专题 03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：直接利用单调性....................................................................................................................2
题型二：引入媒介值............................................................................................................................3
题型三：含变量问题............................................................................................................................5
题型四：构造函数................................................................................................................................6
题型五：数形结合................................................................................................................................7
题型六：特殊值法、估算法................................................................................................................9
题型七：放缩法..................................................................................................................................12
题型八：同构法..................................................................................................................................16
重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法......................................................................................17
02 重难创新练....................................................................................................................................19题型一：直接利用单调性
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）设a=0.30.4,b=0.40.3,c=log 0.3，则a，b，c的大小顺序为（ ）
0.4
A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b
【答案】A
【解析】指数函数y=0.3x，y=0.4x为R减函数，
∴a=0.30.4<0.30.3<0.30=1，b=0.40.3<0.40=1
∵幂函数y=x0.3为[0,+∞)增函数，
∴0.30.3<0.40.3，
∴a<b<1，
∵对数函数y=log x为(0,+∞)减函数，
0.4
∴c=log 0.3>log 0.4=1，即c>1，
0.4 0.4
a<b<c.
∴故选：A.
2．已知a=0.30.2,b=0.20.3,c=0.20.4，则（ ）
A．a>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．a>b>c
【答案】D
【解析】指数函数y=0.2x在R上单调递减，
因为0.3<0.4，所以0.20.3>0.20.4，即b>c；
幂函数y=x0.1在(0,+∞)上单调递增，
因为0.09>0.008，所以0.090.1>0.0080.1，即0.30.2>0.20.3，即a>b，
综上：a>b>c，
故选：D.
3．已知A(x ,y ),B(x ,y )是函数y=lnx的图象上两个不同的点，则（ ）
1 1 2 2y +y y 1 +y 2 x +x y +y y 1 +y 2 x +x
A． e 1 2 2 >√x x B．e 2 > 1 2 C． e 1 2 2 <√x x D．e 2 < 1 2
1 2 2 1 2 2
【答案】D
y + y lnx +lnx y +y
【解析】对于A、C，因为 1 2 2= 1 2 2 =ln√x 1 x 2 ，所以 e 1 2 2 =√x 1 x 2 ，故A，C错误；
对于B、D，由题意知x ≠x ，因为函数y=lnx是增函数，所以lnx ≠lnx ，即x ≠x ，
1 2 1 2 1 2
y + y lnx +lnx x +x
结合基本不等式， 1 2= 1 2 =ln√x x <ln 1 2，
2 2 1 2 2
y 1 +y 2 ln x 1 +x 2 x +x
因为y=ex是增函数，所以e 2 <e 2 = 1 2，故D正确，B错误；
2
故选：D.
题型二：引入媒介值
π
4．已知a=log 2，b=log 3，c=sin ，比较a，b，c的大小为（ ）
5 4 6
A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c
【答案】C
1
【解析】因为函数y=log x在(0,+∞)上单调递增，所以a=log 2<log √5= ，
5 5 5 2
π 1
又c=sin = ，所以a<c；
6 2
1
又因为函数y=log x在(0,+∞)上单调递增，所以log 3>log 2= ，
4 4 4 2
所以b>c.
综上，b>c>a.
故选：C
5．已知a=log 8，b=log 0.4，c=log 3，则（ ）
4 0.6 2
A．b>a>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a
【答案】B
3 3
【解析】a=log 8=log 23= ，c=log 3>log 2√2= =a，
4 22 2 2 2 25
lg
2 5 2 lg3
b−c=log −log 3=log −log 3= −
3 5 2 5 2 2 5 lg2
5 3 lg
3
lg2(lg5−lg2)−lg3(lg5−lg3)
=
5
lg lg2
3
(lg2−lg3)lg5−(lg2−lg3)(lg2+lg3)
=
5
lg lg2
3
(lg2−lg3)(lg5−lg6)
=
5
lg lg2
3
因为y=lgx在(0,+∞)上单调递增，则lg2<lg3,lg5<lg6，
5
则lg2−lg3<0,lg5−lg6<0，显然lg ,lg2>0，
3
(lg2−lg3)(lg5−lg6)
>0
则 5 ，
lg lg2
3
则b−c>0，即b>c，结合c>a知b>c>a.
故选：B.
6．已知2020a=2021，2021b=2020，c=ln2则（ ）
A．log c>log c B．log a>log b
a b c c
C．ac<bc D．ca<cb
【答案】D
【解析】由题意知，a=log 2021>1>b=log 2020>0，
2020 2021
而0<c=ln2<1，
所以y=log x在定义域内单调递减，
c
故log a<0<log b，则B错误；
c c
1 1
log c= <0<log c= ，故A错误；
a log a b log b
c c
由y=xc在第一象限内单调递增，知ac>bc，故C错误；
因为y=cx在定义域内单调递减，即ca<cb，故D正确.
故选：D.
7．若a= 20.4，b=30.3，c=40.2，则（ ）A．a>b>c B．c>b>a C．c=a>b D．b>a=c
【答案】D
4 3 2
【解析】由题得 a=20.4=210， b=30.3=310， c=40.2=410，
又 ( 21 4 0 ) 10 =24<33= ( 31 3 0 ) 10 ，所以a<b.
c=40.2=(22) 0.2 =20.4=a,
所以b>a=c.
故选:D．
题型三：含变量问题
8．（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知x，y，z都为正数，且2x=3y=6z，则（ ）
1 1 1
A．xy>4z2 B． + < C．x+ y>4z D．x+ y<5z
x y z
【答案】ACD
【解析】令2x=3y=6z=k>1，则x=log k，y=log k，z=log k，
2 3 6
1 1 1
所以 + =log 2+log 3=log 6= ，B错误；
x y k k k z
xy xy √xy
z= < = （注意x≠ y>0等号不成立），故4z2<xy，A正确；
x+ y 2√xy 2
xy (x+ y) 2 x+ y
z= < = （注意x≠ y>0等号不成立），则4z<x+ y，C正确，
x+ y 4(x+ y) 4
由x+ y−5z=log k+log k−5log k，令f(x)=log x+log x−5log x且x∈(1,+∞)，
2 3 6 2 3 6
1 1 1 5 1 (ln6) 2−5ln2ln3
则f '(x)= ( + − )= ⋅[ ]，
x ln2 ln3 ln6 x ln2ln3ln6
3 1
由(ln6) 2−5ln2ln3=(ln2+ln3) 2−5ln2ln3=(ln ) 2−ln2ln3<(ln√e) 2−ln2ln3= −ln2ln3，
2 4
1 1 √4 e
因为ln3>lne=1，故 −ln2ln3< −ln2=ln <0，
4 4 2
综上，f '(x)<0，即f(x)在x∈(1,+∞)上单调递减，
所以f(x)<f(1)=0，故log x+log x<5log x恒成立，即x+ y<5z，D正确.
2 3 6故选：ACD
9．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知正实数a，b，c满足cb<ba<1<log a，则一定有（ ）
c
A．a<1 B．a<b C．b<c D．c<a
【答案】AB
【解析】由正实数a，b，c，以及cb<1，ba<1可得c,b∈(0,1)，
又log a>1=log c，所以a<c<1．
c c
所以ab<cb，又cb<ba，所以ab<ba，
lna lnb
即blna<alnb，等价于 < ，
a b
lnx
构造函数f (x)= ，x>0
x
1−lnx
f '(x)= ，
x2
1−lnx
当x∈(0,1)时，f '(x)= >0
x2
lnx
故f (x)= 在(0,1)上递增，从而a<b．
x
又取b=c时，原式为bb<ba<1<log a同样成立，
b
故CD不正确，
故选：AB
题型四：构造函数
10．已知a=20232025，b=20242024，c=20252023，则（ ）
A．a>c>b B．b>c>a C．a>b>c D．c>a>b
【答案】C
ln2023 ln2024
lna 2024 lnb 2023
【解析】由a=20232025,b=20242024,c=20252023，得 = , = ，
lnb ln2024 lnc ln2025
2025 2024
1
lnx 1+ −lnx 1
令f(x)= x+1 ,x>e2 ，求导得 f' (x)= x ，令ℎ(x)=1+ x −lnx,x>e2 ，
(x+1) 21 1 1
求导得ℎ ' (x)=− − <0，函数ℎ(x)在(e2,+∞)上单调递减，ℎ(x)< ℎ(e2 )= −1<0，
x2 x e2
即f' (x)<0，函数f(x)在(e2,+∞)上单调递减，则f(2023)>f(2024)>0，
lna f(2023)
即 = >1，lna>lnb，因此a>b；
lnb f(2024)
x
ln(x+1) −ln(x+1) x
令g(x)= x ,x>e2 ，求导得 g' (x)= x+1 ，当x>e2时，ln(x+1)>1> x+1 ，
x2
即g' (x)<0，函数g(x)在(e2,+∞)上单调递减，则g(2024)>g(2025)>0，
lnb g(2024)
即 = >1，lnb>lnc，因此b>c，
lnc g(2025)
所以a>b>c.
故选：C
2lne ln3
11．三个数a= ,b=ln√2,c= 的大小顺序为（ ）
e2 3
A．b<c<a B．a<c<b C．c<a<b D．a<b<c
【答案】D
2lne lne2 ln2 ln4 ln3
【解析】由题意得a= = ，b=ln√2= = ，c= ；
e2 e2 2 4 3
lnx 1−lnx
设f (x)= ，则f' (x)= ，
x x2
当0<x<e时，f' (x)>0，所以f(x)单调递增，当x>e时，f' (x)<0，所以f(x)单调递减，
lne2 ln4 ln3
又e<3<4<e2，所以f(3)>f(4)>f(e2 )，即 < < ，所以a<b<c.
e2 4 3
故选：D
题型五：数形结合
4
12．（2024·四川广安·二模）已知a，b，c均为正数，a=1+ −2a ，b2=4+b(2−3b)，
a4−c2
=log (c+3)，则a，b，c的大小关系为（ ）
c 4
A．b<c<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c
【答案】B
4 4 4
【解析】a=1+ −2a 可变形为：a− =1−2a ，b2=4+b(2−3b)可变形为：b− =2−3b ，
a a b
4−c2 4
=log (c+3)可变形为：c− =−log (c+3)，
c 4 c 4
4
令f (x)=x−
x
，g(x)=1−2x，ℎ(x)=2−3x，q(x)=−log
4
(x+3)，且x>0，
可知a,b,c分别为函数f (x)与g(x)，ℎ(x)，q(x)的交点横坐标，
当x>0时，f (x)单调递增且f (1)=−3，f (2)=0，
g(x)，ℎ(x)，q(x)这三个函数全部单调递减，且g(1)= ℎ(1)=q(1)=−1>−3，g(2)=−3<0，
ℎ(2)=−7<0，q(2)=−log 5<−1<0，
4
由零点存在性定理可知：a,b,c∈(1,2)，所以只需判断g(x)，ℎ(x)，q(x)这三个函数的单调性，在
x∈(1,2)范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大，
由图象可知，q(x)=−log (x+3)下降速度最慢，所以c最大，
4
g'(x)=−2xln2，ℎ'(x)=−3xln3，x>0时，g'(x)> ℎ'(x)，所以交点a>b，
故选：B
13．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知 2a=log 1 a ， (1) b =log b，则下面正确的是（ ）
2 1
2
2
1
A．a>b B．a<
4
√2 1
C．b> D．|a−b|<
2 2
【答案】D【解析】令
f (x)=2x−log
1
x=2x+log
2
x
，由
2a=log
1
a
，故f (a)=0，
2 2
由y=2x与y=log x在(0,+∞)上单调递增，故f (x)在(0,+∞)上单调递增，
2
又f
(1)
=24
1
+log
1
=24
1
−2<0，f
(1)
=2
1
2+log
1
=√2−1>0，故a∈
(1
,
1)
，故B错误；
4 24 2 22 4 2
(1) x (1) x
令g(x)= −log x= +log x，
2 1 2 2
2
(1) x
由函数y= 的图象及y=−log x的图象可得g(x)在(0,+∞)上只有一个零点，
2 2
(1) b
由 =log b，故g(b)=0，
2 1
2
(√2) (1) √2 √2 (1) √2 1 (1) 1 1
又g = 2 +log = 2 − > − =0，
2 2 2 2 2 2 2 2
(1) (1) 1 1 (1) 1 (1) 0 (1 √2)
g = 2+log = 2−1< −1=0，故b∈ , ，故C错误；
2 2 22 2 2 2 2
√2 1 2√2−1 3−1 1
有a<b，故A错误；|a−b|< − = < = ，故D正确.
2 4 4 4 2
故选：D.
1 1 1 4
14．（2024·高三·江苏苏州·期中）设a=
5
cos
5
，b=sin
5
，
c=e
− 5，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A．b<a<c B．a<c<b C．b<c<a D．a<b<c
【答案】D
( π)
【解析】设∠AOB=α∈ 0, ，作出单位圆，与x轴交于A点，则A(1,0)，
2
过点A作AC垂直于x轴，交射线OB于点C，连接AB，过点B作BD⊥x轴于点D，由三角函数定义可知AC=tanα，BD=sinα，^AB=α，
1 1 1
设扇形OAB的面积为S ，则S >S >S ，即 tanα> α> sinα，故tanα>α>sinα，
1 △OAC 1 △ABO 2 2 2
1 ( π) 1 1 1
因为 ∈ 0, ，所以tan > >sin ，
5 2 5 5 5
1 1 1 1 1 1
又cos >0，由tan > 得sin > cos ，即b>a，
5 5 5 5 5 5
令f (x)=ex−x−1，x<0，
则f '(x)=ex−1，当x<0时，f '(x)=ex−1<0，
故f (x)在(−∞,0)上单调递减，
( 4) − 4 1
所以f − >f (0)=0，所以e 5> ，
5 5
故c>b，
综上，a<b<c.
故选：D
题型六：特殊值法、估算法
15．（2024·四川眉山·一模）若a=log 91.1，b=log 0.2，c=40.40，则（ ）
3 0.5
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
【答案】B
1
【解析】a=log
3
91.1=1.1⋅log
3
9=2.2， c=40.40<40.5=42=2 ，
1
b=log 0.2=log =log 5>log 4=2，
0.5 1 5 2 2
2则a>c，b>c，下面比较a与b的大小，
即比较2.2=log 22.2 与log 5的大小，
2 2
即比较22.2与5的大小，
即比较211与55的大小，而211=2048<55=3125，
则a<b，所以b>a>c.
故选：B.
16．（多选题）三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦
表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很
多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的
是（ ）
1 1 1 7
A．tan > B．cos >
2 2 2 8
1 ( 1)sin 1 2
C．sin1>2sin D． sin 2>
2 2 3
【答案】ABD
π
【解析】对于A选项，令f (x)=tanx−x，其中0<x< ，
2
cos2x+sin2x π
则f'(x)= −1=tan2x>0，所以，函数f (x)在 ( 0, ) 上单调递增，
cos2x 2
(1) 1 1 1 1
所以，f =tan − >f (0)=0，即tan > ，A对；
2 2 2 2 2
x2 π
对于B选项，令g(x)= +cosx−1，其中0<x< ，
2 2
则g'(x)=x−sinx，令p(x)=x−sinx，则p'(x)=1−cosx>0，
π
( )
所以，函数p(x)在 0, 上为增函数，
2
π
( )
则p(x)>p(0)=0，故函数g(x)在 0, 上为增函数，
2
(1) 1 7 1 7
所以，g =cos − >g(0)=0，即cos > ，B对；
2 2 8 2 8
1 π 1
对于C选项，因为0< < ，则0<cos <1，
2 2 21 1 1
所以，sin1=2sin cos <2sin ，C错；
2 2 2
对于D选项，令ℎ(x)=xlnx，其中x>0，则ℎ '(x)=lnx+1，
1 1
由ℎ '(x)<0可得0<x< ，由ℎ '(x)>0可得x> ，
e e
( 1) (1 )
所以，函数ℎ(x)的减区间为 0, ，增区间为 ,+∞ ，
e e
(1) 1 2
所以，ℎ(x)≥ℎ =− >− ，
e e 5
2(x−1)
令q(x)=lnx− ，其中x>0，
x+1
1 4 (x−1) 2
则q'(x)= − = ≥0，当且仅当x=1时，等号成立，
x (x+1) 2 x(x+1) 2
所以，函数q(x)在(0,+∞)上单调递增，
(2 )
2 −1
(2) 2 3 2
又因为q(1)=0，所以，q <q(1)=0，即ln < =− ，
3 3 2 5
+1
3
所以，ℎ(x)=xlnx>ln 2 ，即xx> 2 ，故 ( sin 1)sin 1 2> 2 ，D对.
3 3 2 3
故选：ABD.
17．若都不为零的实数a,b满足a>b，则（ ）
1 1 b a
A． < B． + >2 C．ea−b>1 D．lna>lnb
a b a b
【答案】C
1 1
【解析】取a=1,b=−1，满足a>b，但 > ，A错误；
a b
b a
当a=1,b=−1，满足a>b，但 + =−2<2，B错误；
a b
因为a>b，所以a−b>0，所以ea−b>1，C正确；
当a<0或b<0时，lna,lnb无意义，故D错误．
故选：C
18．已知a、b、c是正实数，且e2a−2ea+b+eb+c=0，则a、b、c的大小关系不可能为（ ）
A．a=b=c B．a>b>cC．b>c>a D．b>a>c
【答案】D
【解析】因为e2a−2ea+b+eb+c=0，a、b、c是正实数，
所以e2a−ea+b+eb+c−ea+b=ea(ea−eb)+eb(ec−ea)=0，
因为a,b,c>0，所以ea>1,eb>1,ec>1，
对于A，若a=b=c，则ea−eb=ec−ea=0，满足题意；
对于B，若a>b>c，则ea−eb>0,ec−ea<0，满足题意；
对于C，若b>c>a，则ea−eb<0,ec−ea>0，满足题意；
对于D，若b>a>c，则ea−eb<0,ec−ea<0，不满足题意．
故选：D．
题型七：放缩法
19．（2024·湖北黄冈·二模）已知a,b,c,d分别满足下列关系：
17 3
16a=15,b=log 16,log c= ,d=tan ，则a,b,c,d的大小关系为（ ）
17 15 16 2
16
A．a<b<c<d B．c<a<b<d
C．a<c<b<d D．a<d<b<c
【答案】B
【解析】由16a=15,可得a=log 15,
16
ln15 ln16 ln15⋅ln17−(ln16) 2
a−b=log 15−log 16= − = ,
16 17 ln16 ln17 ln16⋅ln17
因ln15⋅ln17< (
ln15+ln17) 2
= (
ln255) 2
< (
ln256) 2
=(ln16) 2 ，
2 2 2
又ln16⋅ln17>0，故a−b<0,即a<b；
15
因log c=
17
,，则c=
(15) 1
1
7
6<
15
,由c 16 15 ln16 ln16 ln15，
15 16 16 16 < = ⋅ = ÷
16 a log 15 16 ln15 16 15
16
lnx 1−lnx
由函数y= ，y'= ，因x>e时，y'<0，
x x2
lnx ln16 ln15
即函数y= 在(e,+∞)上单调递减，则有0< < ，故得c<a；
x 16 153 π
由b=log 16<1，而d=tan >tan =1，即b<d，
17 2 4
综上，则有c<a<b<d.
故选：B.
1
1 11 1
20．（2024·安徽芜湖·三模）设a= ,b=ln ,c= ⋅e11，则（ ）
10 10 11
A．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a
【答案】A
【解析】令f (x)=ex−x−1，则f'(x)=ex−1，
令f'(x)>0，则x>0，
所以函数f (x)在(0,+∞)上单调递增，
( 1 ) 1 1
所以f >f (0)=0，即e11> +1，
11 11
1 1
( )
1
所以c= 1 ⋅e11> 1 × ( 1 +1 ) = 10 × 10 +1 ，
11 11 11 1 1
+1 +1
10 10
11 ( 1 )
而b=ln =ln +1 ，
10 10
x ( x )
令g(x)=ln(x+1)− +1 (x∈(0,1))，
x+1 x+1
则g'(x)= 1 − 1 ( x +1 ) − x = x2−x ，
x+1 (x+1) 2 x+1 (x+1) 3 (x+1) 3
当0<x<1时，g'(x)<0，
所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，
( 1 )
所以g <g(0)=0，
10
1 1
( )
10 10 ( 1 )
即 × +1 >ln +1 ，所以c>b，
1 1 10
+1 +1
10 101
1 11
a= = ,
10 1
1−
11
x
令ℎ(x)= −xex(0<x<1)，
1−x
1
1−(x3−x2−x)ex
则ℎ
'(x)= −(x+1)ex=
，
(1−x) 2 (1−x) 2
令φ(x)=x3−x2−x(0<x<1)，则φ'(x)=3x2−2x−1=(3x+1)(x−1)，
当0<x<1时，φ'(x)<0，
所以函数φ(x)在(0,1)上单调递减，
所以φ(x)<φ(0)=0，
1−(x3−x2−x)ex
即当0<x<1时，ℎ '(x)= >0，
(1−x) 2
所以函数ℎ(x)在(0,1)上单调递增，
( 1 )
所以ℎ > ℎ(0)=0，
11
1
1
11 1
即 > ⋅e11，所以a>c，
1 11
1−
11
综上所述，b<c<a.
故选：A.
21．（2024·广东·二模）已知98t=108，a=92t−102，b=99t−109，则a，b的大小关系是（ ）
A．b>a>0 B．0>b>a C．a>0>b D．b>0>a
【答案】D
【解析】因为98t=108，所以t=log 108，
98
所以要比较a=92log
98
108−102与0的大小关系，只需比较log 108,log 102的大小关系，
98 92
ln102 ln109 ln108
同理要比较a,b,0的大小关系只需比较log 102= ,log 109= ,log 108= 的大小关
92 ln92 99 ln99 98 ln98
系，
lnx
我们构造函数f (x)= ,(x>10)，
ln(x−10)ln(x−10) lnx ln(x−10) lnx
− −
则 x x−10 x−10 x−10 ln(x−10)−lnx ，
f'(x)= < = <0
ln2(x−10) ln2(x−10) (x−10)ln2(x−10)
lnx
这意味着f (x)= 在(10,+∞)是减函数，
ln(x−10)
ln102 ln108 ln109
从而log 102= =f (102)>log 108= =f (108)>log 109= =f (109)，
92 ln92 98 ln98 99 ln99
所以a=92log
98
108−102<0<b=99log
98
108−109，即b>0>a.
故选：D.
ln7
22．（2024·全国·模拟预测）已知：a= ，b=2.8，c=e1.02，那么a,b,c三者的关系是（ ）
ln2
A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a
【答案】C
ln7
【解析】因为5a=5⋅ =5log 7=log 75=log 16807，
ln2 2 2 2
5b=5×2.8=14=log 214=log 16384，而16807>16384，
2 2
所以5a>5b，得a>b，
x+1 1 1 1 1 1
令f(x)=ln − (x>0)，则f' (x)= − + =− <0，
x x+1 x+1 x (x+1) 2 x(x+1) 2
所以f(x)在(0,+∞)上递减，
因为当x→+∞时，f(x)→0，所以f(x)>0，
x+1 1 35 1
所以ln > ，所以ln > >0.02，
x x+1 34 35
35
所以
>e0.02
，
34
2.8 35 2.8
因为 = ，所以 >e0.02 ，
2.72 34 2.72
所以2.8>2.72×e0.02>e1.02，所以b>c，
所以a>b>c，
故选：C
23．下列不等式中正确的是（ ）
sin2 sin3
A．2π<23 B．eπ<π+1 C．lnπ>π−1 D． >
2 3
【答案】D【解析】对于选项A：因为y=2x在R上单调递增，
且π>3，可得2π>23，故A错误；
对于选项BC：令f (x)=ex−x−1,x>0，则f'(x)=ex−1>0对任意x>0恒成立，
可知f (x)在(0,+∞)内单调递增，则f (x)>f (0)=0，
即ex>x+1,x>0，且π>0，可得eπ>π+1，故B错误；
因为ex>x+1,x>0，则x>lnx+1,x>1，即lnx<x−1,x>1，
且π>1，可得lnπ<π−1，故C错误；
sinx
对于选项C：因为 表示点(x,sinx)与坐标原点之间连线的斜率，
x
sin2 sin3
结合图象可知： > ，故D正确；
2 3
故选：D.
24．已知a=0.02，b=e−0.96，c=ln1.03，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b>a>c B．b>c>a
C．c>a>b D．a>b>c
【答案】B
1
【解析】令f(x)=ln(1+x)−x,0<x<1，求导得f' (x)= −1<0，即函数f(x)在(0,1)上单调递减，
1+x
则f(0.03)<f(0)=0，即ln1.03−0.03<0，因此ln1.03<0.03；
1 3 1−6x
令g(x)=ln(1+3x)−2x,0<x< ，求导得g' (x)= −2= >0，
6 1+3x 1+3x
1
函数g(x)在(0, )上单调递增，则g(0.01)>g(0)=0，即ln1.03−0.02>0，因此ln1.03>0.02，
6
1 1
所以b=e−0.96>e−1= > >c>a.
e 3
故选：B题型八：同构法
25．（2024·高三·浙江·开学考试）已知a>1,b>0，若√a+log a=b+log b，则（ ）
2 2
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a<b2
【答案】D
【解析】当a=4时，√a+log a=b+log b=4⇒b+log b−4=0，
2 2 2
函数g(x)=x+log x−4是正实数集的上的增函数，
2
因为g(2)g(4)=−1×2<0，因此b∈(2,4)⇒2b∈(4,8)，显然a<2b，
因此选项A不正确；
当a=16时，√a+log a=b+log b=8⇒b+log b−8=0，
2 2 2
函数ℎ(x)=x+log x−8是正实数集的上的增函数，
2
因为ℎ(4)g(8)=−2×3<0，因此b∈(4,8)⇒2b∈(8,16)，显然a>2b，
因此选项B不正确；
因为a>1，所以log a>0
2
由√a+log a=√a+2log √a>√a+log √a⇒b+log b>√a+log √a，
2 2 2 2 2
构造函数f (x)=x+log x(x>0)，显然该函数单调递增，
2
由b+log b>√a+log √a⇒f (b)>f (√a)⇒b>√a⇒b2>a，因此选项C不正确，选项D正确，
2 2
故选：D
b
26．（2024·重庆·模拟预测）已知正实数a, b 满足 2a=8b+log ,则（ ）
2a
A．a=b B．a<3b C．a=3b D．a>3b
【答案】B
b
【解析】由2a=8b+log 可得2a−23b=log b−log a=log (3b)−log a−log 3,
2a 2 2 2 2 2
因log 3>1，则有2a−23b<log (3b)−log a,即2a+log a<23b+log (3b),（*）
2 2 2 2 2
设f(x)=2x+log x，则（*）即f (a)<f (3b)，因f(x)在(0,+∞)上为增函数，故可得：a<3b.
2故选：B.
重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法
27．（2024·全国·模拟预测）已知a=0.99，b=0.9999，c=sin9则（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a
【答案】C
【解析】由已知，a=0.99= ( 1− 1 ) 10−1 ，b=0.9999= ( 1− 1 ) 100−1 ，
10 100
设 f (x)=(1−x) 1 x −1 =eln(1−x) 1 x−1 =e (1 x −1)ln(1−x)，x∈(0,1)，
则f '(x)=e (1 x −1)ln(1−x) ⋅ [(1 −1 ) ln(1−x) ] ' ，
x
'
[(1 ) ] 1 (1 ) −1 ln(1−x)+x
其中 −1 ln(1−x) =− ln(1−x)+ −1 ⋅ =− ，
x x2 x 1−x x2
1 x
令g(x)=ln(1−x)+x，则g'(x)=− +1= ，
1−x x−1
当x∈(0,1)时，g'(x)<0，∴g(x)在(0,1)上单调递减，g(x)<g(0)=0，
'
[(1 ) ]
∴当x∈(0,1)时， −1 ln(1−x) >0，f '(x)>0， f (x)在(0,1)上单调递增，
x
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 10−1 ( 1 ) 100−1
∴f >f ，即 1− > 1− ，∴有a>b.
10 100 10 100
对于c与a，c=sin9=sin(3π−9)>sin(9.42−9)>sin0.4，
0.43
将sin0.4泰勒展开，得sin0.4>0.4− >0.3893，
3!
a=(1−0.1) 9<C0(−0.1) 0+C1(−0.1) 1+C2(−0.1) 2+C3(−0.1) 3+C4(−0.1) 4
9 9 9 9 9
=1−0.9+0.36−0.084+0.0126=0.3886<0.3893<c，
a<c.
∴综上所述，a，b，c的大小关系为c>a>b.
故选：C.1
28．已知a= ，b=ln1.01，c=e0.01−1，则（ ）
1.01
A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．a<c<b
【答案】B
1 3×1.012−3
【解析】a= ≈0.9900，b=ln1.01≈ ≈0.00995，
1.01 1.012+4×0.1+1
0.012+6×0.01+12 12.0601
c=e0.01−1≈ −1= −1≈0.01005，
0.012+6×0.01+12 11.9401
综上，b<c<a．
故选：B
29．已知a=2ln1.02，b=ln1.05，c=√1.1−1，则（ ）
A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．a<c<b
【答案】A
3×1.022−3 0.1204
【解析】a=2ln1.02≈2× =2× ≈0.03934，
1.022+4×1.02+1 6.1204
3×1.052−3 0.3075
b=ln1.05≈ = ≈0.4879，
1.052+4×0.5+1 6.3025
1 1
c=√1.1−1=√1+0.1≈1+ ×0.1− ×0.12−1=1.4875.
2 8
综上，a<b<c．
故选：A3(2−ln3) 1 ln4
1．设a= ,b= ,c= ，则a,b,c的大小顺序为（ ）
e2 e 4
A．a<c<b B．c<a<b
C．a<b<c D．b<a<c
【答案】B
lnx
【解析】令f (x)= ，x>0，
x
e2
ln
e2 3 3(2−ln3) lne 1 ln2 ln4
则a=f( )= = ，b=f(e)= = ，c=f (2)= = ，
3 e2 e2 e e 2 4
3
1−lnx
而f' (x)= ，当0<x<e时，f' (x)>0，f(x)单调递增；当x>e时，f' (x)<0，f(x)单调递减，
x2
e2 (e2
)
又2< <e，∴f (2)<f <f (e)，即c<a<b.
3 3
故选：B.
ln2 1 2+ln2
2．设a= ，b= ，c= ，则a,b,c的大小顺序为（ ）
2 e 2e2
A．c>b>a B．b>c>a C．b>a>c D．c>a>b
【答案】C
1 lne 2+ln2 ln2e2
【解析】由b= = ，且c= = ，
e e 2e2 2e2
lnx 1−lnx
构造函数f (x)= ，可得f'(x)= ，
x x2
当x∈(e,+∞)时，f'(x)<0，f (x)单调递减，
ln2 ln4
又由a= = =f (4)，故f (e)>f (4)>f (2e2)，即b>a>c.
2 4
选选：C.
3．已知a=log 0.3，b=log 0.2，c=log 3，则a，b，c的大小关系为（ ）
0.2 0.3 2A．b<c<a B．c<b<a C．a<b<c D．a<c<b
【答案】C
【解析】∵0<a=log 0.3<1，b=log 0.2>1，c=log 3>1，
0.2 0.3 2
b lg2−1 lg2 lg22−lg2
又 =log 0.2⋅log 2= ⋅ = ，
c 0.3 3 lg3−1 lg3 lg23−lg3
因为函数f (x)=x2−x= ( x− 1) 2 − 1 ，在 ( 0, 1) 上单调递减，且f (0)=0，
2 4 2
1
又因为 >lg3>lg2>0，
2
f (lg2) lg22−lg2 b
所以f (lg3)<f (lg2)<0，所以 <1，即 <1，所以 <1，
f (lg3) lg23−lg3 c
∴b<c，即a<b<c．
故选：C
1 ln5 2
4．已知a= ，b= ，c= ，则a，b，c的大小关系为（ ）
e 5 5
A．b<c<a B．c<a<b C．c<b<a D．b<a<c
【答案】D
lnx 1−lnx
【解析】令f (x)= ，则f'(x)= ，
x x2
当x∈(0,e)时，f'(x)>0，f (x)单调递增；
当x∈(e,+∞)时，f'(x)<0，f (x)单调递减，
1 ln5 2 1 1
当x=e时，f (x)取得极大值，则a= =f (e)>b= =f (5)，c= = > ，
e 5 5 2.5 e
故b<a<c．
故选：D
5．（2024·高三·四川·期中）已知函数f(x)=ln(x2−2x+3)+e|x−1|，设
a=f(0),b=f (log 4),c=f (log 5)，则a，b，c的大小关系是（ ）
3 4
A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．b<c<a
【答案】C【解析】由x2−2x+3=(x−1) 2+2，令t=x−1∈R，则f(x)=g(t)=ln(t2+2)+e|t| ，
由g(−t)=ln[(−t) 2+2]+e|−t|=ln(t2+2)+e|t|=g(t)，故g(t)为偶函数，
当t≥0时，g(t)=ln(t2+2)+et在t∈[0,+∞)上递增，
a=f(0)=g(−1)=g(1),b=f(log 4)=g(log 4−1),c=f(log 5)=g(log 5−1)，
3 3 4 4
log 5 log 5+log 3 2 log 15 2 log 16 2
因为 4 =log 5×log 3<( 4 4 ) =( 4 ) <( 4 ) =1，
log 4 4 4 2 2 2
3
且0<1<log 4<2，
3
所以1<log 5<log 4<2，
4 3
所以0<log 5−1<log 4−1<1，
4 3
所以g(log 5−1)<g(log 4−1)<g(1),
4 3
所以f(log 5)<f(log 4)<f(0)
4 3
即c<b<a.
故选：C
(2) 0.5 (3) 0.3
6．（2024·高三·山东淄博·期中）设a= ， b= ，c=log (log 3)，则（ ）
3 2 2 2
A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．c<a<b
【答案】D
(2) 0.5 √2
【解析】根据 = >√0.64=0.8，可得0.8<a<1，
3 3
(3) x (3) 0.3 (3) 0
由y= 是R上的增函数，可得 > =1，即b>1．
2 2 2
因为21.6=√5 28=√5256>√5243=3，y=log x是(0,+∞)上的增函数，
2
所以log 3<log 21.6=1.6，可得c=log (log 3)<log 1.6，
2 2 2 2 2
又因为1.65<16，可得1.6<√516=20.8，
所以log 1.6<log 20.8=0.8，可得c<0.8．
2 2
综上所述，c<a<b，故选：D．
7．（2024·高三·福建福州·期中）已知a=log 3，b=20.2，c=ln2，则a，b，c的大小关系为（ ）
0.3
A．b>a>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b
【答案】B
【解析】因为y=log x在定义域(0,+∞)内单调递减，
0.3
可得log 3<log 1=0，即a<0；
0.3 0.3
因为y=lnx在定义域(0,+∞)内单调递增，
可得0=ln1<ln2<lne=1，即0<c<1；
且y=2x在定义域R内单调递减，
可得20.3>20=1，即b>1；
综上所述：b>c>a.
故选：B.
1 (1) b (1) a
8． 若 < < <1，则（ ）
3 3 3
A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa
【答案】C
1 (1) b (1) a 1
【解析】若 < < <1，且 ∈(0,1)，
3 3 3 3
(1) x
由函数f (x)= 在R上为减函数，f (1)<f (b)<f (a)<f (0)，
3
则0<a<b<1，
又函数y=ax在R上为减函数，则ab<aa，
又函数y=xa在(0,+∞)上为增函数，则aa<ba，
因此可得ab<aa<ba.
故选：C.
9．（2024·高三·重庆·期中）已知实数a>0，且a≠1，若函数f (x)=ax+log x在(1,2)上存在零点，则
a
（ ）
A．a2+log 2<0 B．a2−log a<0 C．a4+log 2>0 D．a−log 2<0
a 2 a a
【答案】A
【解析】当a>1时，易得f (x)=ax+log x在(0,+∞)上单调递增，
a则需f (1)=a+log 1=a<0，与a>1矛盾，故舍去，
a
当0<a<1时，易得f (x)=ax+log x在(0,+∞)上单调递减，
a
则需f (1)=a+log 1=a>0，f (2)=a2+log 2<0，故A正确；
a a
由0<a<1，则a2−log a>a2−0>0，故B错误；
2
a4+log 2<a2+log 2<0，故C错误；
a a
a−log 2>a−0>0，故D错误.
a
故选：A.
10．（多选题）下面比较大小正确的有（ ）
ln2 1 π
A． > B．3ln4<4ln3 C． >lnπ D．3<eln3
2 e e
【答案】BC
lnx 1−lnx
【解析】根据题意可构造函数f (x)= ，则f'(x)= ，
x x2
由于函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，且lne=1，
lnx
从而，当0<x≤e时，f'(x)≥0，则函数f (x)= 在(0,e]上单调递增，
x
lnx
当x>e时，f'(x)<0，则函数f (x)= 在(e,+∞)上单调递减，
x
又，0<2<e<3<π<4，
所以，f (2)<f (e)，f (e)>f (3)>f (π)>f (4)，
ln2 lne ln3 ln4 lne lnπ lne ln3
即 < ， > ， > ， > ，
2 e 3 4 e π e 3
ln2 lne 1
故 < = ，选项A错；
2 e e
3ln4<4ln3，选项B正确；
π
>lnπ，选项C正确；
e
3>eln3，选项D错.
故选：BC.
1 10 √10
11．（多选题）（2024·湖北·一模）已知 a=2 log 4100 ，b=ln
9
，c=
30
，则（ ）A．c>a B．a>b
C．c>b D．b>a
【答案】ACD
log 1 log 1 1 10 9 ( 1 )
【解析】a=2 4100=2 210= ，b=ln =−ln =−ln 1− ，
10 9 10 10
1 ( 1 )
a−b= +ln 1− ，
10 10
令f (x)=x+ln(1−x)，x∈(0,1)，
1 −x
则f'(x)=1− = <0，f (x)在(0,1)上单调递减，
1−x 1−x
( 1 )
所以f <f (0)=0，即a<b，故D正确；
10
√10 √10 √ 9 10 √10 √ 9
因为c= = − ，所以b−c=ln − + ，
30 9 10 9 9 10
1
令ℎ(x)=lnx−√x+ ，x∈(1,+∞)，
√x
2
1 1 1 2√x−x−1 −(√x−1)
则ℎ '(x)=
x
−
2√x
−
2√x3
=
3
=
3
<0 ，ℎ(x)在(1,+∞)上单调递减，所以
2x2 2x2
(10)
ℎ
< ℎ(1)=0，
9
即b<c，故C正确，
因为a<b，b<c，所以c>a，故A正确.
故选：ACD.
2
12．（多选题）设a=e0.1−1,b=ln1.1,c= ,d=sin0.1，则（ ）
21
A．b<a B．b<c C．b<d D．d<a
【答案】ACD
【解析】b=ln1.1=ln(0.1+1)，
设ℎ(x)=ln(x+1)−x(x>0)，
1 −x
所以ℎ '(x)= −1= <0，
x+1 x+1
所以函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减，
所以ℎ(x)< ℎ(0)=0，所以x>0时，ln(x+1)<x，
所以x+1<ex，即ln(x+1)<x<ex−1，
所以b=ln(0.1+1)<0.1<e0.1−1=a，所以b<a,A正确；
( 4 )
令g(x)=lnx− 2− ,x>1，
x+1
1 4 (x−1)(x+3)
则g'(x)= − = >0，
x (x+1) 2 (x+1) 2x
当x>1时，g'(x)>0，函数g(x)在(1,+∞)单调递增，
( 4 )
所以g(1.1)=ln1.1− 2− >0=g(1)，
2.1
4 2
即ln1.1>2− = ，b>c,B错误；
2.1 21
π
令t(x)=ln(x+1)−sinx,x∈ ( 0, ) ，
6
1 1−(x+1)cosx
则t'(x)= −cosx= ,
x+1 x+1
m(x)=1−(x+1)cosx,m'(x)=−cosx+(x+1)sinx,
π
m'(x)=−cosx+(x+1)sinx=n(x),x∈ ( 0, ) ,n'(x)=2sinx+(x+1)cosx>0,n(x)=m'(x)单调递增，
6
π π √3 π 1 6+π−6√3
当x∈ ( 0, ) 时，m'(x)<m'( )=− +( 1+ ) × = <0，函数m(x)单调递减，
6 6 2 6 2 12
π
所以m(0.1)<m(0)=0,x∈ ( 0, ) ,t'(x)<0,t(x)单调递减,
6
t(0.1)=ln1.1−sin0.1<t(0)=0,
即ln1.1<sin0.1，b<d,C正确；
令f (x)=sinx−x(x≥0)，
则f'(x)=cosx−1≤0，
所以f (x)在(0,+∞)上单调递减，
( 1 ) 1 1
所以f =sin − <0=f (0)，
10 10 10
1 1
即sin < =0.1<e0.1−1，d<a,D正确.
10 10
故选：ACD.
13．（多选题）已知2m=3n=6，则下列说法正确的是（ ）1 1
A． + =1 B．m⋅n<4 C．m+4n>9 D．(m−1) 2+(n−1) 2>2
m n
【答案】ACD
【解析】由2m=3n=6，得m=log 6,n=log 6，
2 3
1 1 1 1
对于A，因为m=log 6,n=log 6，所以 + = + =log 2+log 3=log 6=1，所以A正确，
2 3 m n log 6 log 6 6 6 6
2 3
对于B，因为m=log 6,n=log 6，所以m⋅n=log 6×log 6=(1+log 3)(1+log 2)
2 3 2 3 2 3
=1+log 2+log 3+log 2×log 3
3 2 3 2
>2+2√log 2×log 3=4，所以B错误，
3 2
对于C，因为m=log 6,n=log 6，所以m+4n=log 6+4log 6=1+log 3+4(1+log 2)
2 3 2 3 2 3
=5+log 3+4log 2
2 3
>5+2√log 3×4log 2=9，所以C正确，
2 3
对于D，因为m=log 6,n=log 6，所以(m−1) 2+(n−1) 2=(log 6−1) 2+(log 6−1) 2
2 3 2 3
=(1+log 3−1) 2+(1+log 2−1) 2
2 3
=(log 3) 2+(log 2) 2
2 3
>2√(log 3) 2×(log 2) 2=2log 3×log 2=2，所以D正确.
2 3 2 3
故选：ACD
