文档内容
专题 03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................6
题型一：直接利用单调性 6
题型二：引入媒介值 7
题型三：含变量问题 8
题型四：构造函数 9
题型五：数形结合 10
题型六：特殊值法、估算法 11
题型七：放缩法 12
题型八：同构法 13重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 14
指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以
选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年北京卷第9题，5分
预测 2025 年高考趋
2024年天津卷第5题，5分 势，指对幂比较大小或以
2022年新高考I卷第7题，5分 小题压轴，预计：
掌握指对幂大小
指对幂比较大小 比较的方法与技 2022年天津卷第5题，5分 （1）以选择、填空题型
巧 呈现，侧重综合推理。
2022年甲卷第12题，5分
2021年II卷第7题，5分
（2）构造灵活函数比较
大小将成为考查热点。
2021年天津卷第5题，5分（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如ax 1和ax 2，利用指数函数y=ax的单调性；
②指数相同，底数不同，如xa 和xa 利用幂函数y=xa单调性比较大小；
1 2
③底数相同，真数不同，如log x 和log x 利用指数函数log x单调性比较大小；
a 1 a 2 a
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小
关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
x2 xn eθx
①ex=1+x+ +⋯+ + xn+1
2! n! (n+1)!
x3 x5 x2n+1
②sinx=x− + −⋯+(−1) n +o(x2n+2 )
3! 5! (2n+1)!
x2 x4 x6 x2n
③cosx=1− + − +⋯+(−1) n +o(x2n )
2! 4! 6! (2n)!
x2 x3 xn+1
④ln(1+x)=x− + −⋯+(−1) n +o(xn+1 )
2 3 n+1
1
⑤
=1+x+x2+⋯+xn+o(xn
)
1−x
n(n−1)
⑥(1+x) n=1+nx+ x2+o(x2 )
2!1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 的定义域为R， ，且当
f(x) f(x)>f(x−1)+f(x−2)
时 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
x<3 f(x)=x
A． B．
f(10)>100 f(20)>1000
C． D．
f(10)<1000 f(20)<10000
2．（2024年天津高考数学真题）设
a=4.2−0.2，b=4.20.2，c=log 0.2
，则
a，b，c
的大小关系为
4.2
（ ）
A．a 1 2
2 2 2 2 2 2
C． y + y D． y + y
log 1 2x +x
2 2 1 2 2 2 1 2
4．（2023年天津高考数学真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5 a,b,c
A．a0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
31 1 1
7．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a= ,b=cos ,c=4sin ，则（ ）
32 4 4A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b
1
8．（2022年新高考全国I卷数学真题）设a=0.1e0.1,b= ，c=−ln0.9，则（ ）
9
A．ab>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b
【典例1-2】（2024·高三·黑龙江鸡西·期中）已知函数 ， ， 的零
f (x)=2x+x g(x)=log x+x ℎ(x)=x3+x
2
点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．b>a>c
利用指对幂函数的单调性判断
【变式1-1】已知
a=log 6,b=log 2,c=e−2
，比较a，b，c的大小为（ ）
5 0.5
A．b>a>c B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c
【变式1-2】已知
a=0.33π
，
b=
(1) e （
e
为自然对数的底数）
c=tan1
，比较
a
，
b
，
c
的大小（ ）
eA．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．c>b>a
1．（2024·江西新余·一模）故
a=
(5)− 5
7
，
b=
(7)
5
3 ，
c=log
14，则a，b，c的大小顺序是（ ）
7 5 3 5
A．bb B．aa>b B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c
3 1
【典例2-2】三个数a=sin
2
，
b=23
，c=ln3−ln2的大小顺序是（ ）
A．ab>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
【变式2-2】已知 ， ， (1) 2 ，则（ ）
a=ln4 b=lg4 c= 3
4A．ca>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a
2 ln3 3
2．已知a= ，b= ，c= ，则（ ）
ln4 ln2 2
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
3．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
a=log 0.7 b=1.40.7 c=0.71.4 a b c
1.4
A．ab>c B．b>a>c
C．c>a>b D．c>b>a
对变量取特殊值代入或者构造函数
【变式3-1】（多选题）已知正数 满足 ，则（ ）
a,b ea(1−lnb)=1A．
e2
ea
C． D．
ea>b ea−lnb>1
(1) b
【变式3-2】（2024·陕西西安·统考一模）设a>b>0,a+b=1且x=− ,y=log a,z=log ab，则
a 1 (1 + 1)
b a b
x,y,z的大小关系是（ ）
A．x4 ab<1 a+c2>2 a2+c>2
2．（多选题）若0log (1+a)
a b
题型四：构造函数
【典例4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知 ln√2 ln3 1 ，则 的大小为（ ）
a= ,b= ,c= a,b,c
2 6 2e
A．b>c>a B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）若 2−ln2， 1 ， ln2，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
a= b= c= a b c
e2 2e 4
A．ac>a
C．c>a>b D．b>a>c
【变式4-2】已知 ， ， 5−√5，试比较 ， ， 的大小（ ）
a=√5 b=ln(√5+1) c= a b c
4
A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a
1．已知 ， √1.02， ，则（ ）
a=ln(sin1.02) b= c=ln1.02
51
A．ab>c B．ac>b D．b>c>a
1 3
3．设a=√e−1,b= ,c=1−ln ，则（ ）
2 2
A．c>a>b B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a题型五：数形结合
【典例5-1】函数 ， ， 的零点分别为 ， ， ，则 ， ， ，的
f (x)=2x+x g(x)=log x+x ℎ(x)=√x+x a b c a b c
2
大小顺序为（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
a b c
【典例5-2】实数a,b,c∈R满足a−4=ln <0，b−3=ln <0，c−2=ln <0，则a，b，c的大小为
4 3 2
（ ）
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
转化为两函数图象交点的横坐标
【变式5-1】[新考法]已知函数
f (x)=
3x
.设
a+b+c=0,abc<0
，则（ ）
1+3x
3 3
A．f (a)+f (b)+f (c)< B．f (a)+f (b)+f (c)≤
2 2
3 3
C．f (a)+f (b)+f (c)> D．f (a)+f (b)+f (c)≥
2 2
8 12 1
【变式5-2】已知a=0.80.5+0.80.7+0.80.9，b=0.60.8+0.70.8+0.80.8， c=e − 15+e − 35+e − 5，则
（ ）
A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a
1．若实数a，b，c满足 ，则下列不等关系中不可能成立的是（ ）
a2b=a3c=6
A．c2 y 1 + 2 y 2；③ log 2 <− y 1 + y 2；④ log 2 >− y 1 + y 2.
2 2 2 x +x 2 2 x +x 2
1 2 1 2
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
题型六：特殊值法、估算法
【典例6-1】（2024·高三·四川·期中）已知
(x ,y )
、
(x ,y )
是函数
y=log x
图象上不同的两点，则（ ）
1 1 2 2 2
A．y + y x +x B．y + y x +x
1 2log 1 2
2 2 2 2 2 2
C． x +x D． x +x
y + y log 1 2
1 2 2 2 1 2 2 2
【典例6-2】已知x,y∈R，且x+ y>0，则（ ）
1 1
A． + >0 B．x3+ y3>0
x y
C． D．
lg(x+ y)>0 sin(x+ y)>0
估算要比较数值的大致范围，从而判断其大小关系。
【变式6-1】设 ， ， ，则（ ）
a=3e−0.2 b=2e0.2 c=2.4
A．a0 cosy>cosx 2025y−x>1 |y−2|>|x−2|
1
1．已知a=sin1.01，b= ，c=ln1.04，则a，b，c的大小关系是（ ）
1.02A．b>a>c B．a>b>c C．a>c>b D．b>c>a
2．已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
a=log 0.05 b=0.51.002 c=20.05
2
A．ab>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a
题型七：放缩法
【典例7-1】（2024·高三·四川德阳·开学考试）已知 ， ， ，比较a，b，c的大
a=log 2 b=log 3 c=0.51.2
3 4
小为（ ）
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．b>a>c
1
【典例7-2】（2024·河南·模拟预测）已知 19 37，则 的大小关系是（ ）
a=e19,b= ,c=1+ln a,b,c
18 35
A．ae
e e
C．若
a∈
[1
,e
)，则
ab=ee
D．若
a∈
[1
,e
)，则
ba=ee
e e1 3
【变式7-2】已知a=√e−1，b=sin ，c=ln ，则（ ）
2 2
A．ab>2 B．b>a>2 C．a>2>b D．b>2>a
2．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
a=log 7 b=log 8 c=log 10
5 6 8
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a
21
3．设a=tan0.21，b=ln1.21,c= ，则下列大小关系正确的是 （ ）
22
A．bβ B．α=β
C．α<β D．无法确定α，β的大小
【典例8-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知 ，则下列说法正
00 x>y log b>0 x0,b>0,ea=ab(1+lnb)
A．lnb>a B．alnb>1
C． D．
e>ba a(1+lnb)<1
【变式8-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足log a+log 3=log b+log 4，则下
3 b 3 a
列关系式中可能正确的是（ ）
A．∃a,b∈(0,+∞)，使|a−b|>1 B．∃a,b∈(0,+∞)，使ab=1
C．∀a,b∈(1,+∞)，有bb>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
2．已知正数 ， ， 满足 ，则（ ）
a b c alnb=bec=ca
A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．b>c>a
3．（多选题）已知a>0，b>0且满足ab−2b+bln(ab)=e，则下列结论一定正确的是（ ）
A．ab>e B．abe2 D．abb>c B．ac>b D．b>c>a
1
【典例9-2】已知a=e0.2−1，b=ln1.2，c= ，则（ ）
6
A．a
