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第 4 课时应用二元一次方程-增支节收
基础篇
一、单选题
1．某公司2018年的利润为200万元，2019年的总产值比2018年增加了12%，总支出比2018年减少了
8%，2019年的利润为500万元，若设2018年的总产值是 万元，2018年的总支出是 万元，则所列方程
组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由2019年总产值、总支出相比2018年的增长率可表示出2019年的总产值和总支出，根据利润 总产值
总支出列方程即可.
【详解】
解： 2019年的总产值为 ，总支出为
根据题意可得
故选：A
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，找准题中等量关系是解题的关键.
2．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐步成为人们喜爱的交通工具．某汽车公司
计划正好用190万元购买 ， 两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），其中 型汽车进价为
20万元/辆， 型汽车进价为30万元/辆，则 ， 型号两种汽车一共最多购买（ ）
A．9辆 B．8辆 C．7辆 D．6辆
【答案】A
【分析】设购买A，B型号汽车分别购买m，n辆，列出二元一次方程，根据m，n的实际意义，分别求出m，n的
对应值，即可求解．
【详解】
设购买A，B型号汽车分别购买m，n辆，
∵两种型号的汽车均购买，
∴m≥1，n≥1，且m，n均为整数，
由题意得：20m+30n=190，即2m+3n=19，
∴1≤n≤5，
又∵2m为偶数，则3n为奇数，
∴n为奇数，即：n=1，3，5，
当n=1时，m=8，
当n=3时，m=5，
当n=5时，m=2，
∴ ， 型号两种汽车一共最多购买9辆．
故选Ａ．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
3．甲、乙两人分别从相距40km的两地同时出发，若同向而行，则5h后，快者追上慢者；若相向而行，
则2h后，两人相遇，那么快者速度和慢者速度(单位：km/h)分别是（ ）
A．14和6 B．24和16 C．28和12 D．30和1
【答案】A
【分析】
设快者的速度是 ，慢者的速度是 ，根据追及问题和相遇问题的求解方法列二元一次方程组
求解．
【详解】
解：设快者的速度是 ，慢者的速度是 ，
列式 ，解得 ．
故选：A．【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．
4．甲、乙二人从一地点出发，同向而行，甲骑车乙步行，若乙先行12千米，那么甲1小时追上乙，如果
乙先走2小时，甲只用1小时追上乙，则乙的速度是（ ）千米/时．
A．6 B．4 C．8 D．10
【答案】A
【分析】
设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据题意可得等量关系：①甲1小时的路程-乙1小时的
路程=12千米；②乙2小时的路程+1小时的路程=甲1小时的路程，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】
解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，
由题意得： ，
解得： ．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
5．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是
105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃
料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（
）
A．120km B．140km C．160km D．180km
【答案】B
【分析】
设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，然后画出图形、确定
等量关系、列出关于x和y的二元一次方程组并求解即可．
【详解】
解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：
，
解得： ．
∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，弄清题意、确定等量关系、列出方程组是解答本题的关
键．
6．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问
人数，物价各几何?设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，由“每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”，
即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】
解：根据题意可知，
故答案为：D.
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7．5月22-23日，在川汇区教育局组织部分学生参加市举办的“唱响红歌”庆祝活动中，分别给每位男、
女生佩戴了白、红颜色的太阳帽，当大家坐在一起时，发现一个有趣的现象，每名男生看到白色的帽子比
红色的帽子多 个，每名女生看到的红色帽子是白色帽子数量的 ，设这些学生中男生有 人，女生有
人，依题意可列方程（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设这些学生中男生有x人，女生有y人，根据每名男生看到白色的帽子比红色的帽子多5个，每名女生看
到的红色帽子是白色帽子数量的 ，列方程组即可．
【详解】
解：设这些学生中男生有x人，女生有y人，
由题意得 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程组．
8．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上
坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了 ，下坡用了
，根据题意可列方程组（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据路程=时间乘以速度得到方程 ，再根据总时间是16分钟即可列出方程组.
【详解】
∵她去学校共用了16分钟，
∴x+y=16，
∵小颖家离学校1200米，
∴ ，
∴ ，
故选：B.
【点睛】
此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组，注意时间单位，这是解题中容易出现错
误的地方.
9．某服装厂同时卖出两套服装，每套均卖168元，以成本计算，其中一套盈利20%，另一套亏本20%，服
装厂（ ）
A．盈利14元 B．盈利37.2元 C．亏本14元 D．既不盈也不亏
【答案】C
【分析】
先分别算出盈利和亏损服装的进价，用售价减进价求出每套服装的利润，再相加得到总利润，即可得出答
案.【详解】
设两套服装的进价分别为a元，b元.
根据题意可得168-a=20%a
解得：a=140
b-168=20%b
解得：b=210
168-140+168-210=-14
即亏了14元
故答案选择C.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解决本题的关键.
10．某商店用300元购进A，B两种商品，A商品的利润率是10%，B商品的利润率是11%，售出后共获利
32.5元，则A，B两种商品各获利（ ）
A．5元，27.5元 B．6元，26.5元 C．7元，25.5元 D．9元，23.5元
【答案】A
【分析】
设A、B两种商品进价分别为x，y元，可得其利润分别为10%x，11%y元，根据购进共花300元，售出后
共获利32.5元列出方程组，求得x，y后再求各获利多少元.
【详解】
设A、B两种商品进价分别为x，y元，根据题意得：
解得
所以10%x=5 ，11%y=27.5
故选：A
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适
的等量关系，列出方程组，再求解．
11．某船在水中航行，顺水速度为20km/h，逆水速度为16km/h.设船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，列出方程组应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设船在静水中的速度为xkm/h，水流的速度为ykm/h，则顺流速度为（x+y）km/h，逆流速度为（x-y）
km/时，根据“顺水速度为20km/h，逆水速度为16km/h”建立方程组即可．
【详解】
设船在静水中的速度为xkm/h，水流的速度为ykm/h，根据题意得：
故选：A
【点睛】
本题考查了从实际问题中抽出二元一次方程组，根据行程问题中，顺水速度=静水速度+水速的运用，逆水
速度=静水速度-水速的运用，解答时根据时间和路程之间的等量关系建立方程求出其解即可．
12．打折前购买A商品40件与购买B商品30件所花的钱一样多，商家打折促销，A商品打八折，B商品打
九折，此时购买A商品40件比购买B商品30件少花600元，则打折前A商品和B商品每件的价格分别为(
)
A．75元，100元 B．120元，160元
C．150元，200元 D．180元，240元
【答案】C
【分析】
设打折前 商品价格为 元， 商品为 元，根据题意列出关于 与 的方程组，求出方程组的解即可得
到结果.
【详解】
设打折前 商品价格为 元， 商品为 元，
根据题意得： ，解得： ，
则打折前 商品价格为 元， 商品为 元.
故选： .
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系时解决问题的关键.
13．小李以两种形式储蓄300元，一种储蓄的年利率为10%，另一种为11%，一年后的本息和为331.5元，
则两种储蓄的存款分别为（ ）
A．100元，200元 B．150元，150元 C．200元，100元 D．50元，250元
【答案】B
【解析】
【分析】
设第一种储蓄存了x元，第二种存了y元，根据储蓄了300元钱可以列出方程x+y=300，根据一年后共得利
息31.5元可以列出方程10%x+11%y=31.5，联立两个方程组成方程组，解方程组即可求出结果．
【详解】
若设第一种储蓄存了x元，第二种存了y元，
则根据题意可列方程组为 ，
∴
故选：B
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用：储蓄的年利率问题，其中本金+利息=本息，年利率=
×100%，根据这些关系式即可列出方程解决问题．
14．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每枝钢笔5元，那么小明最多能买________枝钢笔．
【答案】13
【详解】
解：设小明一共买了x本笔记本，y支钢笔，
根据题意，可得 ，可求得y≤
因为y为正整数，所以最多可以买钢笔13支．
故答案为：13．
15．为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，太原市正在修建贯穿迎泽和武宿两个市级中心以及太原站、
太原南站的地铁 ， 号线．已知修建地铁 号线 和 号线 共需投资 亿元．根据地质情况
及技术难度测算， 号线每千米的平均造价比 号线每千米的平均造价多 亿元．设 号线每千米的平均
造价是 亿元， 号线每千米的平均造价是 亿元，则可列二元一次方程组为_____________．
【答案】
【分析】
根据题意“修建地铁 号线 和 号线 共需投资 亿元”和“ 号线每千米的平均造价比 号线每
千米的平均造价多 亿元”即可列出方程组
【详解】
由题意“修建地铁 号线 和 号线 共需投资 亿元”和“ 号线每千米的平均造价比 号线每千
米的平均造价多 亿元”可得：故答案为：
【点睛】
本题考查列二元一次方程组，根据题意找出等量关系是解题的关键.
16．一水池有一个进水管和三个完全相同的出水管，现水池中有一定量的水，打开进水管（注水速度一
致），若只打开一个出水管，则1小时正好能把水池中的水放完；若打开两个出水管，则20分钟正好能把
水池中的水放完；问若打开三个出水管，则需要__________分钟恰好能把水池中的水放完．
【答案】12
【分析】
设进水管的进水速度为x，每一个出水管的出水速度为y，水池中原有水量为a，根据题意列方程组求解
【详解】
解：设进水管的进水速度为x，每一个出水管的出水速度为y，水池中原有水量为a，由题意可得：
，解得：
设打开三个出水管需要b小时能把水池中的水放完，则
时=12分
故答案为：12
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出等量关系求解是关键．
17．甲、乙两种商品原来的单价和为 元，因市场变化，甲商品降价 ，乙商品提价 ，调价后
两种商品的单价和比原来的单价和提高了 ，求甲、乙两种商品原来的单价．现设甲商品原来的单价
元，乙商品原来的单价为 元，根据题意可列方程组为_____________；【答案】
【分析】
根据“甲、乙两种商品原来的单价和为100元”可得出方程为x+y=100．根据“甲商品降价10%，乙商品提价
40%，调价后两种商品的单价之和比原来的单价和提高了20%”，可得出方程为 ，联
立即可列出方程组．
【详解】
解：根据题意可列方程组：
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用．根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词
语，找出等量关系，列出方程组．
18．甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价20%，乙商品提价60%，调整后两
种商品的单价和比原来的单价和提高了50%，则购买调价后的3件甲商品和2件乙商品共需________元．
【答案】310
【详解】
试题分析：设甲商品单件为x元，乙商品单价为y元，根据题意可得： ，解得：
，则调价后甲的价格为：12.5×0.8=10元，乙的价格为140元，则共需要花费：10×3+140×2=310
元．
提升篇19．为了应对新冠肺炎疫情，做好防控工作，我市某校开学前拟为教职工购买口罩，计划购买普通口罩和
N95口罩共4200个，已知每个普通口罩的价格为0.5元，每个N95口罩的价格为5元．
（1）若购买这两类口罩的总金额为3000元，求两种口罩各购买了多少个？
（2）为弘扬“好心茂名”精神，某企业决定给采购口罩的学校实行以下优惠：普通口罩每购满100个减10
元，每个N95口罩打7折．若按（1）中的购买数量，实行优惠后学校需要支付多少钱？
【答案】（1）普通口罩购买4000只，N95口罩购买200只；（2）2300元
【分析】
（1）设购买普通口罩 个，N95口罩 个，依据题意可得二元一次方程组，故可求解；
（2）根据普通口罩每购满100个减10元，每个N95口罩打7折，分别列式即可求解．
【详解】
（1）设购买普通口罩 个，N95口罩 个，依据题意可得
解得
答：普通口罩购买4000只，N95口罩购买200只．
（2）普通口罩： （元）
N95口罩： （元）
（元）
答：实行优惠后学校需要支付2300元．
【点睛】
此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解．
20．在2020年双11到来之前，某商家为了囤货，投入28000元资金购进 、 两种商品共1000件，两种
商品的成本价和销售价如下表所示：
商品
成本价 销售价
单价（元/件）
25 3530 45
（1）该商家购进两种商品各多少件？
（2）这批商品全部销售完后，该商家共获利多少元？
【答案】（1）该商家购进 种商品400件， 种商品600件；（2）该商家共获利13000元
【分析】
（1）设购进A种商品 件，购进 种商品 件，根据“投入28000元资金购进 、 两种商品共1000
件”，列出二元一次方程组，即可求解；
（2）根据每件商品的利润×销售量=利润，列出算式，即可求解．
【详解】
解：（1）设购进A种商品 件，购进 种商品 件，
根据题意，得 ，解得 ．
∴该商家购进A种商品400件， 种商品600件；
（2） ．
∴该商家共获利13000元．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键．
21．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资
一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用
A型车a辆，B型车b辆（a，b都不为零），一次运完，且恰好每辆车都装满．
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计出所有符合题意的租车方案（直接写出方案即可）．
【答案】（1）1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨；（2）共有3种租车
方案：方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A
型车，7辆B型车
【分析】
（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，然后根据2辆A型车和1
辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨列出方程组求解；
（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方案；
【详解】
解：（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨．
依题意，得：
解得：
答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．
（2）依题意，得：3a+4b=31，
∴a= ．
又∵a，b均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴该物流公司共有3种租车方案：方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B
型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确
列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
22．口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售 、 两种品牌口罩，购买2盒 品牌和3盒 品牌的口罩
共需480元；购买3盒 品牌和1盒 品牌的口罩共需370元．
（1）求这两种品牌口罩的单价．
（2）学校开学前夕，该药店对学生进行优惠销售这两种口罩，具体办法如下： 品牌口罩按原价的八折
销售， 品牌口罩5盒以内（包含5盒）按原价销售，超出5盒的部分按原价的七折销售．当学生李明到
该药店需要购买50盒口罩时，买哪种品牌的口罩更合算?
【答案】（1） 种品牌口罩单价为 元， 两种品牌口罩单价为 元；（2）买 种品牌的口罩更合
算，理由见解析．
【分析】（1）设 种品牌口罩单价为 元， 种品牌口罩单价为 元，根据题意得列二元一次方程组，利用代入
消元法解方程即可；
（2）分别计算购买 种口罩、 种口罩的总花费，再作比较得出答案．
【详解】
解：（1）设 种品牌口罩单价为 元， 两种品牌口罩单价为 元，根据题意得，
由②得， ③
把③代入①得，
把 代入③得
经检验，符合题意，
答： 种品牌口罩单价为 元， 两种品牌口罩单价为 元．
（2）若李明到该药店购买 种品牌口罩 盒，
总花费： （元）；
若李明到该药店购买 种品牌口罩 盒，
，
总花费： （元），
，
买 种品牌的口罩更合算，
答：买 种品牌的口罩更合算．【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23．小张用60元购进A，B两种文具，按标价售出后可获得毛利40元（毛利＝售价﹣进价）．现已知A种
文具的进价是5元/件，标价是10元/件；B种文具的进价是10元/件，标价是16元/件．
（1）这两种文具各购进了多少件？
（2）如果A种文具按标价的8折出售，B种文具按标价的七五折出售，那么这批文具全部售完后，小张比
按标价出售少收入多少元？
【答案】（1） ；（2） （元）．
【分析】
（1）设A种文具购进x件，B种文具购进y件，由总价=单价×数量，毛利=售价﹣进价建立方程组求出其解
即可；
（2）分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润=总利润﹣打折后A种文具的利润﹣打折后B中文具的
利润，求出其解即可．
【详解】
（1）设A种文具购进x件，B种文具购进y件，由题意，得：
解得： ．
答：A种文具购进2件，B种文具购进5件；
（2）由题意，得：
= （元）．
答：文具比按标价售出少收入24元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
24．将一批抗疫物资运往武汉，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种
货车的情况如下表：甲种货车(辆) 乙种货车(辆) 总量(吨)
第一
4 5 31
次
第二
3 6 30
次
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租
车方案？请全部设计出来．
【答案】（1）每辆甲种货车可装4吨货，每辆乙种货车可装3吨货；（2）有三种租车方案：租用 辆甲
种货车， 辆乙种货车；租用 辆甲种货车， 辆乙种货车；租用 辆甲种货车， 辆乙种货车
【分析】
(1)设每辆甲种货车可装 吨货，每辆乙种货车可装 吨货，根据前两次租用这两种货车的记录情况表，即
可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设租用 辆甲种货车， 辆乙种货车，根据一次要运45吨货，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，
结合 ， 均为正整数即可得出结论．
【详解】
(1)设每辆甲种货车可装 吨货，每辆乙种货车可装 吨货，
依题意，得： ，
解得： ，
答：每辆甲种货车可装4吨货，每辆乙种货车可装3吨货；
(2)设租用 辆甲种货车， 辆乙种货车，
依题意，得： ，
∴ ，
∵ ， 均为正整数，且 必须是3的倍数，∴ ， ， ，
∴有三种租车方案：租用 辆甲种货车， 辆乙种货车；租用 辆甲种货车， 辆乙种货车；租用 辆甲
种货车， 辆乙种货车．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出
二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
25．政府为应对新冠疫情，促进经济发展，对商家打折销售进行了补贴，不打折时，6个A商品，5个B商
品，总费用为114元，3个A商品，7个B商品，总费用为111元，打折后，小明购买了9个A商品和8个
B商品共用了141.6元．
（1）求出商品A，B每个的标价；
（2）若商品A，B的折扣相同，商店打几折出售这两商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？
【答案】（1）商品A的标价为9元，商品B的标价为12元；（2）八折；35.4元
【分析】
（1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，根据“不打折时，6个A商品，5个B商品，
总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即
可得出结论；
（2）设商店打m折出售这两种商品，根据“打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6
元”，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用获得的优惠＝不打折时购买这些商
品所需费用﹣打折后购买这些商品所需费用，即可求出结论．
【详解】
解：（1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：每个A商品的标价为9元，每个B商品的标价为12元．
（2）设商店打m折出售这两种商品，依题意得：9×9 8×12 141.6，
解得：m＝8，
9×9+12×8﹣141.6＝35.4（元）．
答：商店打8折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了35.4元的优惠．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确
列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
