
面积．
12．学习理解：
（1）如图1， ， ，点D为 的中点，则 的取值范围为________；
活学活用：
（2）如图2， ， ， ，点F为 的中点．
求证： ；
思维拓展：
（3）如图3，在 中， ， 和 的角平分线 与 相交于点F，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，则 ________．
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