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第五章 二元一次方程组（复习讲义）
1. 了解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的意义，体会二元一次方程组各知识点之间的整体联
系。
2. 能用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组，体会消元思想。
3. 理解并利用二元一次方程组解决实际问题，掌握审题、设元、列方程组、解方程组、检验、作答的基
本步骤，能运用基本公式分析和解决问题。
【清单01】二元一次方程（组）定义
1.二元一次方程组定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程．
2.二元一次方程组定义方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫
x y2,
做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成
x y0
，
3.二元一次方程（组）的解
（1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【清单02】 解二元一次方程组
（1）消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的
一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、
逐一解决的思想，叫做消元思想．
（2）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现
消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
（3）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，
就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
【清单03】二元一次方程（组）的应用
一．解题步骤
1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；
2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程
步 组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；
骤
4．解方程组；
5．检验：检验方程的根是否符合题意；
6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．
二、基本公式
单价×数量=总价
利润=实际售价-成本
实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100【题型一】二元一次方程（组）的概念
【例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列式子是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（24-25七年级下·青海西宁·期中）下列是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）在下列方程组：① ，② ，③
，④ ，⑤ 中，是二元一次方程组的是（ ）
A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③⑤
【题型二】二元一次方程（组）的解
【例2】（24-25七年级下·四川泸州·期中）下列各组数中，是二元一次方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）下列方程组中，解为 的方程组是（ ）
A． B．
C． D．【变式2-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）表1为二元一次方程 的部分解，表2为二元一
次方程 的部分解，则方程组 的解为 （ ）
表1 x 1 2
y 1
表2 x 0 1 2
y 0
A． B． C． D．
【题型三】解二元一次方程组
【例3】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）用你掌握的方法解下列方程组：
(1)
(2)
【变式3-1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）解方程组：
(1) ；
(2) ．
【变式3-2】（24-25八年级上·重庆·期中）解方程组：
(1) ；(2)
【题型四】二元一次方程组-错解复原问题
【例4】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，
纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养。请你根据小明在解方程组 时的运算步骤回答
下面的问题．
解：由 ，得 ， …第一步
，得 ， …第二步
得 ． …第三步
把 代入①，得 ， …第四步
所以原方程组的解为
(1)小明的解题过程从第________步开始出现错误（填一、二、三、四）；
(2)请你写出正确的解方程组的过程．
【变式4-1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小华同学解方程组 的过程，请你观察
计算过程，回答下面问题．
解： 得： ③ 第一步
得： 第二步
将 代入②得： ． 第三步
所以该方程的解是 第四步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做____________；其中第一步这样做的依据是______________．
(2)第_______步开始出现了错误．(3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤．
【变式4-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组
的解．
琪琪同学进行了板演，过程如图：
解：把①变形为： ③…………第一步
把③代入②中得： …………第二步
解这个方程，得第三步 …………第三步
把 代入①中，得 …………第四步
所以，方程组的解为 …………第五步
(1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法；
(2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步；
(3)请写出正确的解答过程．
【题型五】二元一次方程组的应用之古代问题
【例5】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知
长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长
木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺．问长木多少尺？
【变式5-1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》中有这样的一道题：今有四人共车，一车空．
三人共车，五人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若
每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【变式5-2】（24-25七年级上·云南昆明·期中）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车
空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？
(1)设有x辆车，根据题意，用含有x的式子填空：
“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”即共有________辆车坐满3人，则乘车人数可表示为________；
“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”即共有________辆车坐满2人，则乘车人数可表示为________．
(2)列出方程，求出问题的答案．
【题型六】二元一次方程组的应用之几何问题
【例6】（24-25七年级下·陕西延安·期中）某校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多 的长方形场地
内建造两个面积相等的植物养殖区长方形 和长方形 ，植物养殖区的两边
，要求两个植物养殖区之间有间隔 的小路，求长方形场地 的面积．
【变式6-1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多 的长方形
场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．如图（ ）为大棚，设计方案如图（ ），要求两个大棚之间
有间隔 的路，已知每个大棚的周长为 ．
(1)求每个大棚的长和宽各是多少？
(2)当面积超过 平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米 元，总价优惠 元；方案二：
每平方米 元，总价优惠 ，试问选择哪种方案更优惠？说明理由．
【变式6-2】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图
形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长
方形的面积公式得出每个小长方形的面积．(1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13
个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是多少厘米？
【题型七】二元一次方程组的应用之销售问题
【例7】（24-25七年级下·四川泸州·期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物
雪容融共60个，花去2000元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
冰墩墩 30 40
雪容融 50 65
(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
(2)这60个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（至少一个），且恰好用完，那
么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
【变式7-1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）小林在某商店购买商品 ， 若干次（每次 ， 两种商
品都购买）．其中第一、二次购买时，均按标价购买；第三次购买时，商品 ， 有打折优惠．三次购买
商品 ， 的数量和费用如表：
购买商品A的数量 购买商品B的数量 购买总费用
第一次购
买
第二次购
买
第三次购
买
(1)求商品 ， 的标价．
(2)若第三次购买时商品 ， 的折扣相同，则该商店是打几折出售这两种商品的？
(3)在（2）的条件下，若小林第四次购买时共花了 元，则小林有哪几种购买方案？【变式7-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校计划建一间多功能数学实验室，将采购两类桌椅：
类是三角形桌，每桌可坐3人， 类是五边形桌，每桌可坐5人．学校拟选择甲、乙两家公司中的一家来
采购，两家公司的标价均相同，且规定两类桌椅均只能在同一家公司采购．甲公司对两类桌椅均是以标价
出售；乙公司对 类桌椅涨价 、 类桌椅降价 出售，经咨询，两家公司给出的数量和费用如下表：
A类桌椅（套） B类桌椅（套） 总费用（元）
甲公司 6 5 1900
乙公司 5 5 1700
(1)设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元，则乙公司出售一套A类桌椅的售价为
______元；一套B类桌椅的售价为______元；
(2)求A、B两类桌椅每套的价格分别是多少？
(3)如果该数学实验室需设置48个座位，学校到甲公司采购，应分别采购A、B两类桌椅各多少套时所需费
用最少？
【题型八】二元一次方程组的应用之方案问题
【例8】（24-25七年级下·云南昆明·期中）某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客
车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的
租车方案．
【变式8-1】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）根据图中的信息，解答下列问题．
(1)如果放入6个球，水面升高了 ，那么放入的大球、小球各多少个？
(2)要使水面升高 ，有哪几种放球的方案？
【变式8-2】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）某市人民政府为了促进消费决定发放2025年消费券，其中
消费券分为三种类型，如表：A型 B型 C型
满199减76 满99减36 满49减16
在此次活动中，小柯领到了三种不同类型的“消费券”若干张，准备给妈妈买礼物．
(1)若小柯同时使用三种不同类型的“消费券”消费，共优惠了272元，已知她用了2张A型“消费券”，
3张C型“消费券”，则她用了_______张B型“消费券”
(2)若小柯同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元，那么她使用了A，B型“消费券”各几张？
(3)若小柯共领到三种不同类型的“消费券”各8张（部分未使用），她同时使用A、B、C型中的两种不同
类型的“消费券”消费，共优惠了184元，请问有哪几种消费券的使用方案？选哪一种方案小柯实际付款
金额最少？
【题型九】二元一次方程组的应用之配套问题
【例9】（24-25七年级下·福建泉州·期中）某车间有 名工人，每人每天能生产螺栓 个或螺母 个，
且一个螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多
少名工人生产螺母？
【变式9-1】（24-25七年级下·全国·期中）今年元旦期间某物流公司计划用两种车型运输新年物资，用2
辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．
(1)求每辆A型车和每辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨．
(2)某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都装满．
若A型车每辆需租金每次200元，B型车租金每次300元，求最少租车费用．
【变式9-2】（24-25七年级下·重庆·期中）春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，
沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍
少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个．
(1)该工厂有男工、女工各多少名？
(2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那
么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？
【题型十】两直线的交点与二元一次方程组的解
【例10】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示的是函数 与 的图象，则方程组 的解是 ．
【变式10-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知函数 的图象与函数 的
图象的交点坐标为 ，则方程组 的解为 ．
【变式10-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数 与 的图
象交于点 ，则方程组 的解为 ．
【变式10-3】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在平面直角坐标系内，一次函数 与
的图象如图所示，则关于 的方程组 的解是【题型十一】二元一次方程组与一次函数的综合问题
【例11】（24-25八年级下·湖南·期末）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分
别交于点A、B．另有一次函数 的图象过点 ，与 交于点D．
(1)求点A、B、D的坐标．
(2)若点E在 的图象上，且点E的纵坐标为1，求四边形 的面积．
【变式11-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，
与直线 交于点A．
(1)求点A的横坐标；(2)若 ，求 的最小值，并求此时 的值；
【变式11-2】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线 与
轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 ．
(1)求 ；
(2)过点 作 交 于 ，求 点坐标；
(3)若直线 与线段 有交点，求 的取值范围．
【变式11-3】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴交
于 两点，过点 作直线 ，交 于点 ，交 轴于点 ．
(1)求证： ；
(2)求点 的坐标；
(3)如图2， 是线段 上一动点（不与点 ， 重合）， ， 交 于点 ，连接 ，求
证： ．基础巩固通关测
一、单选题
1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程中，解为 的二元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·河北邯郸·开学考试）在解关于 的二元一次方程组 时，若 可
直接消去未知数 ，则 和 满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·全国·期末）若方程组 和 同解，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不存在
二、填空题
5．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）由 得到用x表示y的式子为 ．
6．（24-25七年级下·北京·期中）如果 是关于x，y的二元一次方程 的一个解，那么m的
值为 ．
7．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四
钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱
八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是分．
8．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）若关于x，y的方程组 的解x与y互为相反数，则k的
值为 ．
三、解答题
9．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
(4)
10．（25-26七年级上·全国·课后作业）双十一期间，某超市开展促销活动，小文一家去逛该超市，准备购
买牛奶，根据以下素材探索完成任务．
生活中的数学问题
素材
该超市有大瓶和小瓶两种型号的A品牌牛奶，大瓶牛奶每瓶15元，小瓶牛奶每瓶10元．
1
素材
小文在超市购买了8瓶A品牌牛奶，共花了89元．
2
问题解决
任务
小文妈妈说：按原价购买，不可能是89元！请说明小文妈妈这样说的理由．
1
任务 小文看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打6折限购1瓶”的大瓶牛奶，则小文购买的A品牌
2 的大瓶牛奶和小瓶牛奶分别为多少瓶？能力提升进阶练
一、单选题
1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程组中不是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·广西柳州·期中）小明在解关于 的二元一次方程组 时，解得 ，
则 和★代表的数分别是( )
△A． 、 B． 、 C． 、 D． 、
3．（2025·四川巴中·中考真题）《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问
人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出 钱，会多出4钱，每人出 钱，又差3钱．
问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·云南保山·期末）直线 与 的图象交于点 ，则关于x，y的二元
一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）已知 是方程组 的解，则 的值是（ ）
A．－1 B．1 C．－5 D．5
二、填空题6．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）已知方程组 的解满足 ，则k的值为
．
7．（24-25七年级下·四川内江·期中）已知方程组 的解为正整数，则正整数a的值为
8．（23-24八年级上·四川·期末）若x，y为实数，且满足 ，则 的值是
．
9．（24-25九年级·浙江·自主招生）若方程组 有无穷多组解，则直线 不经过第
象限．
10．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图所示，A，B两点的坐标分别是 ， ，M是y轴上的
一点，沿 折叠，点B刚好落在x轴上点 处，则直线 的解析式为 ．
三、解答题
11．（25-26七年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程组：
(1)
(2)
12．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一个直角坐标系中，画出一次函数 和
的图象，并在图象中标出交点坐标．（2）求二元一次方程组 的解．
（3）交点坐标与方程组的解有关系吗？什么关系？请说明理由．
13．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段练习）定义新运算：对于任意实数 都有 ，等式右
边是通常的加法、减法及乘法运算．比如： ．
(1)若 ，且 ，求 的值；
(2)对于变量 ，满足 ，求出 关于 的函数关系式，并求出该函数图象上与 轴距离为2的
点的坐标标．
14．（25-26八年级上·广西崇左·阶段练习）直线 与x轴交于点A ，与y轴交于点B，直线
与x轴交于点 ，与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1 ．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)直接写出方程组 的解；(3)求a，b的值；
(4)求 的面积．
15．（24-25七年级下·陕西商洛·阶段练习）【问题背景】
某物流公司准备租用 两种型号的车运送货物，已知用2辆 型车和3辆 型车载满货物时一次可运货
184吨，用3辆 型车和4辆 型车载满货物时一次可运货256吨．根据以上信息，解答下列问题：
【问题提出】
（1）求1辆 型车和1辆 型车都载满货物时一次可分别运货多少吨；
【问题解决】
（2）若该物流公司现有304吨货物待运，计划租用 型车 辆， 型车 辆恰好一次运完，且每辆车都载
满货物但不超载． 型车每辆需租金1000元/次， 型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租
车方案，并求租车费最少是多少元？
