文档内容
新定义题型 02 压轴解答题的深度剖析与策略归纳
目录
01考情透视·目标导航...................................................................................................2
02知识导图·思维引航...................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破...............................................................................................10
题型一：集合新定义 10
题型二：函数与导数新定义 12
题型三：立体几何新定义 14
题型四：三角函数新定义 17
题型五：平面向量与解三角形新定义 19
题型六：数列新定义 21
题型七：圆锥曲线新定义 22
题型八：概率与统计新定义 25
重难点突破：高等数学背景下新定义 27创新意识与创新应用是新时代的主旋律，也是高中数学教学与学习中需要不断渗透与培养的一种基本
精神与能力！借助“新定义”，可以巧妙进行数学知识中的概念类比、公式设置、性质应用、知识拓展与
创新应用等的交汇与融合，很好地融入创新意识与创新应用.
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，
要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年II卷第19题，17分
2024年北京卷第21题，15分 预测 2025 年新高考
理解概念，掌握
试卷第 19 题结构考查数
数列新定义 应用，提升思 2023年北京卷第21题，15分
列新定义问题，压轴题，
维。
2022年北京卷第21题，15分 难度比较大．
2021年北京卷第21题，15分1、代数型新定义问题的常见考查形式
（1）概念中的新定义；
（2）运算中的新定义；
（3）规则的新定义等．
2、解决“新定义”问题的方法
在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，
确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不
同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分
析与解决！1．（2024年北京高考数学真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届
满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司
赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 为一份保单的毛利润，估计 的数学期望 ；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 ，有索赔的保单的保费增加 ，试比较这种情况下一份保单毛
利润的数学期望估计值与（i）中 估计值的大小．（结论不要求证明）
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具
体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；
若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未
投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概
率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设 ，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？3．（2023年北京高考数学真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价
格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用
“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天
中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下
跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进
行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个
用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 ，
．试验结果如下：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
53 54
伸缩率 545 551 522 575 541 568 596 548
3 4
52 53
伸缩率 536 543 530 560 522 550 576 536
7 3
记 ，记 的样本平均数为 ，样本方差为 ．
(1)求 ， ；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否
则不认为有显著提高）
5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此
人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次
投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医
学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判
定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定为阳
性的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率 ％时，求临界值c和误诊率 ；
(2)设函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 的最小值．
7．（2022年新高考全国II卷数学真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的
年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
8．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为
估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： ）
和材积量（单位： ），得到如下数据：
总
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
和
根部横截面积
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得 ．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 ．已
知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数 ．题型一：集合新定义
【典例1-1】给定平面上一些点的集合D及若干个点 若对于
为定值，我们就称 为一个稳定点集.
(1)判断集合 与点 构成的 是不是稳定点
集，并说明理由；
(2)判断集合 以及点 构成的 是不是稳
定点集，并说明理由；
(3)若集合 及单位圆 中的内接2024边形的顶点 ， ， ， 构成的
是一个稳定点集，求 的值.
【典例1-2】二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的
基数为2，进位规则“逢二进一”，借位规则“借一当二”．记十进制下的正整数 在二进制下的表示为
，若 ，则称 为
“Z20数”.记 表示集合 中“Z20数”的个数.
(1)计算 ；(2)求 ；
(3)求证： ，有 ；并求出所有 ，使得 的取值唯一．
【变式1-1】已知集合 具有性质：对任意
， 与 至少有一个属于 ，则称 为“封闭集”．
(1)若集合 ， ，判断 ， 是否是“封闭集”?并说明理由；
(2)若集合 是“封闭集”，且 ，求集合 ；
(3)设集合 是“封闭集”，证明：当 时，
．
1．已知m为大于0的偶数，集合 ．给定项
数为 的有限数列 ，对于集合 中任意元素 ，记
．
(1)若 ，数列 ，写出 的所有可能值．(2)对于各项均为正数的数列 ，证明：存在 ，使得
．
(3)对于各项均为正数的数列 和 ，证明：存在 ，使得
同时成立．
注： 表示 中最大的数， 表示 中最小的数．
题型二：函数与导数新定义
【典例2-1】有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原
因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲
率定义如下：记 为 的导函数， 为 的导函数，则曲线 在点
处的曲率为 ．
(1)已知函数 ，求曲线 在点 处的曲率 ；
(2)已知函数 ，求曲线 的曲率 的范围．
【典例2-2】牛顿法是17世纪牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法.具体步骤如下：设 是函数 的一个零点，任取 作为 的初始近似值，过点 作曲线
的切线 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，并称 为 的1次近似值；过点 作曲线
的切线 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，称 为 的2次近似值；一直继续下去，得到
.一般地，过点 作曲线 的切线 ，记 与 轴交点的横坐标为 ，并
称 为 的 次近似值，称数列 为牛顿数列.
(1)若函数 的零点为 .求 的2次近似值；
(2)设 是函数 的两个零点，数列 为函数 的牛顿数列，数列
满足 .
（i）求证：数列 为等比数列；
（ii）证明： .
【变式2-1】在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的
光滑曲线 ： 上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从 沿曲线段 运动到 点时， 点的切
线 也随着转动到 点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为 （它等于 的倾斜角与 的倾斜角之
差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，
因此可以定义 为曲线段 的平均曲率；显然当 越接近 ，即 越小， 就越能精确刻画曲线在点 处的弯曲程度，因此定义 （若极限存在）为曲线 在点 处的曲率.（其
中 ， 分别表示 在点 处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为 的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆 在 处的曲率；
(3)定义 为曲线 的“柯西曲率”.已知在曲线 上存在两点
和 ，若 且 处的“柯西曲率”相同，求 的最小值.
1．设函数 的定义域为 ，其导函数为 ，区间 是 的一个非空子集．若对区间 内的任意
实数 ，存在实数 ，使得 ，且使得 成立，则称函数 为区间 上的
“ 函数”．
(1)判断函数 是否为 上的“ 函数”，并说明理由；(2)若函数 是 上的“ 函数”．
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）证明： ， ．
题型三：立体几何新定义
【典例3-1】空间直角坐标系 中，任何一个平面的方程都能表示成 （其中
），且 为该平面的法向量.
(1)若平面 ， ，且 ，求实数 的值；
(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点 到平面 的距离为
，若记集合 所围成的几何体为 ，求 的内切球的表
面积；
(3)记集合 中所有点构成的几何体为 .
求 的体积 的值；
①
求 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小.
②
【典例3-2】球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球 的半径为 . 、 、 为球面上三点，劣弧 的弧长记为 ，设 ，表示以 为圆心，且过 、 的圆，同理，圆 ， 的劣弧
、 的弧长分别记为 、 ，曲面 （阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角 ，
， 分别为 、 、 ，则球面三角形的面积为 .
(1)若平面 、平面 、平面 两两垂直，求球面三角形 的面积；
(2)若平面三角形 为直角三角形， ，设 ， ， .则：
①求证：
②延长 与球 交于点 .若直线 ， 与平面 所成的角分别为 ， ， ， ，
为 中点， 为 中点，设平面 与平面 的夹角为 ，求 的最小值，及此时平面 截
球 的面积.
【变式3-1】定义：多面体 在点 处的离散曲率为
，其中 为多面体 的一个顶点， （
， 且 ）为多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 、平面 、 、平面 和平面 为多面体 的所有以 为公共点的面．如图，在四棱锥 中， 平面
，底面 为正方形， ， ．
(1)求四棱锥 在顶点 处的离散曲率；
(2)求四棱锥 内切球的表面积；
(3)若 是棱 上的一个动点，求直线 与平面 所成角的取值范围．
1．在空间直角坐标系Oxyz中，这点 且以 为方向向量的直线方程可表示为
，过点 且以 为法向量的平面方程可表示为
．
(1)已知直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．请分别写出直线 和直线
的一个方向向量．
(2)若直线 与 都在平面 内，求平面 的方程；(3)若集合 中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面
所在平面的夹角的余弦值．
题型四：三角函数新定义
【典例4-1】在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的
三角函数：定义 为角 的正矢（ 或 ），记作 ；定义 为角 的余
矢（Coversed或coversedsine），记作 ．
(1)设函数 ，求函数 的单调递减区间；
(2)当 时，设函数 ，若关于 的方程 的有三个实
根 ，则：
①求实数 的取值范围；
②求 的取值范围．
【典例4-2】对于定义域为R的函数 ，若存在常数 ，使得 是以 为周期的周期函
数，则称 为“正弦周期函数”，且称 为其“正弦周期”.
(1)判断函数 是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
(2)已知 是定义在R上的严格增函数，值域为R，且 是以 为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若 ，且存在 ，使得 ，求 的值；
(3)已知 是以 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在 和 ，使得对任意 ，
都有 ，证明： 是周期函数.
【变式4-1】如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对
这些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和
余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如： 角都是可解角.
(1)判断 ， ， 是否为可解数（无需说明理由）；
(2)证明： 角是可解角；
(3)已知每个可解数a都是某些整系数多项式函数 （ ）的零点，这些多
项式中，x的最高次数n最小，且系数 ， ， ，…， 的最大公约数为1的多项式函数称为a的最小
多项式函数.任一可解数a的最小多项式函数中x的最高次数n必为 （ ）.例如： 的最小多项式
函数不是 ，而是 .证明： 角不是可解角，并求整数度数的锐角中
最小的可解角.1．给定函数 ，设 ，若存在实数 ，使得 在区问 上是严格单调函
数，则称 为 的“正弦单调区间”，并将 的最大值称为 的“正弦单调值”．
(1)判断 是否存在“正弦单调区间”，并说明理由；
(2)若 ，证明：对任意的非零实数 ， 的“正弦单调值”为定值；
(3)若 ，当 变化时，求 的“正弦单调值”的最大值，以及 的“正弦单
调值”取最大值时实数 的取值集合．
题型五：平面向量与解三角形新定义
【典例5-1】如图，设 、 是平面内相交成 的两条射线， 、 分别为 、 同向的单
位向量，定义平面坐标系 为 仿射坐标系，在 仿射坐标系中，若 ，则记 .
(1)在 仿射坐标系中，若 ，求 ；
(2)在 仿射坐标系中，若 ， ，且 与 的夹角为 ，求 ；(3)如图所示，在 仿射坐标系中， 、 分别在 轴、 轴正半轴上， ， ， 、 分
别为 、 中点，求 的最大值.
【典例5-2】定义 三边长分别为 ， ， ，则称三元无序数组 为三角形数．记 为三角形数
的全集，即 ．
(1)证明：“ ”是“ ”的充分不必要条件；
(2)若锐角 内接于圆O，且 ，设 ．
①若 ，求 ；
②证明： ．
【变式5-1】定义向量 的“亲密函数”为 .设向量 的“亲密
函数”为 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)若方程 有三个连续的实数根 ， ， ，且 ， ，求实数 的值；
(3)已知 为锐角三角形， ， ， 为 的内角 ， ， 的对边， ，且 ，求面积的取值范围.
1．对于平面向量 ，定义“ 变换”：
，
(1)若向量 ， ，求 ；
(2)求证： ；
(3)已知 ， ，且 与 不平行， ， ，求证：
．
题型六：数列新定义
【典例6-1】已知数列 的前n项和为 ，若对每一个 ，有且仅有一个 ，使得 ，
则称 为“X数列”．记 ，称数列 为 的“余项数列”．
(1)若 的前四项依次为 ，试判断 是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若 ，证明 为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知 的正项数列 为“X数列”，且 的“余项数列”为等差数列，证明 ．
【典例6-2】已知 是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前 项和为 ， ．集合
， 中元素个数为 ，将 中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列 ．
若 ，则称数列 为 数列．
(1)若 ，写出一个 数列
(2)若 是公比为偶数的等比数列，证明： 为 数列：
(3)若 数列 是等差数列，求 的最小正整数．
【变式6-1】若数列 是等差数列，则称 与 互为和等差数列．已知 为数列 的前 项
和．
(1)若 ， ，试问 与 是否互为和等差数列？说明你的理由．
(2)设 为等比数列， ，且 与 互为和等差数列．
①求 的通项公式；
②设 ，求数列 的前 项和 ．1．把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为 .例如：函数列 可以记为
.记 为 的导函数.
(1)若 .证明： 为等差数列.
(2)已知定义在 上的函数列 满足 ，且对任意的 ，都有 .
（i）设 ，证明： 的充要条件是 .
（ii）取定正数 ，使数列 是首项和公比均为 的等比数列，证明： .
题型七：圆锥曲线新定义
【典例7-1】定义：对椭圆 及任意一点 ，称直线 为 关于点
的“极线”.
结论1：若点 在椭圆 上，则 关于点 的极线就是 在点 处的切线.
结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点.
试根据上面的定义和结论解决下列问题：
已知 是椭圆 的两个焦点， 关于点 的极线 与 相交于 两点.
(1)求 ；(2)设 在点 处的切线为 ，在点 处的切线为 ，过在 上且在 外一点 作 的两条切线，切点分别
为 ,证明：直线 相交于一点；
(3)若 是 上除顶点以外的任意一点，直线 和 分别与直线 相交于点 ，证
明： 为定值.
【典例7-2】已知 为椭圆 上一点，对于 上任意两点 ， ，我们定义 关于 的
生成点的形成过程：过 作平行于 的直线交 于异于 的一个点（若 与 重合，则 为 在 处的
切线；若 与 处切线平行，则交点为 ），记为 ，且对 ，记 ，称
为 关于 的生成点列.
(1)已知 ， ，直接写出 和 的坐标；
(2)若 ，且 均在第一象限，证明： ；
(3)已知 为 上异于 的一点，且 在第一象限内，若 关于 的生成点列中至少有一点是 ，求出所有
满足题意的点 的坐标.
【变式7-1】已知 为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量 ，点A绕着点 逆时针旋转 角后得到点 ，则 ，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的
任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们
称该二次曲线为“反比例曲线”．
(1)证明曲线 是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式．
(2)证明：“双曲线 是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”．
(3)若存在双曲线 是“反比例曲线”，过原点 的直线 交该双
曲线 于点 ，将 绕点 旋转至能在双曲线 的渐近线上找到点 ，点 满足 ，以此
类推，过点 作斜率为 的直线交双曲线 于点 ，将 绕点 旋转至能在双曲线 的渐近
线上找到点 ，点 满足 ．在 中，设底边 上的高为 ，求 ．
1．现定义：若圆 上一动点 ，圆 外一定点 ，满足 的最大值为其最小值的两倍，则称 为圆
的“上进点”.若点 同时是圆 和圆 的“上进点”，则称 为圆“ ”的“牵连点”.已知圆.
(1)若点 为圆 的“上进点”，求点 的轨迹方程并说明轨迹的形状；
(2)已知圆 ，且 均为圆“ ”的“牵连点”.
（i）求直线 的方程；
（ii）若圆 是以线段 为直径的圆，直线 与 交于 两点，探究当 不断变化时，在 轴
上是否存在一点 ，使得 轴平分 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
题型八：概率与统计新定义
【典例8-1】已知数列 的通项公式为 的通项公式为 ，设集合
.
(1)在 中任取三个不同的元素，记所取的三个元素中在 中的元素个数为 ，求随机变量 的
分布列和数学期望.
(2)定义在全集 上的子集 的特征函数 .设 ，记事件 ：
，求事件 发生的概率 .【典例8-2】在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源
熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量 的所有取值为
，定义信息熵：
(1)若 ，且 ，求随机变量 的信息熵；
(2)若 ，求随机变量 的信息熵；
(3)设 和 是两个独立的随机变量，求证： .
【变式8-1】高血压（也称血压升高），是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象，
典型症状包括头痛、疲倦或不安、心律失常、心悸耳鸣等．最新的调查显示，中国成人高血压的患病率为
，大概每三位成人中就有一位是高血压患者．改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时
适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展．
(1)某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康
在脚下”徒步走活动．下表为开展活动后近5个季度社区高血压患者的血压情况统计．
季度 1 2 3 4 5
血压明显降低
320 270 210 150 100
（或治愈）人数
若血压明显降低（或治愈）人数 与季度变量 （季度变量 依次为 ）具有线性相关关系，请
预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？
(2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则：挑战权在任何一组，该组都
可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为 ，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为 ， ；若挑战权在丙组，则挑战甲
组、乙组的概率分别为 ， ．
（ⅰ）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数 的分布列与数学期望；
（ⅱ）定义：已知数列 ，若对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数 ，使得当
时， （ 是一个确定的实数），则称数列 为“聚点数列”， 称为数列 的聚点．
经过 次挑战后，挑战权在甲组的概率为 ，证明数列 为“聚点数列”，并求出聚点 的值．
附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，
．
1．错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利一欧拉的装错信封问题.现在定义错排数
为将 ， ， ， ， 共 个元素排列在 ， ， ， ， 共 个位置上，其中有 个元素
不在其对应位置上的情况数（ 的对应位置为 ， ， ）.容易得到， ， ，
，规定 .
(1)计算： ， ；(2)记 ， 的前 项和为 ，证明： ；
(3)定义错排概率 为随机将 ， ， ， ， 共 个元素排列在 ， ， ， ， 共 个位置
上，其中恰有 个元素不在其对应位置上的概率，证明： .
重难点突破：高等数学背景下新定义
【典例9-1】帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有
“阶”的概念，如果分子是 次多项式，分母是 次多项式，那么得到的就是 阶的帕德逼近，记作
．一般地，函数 在 处的 阶帕德逼近定义为： ，且满
足 ， ．
注： ．
已知函数 在 处的 阶帕德逼近为 ．
(1)求 的解析式；
(2)当 时，比较 与 的大小；
(3)证明：当 时， ．【典例9-2】请阅读下列2段材料：
材料1：若函数 的导数 仍是可导函数，则 的导数 称为 的二阶导数，记为
：若 仍是可导函数，则 的数 称为 的三阶导数，记为 ；以此类推，
我们可以定义n阶导数：设函数 的 阶导数 （ ， ）仍是可导函数，则
的导数 称为 的n阶导数，记为 ，即 .
材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的
概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么帕德逼近就是 阶的帕德逼近.
一般地，函数 在 处的 阶帕德逼近函数定义为： 且满足
， ， ，…， （其中 …为自然对数的
底数）.
请根据以上材料回答下列问题：
(1)求函数 在 处的 阶帕德逼近函数 ，并比较 与 的大小；
(2)求证：当 时， 恒成立.
(3)在（1）条件下，若 在 上存在极值，求m的取值范围【变式9-1】记 为有穷数列 的前 项和，若 满足下列两个条件则称为 阶“期待数列”：①
；② .形如 的数表表示2行 列的矩阵，设 是由 阶“期待数列”中的项任
意排列组成的2行 列的矩阵，记 为 阶“期待数列”组成的所有2行 列的矩阵的集合.设 为
的第 行各数之和 为 的第 列各数之和 ，记 为
， 中的最小值.
(1)若等差数列 是递增的2023阶“期待数列”，且 ，求 ；
(2)对所有的矩阵 ，求 的最大值；
(3)给定 ，对所有的矩阵 ，求 的最大值.
1．数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面
向量 ，其模定义为 .类似地，对于 行 列的矩阵 ，其
模可由向量模拓展为 （其中 为矩阵中第 行第 列的数， 为求和符号），记作 ，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵 ，其矩阵模
.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1) ， ，矩阵 ，求使 的 的最小值.
(2) ， ，，矩阵
求 .
(3)矩阵 ，证明： ， ， .
