文档内容
专题 07 函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：含参数函数单调性讨论........................................................................................................2
题型二：导数与数列不等式的综合问题............................................................................................4
题型三：双变量问题............................................................................................................................9
题型四：证明不等式..........................................................................................................................13
题型五：极最值问题..........................................................................................................................15
题型六：零点问题..............................................................................................................................18
题型七：不等式恒成立问题..............................................................................................................24
题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题......................................................................................26
题型九：利用导数解决一类整数问题..............................................................................................32
题型十：导数中的同构问题..............................................................................................................36
题型十一：洛必达法则......................................................................................................................42
题型十二：导数与三角函数结合问题..............................................................................................44
重难点突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题..................................................................47
02 重难创新练....................................................................................................................................55题型一：含参数函数单调性讨论
1．已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程．
(2)当 时，证明： 有两个不同的极值点．
(3)讨论 的单调性．
【解析】（1）由题设 ，则 ，
所以 ， ，故切线方程为 ，
整理得 .
（2）由题设 ，则 ，
由函数定义域为 ，则 时f'(x)>0， 或 时f'(x)<0，
所以 上 单调递减， 上 单调递增，
显然 有两个不同的极值点，分别为 和x=1，得证.
（3）由题设 ，且 ，
当 时， ，故 时f'(x)>0， 时f'(x)<0，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 时f'(x)>0， 或 时f'(x)<0，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 恒成立，即 在 上单调递减；
当 时， 时f'(x)>0， 或 时f'(x)<0，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
2．（2024·高三·浙江·期中）已知函数 ，其中 .
(1)若曲线 在点 处的切线垂直于直线 ，求a的值；
(2)讨论函数 的单调性.
【解析】（1）函数 ，求导得 ，
由曲线 在点 处的切线垂直于直线 ，得 ，
所以 .
（2）函数 的定义域为 ， ，
当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增；
当 时，方程 中， ，
若 ，则 ， ，函数 在 上单调递增；
若 ，则 ，关于x的方程 有两个正根， ， ，
当 或 时， ；当 时， ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时，函数 的递增区间是 ；
当 时，函数 的递增区间是 ，递减区间是
.
3．已知函数 ，讨论 的单调性.
【解析】函数 的定义域为 ，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
于是有 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 0时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
题型二：导数与数列不等式的综合问题
4．已知首项为1的正项数列 满足 .
(1)探究数列 的单调性；(2)证明： .
【解析】（1）数列 为递减数列，理由如下：
由题意可得 ，
则 ，
令函数 ，
则 ，
∴f (x)在 上单调递减，
则 ，令 ，
则 ，
，
即数列 为递减数列；
（2）令函数 ，
，
令函数 ，
则 ，当 时，ℎ '(x)<0，当x>0时，ℎ '(x)>0，
故ℎ(x)在 单调递减，在(0,+∞)为单调递增，
故 ，则 ，，
，故 在定义域上单调递增， ，
令 ，
则 ，
又 ，
.
当 时，
.
即 ，又 时， .
所以 .
5．已知函数 ．
(1)若 ，证明： ；
(2)记数列 的前 项和为 ．
（i）若 ，证明： ．
（ii）已知函数 ，若 ， ， ，证明： .
【解析】（1）设 ，当 时， ，所以 在 上为增函数，故当 时， ，
所以当 时，
设 ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，故当 时， ，
所以当 时，
故当 时，
因为 ，当 时， ，
所以 在 上为增函数，
因为当 时， ，且由 ，
可得 ，所以 ，即 ，
所以
（2）（i）因为 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
即 ，
所以
（ii）函数 ，因为当 时， ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，
因此 ，
故 ，即
因为 ，
所以当 时， ，
综上， ，所以 ，
所以 ，
即 .
6．（2024·高三·四川绵阳·开学考试）已知函数 ．
(1)当 时，证明： ；
(2)现定义： 阶阶乘数列 满足 ．若 ，证明： ．
【解析】（1）令函数 ，
要证明 时， ，即证明 ，
，，
所以当 时，ℎ(x)单调递减，所以 ，故原不等式成立.
（2）将 左右同除以 ，
有
即 ，累加有 ，
即 ，
由（1）知， ，即 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
当 时也满足，所以
所以 ，
下面证明 ，
令数列 ， ，
因为
，
因为 ，故只需判断 的符号，令 ，则 ，
令 ，
当x∈(1,+∞)时， ，所以F(x)单调递增，
所以 ，所以 ，
即 故数列 单调递增，
所以 ，
故原不等式成立.
题型三：双变量问题
7．已知函数 .
(1)判断函数 的奇偶性；
(2)若函数 在 处有极值，且关于 的方程 有3个不同的实根，求实数 的取值范
围；
(3)记 .若对任意 且 时，均有 成立，求实数 的
取值范围.
【解析】（1）当 时， ，满足 为偶函数；
当 时， ，且 为非奇非偶函数.
（2）函数 在 处有极值，
可得 ，解得 ，所以
当 时， 递减；当 或 时， 递增，
可得 在 处取得极小值，且为0， 在 处取得极大值，且为 ，
的方程 有3个不同的实根，等价为 ，
即有 的取值范围是 .
（3） 在 递减，可得 时， ，
，即为 ，
即
即为
即 对任意 且 时恒成立.
所以 在 递减； 在 递增.
当 在 恒成立时，可得 ，即 在 恒成立，
在 上单调递增，即 ，则 .
当 在 恒成立时，可得 ，即 在 恒成立，
，当 时等号成立，则 ，则 .
综上可得 的取值范围是 .8．（2024·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 在定义域上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 ；求证： ；
(3)设 ， 是函数 的两个极值点，求证： .
【解析】（1）由题意知函数 的定义域为 ，
在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
又 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 的取值范围是 .
（2）证明：若 ， ，所以 ，
令f' (x)=0，解得 ，所以当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
令 ， ，所以 ，
令 ，解得 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，又等号不同时成立，所以 .
（3）证明：由题意可知 ，
因为 有两个极值点 ， ，
所以 ， 是方程 的两个不同的根，
则 且
所以
，
所以要证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，即证 .
令 ，则证明 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以原不等式 成立.
9．已知函数 .
(1)若 ，求 的图象在 处的切线方程；(2)若 恰有两个极值点 ， .
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： .
【解析】（1）当 时， ， ，
，则 ，
则 的图象在 处的切线方程为 ，即 ；
（2）（i） ，
令 ，由 恰有两个极值点 ， ，
则 有两个不同实数根 ， ，且 ，
则有 ，即 ；
（ii）由（i）知， ，且 ， ，
则
，
则要证 ，即证 ，
即 ，
令 ，
，令 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
又 ， ，
故存在 ，使 ，即 ，
则当 时， ， 时， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，
由对勾函数性质可知， 在 上单调递增，
由 ，则 ，
即 ，即 ，
即可得证： .
题型四：证明不等式
10．当 时，证明： .
【解析】证明：令 ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以当 时， ，
即 ，
所以当 时， .
11．已知函数 .
(1)若 ，且 恰有3个零点，求 的取值范围；
(2)若 ，证明:当 时， .
【解析】（1）由 ，得 或 ，由 恰有3个零点，
得方程 有两个不等的非零根，而 ，则 ，
又 ，于是 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
（2）当 时， ，
当 时，令 ，求导得 ，
当 或 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，因此 ，
所以 .
12．设函数 ．
(1)当 时，证明： ．(2)当 时，证明： ．
【解析】（1）当 时， ，定义域为(0,+∞)．
，构造函数 ，
则 ，x∈(0,+∞)，
所以f'(x)在(0,+∞)上单调递增，又 ，
所以当x∈(0,1)时， 单调递减；
当x∈(1,+∞)时， 单调递增．
所以 ，故 ．
（2） ，当 时，易知f'(x)在(0,+∞)上单调递增，
，
所以存在x ∈(0,+∞)，使得 ，即 ．
0
当x∈(0,x )时， 单调递减；
0
当x∈(x ,+∞)时， 单调递增．
0
所以 ，
当且仅当 时取等，此时 ，满足 ．故原不等式得证．
题型五：极最值问题
13．已知函数 ．(1)当 时，求 的单调性；
(2)若函数 在 处取得极小值，求实数 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，
则 ，
令 ，解得 或 ．
令f'(x)<0，解得 ，所以 在 上单调递减；
令f'(x)>0，解得 或 ，即 在 ， 上单调递增．
综上，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由 求导得 ，
① 当 时， 恒成立，
令f'(x)<0，解得 ，即 在 上单调递减；
令f'(x)>0，解得 ，即 在(1,+∞)上单调递增，
故 时，函数 在 处取得极小值，符合题意；
②当 时，令 ，解得 ， ，且 ，
当 时，f'(x)<0，函数 在 上单调递减；
当 时，f'(x)>0，函数 在 上单调递增，
所以函数 在 处取得极小值，符合题意．
③ 当 时，令 ，解得 ，此时f'(x)≥0恒成立且f'(x)不恒为0，单调递增，故函数 无极值，不符合题意．
④ 当 时，令 ，解得 ， ，且 ，
当 时，f'(x)>0，函数 在 上单调递增；
当 时，f'(x)<0，函数 在 上单调递减，
所以函数 在 处取得极大值，不符合题意．
综上，实数 的取值范围是 ．
14．（2024·高三·湖南·期中）已知函数 .
(1)证明： ；
(2)设函数 ，证明：函数 有唯一的极值点.
【解析】（1）因为 ，定义域为(0,+∞)，
所以 ，
由于函数 ， 在(0,+∞)上均为单调递增函数，
所以 在(0,+∞)上单调递增，
因为 ，所以x∈(0,1)，f'(x)<0，x∈(1,+∞)，f'(x)>0，
所以 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以 在 处取得极小值，也是最小值，所以 .
（2）因为 ， 的定义域为(0,+∞)，
所以 .设 ，则 ，
当 时，ℎ '(x)>0，所以ℎ(x)单调递增，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
又 ，且 在(0,+∞)上单调递增，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ，
当x∈(0,x )时， ，F(x)单调递减；
0
当x∈(x ,+∞)时， ，所以F(x)单调递增，
0
所以函数F(x)有唯一的极值点.
15．已知函数 ．
(1)当 时，关于 的方程 在区间 内有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围；
(2)求函数 在区间 上的最小值．
【解析】（1）当 时， ，
则 ，
令f'(x)>0，得 ；令f'(x)<0，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ， ， ，
要使关于 的方程 在区间 内有两个不相等的实数根，则 ，即实数 的取值范围为 .
（2）由 ， ，
则 ，由 得 ．
①当 ，即 时，f'(x)>0， 在 上为增函数，
则 ；
②当 ，即 时，在 时， ， 为减函数，
在 时，f'(x)≥0， 为增函数，
则 ；
③当 ，即 时，f'(x)<0， 在 上为减函数，
则 ．
综上所述， ．
题型六：零点问题
16．已知函数 有两个零点 ，
(1)求 的单调区间和极值；(2)当 时， 恒成立，求实数 的最小值；
(3)证明： .
【解析】（1） 令 ，得 ，
时， 单调递减，
时， 单调递增，
的极小值为 ，无极大值.
（2） ，即 ，令 ，
时，x∈(0,1)时， ，而 ，不合题意；
时， ，令 ，
，显然 为减函数，
当 ，即 时，
则 ， 单调递增且 ，
时， 单调递减， ，
当 时， ，
时， 单调递增且 ，
使得 ，且x∈(0,x )时， 单调递减，
0
时， 单调递增，，不合题意.
综上， 的最小值为 .
（3）当x∈(0,1)时， ，若 ，则 ，则 在(0,1)没有零点，
又 在 上单调递增，所以 最多只有1个零点，不合题意，
，极小值 ，
，则 ，
由（2）可知 ，解得 ，
欲证 ，即证 ，即证 ，
，
即证 ，即证 ，
令 ，
当 时，φ'(x)<0，则φ(x)单调递减，
当 时，φ'(x)>0，则φ(x)单调递增，
得φ(x)的最小值为 ，即 ， ，
，综上 .17．（2024·高三·江西上饶·期中）已知函数 .
(1)若 的图象在 处的切线方程为 ，求 的值；
(2)若 ，证明： ；
(3)讨论 的零点的个数.
【解析】（1）由题意得 ，
又 的图象在 处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，解得 .
（2）证明：若 ，则 ，
所以 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立；
令 ， ，所以 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，即 .
（3）由题意得 的定义域为 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增，
又 ，所以 有且仅有一个零点1；
当 时，令 ，解得 ，
易知在 上， ，则 在 上单调递减，
在 上， ，则 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 在 上有一个零点， 在 上有一个零点1，
所以 在 ， 上各有一个零点；
当 时，令 ，解得 ，
易知在 上， ，则 在 上单调递减，
在 上， ，则 在 上单调递增，
故 的最小值为 ，故 仅有一个零点；
当 时，令 ，解得 ，易知在 上， ，则 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上有一个零点1，
在 上， ，则 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 在 上有一个零点，
故 在 ， 上各有一个零点.
综上，当 或 时， 仅有一个零点；
当 或 时， 有两个零点.
18．已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 .
(1)求 ， 的值：
(2)求证： 有且只有一个零点；
(3)记 的零点为 ，曲线 在 处的切线 与 轴交于 .若 ，求 的取值范围.
【解析】（1）将切点 代入切线 得 ，
即 ，所以 ，
因为 ，
由题意得 ，即 ，解得 .（2）结合（1）知 ，定义域为 ，
因为 在 上恒成立，易知当 时， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取得极小值 ，
又 ， ，
由零点存在性定理可知 有且只有一个零点.
（3）由（2）知 ，则 ， ，
则 在 处的切线为 ，
令 ，得 ，
因为 在 处的切线与 轴交点为 ，
即 ，
令 ， ，
结合（2）中结论知： 时， ， 时， ，
令 得 或 ，
令 得 或 ，即当 时， 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，由（2）知 ，
所以此时 ，即 ，符合题意，
当 时， 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，
由（2）知 ，即 ，
代入 得 ，
即此时 ，不符合题意，舍去.
综上所述， 的取值范围是 .
题型七：不等式恒成立问题
19．已知函数 .
(1)若 ，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ， ，
则 ，
所以所求切线方程为 ，即 ；
（2） ，即 ，
即 ，即 对 恒成立，令 ，则 ，
当 时， ，当 ， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 .
20．已知函数 ．（其中 是自然对数的底， ， ）．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若 恒成立，求整数 的最大值（ ）．
【解析】（1）函数 定义域为 ， ．
当 时， ， 在 上是增函数；
当 时，由 ，解得 ，
由 ，解得 ．
所以函数 在 上是增函数，在 上是减函数．
综上，当 时， 在 上是增函数；
当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数．
（2）由题意当 时， ，整理得 ．令函数 ，
则 ．
令 ，则 ．
当 时， 恒成立，所以 在 单调递增．
又 ， ，
所以 ，使得 ，即 ．
故 时， ； 时， ．
因此 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ．
令函数 ．则 ，
所以 在 单调递增，因此 ．
又 ， ，
∴ ．
因此整数 的最大值为1.
21．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；(2) 恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）当 时，则 ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）因为 的定义域为(0,+∞)，若 ，
可得 ，整理可得 ，
构建 ，则 ，
可知 在(0,+∞)内单调递增，则 ，
令 ，则 对任意 恒成立，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在(0,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增，
则 ，可得 ，
所以a的取值范围为 .
题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题
22．已知函数 ， .
（1）若 在 处取得极值，求 的值；（2）设 ，试讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若存在正实数 满足 ，求证： .
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，解得 ．
验证：当 时， 在 处取得极大值．
（2）因为
所以 ．
①若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ， 函数 在 上单调递减．
②若 ， ，
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减．
（3）证明：当 时， ，
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ．
令 ， ，
则 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增．
所以函数 在 时，取得最小值，最小值为 ．
所以 ，
即 ，所以 或 ．
因为 为正实数，所以 ．
当 时， ，此时不存在 满足条件，
所以 ．
23．已知函数 .
(1)若该函数在 单调递增，求 的取值范围.
(2)当 时，若方程 有两个实数根 ，且 ，证明： .
【解析】（1）由题意 ，
当 时，f'(x)>0， 在(0,+∞)上单调递增，满足题意；当 时，当 时，f'(x)<0， 在 上单调递减，
当 时，f'(x)>0， 在 上单调递增，
又该函数在 单调递增，故 ，
综上可知， 的取值范围为
（2）当 时， ，
由（1）可知 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以 ，令 ，
则 ，
所以 在(0,1)上单调递减， ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
又 在(1,+∞)上单调递增， ，所以 ，
故
24．已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若函数 恰有两个极值点 ，且 的最大值为 ，求证： ．
【解析】（1）由题意可得 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，令 ，则 ，
则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，故 ，即 ；
（2） ，令 ，
由函数 有两个极值点 ，
则 有两个变号零点 ，
，
当 时， ，不符，故舍去；
当 时，则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
又当 时， ，则 ，
故此时 此时至多存在一个零点，不符，故舍去；
当 时，则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，有 ，则 ，故 ，
则有 ， ，
则 ，即 ，同理 ，
则 ，故 ，
即 ，
由 的最大值为 ，令 ，则有 ，
即 ，令 ， ，
则
，
令 ， ，
则 恒成立，
故 在 上单调递增，则 ，
则 ，故 在 上单调递增，
则 .25．已知函数 ．
(1)若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 、 是两个不相等的实数，且 ．求证： ．
【解析】（1）当 时， ，
因为 ，所以 ，即 ，不符合题意；
当 时， ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以 ，由 恒成立可知 ，所以 ．
又因为 ，所以 的取值范围为 ．
（2）因为 ，所以 ，即 ．
令 ，由题意可知，存在不相等的两个实数 、 ，使得 ．
由（1）可知， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
不妨设 ，则 ，设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
即 在区间 上恒成立．因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
又因为 ， ，且 在区间 上单调递增，
所以 ，即 .
题型九：利用导数解决一类整数问题
26．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，求k的值；
(3)设m为整数，且对于任意正整数n， ，求m的最小值.
【解析】（1）当 时， ， ，
所以 ，所以切线的斜率为 ，
又因为 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）因为 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，与 不符；当 时，由 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ，所以 ，
设 ，
则 ，
由 ，可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 有唯一解，且 .
（3）由（2）知当 时， ，
当且仅当 时， .
所以当 且 时， ，
则 .
取 （ ），所以 ，
所以 ， ， ，
所以 .
所以
所以
于是对于任意正整数n， ，
只需 ，又因为 ，所以 ，则m的最小值为 .
27．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ， 的图像在(1,f (1))处的切
线过原点．
(1)求 的值；
(2)设 ， ，其中 ，若对 ，总 ，使 成
立，求整数 的取值范围．
【解析】（1）易知 的定义域为(0,+∞)，且 ，
又 ，所以 ，
得到 的图象在 处的切线方程为 ，
将 代入，得 .
（2） ，
当 时，ℎ(x)取得最小值， ，
由（1）知 ，所以 ，得 ，易知 的定义域为(0,+∞)，
则 ，易知 单调递增，
又 ， ，
(1 )
即 在区间 ,1 上有唯一解 ，使 ，则 ，
2
所以当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增，
在 处取得极小值也是最小值，则 ，
又 ，所以 ，
所以对 ，总 ，使 成立，
必须且只需 ，得 ，
故整数 的取值范围为 .
28．已知函数 ， （ ）.
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若 对任意 恒成立，求整数a的最小值.
【解析】（1）当 时， ，
所以 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）因为 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
又因为 ，所以 ，即 单调递增，
又因为 ，所以 时， ，即 ；时， ，即 ，
综上可知，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（3）因为 对任意 恒成，
即 ， ，
即 ，
即 ，
设 ，则 ，
易知 单调递增，所以 ，
所以 单调递增，则原不等式等价于 ，
即 对任意 恒成立，
所以 ，令 ，则 ，
又因为 ，
令 ，则 ，所以 单调递减;
又因为 ， ，
所以 ，
所以 时， ，即 ， 单调递增；
时， ，即 ， 单调递减；
所以 ，所以 ，而 ，
所以整数 的最小值为 .
题型十：导数中的同构问题
29．已知关于x的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】由题意，易知 ，
而 ，
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，
由 ，则 在 上恒成立，
记 ，则 在 上恒成立，即 ，
因为 ，所以当 时， ；当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
30．（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求 ；
(2)是否存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横
坐标成等差数列？说明理由．
【解析】（1）由题意可得 ， ．
①若 ， 在 上恒成立， 在 上单调递增，
即 无最小值；
②若 ，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
所以 在 处取得最小值 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得最小值 ，
又 与 有相同的最小值，
所以 ， ，
设 ， ，则 ，
令 ，则 ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
所以 在 处取得最小值 ，则当 时， 恒成立， 单调递增．
又 ，所以 ．
（2）由（1）得 ， ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
所以 和 的图象在 上有唯一交点，且交点的纵坐标大于1，由函数的单调性及图象可得存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
当直线 与曲线 和 共有三个不同交点时，设三个交点的横坐标分别为 ，且
，
则 ，
因为 ， ，
所以 ，
由 图象可知 无解，
所以 ， ，所以 ， ，
则 ， ，
上述两式相减得 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
31．已知函数 ．
当 时，求函数 的单调增区间；
若函数 在 上是增函数，求实数a的取值范围；
若 ，且对任意 ， ， ，都有 ，求实数a的最小值．
【解析】 当 时， ．则
令 ，得 ，即 ，解得： 或 ．
因为函数的定义域为 ，
所以函数 的单调增区间为 ．
由函数 ．
因为函数 在 上是增函数，
所以 对 恒成立
即 对 恒成立．
所以
即实数a的取值范围是 ．
因为 ，由 知函数 在 上是增函数．
因为 ， ， ，不妨设 ，所以
由 恒成立，可得 ，
即 恒成立．
令 ，则 在 上应是增函数
所以 对 恒成立．
即 对 恒成立．
即 对 恒成立因为 当且仅当 即 时取等号 ，
所以 ．
所以实数a的最小值为 ．
32．已知函数 ．
（1）讨论函数 的零点的个数；
（2）证明： ．
【解析】（1）解：函数 定义域为 ，则 ，
故 在 ， 递增，
当 时， ，没有零点；
当 时， 单调递增， ， （1） ，
由函数零点存在定理得 在区间 ， 内有唯一零点，
综上可得，函数 只有一个零点．
（2）证明：法一：要证 ，
即证 ，
令 ，定义域为 ，
则 ，
由（1）知， 在区间 ， 内有唯一零点，设其为 ，则 ①，因 ，且 在区间 上单调递增，
所以当 时， ， ， 单调递减，
当 ， 时， ， ， 单调递增；
所以 ，
由式①可得 ， ，
所以 ，
又 时， 恒成立，
所以 ，得证．
法二：问题转化为证明 ，
令 ，易知 ，（当且仅当 时“ ”成立）
又 ，则 ，
故 （当且仅当 时“ ”成立）．
33．（2024·江西宜春·一模）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意知： 定义域为 ， ；
当 时， ， ， 在 上单调递增；当 时，令 ，解得： ；
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减.
（2）由 恒成立得： ，
令 ，
令 ，则 ，
则当 时， ；当 时，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 （当且仅当 时取等号），
（当且仅当 时取等号）；
令 ，则 恒成立，
在 上单调递增，又 ， ，
，使得 ，即 ，
等号可以成立，
，
，解得： ，即实数 的取值范围为 .题型十一：洛必达法则
34．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若对任意的 恒成立，求 的范围.
【解析】（1） ，
当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，
当 时，令 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调
递减；
（2）当 时， ，符合题意，此时 ；
当 时，因为 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，
再令 ，则 恒成立，
则 在 单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，所以
35．已知函数 ，若当 时， ，求 的取值范围．
【 解 析 】 由 题 意 可 知 ， 当 时 ， ， 等 价 于 ， 则 有
，
设 ，则 ．
又设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，而 ，
所以 在 上单调递增，
对于 ，当 时， ，
所以 符合洛必达法则条件，
所以 ，
即当 时， 的取值范围是 ．
36．已知函数 ，如果当 ，且 时， ，求 的取值范围．
【解析】根据题目的条件，当 且 时，得 ，等价于 ．
设 ，
因为 ，设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以当 时， ，
即 在 上单调递减，当 在 上单调递增．
当 时， ，当 时， ，所以 符合洛必达法则的条件，
即 ，
所以当 时， 的取值范围是 ．
题型十二：导数与三角函数结合问题
37．已知函数 与 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 .
(1)求函数 与 的解析式；
(2)若对于 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【解析】（1）由 ①，可得 ，所以 ②，
① ②可得 ，所以 ，
① ②可得 ，所以 ；
（2）由（1）知 ，所以 在 上单调递增，
由 ，得 ，
所以 ，
当 时， ，不等式恒成立，
当 时， ，所以不等式变形为 ，
令 ，所以 ，
令 ，求导得 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
因为对于 ，不等式 恒成立，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
38．已知函数 ， ，其中 ．
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)若 ，证明： ．【解析】（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递增，无减区间；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2） ， ，即证 ，
，即证 ，
当 时， ， ， ，
；
当 时，令 ，
则 ，
，
， ， ， ，
，
在 上单调递增，
，
在 上单调递增，
,
即 ，所以 ，即 .
39．（2024·高三·北京朝阳·期中）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 在区间 上的零点个数；
(3)若 ，其中 ，求证： .
【解析】（1）由 ，得 且 ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为： ，即 .
（2）①当 时， ， ，所以 .
所以 在区间 上无零点；
②当 时， ， ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增，
又 ， ，
所以 在区间 上仅有一个零点，
综上， 在区间 上的零点个数为1.
（3）设 ，即 ，
所以 ，
设 ， ，
因为 时， ， ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增，即 在区间 上单调递增，
故 ，所以 在区间 上单调递增.
故 ，所以 .
因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
重难点突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题
40．若 为 上任意 个实数，满足 ，当且仅当
时等号成立，则称函数 在 上为“凸函数”.也可设可导函数 在 上的导
函数为f'(x)，若f'(x)在区间 上单调递减，则称 为区间 上的凸函数.
若 为 上任意 个实数，满足 ，当且仅当
时等号成立，则称函数 在 上为“凹函数”.也可设可导函数 在 上的导
函数为f'(x).若f'(x)在区间 单调递增；则称 为区间 上的凹函数.（这里关于凹凸函数的不等
式即为著名的琴生不等式.）
(1)讨论函数 ， 的凹凸性，并求锐角 中，求 的最小值；
(2)已知函数 .
（ⅰ）当 时，讨论 的凹凸性；（ⅱ）平面直角坐标系中的点 称为函数 的“ 切点”，当且仅当过点 恰好能作曲线y=f (x)的
条切线，其中 .当 时，点 在 轴右侧且为 的“ 切点”，求点 的集合.（不需要写出求解
过程）
【解析】（1）因为 所以
所以 所以函数 在 上为凹函数.
因为 在 上为凹函数，由琴生不等式有：
即
整理有: 当且仅当 时等号成立.
所以在锐角 中， 的最小值为 .
（2）（ⅰ）
所以 令 ，
所以 ，令 有： ，
即
当 时，解得 ，当 时 时，当 时，
所以 是 上的凹函数， 上的凸函数.
当 时，解得 或 ，若 时，即 时，
当 或 时， 当 时，
所以 是 上的凸函数， 上的凹函数;
若 时，即 时，
当 或 时， 当 时，
所以 是 上的凸函数， 上的凹函数;
综上所述：当 时， 是 上的凹函数， 上的凸函数；
当 时， 是 上的凸函数， 上的凹函数;
当 时， 是 上的凸函数， 上的凹函数.
（ⅱ）当 时， ， 为 的“ 切点”
所以 ，设 ，切点为 ，
所以过点 的切线方程为： ，
所以 ，
因为这样的切点有3个，则 有3个解，
所以 有3个实根，即关于 的方程： 有三个不同的实数跟。.
令 ，则直线 与曲线 恰有三个不同的交点.
所以 ，
当 时，
由 有： ， 有： 或 ，
所以F(x)在 为增函数，在 和 为减函数.
所以F(x)的极小值为： ，F(x)的极大值为：
所以：
当 时， ，F(x)为单调递减，不符合题意.
当 时，
由 有： ， 有： 或 ，
所以F(x)在 为增函数，在 和 为减函数.
所以F(x)的极小值为： F(x)的极大值为： ，
所以：
综上所述：点 的集合为：
41．（2024·上海奉贤·一模）若函数 的图象上存在 个不同点 、 、 、 处的
切线重合，则称该切线为函数 的一条 点切线，该函数具有 点切线性质．
(1)判断函数 ， 的奇偶性并写出它的一条 点切线方程（无需理由）；
(2)设 ，判断函数 是否具有 点切线性质，并说明理由；(3)设 ，证明：对任意的 ， ，函数 具有 点切线性质，并求出所有相
应的切线方程．
【解析】（1）令 ，其中x∈R，则 ，
所以，函数 为偶函数，且 ，如下图所示：
由图可知，函数 的一条 点切线方程为 .
（2）因为 ，该函数的定义域为(0,+∞)，且 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数f'(x)在(0,+∞)上为增函数，
因此，不可能存在 、 且 ，使得 ，
因此，函数 不具有 点性质.
（3）取点 、 、 ，
因为 ，则 ，
所以，曲线y=g(x)在点 处的切线方程为 ，
即 ，
曲线y=g(x)在点 处的切线方程为 ，曲线y=g(x)在点 处的切线方程为 ，
由题意可知，这三条切线重合，
则 ，
由上得 ，则 ， ， ，
（i）若 ， ， ，
则 ，所以， ，
因为 ，则 （舍去）；
（ii）若 ， ， 中至少有一个成立，
不妨设 ，则 ，
若 ，则 （舍去），所以， ，
故 或 .
综上所述， 点切线方程为 和 .
42．记 ， 分别为函数 ， 的导函数.若存在 ，满足
且 ，则称 为函数 与 的一个“ 点”；若仅满足 则称 为
函数 与 的一个“ 点”.
(1)证明：函数 与 不存在“ 点”，但存在“ 点”；
(2)若函数 与 存在“ 点”，求实数 的值；
(3)已知 ， 其中实数 且 ．若使函数 与 区间 内存在三个“ 点”，求实数 的取值范围．
【解析】（1）令 ，可得 ，解得 或 ，
对函数 有 ，对函数 ，有 ，
令 ，解得 ，
故 、 是函数 与 的“ 点”，
但函数 与 不存在“ 点”，即得证；
（2）对函数 ，有 ，对函数 ，有 ，
由函数函数 与 存在“ 点”，
则方程组 有解，即有 ，即 ，
则 ；
（3） ， ，
则有题意可得满足 ，且 的 有三个，
令 ，则 ，
当 ，则 ，当 ，则 ，
令 ， ，
令 ，则 ，即 ，
当 时， ，
则当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故 ，
不妨令 ，则 ，令 ，
则 ，则 ，即 ，故 ，
则 ，故 ， ，则 ；
故当 时，
，则 在(0,+∞)上有两个零点，
设这两个零点为 ，且 ，
当 时， ，则ℎ '(x)>0，故ℎ(x)单调递增；
当 时， ，则ℎ '(x)<0，故ℎ(x)单调递减；
当 时， ，则ℎ '(x)>0，故ℎ(x)单调递增；
则 ，即 ，即 ，
则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，故 单调递减
当 时， ，故 单调递增，
由 且 ，故 ，则 ，
故 ，故 ，
又 时，ℎ(x)单调递减，故 ，即ℎ(x)的极大值 ，
令 ，则 为减函数，又 ， ，
故存在 ， ，由 ， 关于直线 对称，
故必有一个交点落在 上，使得 ，
，又 ，则 ，
，
故 ，又 为减函数，故 ，
又 时，ℎ(x)单调递减，故 ，即ℎ(x)的极小值 ，
且 时， ， 时， ，
故 在(0,+∞)上有三个零点，即方程 有三个解；
当 时， ，则 在(0,+∞)上单调递增，
在(0,+∞)上只有一个零点，
则 在(0,+∞)上最多只有两个零点，不符合题意；
当 时， ， ，
又 有两个零点，是 的两个极值点，
由极值均不为 ，故 无解；
综上：当 时，函数y=f (x)与y=g(x)区间(0,+∞)内存在三个“ 点”.1．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若 有两个不同的极值点 ．
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明： ．
【解析】（1）当 时， ，
则 ，所以 ．
又 ，所以曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为
，即 ．
（2）由已知， 的定义域为(0,+∞)， ，
由题意得 为f'(x)的两个零点，且 ，
即 为方程 的两个不同的根，
即 为方程 的两个不同的根，
设 ，则直线 与 的图象有两个交点，
，
因为 ，所以 ，所以当x∈(0,1)时， ， 单调递增，
当x∈(1,+∞)时， ， 单调递减，
所以 ，
易知当 时， ，当 时， ，
故要使直线 与 的图象有两个交点，则 ，
即实数 的取值范围为 ．
（ⅱ）由（ⅰ）知 ， ．
设 ，
则
，
令 ，
则当x∈(0,1)时， ，
所以φ(x)在(0,1)上单调递减，则当x∈(0,1)时， ，
所以当x∈(0,1)时，ℎ '(x)<0，
所以ℎ(x)在(0,1)上单调递减，故当x∈(0,1)时， ，则当x∈(0,1)时， ，
所以 ，即 ，由（ⅰ）可知 在(1,+∞)上单调递减，所以 ，
则 ，所以 ，即 ，得证．
2．若函数 是定义在 上的函数，且存在 ， ，使得 在 上的值域仍为 ，则
称 为 上的保值函数，区间 叫做 的保值区间．
(1)求 在 上的所有保值区间；
(2)证明： 在 上存在保值区间；
(3)若 为 上的保值函数，证明： ．
【解析】（1）令 ，得 ，解得 或 或 ，
函数 为 上的增函数， 故 在 上的所有保值区间为 ， ， ．
（2） ，
当 时，f'(x)<0， 单调递减；当 时，f'(x)>0， 单调递增．
所以当 时， ．
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，所以 ，
又 ，所以函数 在 上存在唯一的 ，使得 ，即 ．
知 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，
则当 时， ．
故函数 在 上的值域为 ，即函数 为 上的保值函数，保值区间为 ，
故 在 上存在保值区间．
（3）函数 在 上单调递减，
所以 ， ，即 ， ，
从而 ①，
②．
令 ，则 ， ，代入①得 ，整理得 ，
所以 ，所以 ③．
由②③得，要证 ，即证 ，
即证 ．
令 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 在(0,+∞)上单调递增，即 在(0,+∞)上单调递增，
所以 ，所以 在(0,+∞)上单调递增，
所以 ，即 ，
因此 ，得证．
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 在 上单调递增，求正实数 的取值范围；
(3) 时，证明： .
【解析】（1）由已知 ，∴ ，
记 ，则 ，且等号不同时成立，
∴ 在 上单调递增，又 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
（2）若 在 上单调递增，则 恒成立，
设 ，则 ，
当 时，∵ ，∴ ；
∵ ，∴ ，∴ ，
∴当 时， ，∴ 在 上单调递增， ，符合题意；
当 时， ，令 ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增，由 得 ，
∴ ，又 ，
∴ 在 上存在唯一解，记为
∴当 时， ，即 ，∴ 在 上单调递减，
∴ ，即 ，矛盾，
综上， ；
（3） ， 时， ，
∴ ，
故 ，
∴ ，
即 .
4．（2024·高三·重庆·开学考试）已知 .
(1)若存在两个不同的 使得 的最小值为0，证明： ；
(2)设 （ 为常数），且当 恒成立时， 的最小值为 ，求 的取值集合.
【解析】（1） ，令 ，则 ，当 时， ， 单调递增，没有最小值，不满足题意；
当 时，考虑 这一侧，有 ，
则当 时， ，不满足题意；
当 时, 恒成立, 在 上单调递增，
取 即有 ；
当 时，有 ，则当 时， ；
所以存在唯一的 ，使得 ，
此时 在 上单调递减，在 上单调递增，
且有 ，也即 ，
于是， ，
记 ，则 ，
当 时， 恒成立， 单调递增，
所以存在两个不同的 ，使得 的最小值为0，
也即存在两个不同的 ，使得 ；记 ，则 ，
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ；
若 ，当 时， ，
而当 时， 单调递减，方程 至多有一个解，不满足题意；
若 ，则有 ，方程 至多有一个解，满足题意；
综上， ；
（2）由第一问可知， ，
取 ，则 ，
此时 ，
记 ，则 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
由于 ，所以有 ，
记 ，则只需考虑 的解即可，
，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，而 ，
所以 只有一个解 ，此时 ，
综上， 的取值集合为 .
5．（2024·高三·全国·单元测试）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)从①②两组条件中选取一组作为已知条件，证明： 恰有一个零点．
① ；
② ．
注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）由题意得 ，
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
当 时，令 ，得 或 ，
①当 时，令 ，得 或 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
②当 时， 且等号不恒成立，所以 在R上单调递增．
③当 时，令 ，得 或 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）选择条件①，证明如下：
由（1）知当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ，
且 ．由于 ，所以 ．
令 ，则 ，
令 得 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值 ．
由于 ， ，
所以 在 上恒成立，所以 ．
当 时， ，所以 有一个零点，得证．
选择条件②，证明如下：
由（1）知，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 在
处取得极大值 ，在 处取得极小值 ．
由于 ，
所以 ，则 ，
所以 ．
当 时， ，所以 有一个零点，得证．6．（2024·高三·上海·单元测试）设函数 ，其中 ，曲线 过
点 ．
(1)求a，b的值；
(2)求证 在 时，恒大于零，其中 ；
(3)证明：当 时， ．
【解析】（1）因为曲线 过点 ．
所以 ，因为 ，
所以 成立，
所以 ， ；
（2） ，
因为 ，所以 ，
所以 在 严格递增，
所以 ，即 ；
（3）令 ，即 ，
， ，
由（2）证可知 ，所以 在 上严格递增，所以 ，因为 ，所以 ， ，
即 ，所以
7．（2024·北京·三模）已知 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 存在两个不同的极值点 ，求证： ．
【解析】（1）当 时， ，
，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2） ，
令 ，得 ，令 ，则 ，
原方程可化为 ①，则 是方程①的两个不同的根，
所以 ，解得 ，
由韦达定理得 ，则 ，
所以
，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 .
8．（2024·浙江绍兴·三模）若函数 在区间 上有定义，且 ， ，则称 是 的一个
“封闭区间”．
(1)已知函数 ，区间 且 的一个“封闭区间”，求 的取值集合；
(2)已知函数 ，设集合 ．
（i）求集合 中元素的个数；
（ii）用 表示区间 的长度，设 为集合 中的最大元素．证明：存在唯一长度为 的闭区
间 ，使得 是 的一个“封闭区间”．
【解析】（1）由题意， ， ，
恒成立，所以 在 上单调递增，
可得 的值域为 ，
因此只需 ，
即可得 ，即 ，
则 的取值集合为 ．
（2）（i）记函数 ，
则 ，
由 得 或 ；由 得 ；
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减．其中 ，因此当 时， ，不存在零点；
由 在 单调递减，易知 ，而 ，
由零点存在定理可知存在唯一的 使得 ；
当 时， ，不存在零点．
综上所述，函数 有0和 两个零点，即集合 中元素的个数为2．
（ii）由（i）得 ，假设长度为 的闭区间 是 的一个“封闭区间” ，
则对 ， ，
当 时，由（i）得 在 单调递增，
，即 ，不满足要求；
当 时，由（i）得 在 单调递增，
，
即 ，也不满足要求；
当 时，闭区间 ，而 显然在 单调递增，
，
由（i）可得 ， ，
，满足要求．
综上，存在唯一的长度为 的闭区间 ，使得 是 的一个“封闭区间”．
9．已知函数(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
【解析】（1） 时， ，其中 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，而f'(x)≥0成立，故 即 ，
所以 的最小值为 .，
（2） 的定义域为(0,2)，
设 为y=f (x)图象上任意一点，
关于 的对称点为 ，
因为 在y=f (x)图象上，故 ，
而 ，
，
所以 也在y=f (x)图象上，
由 的任意性可得y=f (x)图象为中心对称图形，且对称中心为 .
（3）因为 当且仅当 ，故 为 的一个解，
所以 即 ，先考虑 时， 恒成立.
此时 即为 在 上恒成立，
设 ，则 在(0,1)上恒成立，
设 ，
则 ，
当 ， ，
故 恒成立，故 在(0,1)上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 时， ，
故 恒成立，故 在(0,1)上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 ，则当 时，
故在 上 为减函数，故 ，不合题意，舍；
综上， 在 上恒成立时 .
而当 时，
而 时，由上述过程可得 在(0,1)递增，故 的解为(0,1)，
即 的解为 .综上， .
