文档内容
第 05 讲 利用导数证明不等式
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
证明函数的对称性
利用导数求函数的单调性
2024年新I卷，第18题,17分 利用导数证明不等式
利用导数研究不等式恒成立问题
利用不等式求取值范围
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
2021年新I卷，第22题,12分 利用导数证明不等式
导数中的极值偏移问题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分
【备考策略】1能用导数证明函数的单调性
2能求出函数的极值或给定区间的最值
3能进行函数转化证明不等式
【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中
求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,
有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养
都有较深入的考查，需综合复习
知识讲解1. 基本方法
在不等式构造或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与 、 有关的常
用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
（3）适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
（4）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2. 常见类型
与 有关的常用不等式：
（1） （ ）； （2） （ ）．
与 有关的常用不等式：
（1） （ ）； （2） （ ）；
（3） （ ）， （ ）；
（4） （ ）， （ ）．
用 取代 的位置，相应的可得到与 有关的常用不等式．
考点一、 直接法证明简单不等式
1．（2024高三·全国·专题练习）求证： ．
2．（2022高三·浙江·专题练习）证明以下不等式：
(1) ；
(2) ；
(3) .
1．（2023高三·全国·专题练习）求证：
(1) （ ）；
(2) ；(3) （ ）．
考点 二 、 构造函数证明不等式
1．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知 为正实数，构造函数 ．若曲线 在点
处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)求证： ．
2．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明：当 时，
3．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： .
1．（2024·河北·三模）已知函数 ．
(1)当 时，证明： ．
(2)若函数 ，试问：函数 是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，
请说明理由．
0．2．（2024·河北保定·三模）已知函数 ， 为 的极值点.
(1)求a；
(2)证明： .
3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数 ，其中 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明： ．考点 三 、 转为两个函数类型证明不等式
1．（全国·高考真题）设函数 ,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.
(1)求 (2)证明:
1．（2024高三·阶段练习）已知函数 .
（1）讨论 的单调区间；
（2）当 且 ，求证： .
考点 四 、 数列类型不等式的证明
1．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
2．（2023·天津·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线斜率；
(2)求证：当 时， ；
(3)证明： ．
3．（2024·北京·三模）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围；(3)求证： ．（ 且 ）
1．（2024·河北·三模）已知函数 ．
(1)若 在 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明： ．
2．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数 ．
(1)证明： 时， ；
(2)证明： ．
3．（2024·江苏苏州·三模）已知函数 .
(1) 时，求 的零点个数;
(2)若 恒成立，求实数 的最大值;
(3)求证: .
考点 五 、 三角函数类型不等式的证明
1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数 ， 为 的导数
(1)讨论 的单调性；
(2)若 是 的极大值点，求 的取值范围；
(3)若 ，证明： ．
1．2．3．4．2．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 （ ）， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明： （ ）；
(3)证明： （ ）.1．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 ，
(1)求 的最小值；
(2)证明： .
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
(1)若函数在 内点 处的切线斜率为 ，求点 的坐标；
(2)①当 时，求 在 上的最小值；
②证明： ．
考点 六 、 切线放缩法证明不等式
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)当 时， 恒成立，求证： ．
1．（2023高二·上海·专题练习）已知函数 为常数， 是自然对数的底数），曲
线 在点 处的切线与 轴平行.
(1)求 的值；
(2)求 的单调区间；
(3)设 ，其中 为 的导函数.证明：对任意 ， .
2．（2023·山东济南·一模）已知函数 .
（1）求函数 的极值；（2）若 ，求证： .
1．（2024高三·全国·专题练习）求证：若 ，则 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）证明：当 时， ；
3．（22-23高二下·河北沧州·阶段练习）求证：
4．（2022高三·全国·专题练习）讨论函数 的单调性，并证明当 时， .
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，证明：对一切 ，都有
成立.
6．（22-23高二下·北京·期中）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证： .
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 （其中 是自然对数的底数）， .
(1)求证： ；
(2)当 时，求证： .
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 .
(1)求 并写出 的表达式；
(2)证明： .
9．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)证明： .10．（2023·广西南宁·一模） ，
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明 ；
(3)证明对于任意正整数 ，都有 .
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明： ．
2．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程.
(2)证明： .
3．（2024·青海西宁·二模）已知函数 ．
(1)若 ，求 的极值；
(2)若 ，求证： ．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)证明： .
1．2．3．4．5．（2024·河北邢台·二模）已知函数 ，
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明： .6．（2024高三·全国·专题练习）已知 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)对 ，求证： ．
7．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调区间
(2)若函数 ， ，证明： ．
8．（2024·北京昌平·二模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最小值；
(3)若 ，当 时，求证： ．
9．（2024·湖南长沙·三模）已知函数 ．
(1)判断并证明 的零点个数
(2)记 在 上的零点为 ，求证;
（i） 是一个递减数列
（ii） ．
10．（2024·四川南充·模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 在 处切线的斜率为 ，求实数 的值；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的最大值；
(3)当 时，证明：
1．（2019·北京·高考真题）已知函数 .（Ⅰ）求曲线 的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为M（a），当M（a）最小时，
求a的值．
2．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；
（2）若 是 的极大值点，求 ．
3．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明：当 时， ．
4．（2017·浙江·高考真题）已知数列 满足： ，
证明：当 时，
（I） ；
（II） ；
（III） .
5．（2016·浙江·高考真题）设函数 = ， ．证明：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ．
6．（2016·全国·高考真题）设函数 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）证明当 时， ；
（Ⅲ）设 ，证明当 时， .
7．（2015·全国·高考真题）设函数 .
（Ⅰ）讨论 的导函数 的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 时 .
