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第 5 章 一元一次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）
知识点一、一元一次方程的概念
1.方程：含有未知数的等式叫作方程．
2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。
4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。
知识点二、等式的基本性质
等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。
1
学科网（北京）股份有限公司字母表达式为： ．
等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。
字母表达式为： ．
知识点三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 (a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是
方程的解．
知识点四、一元一次方程的应用
一元一次方程应用题解题一般步骤：
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
知识点五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
2
学科网（北京）股份有限公司（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝ ×100%）；
（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工
作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S ＋S =S ；追及问题：S -S =S ；
甲 乙 总 快 慢 相距
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
考点1：一元一次方程及方程的解
【例题1】（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x的方程 是一元一次方程，则m的值为
（ ）
A．1 B． C．1或 D．以上结果均不正确
【变式1】（23-24七年级上·贵州遵义·期中）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知 是方程 的解，则 ．
【变式3】（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知方程 是关于x的一元一次方程，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司考点2：等式的基本性质
【例题2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）写出下列等式变形的依据．
（1）由 ，得 ， ；
（2）由 ，得 ， ；
（3）由 ，得 ， ．
【变式3】（2024七年级上·浙江·专题练习）在将等式 变形时，小明的变形过程如下：
因为 ，
所以 ，（第一步）
所以 ．（第二步）
(1)上述过程中，第一步的依据是什么？
(2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因．
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学科网（北京）股份有限公司考点3：一元一次方程的解法
【例题3】（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程：
(1)
(2) ．
【变式1】（24-25七年级上·山东德州·期中）解下列方程：
(1)
(2) ．
【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程：
(1)
5
学科网（北京）股份有限公司(2)
【变式3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程：
(1)
(2)
(3)
考点4：一元一次方程的应用
【例题4】（2024七年级上·全国·专题练习）甲、乙、丙三辆卡车所运货物的吨数之比是 ，已知甲车比丙车多
运货物12吨，则三辆卡车共运货（ ）
A．120吨 B．130吨 C．140吨 D．150吨
【变式1】（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“ ”型框中的 个数（如
阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这 个数的和不可能的是（ ）
6
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．105
【变式2】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，
要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是
【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大
僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有 个和尚分 个馒头，如果大和尚 人分 个，
小和尚 人分 个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题．
考点5：三种思想
思想1：转化思想
【例题5】（2024七年级上·浙江·专题练习）定义新运算： ，例如： ，
那么当 时， 的值是( )
A． B． C． D．
【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）定义：若 ，则称 与 是关于 的关联数．例如：若 ，
则称 与 是关于2的关联数；若 与 是关于3的关联数，则 的值是（ ）
A．−2 B．-1 C．3 D．6
【变式2】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）定义一种新运算“ ”的含义为： ．例如：
，若 ，则x的值为 ．
【变式3】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）定义新运算 ，如 ；
若 ，则称a与b互为“望一”数；
若 ，则称a与b互为“望外”数；
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学科网（北京）股份有限公司(1)计算： ．
(2)下列互为“望一”数的是 ．互为“望外”数的是 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
(3)若 ，则x可以取哪些整数？
思想2：分类讨论思想
【例题6】（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，且 、 满足
，动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点 从点 出发，以每
秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒．若点 、 同时出发，当 、 两点相距 个
单位长度时， 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【变式1】．（24-25七年级上·湖南永州·期中）数轴上点A、B分别表示数字a、b，且 若动点P以
每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，
当运动时间为（ ）秒时，P、Q相距3个单位长度．
A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定
【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）根据绝对值的定义我们知道： 表示5与 之差的绝对值，
实际上也可理解为5与 两数在数轴上所对的两点之间的距离．若 ，则x的值为 ．
【变式3】（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）先阅读，后解题：
因为 ， ，所以当 时，可得 或 ．若解方程 ，可将绝对值符号内的 看成一个
整体，则可得 或 ，分别解方程可得 或 ．利用上面的知识，解方程：
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学科网（北京）股份有限公司(1) ；
(2) ．
思想3：整体思想
【例题7】（23-24七年级上·全国·课后作业）在解方程 时，可先将 ，
分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程 ，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用
这种方法解方程：
(1) ；
(2) ．
【变式1】（21-22七年级上·云南昆明·期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例
如，在解方程 时，把 看作一个整体．
令 ，得： ，
去括号，得： ，
合并同类项，得： ，
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学科网（北京）股份有限公司系数化为1，得： ，
故 ，解得 ．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：
【变式2】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）【阅读材料】如何化简整式 呢？数学教材第
76页提示，可以把 看成一个整体，进而 ．“看
成一个整体”在数学中称为“整体思想”，它往往能把复杂问题简单化，在数学问题的解决中应用广泛．请参考阅读
材料，解决以下问题：
【尝试应用】
（1）填空：已知 ， ，则 ______；
【拓展探究】
（2）若关于 的一元一次方程 的解是 ，求关于 的方程 的解是多
少；
【迁移提升】
【变式3】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程
为“美好方程”．例如：方程 和 为“美好方程”．
(1)若关于 的方程 与方程 是“美好方程”，求 的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为 ，求 的值；
(3)若关于 的一元一次方程 和 是“美好方程”，利用整体思想，求关于 的一元一次
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学科网（北京）股份有限公司方程 的解．
一、单选题
1．（2023·海南·中考真题）若代数式 的值为7，则x等于（ ）
A．9 B． C．5 D．
2．（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．（2023·四川南充·中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不
足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去
度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列
方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三
种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、填空题
5．（2021·湖南张家界·中考真题）已知方程 ，则 ．
6．（2021·山东枣庄·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数
字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则 的值为
．
三、解答题
7．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程 时，第一步出现了错误：
解： ，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
8．（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次
数，需重新投，计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分
3 1
（分）
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学科网（北京）股份有限公司在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
9．（2023·北京·中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，
左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是 ，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的
．某人要装裱一副对联，对联的长为 ，宽为 ．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天
头长．（书法作品选自《启功法书》）
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（24-25七年级上·浙江金华·期中） 与 是互为相反数， （ ）
A． B．3 C． D．1
2．（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中，是一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把方程 去分母后，正确的结果是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知 ，下列不相等的是（ ）
A． 与 B． 与
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学科网（北京）股份有限公司C． 与 D． 与
7．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知 是关于 的一元一次方程，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．
8．（23-24七年级上·河南周口·期末） 是关于x的一元一次方程 的解，则m的值是（ ）
A． B． C． D．−7
9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生
产螺母22个或螺栓16个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下
面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024七年级上·全国·专题练习）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车
各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车
可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若关于x的多项式 中不含有x的一次项，则 ．
12．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若 和 互为相反数，则 ．
13．（2024七年级上·全国·专题练习）在 ① ，② ，③ ，④ 中，方程有
（填序号）．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）如果方程 是关于x的一元一次方程，那么 ．
15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若关于 的单项式 与 的差仍为单项式，则 的值为
．
16．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知关于x的一元一次方程 的解是正整数，则整数m的值为
15
学科网（北京）股份有限公司．
17．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知 、 、 三点在同一直线上，某人乘船由 地顺流而下到 地，然
后又逆流而上到 地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是8千米/小时，水流速度是2千米/小时，若 、 两地
距离为2千米，则 、 两地之间的距离是 ．
18．（2024七年级上·全国·专题练习）某学校需要购买一批电脑，有两种方案．方案1：到商家直接购买，每台需要
7000元；方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装费等其他费用合计3000元，学校添置
台电脑时，两种方案的费用相同．
三、解答题
19．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程：
(1) ；
(2) ．
20．（2024七年级上·山东·专题练习）解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
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学科网（北京）股份有限公司21．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知关于 的方程 是一元一次方程，求 的值．
22．（2024七年级上·全国·专题练习）已知 与 是同类项，试判断 是不是方程
的解．
23．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果方程 的解与方程 的解相同，求
字母a的值．
24．（2024七年级上·全国·专题练习）多项式 是五次四项式，且单项式 与该多项式的次
数相同，求m，n的值．
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学科网（北京）股份有限公司25．（2024七年级上·浙江·专题练习）小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线
反向匀速而行．出发后 两人相遇．相遇时小刚比小强多行进 ，相遇后 小刚回到A地．
(1)两人的行进速度分别是多少？
(2)相遇后经过多少时间小强到达A地？
26．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是 ，点B对应的数是
10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速
度向右运动，设运动时间为t秒．
(1) 两点之间的距离为______；
(2)当 时，P、B两点之间的距离为______；
(3)在运动过程中，线段 、 、 中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由．
18
学科网（北京）股份有限公司
