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第二章 实数
2.4 实数
基础篇
一、单选题
1．【2022山大附中期末】如图，在数轴上作以边长为1的正方形 ，点 在原点上，若 ，
数轴上点 对应的数是（ ）
A． B．
C． D．1.4
【答案】B
【分析】
根据正方形，利用勾股定理求出OB的长，可得到 ，即可求解．
【详解】
解：∵在数轴上作以边长为1的正方形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 对应的数是 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理进行计算是解题的关键．2．【2022成都七中育才学校】如图，已知数轴上的点A，B，C，D分别表示数﹣2，1，2，3，则表示3﹣
的点P应落在线段（ ）
A．AO上 B．OB上 C．BC上 D．CD上
【答案】C
【分析】
估算出3− 的取值范围，即可确定点P在数轴上应落在的线段．
【详解】
∵1<2<4
∴
∴
即表示3− 的点P落在线段BC上
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了实数与数轴上点的关系．关键是根据 的取值范围来确定3− 的取值范围．
3．【2022北京文江中学】定义运算： ，例如： ， ，
则 等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
理解新定义的运算规则，对 求解计算即可．【详解】
解：∵ ，根据定义
∴
故选A．
【点睛】
此题考查了基础知识的迁移能力，涉及到定义新运算规则、二次根式等内容，理解新运算规则是解题的关
键．
4．【2022合肥市第四十五中学】如图，表示实数 的点是数轴上的（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】A
【分析】
估算 近似值，进而得出 的近似值得出答案．
【详解】
解：∵ ，
∴3＜ ＜4，
∴3﹣6＜ ＜4﹣6，
∴﹣3＜ ＜﹣2，
故选：A．
【点睛】
本题考查无理数的估算，数轴表示数，正确地估算无理数的大小是解答的前提．
5．【2022郑州外国语中学】如图，若 是实数 在数轴上对应的点，则关于 ， ，1的大小关系表示
正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据数轴可以得到a＜1＜-a，据此即可确定哪个选项正确．
【详解】
解：∵实数a在数轴上原点的左边，
∴a＜0，但|a|＞1，-a＞1，
则有a＜1＜-a．
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上的数右边的数总是大于左边的数．
6．【2022北京市第二中学分校】下列说法：（1）无限小数都是无理数；（2）有限小数都是有理数；
（3）﹣ ＝﹣0.6；（4） 的算术平方根是2；（5） ＝±6；（6）实数与数轴上的点一一对应．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】
根据无理数、有理数、算术平方根、数轴的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
（1）无限小数不一定是无理数，故说法错误；
（2）有限小数都是有理数是正确的；
（3） ，且 ，
∴
∴﹣
故说法错误；
（4） ＝2
∴ 的算术平方根是 ，故说法错误；（5） ＝6，故说法错误；
（6）实数与数轴上的点一一对应是正确的．
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数、算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握无理数、有理数、算术平方根、数轴的性质，
从而完成求解．
7．【2022海口市第十中学】若规定符号“f”、“g”表示不同的两种运算．它对实数运算结果如下：
f（0）＝﹣1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，…
g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3…
利用上述规律计算： + 结果为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【分析】
根据题意知“f”表示的运算是比原数小1， “g”表示的运算是原数的相反数，由此化简原式进行实数计算即
可．
【详解】
解：∵f（0）＝-1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，
∴f（2012）＝2012﹣1＝2011，f（13）＝13﹣1＝12，
∵g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3，
∴g（2012）＝﹣2012，
∴ +
＝1+ +| ﹣2|
＝1+2 +2﹣
＝3+ ，
故选：C．
【点睛】此题考查新定义运算，实数的混合运算，掌握计算公式的规律，正确化简原式，熟记零指数幂定义，绝对
值的性质是解题的关键．
8．【2022山师大附中】如图，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B，
则点B表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据是数的运算，A点表示的数加两个圆周，可得B点，根据数轴上的点与实数一一对应，可得B点表示
的数．
【详解】
解：A点表示的数加两个圆周，可得B点，
所以， ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动，A点表示的数加两个圆周．
9．【2022济南实验中学】观察下列等式：
，
，
，
…
将以上等式相加得到
．用上述方法计算： 其结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由上述规律可知， ， ， ，同理
，然后将各式相加后即可求解．
【详解】
由题意可知：
= ．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是实数的计算规律，此题为积化和差题型，有一定的难度，弄明白了计算规律就容易求解．能
够理解题意，看懂运算规律，并能运用规律求解是前提，解决此类题型的关键是会裂项相消．
10．【2022杜郎口中学】如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第
1幅图形中“”的个数为 ，第2幅图形中“”的个数为 ，第3幅图形中“”的个数为 ，…，以此类
推，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据给定几幅图形中黑点数量的变化可找出其中的变化规律“ （ 为正整数）”，进而可求
出 ，将其代入 中即可求得结论．
【详解】
解：∵第一幅图中“”有 个；
第二幅图中“”有 个；
第三幅图中“”有 个；
∴第 幅图中“”有 （ 为正整数）个
∴
∴当 时．
故选：C
【点睛】
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．
提升篇
二、填空题
11．【2022苏州立达中学】 ＝______．
【答案】3﹣
【分析】
本题需先判断出 ﹣3的符号，再求出| |的结果即可．
【详解】
解：∵4＜7＜9，
∴2＜ ＜3，
∴ ﹣3＜0，
∴| ﹣3|＝3﹣
故答案为：3﹣ .
【点睛】
本题主要考查了实数比较大小，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
12．比较大小： ________5．
【答案】
【分析】将 转换为 ， 转换为 ，比较大小即可．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查实数的大小比较，将所给实数进行适当变形是解题的关键．
13．【2022西安交大二附北】实数 +2的整数部分a＝__，小数部分b＝__．
【答案】4 ﹣2
【分析】
根据算数平方根和实数大小比较的性质分析，即可得到 +2的整数部分；再根据实数加减运算性质计算，
即可得到答案．
【详解】
∵2＜ ＜3，
∴4＜ +2＜5，
∴ +2的整数部分为4，小数部分为 +2﹣4＝ ﹣2，
∴a＝4，b＝ ﹣2，
故答案为：4， ﹣2．
【点睛】
本题考查了实数的知识；解题的关键是熟练掌握算术平方根、实数大小比较的性质，从而完成求解．
14．【2022铁中滨河】观察下列等式：回答问题：①
②
③ ，…
（1）根据上面三个等式的信息，猜想 ________；
（2）请你找出其中规律，并将第 个等式写出来_______．
【答案】 =
【分析】
（1）由前面的三个等式猜想结果；
（2）根据观察，可得规律．
【详解】
解：（1）根据上面三个等式的信息，猜想：
= = ；
（2）观察可知： = ．
【点睛】
本题考查了算术平方根，观察等式发现规律是解题关键．
15．【2022西安外国语大学附中】定义运算，比如2⊗3= ，下面给出了关于这种运算的几个结论：
①2⨂（﹣3）= ；②此运算中的字母均不能取零；③a⊗b=b⊗a；④a⊗（b+c）=a⊗c+b⊗c，其中正确是
_____________
【答案】①②③【分析】
根据题目中的新定义计算各项得到结果，即可做出判断．
【详解】
①2⨂（﹣3）= = ，①正确；
②∵ ，
∴a≠0且b≠0，∴②正确；
③∵ ， ，
∴a⊗b=b⊗a，∴③正确；
④∵a⊗（b+c）= ，a⊗c+b⊗c= ，
∴a⊗（b+c）≠a⊗c+b⊗c，∴④错误.
综上，正确的结论为①②③，
【点睛】
本题考查了新定义运算，熟练利用新定义运算的运算法则计算各项是解决问题的关键.
16．【2021西安外国语大学附中】一列数 ， ， ，…… ，其中 =﹣1， = ， =
，……， = ，则 × × ×…× =_________
【答案】-1
【详解】
因为 =﹣1,所以 = , = , = ,通过观察可得: , , ,
……的值按照﹣1, , 三个数值为一周期循环,将2017除以3可得672余1,所以 的值是第673个周期
中第一个数值﹣1,因为每个周期三个数值的乘积为:
,所以 × × ×…× =三、解答题
17．【2022海口市第九中学】计算： ．
【答案】-5
【分析】
先计算算术平方根和立方根，再加减即可．
【详解】
解： ．
．
．
【点睛】
本题考查了求算术平方根和立方根，有理数的加减，解题关键是正确计算算术平方根和立方根．
18．【2022青岛第二十六中】计算： ．
【答案】2﹣ ．
【分析】
先运用有理数的平方、算术平方根、零次幂以及绝对值的知识化简，然后再计算即可．
【详解】
解：
＝﹣1+2﹣1+（2﹣ ）
＝0+2﹣
＝2﹣ ．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算、有理数的平方、算术平方根、零次幂以及绝对值等知识点，灵活运用相关运
算法则是解答本题的关键．19．【2022重庆九十五中】若 ，化简
【答案】
【分析】
由 判断 ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值，再计算即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ＞0，
∴
∴
【点睛】
本题考查二次根式的化简，正确的对含绝对值号的代数式的化简是解题的关键．分类的标准应按正实数，
负实数，零分类考虑．掌握好分类标准，不断加强分类讨论的意识．
20．【2022西安第八十五中】阅读下面求 近似值的方法，回答问题：
①任取正数 ；
②令 ，则 ；
③令 ，则 ；
…以此类推 次，得到 ．
其中 称为 的 阶过剩近似值， 称为 的 阶不足近似值．按照这个方法，求 的近似值．①我们取 为小于的最大正整数，则 _____________．
②在①的基础上，算出 的3阶过剩近似值和3阶不足近似值．
【答案】①2；② ，
【分析】
①根据 ，故可求出 的值；
②由材料中的求值的方法，先计算 的最大正整数a ，再将a 代入即可求出a ， a 的值即可．
1 1 2 3
【详解】
解：①因为 ，所以 ，即 ，
②由题意可知， ， ，
，
，
，
所以 的3阶过剩近似值为 ， 的3阶不足近似值 ．
【点睛】
本题主要考查估算的应用与调整，理解阅读中给出的求解过程是解决本题的关键．
