文档内容
专题 06 函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................7
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................25
题型一：唯一零点求值问题 25
题型二：不动点与稳定点 29
题型三：运用反函数思想妙解压轴题 35
题型四：倍值函数 39
题型五：最值函数 46
题型六：嵌套函数 51
题型七：共零点问题 58
题型八：双参数比值型问题 63
题型九：指数函数与对数函数的交点 69
题型十：曼哈顿距离问题 74
题型十一：平口单峰函数 80
题型十二：三次函数 86
题型十三：指对同构 92
题型十四：切线放缩与夹逼 97
题型十五：整数解问题 103
题型十六：导数中的“最短距离”问题 110
题型十七：等高线问题 115
重难点突破：多变量问题 122高考中函数与导数的经典压轴小题，往往聚焦于函数的零点、不等式恒成立等核心考点，这些考点与
函数的性质、表达式及图像紧密相连。解题过程要求考生展现出坚实的逻辑推理能力和空间直观想象力，
以及熟练的数学运算技巧。此外，面对贴近实际的数学问题，考生还需具备敏锐的数据分析能力和数学建
模思维，能够将实际问题抽象为数学模型，并运用所学知识进行求解。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年天津卷第15题，5分
2024年II卷第6题，5分 预测 2025 年高考数学，
掌握零点概念， 导数知识将成为重头戏。它或
零点 2023年II卷第11题，5分
熟练求解方法。 以简洁明了的选择题、填空题
2022年I卷第10题，5分 形式独立出现，主要考察基础
计算与几何理解，难度相对较
2021年I卷第7题，5分
低；或巧妙融入解答题之中，
成为解题关键。特别是利用导
掌握导数应用， 数探究函数单调性、极值与最
2024年II卷第8题，5分
不等式 解决不等式问 值等深层次应用，预计将作为
题。
2021年II卷第16题，5分
选择题、填空题的难点部分，
出现在题序后端，难度适中偏
上，综合考察学生的分析能力
和解题技巧。这样的设计既考
2024年 I卷第10题，6分
验学生的基础知识，又挑战其
理解性质，熟练
三次函数 2022年 I卷第10题，5分 综合运用能力，是高考数学中
求解应用。
的一大亮点。
2021年 乙卷第12题，5分1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，
当出现 的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在
分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否
满足相应段自变量的取值范围．
2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，
其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．
3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对 进行分类讨论
将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点
解不等式．
4、分段函数零点的求解与判断方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合
求解．
5、动态二次函数中静态的值：
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对
称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．
6、动态二次函数零点个数和分布问题：
通常转化为相应二次函数的图象与 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的
判别式，相应区间端点函数值等来考虑．
7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：
（1）对称轴变动，区间固定；
（2）对称轴固定，区间变动；
（3）对称轴变动，区间也变动．
这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，
明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象
来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…
具 体 来 说 ， 对 于 三 次 函 数 ， 其 导 函 数 为
，根的判别式 ．
判别式
图象
增区间： ，
单调性 ； 增区间： 增区间：
减区间：
图象
（1）当 时， 恒成立，三次函数 在 上为增函数，没有极值点，有且只有一个零
点；
（2）当 时， 有两根 ， ，不妨设 ，则 ，可得三次函数 在
， 上为增函数，在 上为减函数，则 ， 分别为三次函数
的两个不相等的极值点，那么：
① 若 ，则 有且只有 个零点；
② 若 ，则 有 个零点；③ 若 ，则 有 个零点．
特别地，若三次函数 存在极值点 ，且 ，则 地解析式
为 ．
同理，对于三次函数 ，其性质也可类比得到．
9、由于三次函数 的导函数 为二次函数，其图象
变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点 ，
此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．
10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店
处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要
设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．
11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．
12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用
函数单调性求解函数的最大、最小值．
13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数
形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定
区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．
14、两类零点问题的不同处理方法
利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 ．．
①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明 ．
②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，
在每个单调区间内取值证明 ．
15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
16、已知函数零点个数求参数的常用方法
（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件
构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，此时 ；
当 时，可知 ，此时 ；
可知若 ，符合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
综上所述： ，即 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 ；
解法二：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
则当 时， ，故 ，所以 ；
时， ，故 ，所以 ；
故 ， 则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C.
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ， ，当 时，曲
线 与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】解法一：令 ，即 ，可得 ，
令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为x∈ (−1,1)，则 ，当且仅当 时，等号成立，可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于ℎ(x)有且仅有一个零点，
因为 ，
则ℎ(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知ℎ(x)的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即ℎ(x)有且仅有一个零点0，所以 符合题意；
故选：D.
3．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 与 在 上有两个不同的
交点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令 ，即 ，令
则 ，令 得 ，
当x∈ (0,1)时， ， 单调递减，当x∈ (1,+∞)时， ， 单调递增， ，
因为曲线 与 在(0,+∞)上有两个不同的交点，
所以等价于 与 有两个交点，所以 .
故答案为：
4．（2024年天津高考数学真题）设 ，函数 .若f (x)恰有一个零点，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令 ，即 ，
由题可得 ，
当 时，x∈ R，有 ，则 ，不符合要求，舍去；
当 时，则 ，
即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，
当 ， 或 （正值舍去），
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，
当 ，且 时，
由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数ℎ(x)在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，即 ，
故 时， 图象为双曲线 右支的 轴上方部分向右平移 所得，
由 的渐近线方程为 ，
即 部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，又 ，即 在 时的斜率 ，
令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递增，
故有 ，解得 ，故 符合要求；
当 时，则 ，
即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，
当 ， （负值舍去）或 ，
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，当 ，且 时，
由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数ℎ(x)在 上单调递减，在 上单调递增，
同理可得： 时， 图象为双曲线 左支的 轴上方部分向左平移 所得，
部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，
又 ，即 在 时的斜率 ，
令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递减，
故有 ，解得 ，故 符合要求；
综上所述， .
故答案为： .
5．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【解析】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD
6．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】ACD
【解析】对A，因为函数 的定义域为R，而 ，
易知当 时，f'(x)<0，当 或 时，f'(x)>0
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的极小
值点，正确；对B，当 时， ，所以 ，
而由上可知，函数 在(0,1)上单调递增，所以 ，错误；
对C，当 时， ，而由上可知，函数 在 上单调递减，
所以 ，即 ，正确；
对D，当 时， ，
所以 ，正确；
故选：ACD.
7．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，则 ，
若 要存在3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ，
令 ，解得 或 ，
且当 时， ，
当 ， ，
故 的极大值为 ，极小值为 ，
若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 ，故选：B.
8．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数 既有极大值也有极
小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】函数 的定义域为 ，求导得 ，
因为函数 既有极大值也有极小值，则函数 在 上有两个变号零点，而 ，
因此方程 有两个不等的正根 ，
于是 ，即有 ， ， ，显然 ，即 ，A错误，BCD正确.
故选：BCD
9．（2023年北京高考数学真题）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【解析】依题意， ，当 时， ，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当 时， ，易知其图像是，圆心为 ，半径为 的圆在 轴上方的图像（即半
圆）；
当 时， ，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取 ，则 的图像如下，
显然，当 ，即 时， 在 上单调递增，故①错误；
对于②，当 时，
当 时， ；
当 时， 显然取得最大值 ；
当 时， ，
综上： 取得最大值 ，故②正确；
对于③，结合图像，易知在 ， 且接近于 处， 的
距离最小，当 时， ，当 且接近于 处， ，
此时， ，故③正确；
对于④，取 ，则 的图像如下，
因为 ，
结合图像可知，要使 取得最小值，则点 在 上，点 在
，
同时 的最小值为点 到 的距离减去半圆的半径 ，
此时，因为 的斜率为 ，则 ，故直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
显然 在 上，满足 取得最小值，
即 也满足 存在最小值，故 的取值范围不仅仅是 ，故④错误.
故答案为：②③.
10．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
则 ，即 在区间 上恒成立，
故 ，而 ，故 ，
故 即 ，故 ，
结合题意可得实数 的取值范围是 .
故答案为： .
11．（2023年天津高考数学真题）设 ,函数 ,若f (x)恰有两个零点，则 的
取值范围为 ．
【答案】
【解析】（1）当 时， ，
即 ，
若 时， ，此时 成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 且 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： 且 ；
若 时， ，此时 成立．（2）当 时， ，
即 ，
若 时， ，显然 不成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： ；
若 时， ，显然 不成立；
综上，
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ．
所以，当函数有两个零点时， 且 ．
故答案为： ．
12．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC【解析】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
13．（2022年新高考天津数学高考真题）设 ，对任意实数x，用f (x)表示 中的较
小者．若函数 至少有3个零点，则 的取值范围为 .
【答案】【解析】设 ， ，由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 .
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
14．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数 则 ；若当
时， ，则 的最大值是 ．
【答案】 /
【解析】由已知 ， ，
所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： ， .
15．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 和 分别是函数 （ 且
）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
【答案】【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ，f'(x)<0，即 图象在 上方
当 时，f'(x)>0，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．
令 ，则 ，
设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，
则f'(x)在 上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则f'(x)在 上单调递增，在 上单调
递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且 的极
小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即
故 ，所以 .
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是
该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于
通性通法．
16．（2022年新高考北京数学高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个
取值为 ；a的最大值为 ．【答案】 0（答案不唯一） 1
【解析】若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合
题目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，
当 时，
∴ 或 ，
解得 ，
综上可得 ；
故答案为：0（答案不唯一），1题型一：唯一零点求值问题
【典例1-1】已知函数 有唯一零点，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】把函数等价转化为偶函数 ，利用偶函数性质， 有唯一零点，由
得解.因为 ，
令 则 ，
因为函数 有唯一零点，
所以 也有唯一零点，且 为偶函数，图象关于 轴对称，由偶函数对称性得 ，所以
，解得 ，
故选：D.
【典例1-2】已知函数 有唯一零点，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为函数 ，
令 ，则 为偶函数，
因为函数 有唯一零点，
所以 有唯一零点，
根据偶函数的对称性，则 ，
解得 ，
故选：B
根据偶函数零点特性可知：若偶函数有唯一零点，则必然在 处取得，即 .
【变式1-1】已知函数 有唯一零点，则实数 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】通过转化可知问题等价于函数 的图象与函数 的图象只有一个交点求
的值，分 ， ， 三种情况，结合函数的单调性分析可得结论.函数
有唯一零点，等价于函数 的图象与函数 的图象只
有一个交点，
当 时， ，此时有两个零点，不满足题意；
当 时，由于 在 上单调递减，在 上单调递增，且
在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 的图象最低点为 ，函数 的图象最低点为 ，由于
，故两个函数的图象有两个交点，不满足题意；
当 时，由于 在 上单调递减，在 上单调递增，且
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的图象最低点为 ，函数 的图象最低点为 ，若两函数只有
一个交点，则 ，即 .
故选：D.
【变式1-2】已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，若
函数 有唯一零点，则实数 的值为
A． 或 B．1或 C． 或2 D． 或1
【答案】A
【解析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出 ，结合函数的对称性得出 和
都关于 对称，由 有唯一零点，可知 ，即可求 .已知
，①
且 ， 分别是 上的偶函数和奇函数，
则 ，
得： ，②
①+②得： ，
由于 关于 对称，则 关于 对称，
为偶函数，关于 轴对称，
则 关于 对称，
由于 有唯一零点，
则必有 ， ，
即： ，
解得： 或 .
故选：A.
1．已知函数 有唯一零点，则实数 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】 ，
即 有唯一解，等价于 的图象与 的图象只有一个交点，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，最高点为
①当 时，原方程有两个解，不合题意；
②当 时，由复合函数单调性知 在 上单调递增，在 上单调递减，
且图象关于 对称，最高点为 ， ，故不合题意，
③当 时，由复合函数单调性知 在 上单调递减，在 上单调递增，
且图象关于 对称，最低点为 ，若两函数图象只有一个交点，则 ，得 ，
故选：C
2．已知函数 ， ，若 与 的图象有且只有一个公共点，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将问题转化为 与 有唯一交点的问题，利用导数可求得 的单调性和最
值，由此得到 大致图象，数形结合可求得结果. 与 图象有且仅有一个公共点，
有唯一解，
即 有唯一解，
令 ，则 ， ，
， ， 在 上单调递增，
又 ， 当 时， ；当x∈ (0,+∞)时， ；
在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， ，
可得 大致图象如下图所示：有唯一解等价于 与 有唯一交点，
由图象可知：当 时， 与 有唯一交点，即 与 的图象有且只有一个公共点.
故选：C.
3．函数 有且只有一个零点，则实数 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】令函数 ，则该函数图象的对称轴为 ，
令 ，则 ，
即 ，故函数 关于 对称，
又因为 ，
所以函数 的对称轴为 ，
因为 有且只有一个零点，
故 ，
故选：D．
题型二：不动点与稳定点
【典例2-1】设函数 （ ， 为自然对数的底数）.若曲线 上存在
使得 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由已知可得 ，且 ，由已知存在 ，使得 ，则 ，
所以，存在 ，使得 ，可得 ，
因为函数 在 上单调递增，则 ，则 .
易知函数 在 上单调递增.
若 ，则 ，不合乎题意；
若 ，则 ，不合乎题意；
若 ，则 ，合乎题意.
故存在 ，使得 ，可得 ，则 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【典例2-2】设函数 （ ， 为自然对数的底数），若曲线 上存在一点
使得 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题设 及函数的解析式可知 ，所以 ．
由题意问题转化为“存在 ，使得 有解”，即 在 有解，
令 ，则
当 时，函数 是增函数；所以 ，
当 ，即
所以 ，故应填答案1、不动点
定义：一般地，对于定义在区间 上的函数 ，若存在 ，使得 ，则称 是函
数 的一阶不动点，简称不动点．
从代数角度看，一阶不动点是方程 的根．
从几何角度看，一阶不动点是曲线 与直线 的交点的横坐标．
2、稳定点
定义：若存在 ，使 ，则称 是函数 的二阶不动点，简称稳定点．
从代数角度看，二阶不动点是方程 的解，也就是方程组 的解；
从几何角度看，函数 的二阶不动点是指：函数 图象上关于直线 对称的两点的横坐标
（即函数 与其反函数 的交点的横坐标），或直线 与函数 交点的横坐标．
3、不动点与稳定点的结论
（1） 有解等价于 有解．特别地，当函数 单调递增时，
的解与 的解相同．
（2） 无解等价于 无解．
（3） 有解等价于 有解．
（4） 无解等价于 无解．
【变式2-1】已知函数 ，若曲线 上存在点 ，使得 ，则
实数 的取值范围是 ．【答案】
【解析】曲线 上存在点 ,
.
函数 在 上单调递增.
下面证明 .
假设 ,则 ,不满足 .
同理假设 ,则不满足 .
综上可得: .
令函数 ,化为 .
令 , .
,
函数 在 单调递增.
.
的取值范围是 .
所以A选项是正确的.
【变式2-2】设函数 ，若曲线 上存在点 , 使得 成立，
求实数 的取值范围为 .
【答案】 ,
【解析】 ，
当 时， 取得最大值 ，当 时， 取得最小值 ，
即函数 的取值范围为 , ，
若 上存在点 , 使得 成立，则 , .
又 在定义域上单调递增.
假设 ，则 ，不满足 ；
假设 ，也不满足 ；
综上可得： ， , .
函数 有解，等价为 ，在 , 上有解，即平方得 ，则
，
设 ，则 ，
由 得 ，此时函数单调递增，由 得 ，此时函数单调递减，
即当 时，函数取得极小值，即 ，
当 时， ，
则 .则 ，
故实数 的取值范围为 , .
故答案为： , .1．（2024·高三·福建泉州·期中）已知函数 ，若曲线 上存在点 ，使得
，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】依题意， ，而 ，即函数 是奇函数，
由曲线 上存在点 ，使得 ，
得存在 ，使得 成立，函数 在定义域内单调递增，
下面证明： 成立，
假设 ，则 ，不满足 ，假设不成立，
假设 ，则 ，不满足 ，假设不成立，
因此 ，
则原问题等价于“ 在 上有解”，即“ 在 上有解”，
设 ， ，求导得 ，
令 ，求导得 ，由 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ， 在 上递减，在 递增，
因此 ，函数 在 上单调递增，
于是 的值域为 ，即 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：2．已知 .若 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】设 .则 ，
，
.
从而，方程 的解集 为方程 的解集 的子集.
若 ，则 .
若 ，则 .
因此， .
于是， 的取值范围是 .
3．对于函数 ，若 ，则称 为函数 的“不动点”；若 ，则称 为函数
的“稳定点”．如果函数 的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数 的
取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在
非“不动点”的“稳定点”，
因此方程 有解，但方程组 无解，
由 ，得 有解，则有 ，解得 ，
由 ，得 ，两式相减得 ，
而 ，于是 ，从而 ，显然方程 无解或仅有两个相等的实根，因此 ，解得 ，
所以a的取值范围是 .
故答案为：
题型三：运用反函数思想妙解压轴题
【典例3-1】（2024·高三·江苏·课后作业）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的
最小值为 ．
【答案】
【解析】函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称.
函数 上的点 到直线 的距离为 .
设函数 ，则
因为当 时， ，当 时，
所以当 时，
所以
所以 最小值为 .
故答案为：
【典例3-2】已知函数 ， ，且 ，给出下列结论：
（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，（5） ，则上述正确结论的序号是 .
【答案】（2）（5）
【解析】因为函数 ， ， 都是增函数，所以 ， 都是增
函数．
， ，即 ，
， ，即 ，
则 ，故（2）正确，（1）错误；
因为 ，所以（3）（4）都错误；
令 ， ，则 ， ，
由于函数 ， 和 都相交，且 和 关于 对称， 也关于 对称，
和 的交点为 ，则 ，即（5）正确．
故答案为（2）（5）
1、反函数定义：已知函数 ，其值域为 ．如果对 中的任意给定的一个
值 ，在 中满足 的 值有且仅有一个，那么由此得到的 关于 的函数叫作
的反函数，记作 ．因为习惯上将 视为自变量， 视为函数值，所以通常将该
函数写为 ．2、反函数性质：原函数与反函数关于 对称．
【变式3-1】设点 在曲线 上，点 在曲线 上，若|PQ|的最小值为 ，则
.
【答案】-1
【解析】因为 与 互为反函数，其图象关于直线 对称，
又点 在曲线 上，点 在曲线 上， 的最小值为 ，
所以曲线 上的点 到直线 的最小距离为 ，
设与直线 平行且与曲线 相切的切线的切点 ，
，解得 ，所以 ，
得到切点 ，点 到直线 即 的距离 ，
解得 或3.
当 时， 过点 和 ， 过点 和 ，
又 ， ，所以 与 相交，不符合题意；
当 时，令 ，则 ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 恒成立，
所以 与 不相交，符合题意.综上， .
故答案为：-1.
【变式3-2】（2024·高三·湖北黄冈·期中）已知函数 与函数 互为反函数，它们的图象
关于 对称．若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由 恒成立，可得 ，此时直线 恒在直线 上方，
不等式 恒成立只需不等式 恒成立即可，
令 ，则 ，由 可得 ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
.
故答案为： .
1．设 分别是方程 和 的根，则 ．
【答案】9
【解析】分别将方程变形为 +9和 ，记 ， ，
则 为 与ℎ(x)图象交点的横坐标， 为 与ℎ(x)图象交点的横坐标，
又 与 的图象关于直线 对称，
而ℎ(x)的图象与直线 相交于点 ，所以 ．
故答案为：9.
2．（2024·高三·广东佛山·开学考试）已知函数 ，对任意的正实数x都有 恒
成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 对任意的正实数x都有 恒成立，
所以 ，即 对任意的正实数x恒成立，
因为函数 与函数 互为反函数，且 ，
所以 对任意的正实数x恒成立，即 ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，所以 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
题型四：倍值函数
【典例4-1】已知函数 （ 且 ），若存在实数 ，使函数 在
上的值域恰好为 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递减，
故 在 单调递增，
， ，
即 有两个解，设 ， ，即 有两个不相等的正根，
故 ，解得 .
故答案为： .
【典例4-2】已知函数 ，当 时， 的值域为 ，则实数 的取值范围是
.
【答案】【解析】因为 ，故 ，又 二次函数图像的对称轴为 ，
当 时，有 ，故 ，两式相减并化简得到 ，所以 ，
故 ，同理 ，
所以方程 有两个大于或等于 的不等的实数根 ，
令 ，则
，所以 .
若 ，则 ，即 ，
所以 两个小于或等于 的不等式的实数根 ，故 且 .
若 ，则 ①或 ②，
对于① ，
当 时，有 ；
当 时，无解.对于②，有 ，整理得到 ，
得 ， ，
综上， 且 .
故答案为： .
对于函数 ，这样的问题称之为倍值函数问题，该类问题主
要有三个模型：（1）模型一：函数单调递增，方程同构即可；（2）模型二：函数单调递减，
两式相减即可；（3）模型三：函数有增有减，分类讨论即可．
【变式4-1】已知函数 ，若存在实数 ， ，使得函数 在区间 的值域为
，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 在 上单调递增，
要使得函数 在区间 上的值域为 ，所以 ，即 ，所以 为方程 的两不相等的非负实数根，
所以 ，解得 ，即
故答案为：
【变式4-2】已知函数 ， 的解集为 ，若 在
(0,+∞)上的值域与函数 在 上的值域相同，则实数 的取值范围为 .
【答案】[2,+∞)
【解析】由已知得函数 的定义域为(0,+∞)，且
,∵ ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减； 在(0,+∞)上的值域为 ；
根据题意有 ； 的解集为 ，
则设 ，当 时， ； 在(0,+∞)上的值域与函数 在 上
的值域相同；
即 在 上的值域为 ；只需 ，即 ，得 .
故答案为:[2,+∞).1．（2024·高三·浙江·开学考试）函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函数 满足：
(1) 在 上是单调函数；(2) 在 上的值域为 ，则称区间 为 的“倍
值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 ．（填上所有正确的序号）
① ；
② ；
③ ；
④ ．
【答案】①③④．
【解析】由题意(1) 在 内是单调函数；(2) ，或 ，
对于①. ，若存在“倍值区间” ，则 在 单调递增，
则 ，即 解得 ，
所以 ，故存在“倍值区间” ；
对于②. ，若存在“倍值区间” ，则 在 单调递增，
则 ，则 ，则 为方程 的两个实数根.
构建函数 ，故 ，
则函数在 上单调减，在 上单调增，
所以函数在 处取得极小值，且为最小值，由 ，
所以 无解，故函数不存在“倍值区间”；对于③. ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减.
若存在“倍值区间” ，
则 ，即 ，解得 ，故存在“倍值区间” ；
对于④. 且 ，则函数在定义域内为单调增函数，不妨设 ，
若存在“倍值区间” ，则 ，即 ，
则 为方程 的两个实数根，即 为方程 的两个实数根.
设 ，在方程 中， ，故又两个不等实数根，设为
则 ，所以 均为正数.
所以方程 有两个不等的正根，故存在“倍值区间” ；
综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④，
故答案为: ①③④
2．已知函数 的定义域为 ，若存在区间 使得 ：
（Ⅰ） 在 上是单调函数；
（Ⅱ） 在 上的值域是 ，
则称区间 为函数 的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 （填上所有你认为正确的序号）
① ； ② ；
③ ； ④ ．
【答案】①②④
【解析】函数中存在“倍值区间”，
则（Ⅰ） 在 ， 内是单调函数，（Ⅱ） ，
对①， ，若存在“倍值区间” ，则 ， ，存在
“倍值区间” ；
对②， ，若存在“倍值区间” ，当 时， ，故只需 即可，
故存在；
对③， ；当 时，在区间 ， 上单调递减，在区间 ， 上单调递增，
若存在“倍值区间” ， ，
不符题意；
若存在“倍值区间” ， 不符题意，故此函数不存在
“倍值区间“；
对④， ，易得 在区间 ， 上单调递增，在区间 ， 上单调递减，若存在
“倍值区间” ， ， ，即存在“倍值区间” ， ；故答案为：①②④.
3．对于函数 ，若存在区间 ，当 时的值域为 ，则称 为 倍值
函数.若 是 上 倍值函数，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由已知可得 ，当 时，值域为 ，而 在 上单调递增，
所以有 ， 为 在 上的两个解，即 在 由两个解，显然 不
是方程的解，分离参数可得 ，设
，转化为 的图像有两个交点，通过求导，求出 的单调区间，极值，分
析函数值的变化趋势，即可求出 的取值范围. 在 上单调递增，依题意
，
所以 为 在 上的两个解，
即 在 有两个解，显然 不是方程的解，
，设 ，
只需 的图像有两个交点，
，当 时， 或
当 时， ，
所以 单调递减区间是 ， ，递增区间是 ，所以 时， 取得极小值为 ，
当 时， ，当 时， ，
当 ， ，
要使 的图像有两个交点，
需 .
故答案为: .
题型五：最值函数
【典例5-1】（2024·天津北辰·三模）设 ，对任意实数x，记 ．若
有三个零点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令 ，
因为函数 有一个零点，函数 至多有两个零点，
又 有三个零点，
所以 必须有两个零点，且其零点与函数 的零点不相等，
且函数 与函数 的零点均为函数 的零点，
由 可得， ，所以 ，
所以 为函数 的零点，
即 ，所以 ，
令 ，可得 ，
由已知 有两个根，
设 ，则 有两个正根，
所以 ， ，
所以 ，故 ，
当 时， 有两个根，
设其根为 ， ，则 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
令 ，则 ，
则 ， ，
且 ， ，
所以当 时， ，
所以当 时， 为函数 的零点，又 也为函数 的零点，
且 与 互不相等，
所以当 时，函数 有三个零点.
故答案为： .
【典例5-2】（2024·河南·模拟预测）以 表示数集 中最大的数．设 ，已知 或
，则 的最小值为 ．1
【答案】 /0.2
5
【解析】令 其中 ，
所以 ，
若 ，则 ，故 ，
令 ，
因此 ,故 ,则 ，
若 ，则 ，即 ，
，
则 ,故 ,则 ，
当且仅当 且 时等号成立，
如取 时可满足等号成立，
综上可知 的最小值为 ，
故答案为：
指的是二者之中取最小， 指的是二者之中取最大．
性质一：
．性质二： ．
【变式5-1】定义 为数集M中最大的数，已知 ，若 或 ，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】解法一：令 ， ， ，其中 ， ， ，所以 ，
若 ，则 ，可得 ，
令 ，
则 ，所以 ，则 ，
当且仅当 ， ， 时等号成立.
若 ，则 ，即 ，
令 ，
则 ，所以 ，则 ，
当且仅当 ， ， 时等号成立，
综上可得， 的最小值为 .解法二：根据数轴上点的距离公式，可得 分别为线段 的长，
如图所示，若点 固定，即求三个线段中最长线段的长的最小值，
可知当三个线段等长时，最长的线段长取最小值，
不妨设为 ， 的长为 ，则 ，即 ，
若 ，则 ，即 ，解得 ；
若 ，则 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 的最小值为 .
故答案为： .
【变式5-2】（2024·云南昆明·三模）以 表示数集 中最大的数．已知 ， ， ，则
的最小值为
【答案】2
【解析】由题意可知 ,
所以有 ，因为
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
另外 ，当且仅当 即 时取等号，综合上述，所以有 即 ，当且仅当 时取等号.
故答案为：2.
1．设 表示 ， ， 中最大的数，设 ，且 ，则 的最
小值为 ．
1
【答案】 /0.2
5
【解析】令 其中 ，
所以 ，
因为 ，则 ，即 ，
，
则 ,故 ,则 ，
当且仅当 且 时等号成立，
如取 时可满足等号成立，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
2．设 表示 ， ， ， 中最大的数，已知 ， 均为正数，则 的最小值为
.
【答案】
【解析】 都是正数，因此， ，其最小值是 ，
， ，其最小值是 ，
，
所以 的最小值为 ，当且仅当 时取得，
故答案为： ．
3．（2024·全国·模拟预测）记 表示 这3个数中最大的数．已知 都是正实数，
，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ， ，
又 都是正实数，所以 ，所以 ，即 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
故答案为： ．题型六：嵌套函数
【典例6-1】已知函数 ， ，则函数 的零点个数为
个．
【答案】
【解析】令 ，得 ，
令 ，得 或 ，
解得 或 或 ，
所以 或 或 ，
作出 函数图象，如图所示：
由图象可知 有 个解， 有 个解， 有 个解，
所以ℎ(x)共有 个零点.
故答案为： .
【典例6-2】（2024·高三·辽宁大连·期末）已知函数 有三个零点 ，且
有 ，则 的值为 .【答案】12
【解析】若 ，则 ，即
当 时，可得 ，不成立，故
等式两边同除以 ，得
即
令 ，则
方程有两个不等的实根， ，
令 ，则 ，令 ，
当 时， ，当 或 时，
即函数 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
如下图所示
函数 有三个零点 ，
由图可知，
故答案为：嵌套函数：又名复合函数，指的是形如 的函数，嵌套函数零点问题的求解关键
在于“设 ”，注意定义域与值域的转化，结合图像解题．
【变式6-1】（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数 有三个不同的零点
，且 ，则 的值为 .
【答案】36
【解析】因为
所以
因为 ，所以
有三个不同的零点 ，
令 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ,当 时 ，
令 ，则
必有两个根 ，不妨令 ，
且 ,
即 必有一解 ， -有两解 ，
且 ，
故
.
故答案为：36.
【变式6-2】已知函数 有三个不同的零点 ，其中 则
的值为 .
【答案】1
【解析】设 ，
，
当 时， ；
当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，且 时， ； 时， ，
∴ ，
作出 的图象，如图
要使 有三个不同的零点 ，其中
令 ，则 需要有两个不同的实数根 （其中 ）
可得 ，
∵ ，∴ ，则
∴ ，则 ，且
∴ ，
故答案为：1.
1．（2024·高三·湖北襄阳·期中）若函数 有极值点 ， ，则关
于 的方程 + 的不同实数根的个数是 .【答案】3
【解析】由题意，得 ，显然 是方程 的根，
于是关于 的方程 的解就是 或 ，
根据题意画图如图所示，
由图知 有两个不等实根， 只有一个不等实根，
所以 有3个不同的实数根．
2．若函数 有两个极值点 ，其中 , ，且 ，则
方程 的实根个数为 个.
【答案】
【解析】 有两个极值点
有两个不等正根
即 有两个不等正根
且 ，
令 ，则方程 的判别式
方程 有两解，且 ，
由 得： ，又且
根据 可得 简图如下：
可知 与 有 个交点，与 有 个交点
方程 的实根个数为： 个
本题正确结果：
3．若关于 的方程 有三个不相等的实数解 ， ， ，且 ，其中 ，
为自然对数的底数，则 的值为
【答案】
【解析】由 得： ，
设 ，则 ， ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，且 ， ，当 时， ，可得 大致图像如下.
要使关于 的方程 有三个不相等的实数解 ， ， ，且 .
结合图象可得关于 的方程 一定有两个不等的实数根 ，
且 ， ， ，则 ， .
.
故答案为： .
题型七：共零点问题
【典例7-1】设函数 ，若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．e D．前3个答案都不对
【答案】A
【解析】显然 的定义域为 ，
若 ，
当 时， ，可得 ；当 时， ；
当 时， ，可得 ；
又因为 在 上单调递增，可知 过点 ，
则 ，即 ，所以 .
故选：A.
【典例7-2】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）设函数 ，若 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的定义域为 ，
令 ，得 ，
①当 时， 满足题意， ；
②当 时， ，由 ，得 ，
要使任意 ， 恒成立，则 ，
所以 ；
③当 时， ，由 ，得 ，
要使任意 ， 恒成立，则 ，
所以 ；
综上， ，即 .
又 ， ，当且仅当 时，取最小值 .
所以 的最小值为 .
故选：A.
共零点问题：此类问题往往是 的形式，其特征是两个函数具备相同的零点．
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）设函数 ，若 恒成立，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】C
【解析】解法一： 的定义域为 ，易知函数 在R上单调递增，
在R单调递减，
令 解得 或 ；
由 恒成立可知必有 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
故选：C．解法二：同法一得 ，
设点 ，则点 在定直线 上，
设点 ，则 ，
当 时 有最小值，由点线距公式可得 ，
故 的最小值为 ．
故选：C．
【变式7-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数 ，且 在定义
域内恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】 或
【解析】先求得 的定义域，然后对 和 的符合进行分类讨论，由此求得实数 的取值范
围.依题意 ，定义域为(0,+∞).
由于 在定义域内恒成立，则
①， 恒成立，即 在(0,+∞)恒成立.令 ， ，
故 在 上递减，在 上递增，故 .所以，由 可得
，即 .
②， 恒成立，即 在(0,+∞)恒成立，不存在这样的 .③，当 时，由于 在(0,+∞)上递增， 在(0,+∞)上递减，要使 在定义域内恒成
立，则需 和 有相同的零点.由 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 或 .
故答案为： 或
1．若函数 是 上的单调减函数，已知 ，
,且 在定义域内恒成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】 或
【解析】由函数 是 上的单调减函数，
则可知 在 上恒成立，
，故 ，
则函数 ，由题可知 在定义域 内恒成立，
①当 时，函数 恒成立，故原不等式可转化为 恒成立，
，令 ，解得 ，
则在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，
则 ，
则 ，即
满足前提 ，故
②当 时，令 ，解得 ，
则当 时， ， 恒成立
可转化为 恒成立，
，则 在 上单调递增，
故在 上也单调递增，
则 ，解得 ；
当 时， ， 恒成立
可转化为 恒成立，
由上可知， 在 上单调递增，故 ，解得 ，即 ；
要使得两种情形下都能恒成立，则取其交集得到， ，
综上所述，可得要使得 在定义域内恒成立，
则实数 的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 .
2．设函数 ，若 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】当 时， ，则 ，即 ，
当 时， ，则 ，即 ，
即有 ，即 ，
则 ，令 ， ，
，
则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，即 的最小值为 .
故答案为： .3．设函数 ，若 ，且 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意可知： 的定义域为 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则当 时， ，故 ，所以 ；
当 时， ，故 ，所以 ；
故 ，即 .
当 时，则 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为：
题型八：双参数比值型问题
【典例8-1】（2024·江苏·一模）已知函数 ，其中 为自然对数的底数，若不等式
恒成立，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】由函数的解析式可得： ，当 时， ，不合题意，舍去，
当 时，由 可得： ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
则当 时，函数取得最大值，即 ，
即： ，
整理可得： ，
即 恒成立，
则原问题转化为求解 的最大值.
求导可得： ，
令 ，
则 ，令 可得： ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 取得最大值： ，
且：当 时， 所以 ， ，据此可知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
即函数 的最大值为 ，
综上可得： 的最大值为 .
【典例8-2】（2024·高三·浙江宁波·开学考试）设函数 ，若不等式 对任意
恒成立，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】不等式 对任意 恒成立,即 ， 恒成立，
设
所以 在 单调递增，且 ，当 时
当 时
作出 的图像如图，
再设 ，当 可得ℎ(x)表示过点 ，斜率为 的一条射线（不含端点），要求
的最大值且满足不等式恒成立，可求 的最大值，由点 在 轴上方移动，只需找到合适的，且ℎ(x)与 图像相切于点 ，如图所示，此时
故答案为：
对于双参数比值型问题，零点比大小法是一种有效的解决策略。这种方法类似于数形结合的思想，
首先我们将问题中的曲线和直线部分“曲直分开”，分别绘制出它们的图像，并找出它们的零点。
在这里，直线的零点具有特殊的意义，它通常对应着我们待求的双参数比值。接下来，我们观察直线
和曲线的交点情况，特别是当直线的零点与曲线的零点重合时，这意味着双参数比值取得了最值（这个最
值可能是最大值，也可能是最小值，具体取决于题目的要求）。
在图像上，这种最值情况表现为直线与曲线在曲线的零点处相切。换句话说，当直线与曲线仅有一个
交点，并且这个交点恰好是曲线的零点时，双参数的比值就达到了它的最值。
因此，通过绘制曲线和直线的图像，寻找它们的零点，并观察它们之间的交点情况，我们可以直观地
找到双参数比值的最值。这种方法不仅直观易懂，而且在实际应用中非常有效。
【变式8-1】（2024·河北沧州·三模）若不等式 ， 对于 恒成立，则 的最大
值为 .
【答案】
【解析】令函数 ，则 ，
由 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，
也是最小值为 ，
由不等式 ，可得 ，
所以 ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，即 ，所以 的最大值为 .
故答案为： .
【变式8-2】已知关于 不等式 对任意 和正数 恒成立，则 的最小值为 ．
【答案】1
【解析】不等式 ，化为不等式 ，
设 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，
则函数 无最小值，不符合题意，
若 时，令 ， ，
在 时， ， 为增函数，
在 时， ， 为减函数．
由题意可得 ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，所以
则 ，设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
所以 ，
即 的最小值为1．
故答案为：1.
1．已知m、n为实数， ，若 对 恒成立，则 的最小值为
．
【答案】0
【解析】由 ，可知 ，由题可知 ，
当 时， 恒成立，则 单调递增， ， 不恒成立，
当 时， 时， ，函数 单调递减； 时， ，函数 单调递增，
∴ ，
∵ 恒成立，∴ ，
∴ ，∴ ，
令 ，则 ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∴ ，即 的最小值为0．
故答案为：0.
2．已知a， ，若关于x的不等式 在 上恒成立，则 的最大值为
．
【答案】
【解析】设 ，则 在 上单调递增，
且由 及指数函数的性质可知， 的图像增长越来越快，
而 在 上恒成立，等价于 的图象恒不在直线 的下方，
所以当直线 与函数 的图象相切时，满足题意，
设切点为 ,则 ，
所以切线方程为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，设 ，
则 ，当 时， 单调递增.
.
故答案为：
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，
则 的最小值是 .
【答案】 /
【解析】由题意知，不等式 在 上恒成立，
令 ，则 在 上恒成立，
令 ，所以 ，
若 ，则 在 递增，当 时， ，不等式不恒成立，
故 ，当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最大值 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，当 时 ，当 时， ，
所以当 时， 取得最小值 的最小值是 .
又 ，所求最小值是 .
故答案为：
题型九：指数函数与对数函数的交点
【典例9-1】（2024·山东济南·一模）设 分别是函数 和 的零点(其中 )，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，得 即 ，所以 是图像 与图像 的交点，且显然
，
令 ，得 ，即 ，所以 是图像 与图像 的交点，
因为 与 关于 对称，所以两根也关于 对称，所以有 ，
所以 ，令 在 上单调递减，所以
故选：C
【典例9-2】（2024·山东·模拟预测）已知函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 、 ，则 、 ，
在同一坐标系中分别绘出函数 、 、 的图像，
因为函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，所以 ， ，
解方程组 ，
因为函数 与 互为反函数，所以由反函数性质知 、 关于 对称，
则 ， ， ，A、B、D错误，
因为 ，所以 在 上单调递增，因为 ， ，
所以 ，因为点 在直线 上，所以 ， ，故C正确，
故选：C．
当 时，方程 有且只有三解；
当 时，方程 有且只有一解．
当 ，方程 无解
当 时，方程 有且只有一解．
当 时，方程 有且只有两解
【变式9-1】设 ， 分别是函数 和 的零点（其中 ），则 的取值
范围
A． B．[2,+∞) C． D．
【答案】A
【解析】由 ， 分别是函数 和 的零点（其中 ）可知 是方程
的解； 是方程 的解；
则 ， 分别为函数 的图象与函数 和函数 的图象交点的横坐标；
设交点分别为
由 ，知 ；
又因为 和 以及 的图像均关于直线 ，
所以两交点一定关于 对称，由于点 ，关于直线 的对称点坐标为 ，
所以 ，
有 ，，
则 ，由于 ，故等号不能成立，
的取值范围 .
故选A.
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）若函数 与其反函数的图像有交点，则实数 的值可以是
（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】当 时， 无反函数，故不符合题意；
由选项可知只需考虑 即可.此时 为指数函数，我们知道函数 的反函数为
，
当 与 相切时，设切点为 ，在切点处两直线两函数值与斜率相等，
则 ，由③可得 ，代入②可得： ，
解得： ，综上 ，由于 ，故 ，
故选：B1．已知关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是
【答案】
【解析】若关于 的方程 有解，
即 与 的图像有交点，
因为 与 互为反函数，
所以 与 的图像关于直线 对称，
如图所示：
设函数 与直线 相切，切点为 ，
，则有 ，解得： ，
由图像可知，当 时，曲线 与直线 有交点，
即 与 的图像有交点，
即方程 有解.
故答案为：
2．已知指数函数 （ ，且 ）图象与其反函数的图象有公共点，则a的取值范围是
.
【答案】【解析】由于 与其反函数的图象关于直线 对称，所以问题转化为 的图象与直线 在第
一象限有公共点，令 ，则问题转化为 有正零点，
，
①当 时， ，从而 ， 在 上递减，
又 在由零点存在定理知，此时 有且只有一个正零点，满足题意；
②当 时，令 得： ，
时， ， 时， ，
在 递减，在 上递增，且 ，
所以
由于 ，所以 ，进而 ，得：
③当 时， ，无零点.
综上：a的取值范围是 .
题型十：曼哈顿距离问题
【典例10-1】（2024·浙江·一模）设函数 ，当 时，记 的最大
值为 ，则 的最小值为 .【答案】
【解析】去绝对值，则 ，根据二次函数的性质
所以 在 的最大值为 ， ， ， 中之一，
所以可得 ，
，
，
，
上面四个式子相加可得
即有 ，
可得 的最小值为 .
故答案为： .
【典例10-2】设函数 ，当 时，记 最大值为 ，则
的最小值为 .
【答案】【解析】 ，
设 ， ，
令 ，
当 时， ，所以 单调递减
令 ，
当 时， ，所以 单调递增
所以当 时，
，
，
则
则 ，
即
故答案为： .
结论1：已知 ， 为定点，且 ，则 到直线 上任意一点
的“曼哈顿距离”为： ．
结论2：已知两平行直线： ， ， 分别为 上任意一点，则 之间的“曼哈顿距离”为： ．（证明过程留给读者）
【变式10-1】在平面直角坐标系中，定义 为两点 ， 之间的“折
线距离”，则椭圆 上一点 和直线 上一点 的“折线距离”的最小值为
【答案】
【解析】设直线 上的任意一点坐标 ，
椭圆 1上任意一点的坐标为
由题意可知
分类讨论：
① ，
② 解同上；
③ ，∴椭圆 1上一点P与直线 上一点Q的“折线距离”的最小值为 ．
故答案为：
【变式10-2】（2024·山西晋中·三模）已知函数 的最大值为 ，
则满足条件 的整数 的个数为 ．
【答案】5
【解析】因为
，
且不等号取等的充要条件是 ，即 ，展
开并化简即得 .
由 及 ，结合零点存在定理知关于 的方程
一定有解.
所以 的最大值是 ，从而 ，即 .
若要 ， ，则 ，所以 ，这得到 .
从而 ，且 .
若 ，则 ；
若 ，则 ；若 ，则 .
所以满足条件的 共有5个： .
故答案为：5．
1．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点
的曼哈顿距离为： .已知点 在圆 上，点 在直
线 上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，过点 作平行于 轴的直线 交直线 于点 ，过点 作 于点 表示
的长度，因为直线 的方程为 ，所以 ，即
，
当固定点 时， 为定值，此时 为零时， 最小，即 与 重合（ 平行于 轴）时，
最小，如图所示，
设 ， ，则 ，
，
由三角函数知识可知 ，其中 ，
则其最大值是 ，所以 ，故D正确.
故选：D.
2．（2024·高三·浙江·开学考试）设函数 ，当 时，记 的最大值为
，若 恒成立，则 的最大值为（ ）
A．e B． C．0 D．
【答案】C
【解析】∵ 取绝对值后有以下四种情况:
， ，
，
设 ,故 在 恒成立,
∴函数 在 上单调递增,函数 在 上单调递减,
又∵函数 在 上为增函数,
所以函数 ， 在 上为增函数,
函数 ， 在 上为减函数,
∴ ， ，
，∴
∴ ，
∴
∵ 恒成立，
∴ ，解得 .
∴ 的最大值为
故选：C.
3．（2024·高三·北京丰台·期末）已知函数 ，当 时，记函数 的最大值为
，则 的最小值为（ ）
A．3.5 B．4
C．4.5 D．5
【答案】C
【解析】易判断函数f (x)为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数 ，
上的最大值 .
当 时， ，二次函数的对称轴为x=−1，函数在 上单调递增，所以
；
当 时， ，
因为 ，所以f (x)在 上递增，在 上也是递增，
所以 ；
当 时， ，因为 ，所以f (x)在 上递增，在 上递减，在 上递增，
所以 或 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ;
当 时， ， （因为 ），
所以函数f (x)在 上递增，在 上递减，所以 .
综上可知： 的最小值为 .
故选：C
题型十一：平口单峰函数
【典例11-1】已知函数 ，当 ， 时， 的最大值为 ，则
的最小值为
A． B． C． D．1
【解析】解：函数 ，
当 ， 时， 的最大值为 ，
可得 ， ，①
（1） ，②（4） ，③
由① ② ③，
可得 ， ， ，
，
则 ，
即有 的最小值为 ，
故选： ．
【典例11-2】已知 ， ，记 的最大值为 ，则 的最
小值是
A． B． C． D．
【解析】解：由题意，即求函数 最大值中的最小值，
， 则 函 数 可 理 解 为 函 数 与 函 数
在横坐标相等时，两纵坐标的竖直距离，
作示意图如下，由图观察可知，当 位于直线 和直线 正中间时，函数 取得最大值的最小值，
易知，直线 的方程为 ，
又 ，令 ，解得 ，则直线 的方程为 （1） ，
．
故选： ．
若 为 上连续的单峰函数，且 ，则称 为平口单峰函数．
结论：若 为 上的平口单峰函数，且 ， 为极值点，则当 变化时，
的最大值中的最小值为 ，当且仅当 ， 时取得．
【变式11-1】已知函数 定义域为 ， ，记 的最大值为 ，则 的最小值为
A．4 B．3 C．2 D．【解析】解：函数 定义域为 ， ，记 的最大值为 ，
可得 ，
（1） ， （2） ，
由于 ，
可得
，
，
可得 的最小值为2．
故选： ．
【变式11-2】已知 ， ， ，若对于任意的 恒成立，则
．
【解析】解：由 恒成立，可得 ，则 ，
当 时，可得 ，即 ，
当 时，可得 ， ．
那么：
；
综上可得 ．
故答案为： ．1．已知函数 ，若对任意的实数 ， ，总存在 ， ，使得 成立，则实
数 的取值范围是
A． B． ， C． ， D． ，
【解析】解： 存在 ， ，使得 成立， ，
对任意的实数 ， ， ， ；
可看作横坐标相同时，
函数 与函数 图象上点的纵向距离，
则问题等价于求函数 与函数 图象上点的纵向距离的最大值中的最小值；
如图，记 ， ，连接 ，则图中直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
设直线 与直线 平行，且与函数 相切于点 ， ，
又 ，令 ，解得 ，
切点 ，则切线 的方程为 ，
当直线 与直线 ， 平行且与两直线距离相等时，
即恰好处于两直线正中间的位置时，
函数 与函数 图象上点的纵向距离能取得最大值中的最小值，
此时 ，此时， ，
．
故选： ．
法二：记函数 的最大值为 ，
由题意可知， 对任意 ， 恒成立，
所以 ，依题意， ， ， ， ，
分别令 ，0，2，
可得 ， ， ， ， （2） ，
所 以 ， ， ，
，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 ．
故选： ．
2．设函数 ，若对任意的正实数 和实数 ，总存在 ， ，使得 ，
则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解析】解：设 的最大值为 （b），令 ，
当 ， 时，函数 单调递减， ．
， ．
由 ，解得 ．
①由 ， 时， （b） ； 时， （b） ．当 时，
（b） ．
②由 ， （b） ， （b） ．
③由 时， ， （b） ， （b） ．
综上可得： （b） ， ．
故选： ．3．已知函数 ，对于任意的 ， ，都存在 ， 使得 成立，则实数
的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解析】解： 的定义域为 ， ，
， ，
函数 在 ， 上单调递增，
， （1） ，
存在 ， 使得 成立，
存在 ， 使的 （1） 或 成立，
或 ，即 ，或
若 且 ，则不存在 ， 使得 成立．
则 ，即 ， ， ．
，
故当存在 ， 使得 成立时， ，
实数 的取值范围是： ， ．
故选： ．题型十二：三次函数
【典例12-1】（2024·河南郑州·一模）已知函数 ，实数 满足 ，
，则
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解析】设函数 图象的对称中心为 ，则有 ，
整理得 ，
比较系数可得 ．
所以函数 图象的对称中心为 ．
又 ， ，且 ，
∴点 关于 对称，
∴ ．选A．
【典例12-2】（2024·山西·一模）已知函数 存在极值点 ，且 ，其中
，
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】由题意，求得导数 ，
因为函数 存在极值点 ， ，即 ，
因为 ，其中 ，所以 ，
化为： ，把 代入上述方程可得： ，
化为： ，
因式分 ， ， ．
故选C．
1、由于三次函数 的导函数 为二次函数，其图象
变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点 ，
此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．
2、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店
处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要
设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．
【变式12-1】已知函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A．当 时，若 有三个零点，则b的取值范围为
B．若 满足 ，则
C．若过点 可作曲线 的三条切线，则
D．若 存在极值点 ，且 ，其中 ，则
【答案】B
【解析】对于A ， ，当 时， ，
，
令 ，解得 或 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时 取得极大值 ，当 时 取得极小值 ，有三个零点， ，解得 ，故选项A正确；
对于B ， 满足 ，根据函数的对称可知 的对称点为 ，将其代入
，得 ，
解得 ，故选项B错误；
对于C ， ，
设切点为 ，则切线的斜率
化简
由条件可知该方程有三个实根， 有三个实根，
记 ， ，
令 ，解得 或 ，
当 ， ，当 ， ，当 ， ，
所以当 时， 取得极大值 ，当 时， 取得极小值 ，
因为过点 可作出曲线 的三条切线，
所以 ，解得 ，故选项C正确；
对于D ， ， ，当 ， 在 上单调递增；
当 ， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
存在极值点 ，
由 得
令 ，
，于是 ，
所以
，
化简得： ，
， ，于是 ，
.故选项D正确；
故选：B
【变式12-2】（2024·河北唐山·三模）已知函数 有两个极值点 ，且 ，若
，函数 ，则g(x)
A．仅有一个零点 B．恰有两个零点
C．恰有三个零点 D．至少两个零点
【答案】A
【解析】由 有两个极值点 ，且 ，所以函数f(x)在 递
增，在 上递减，在 递增，大致图像如下图又因为 ，所以显然 为 与 的中点，结合上面函数图像可知，函数 与函数
的交点只有一个，所以方程 的根只有一个，即函数 的零点只有
一个，故选择A.
1．已知函数 ，若过点 可作曲线 的三条切线，
则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．【答案】A
【解析】由 ，得 ，设切点为 ，所以切线的斜率
，曲线 在点 处的切线方程为 ，因为
该切线过点 ，所以 ，即 ，
过点 可作曲线 的三条切线，
关于 的方程 有三个不同的根，
令 ，
，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 取得极大值 ，
当 时， 取得极小值 ，
关于 的方程 有三个不同的根，等价于 与 的图象有三个不同的交点，
，
，
实数 的取值范围为 ．
故选：A．
2．（2024·四川成都·模拟预测）对于三次函数 （ ），给出定义：设 是
函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则
（ ）
A．2014 B．2013 C． D．1007
【答案】A
【解析】 ，所以 ，令 ，
，所以 的对称中心为 ，
故选：A
3．设 分别满足方程 ， .则 .
【答案】2
【解析】整理得
，
，即 为方程 的解.
而 只有一个解，则 .题型十三：指对同构
【典例13-1】（2024·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称
为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于 的方程 和关于 的
方程 （ ， ， ）可化为同构方程，则 ， ．
【答案】 3 8
【解析】对 两边取自然对数得 ①．对 两边取自然对数得
，即 ②．
因为方程①，②为两个同构方程，所以 ，解得 ．
设 （ ），则 ，
所以函数 在(0,+∞)上单调递增，所以方程 的解只有一个，所以 ，
所以 ，故 ．
故答案为：3；8．
【典例13-2】（2024·高三·黑龙江鸡西·期中）同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，
转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对
数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如 与 （可化为 ）可以同构为
.若已知 恒成立，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】令 则 在 单调递增，
由 可得 ，
则 ，由于 ，所以 ，故 ，
记 ，
当 单调递增，当 单调递减，
故 ，
因此 ，
故答案为：
常见同构式
①积型
对数化: 令 ，得
指数化: 令 ，得
不等式两边同时取对数变形： 令 ，得
②商型
对数化: 令 ，得
指数化: 令 ，得
不等式两边同时取对数变形： 令 ，得
③和差型
对数化: 令 ，得指数化: 令 ，得
再比如 令 ，得 ．
【变式13-1】同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如： ， ，称
与 为同构式．已知实数 满足 ， ，则 ．
【答案】5
【解析】易判断 为增函数， ，
，
即 ， ，
所以 ， .
故答案为：5
【变式13-2】（2024·高三·四川内江·期中）若 恒成立，则 的取值范围为
.
【答案】
【解析】依题意， ．得 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以，若 ，显然成立，此时满足 ；
若 ，令 ， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，而 ，所以 ．综上， 在 上恒成立，所以 ．
令 ，所以 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以 ，即 ．
所以 的取值范围为 .
1．（2024·湖南郴州·三模）设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则
实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为 通分得： 即： ；设
，
函数 在 单调递增，
恒成立，得： 即设 ，
易知函数在 上单调递增，在 上单调递减
故答案为：
2．设实数 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
.
【答案】
【解析】因为 恒成立即 ，
可得 ，令 ，则 恒成立.
又 ，故当 时， ，故 在区间上为增函数.
又 恒成立，则 在区间 上恒成立，即 ， .
构造 ，则 ，令 有 ，
故当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数.
故 ，故 ，即 .
故答案为： .
3．若关于 的不等式 对于任意的 恒成立，则实数 的取值范围是 .【答案】
【解析】由题意知， ，将原不等式变形可得 ，
即 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
当 时，原不等式显然成立；
当 时， 在 上单调递增，
，
设 ，则 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
的最小值为 ，
故 ，
故答案为： .
题型十四：切线放缩与夹逼
【典例14-1】（2024·山西晋中·二模）若存在实数x，y满足 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】令函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以当 ，可得 ，
令函数 ，则 ，当且仅当 时取等号，
又由 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
故选：C.
【典例14-2】（2024·云南昆明·一模）若存在 ，满足 ，则实数 的取值范围
是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，则它们函数图象的一个公共点为 ，函数
在点 处的切线斜率为 ，所以在 处的切线方程为 ，所以
要存在 满足 ，则 ，所以 取值范围是 ，选A.
（1）指数函数的切线不等式：
① ；② ．
（2）对数函数的切线不等式：
① ；② ；③ ．
（3）三角函数的切线不等式：①当 时， ；当 时， ；
②当 时， ；当 时， ．
③切线与割线相结合的形式：当 时， ．
【变式14-1】（2024·河南·一模）已知实数 满足 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将原式作如下变形得： .由此可构造
函数： .不妨设 ，可得 ，由 知，
时， ， 时， ，所以 （当且仅当x=1时取“ ”）.即
解得 ，故 .故选C.
【变式14-2】（2024·河南·模拟预测）已知函数 ， ，其中e为自然对
数的底数，若存在实数 使得 成立，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
又 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，当且仅当两个不等式同时取等号时，等号成立.
若存在实数 使得 成立，则 ，
即 .
故选：D
1．若 ， 是实数， 是自然对数的底数， ，则 .
【答案】
【解析】令 ，则 ， 时有 ， 时有 ，从而得
在 上递增，在 上递减，
即 ，即 ，当且仅当 时取“=”，
于是有 ，当且仅当 时取“=”，
显然 ，即 ，从而得 当且仅当 时取“=”，
于是得 ，当且仅当 时取“=”，
即 ，从而得 ，当且仅当 时
取“=”，
解 得 ，此时 .
故答案为：-22．若关于x的不等式 恒成立，则a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设 ，则 在 上恒成立，
所以， 在 上单调递增，
所以， ，
所以， 对 恒成立.
由已知可得， 对 恒成立，
等价于 .
设 ，
显然 单调递增，值域为R，所以 有解.
当 时，有 成立，满足题意；
当 时，有 ，由 可知 ，
当 时，有 ，
，
所以， 不恒成立.
综上所述， .
故答案为： .
3．完成下列各问
（1）已知函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是 ；
（2）已知函数 ，若 恒成立，则正数a的取值范围是 ；（3）已知函数 ，若 恒成立，则正数a的取值范围是 ；
（4）已知不等式 对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是 ；
（5）已知函数 ，其中 ，若 恒成立，则实数a与b的大小关系
是 ；
（6）已知函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是 ；
（7）已知函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是 ；
（8）已知不等式 ，对 恒成立，则k的最大值为 ；
（9）若 ，则实数a的取值范围是 ；
【答案】 ； ； ； ； ； ；
； ; .
【解析】解析：（1） ，
．又 ， ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，所以
在 ， 递减，在 递增，
所以，当 时， ， 时，
（2） ，
当 时，原不等式恒成立；当 时， ，由于 ，
当且仅当 等号成立，所以 ．
（3） ，
当 时，原不等式恒成立；
当 时， ，由（1）中可得 ，当 时，等号成立，
所以 ，当且仅当 等号成立，
所以 ．
（4） ，由于 ，所以 ．
（5） ．
由于 ，当且仅当 等号成立，所以 ．
（6） ，由于 ，两者都是当且仅当 等号成立，则
，所以 ．
（7） ，由于 ，两者都是当且仅当 等号成立，
则 ，所以 ．
（8） ，由于 ，两者都是当且仅当 等号成立，所以，则 ，所以 ．
（9） ，当且仅当 ，即
时等号成立．由 有解，
， ，易知 在 上递增，在 递减，
所以
故答案为: ； ； ； ； ； ； ； ；
4．已知 ，则 的值是 .
【答案】0
【解析】由 ，得 ，从而可得 ，进而可求出 的
值由 ，得 ，
因为
所以 ，
所以 ，
故答案为：0
题型十五：整数解问题
【典例15-1】已知 ，存在唯一的整数 ，使得 成立，则 的取值范围是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ， ，
由题意可知函数 在直线 下方的图象有且只有一个点的横坐标为整数，
因为 ，所以 ，
由f'(x)>0，解得 ，由f'(x)<0，解得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减；
又 ， ，f (1)=0，即 过点 ， ，
且当 时 ，当 时 ；
如图，作出 的大致图象如下所示：
因为直线 过定点 ，且当 时 ，
所以 ，即 ，故 ，
即 的取值范围是 ．
故选：D【典例15-2】若满足 在 上恒成立的a唯一，则整数b的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】不妨设 ， ，
对于A， ，
满足 在 上恒成立的a唯一，
当 时， 在 上单调递减，则 ，即 ，与 矛盾；
当 时，令 得 ；
若 ，即 ，有 在 上单调递减，则 ，即 ，与
矛盾；
若 ，即 ， ， 在 上单调递增；
， 在 上单调递减；
， ， ， ；
可知 ，解得 ，符合题意，A正确；
对于B， 当 时成立，只需验证
当 时， 在 上单调递增，则 ，即 ，与 矛盾；
当 时，令 得 ；若 ，即 ，有 在 上单调递增，则 ，即 ，可知
不唯一，B错误；
对于C,D， ，
满足 在 上恒成立的 a唯一，
则当 时， 在 上单调递减，则 ，即 ，与 矛盾；
当 时，令 得 ；
若 ，即 ，有 在 上单调递减，
则 ，即 ，与 矛盾；
若 ，即 ， ， 在 上单调递
增；
， 在 上单调递减；
， ， ， ；
可知 ，解得 ，不符合题意，C，D错误；
故选：A.
1、直接法：为了得到含参函数的单调性与最值，往往需要对参数进行分类讨论；
2、参数分离法：参数分离后，根据所得函数的图象，讨论参数的取值范围，分离又有完全分离与不
完全分离两种．【变式15-1】已知函数 ，若不等式 的解集中有且仅有一个整数，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
当 时，f'(x)>0，当 时，f'(x)<0，
所以 在 上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以 ，
又当 时， ，当 时， 且 ，
作出y=f (x)的函数图象如图所示：
由 仅有一个整数解，
得 只有一个整数解，
设 ，由图象可知：
当 时， 在(0,+∞)上恒成立，不符合题意，
当 时，若 只有1个整数解，则此整数解必为1，所以 ，即 ，解得 ．
故选：D．
【变式15-2】若不等式 （其中 ）的解集中恰有一个整数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
当 时，f'(x)<0，当 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，且 ，
而当 无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0，
当 无限趋向于正无穷大时， 无限趋向于正无穷大，
令 ，该函数图象为恒过(1,0)的动直线，
因为不等式 的解集中恰有一个整数，
结合图象可得 ，即 ，所以 .故选：D
1．（2024·高三·重庆·期中）若关于x的不等式 的解集中恰有三个整数解，则整
数a的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】不等式 可整理为 ，
当 时， 成立，所以其它两个整数解大于1，
当 时，原不等式可整理为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
又 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以不等式 的两个整数解只能是2,3，
所以不等式 的三个整数解为1,2,3，
则 ，解得 ，
因为 ， ， ，所以整数 .
故选：B.
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）若当 时，关于x的不等式 恒成立，
则满足条件的a的最小整数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】设 ， ，
则 ，
设 ，
则 ，
当 时， ，故 ，
而 ，
故当 时， ，故 在 为增函数，
故 ，故 在 为增函数，
所以 即 恒成立.
当 时， ，
故存在 ，使得任意 ，总有 ，
故 在 为减函数，故任意 ，总有 ，
所以任意 ，总有 ，故 在 为减函数，故 ，这与题设矛盾，
故最小整数为0．
故选:A．
3．若关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，且 ，可得 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，可得 ，
且 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：C.题型十六：导数中的“最短距离”问题
【典例16-1】曲线 上的点到直线 的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，将直线 平移至与函数 图象相切时，
切点到直线 的距离最短,设切点坐标为 ，
,令 得， ，则切点坐标为 ，
所以切点 到直线 的距离为： .
故选：A.
【典例16-2】设 表示自然对数的底数，函数 （ ），若关于 的不等式
有解，则实数 的值为（ ）
A． B． C．0 D．【答案】A
【解析】设点 ，则 ，
记 及 ，
若直线 与函数 的图象相切，设切点的横坐标为 ，
，由 ，解得： ，
则切点为 ，又切点在 上，故 ，
点 到直线 的距离为 ，从而 ，
又由于 有解，则 ，
此时点P在 上，也在直线 在点P处的垂线即直线 上，
其中直线 在点P处的垂线的斜率为-2，
所以直线 在点P处的垂线方程为：
即点 坐标满足 ，
解之得 ，综上可得 ，
故选：A．此类问题可以通过构造函数、平移直线或者利用不等式等方法来求解
【变式16-1】（2024·高三·天津和平·期中）已知函数 ，若对任意的
正实数t， 在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意 在 R上恒成立，其中 ，
整理得 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
，
令 ， ，
时， ， 递减， 时， ， 递增，
所以 ，
所以 的最小值是16，
所以 ．
故选：D．
【变式16-2】（2024·河北石家庄·一模）已知函数 ，若存在 使得
成立，则实数 的值为A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 表示点 与点 距
离的平方， 点的轨迹是函数 的图象， 的轨迹是直线 ．则 ．作 的图象
平行于直线 的切线，切点为 ，则 ，所以 ，切点为 ，所以
，若存在 使得 成立，则 ，此时 恰好为垂足，所以
，解得 ．故本题答案选 ．
1．点 是曲线 上的一个动点，点 是曲线 上的一个动点，则 的最小值为．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先由 与 互为反函数，得到两函数图像关于直线 对称；因此只需 两点关
于直线 对称，点 到直线 距离最小时， 最小；设 ，根据点到直线距离公式、以及
导数的方法求解即可.因为 与 互为反函数，所以两函数图像关于直线 对称；点 是曲线上的一个动点，点 是曲线 上的一个动点，所以只需 两点关于直线 对称，点
到直线 距离最小时， 最小；
设 ，
由点到直线的距离公式可得，
点 到直线 距离 ，
令 ，
则 ，
由 可得： ；由 可得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
故 ,
所以 ，因此 的最小值为 .
故选A
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， 为曲线 在点 处的切线上的一个
动点， 为圆 上的一个动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ， ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．圆 的圆心坐标为 ，故圆心到直线 的距离为 ，所以 的最
小值为 .
故选：D
3．已知点P是曲线 上一点，若点P到直线 的距离最小，则点P的坐标为
.
【答案】
【解析】由题意知，曲线 ， ，令 ，得 （舍），
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，如下图所示，为曲线 与直线
在坐标系中的位置.
在点P的切线与直线 平行时，此时曲线上的点P到直线 的距离最小.设
，则 ，则 ，解得 （ 舍去），所以 .
故答案为：题型十七：等高线问题
【典例17-1】函数 ，若 ，且a，b，c，d互不相等，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，且 ，
不妨设 ，作图如下：
由图可知 ，且二次函数 的对称轴为直线 ，
易知 ，则 ，
，当且仅当 时，等号成立，
可得 ；
由图可知 ，则 ，可得 ，解得 .
综上所述， .
故选：C.
【典例17-2】设函数 ，若互不相等的实数 ， ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出的图像如下图所示，
，不妨设 ，
， 时， ，
则由图像可知， ， ，
所以 ，
故选：D.
对于函数 ，若 ，则直线 叫做函数 的等高线．此类题通常以求
取值范围的形式出现，其基本方法是“减元”，即充分利用函数值相等这一条件实施“消元”．
【变式17-1】已知函数 ，若关于x的方程 有4个不同的实根 ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】由关于x的方程 有4个不同的实根可知函数 与 图象有4个交点；
作出函数函数 与 的图象如下图所示：
由图可知 ，又 可得 ，
易知 ，可知 ，则有 ，
即 ，所以 ，
易知二次函数 图象关于 对称，
即可得 关于 对称，即 ，即可得 ，
令 ，解得 或 ，所以 ，
因此 .
故选：A
【变式17-2】设函数 ，若 （其中 ），
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】作出函数 的图象，如图所示，
设 ，
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有四个交点，
交点的横坐标分别为 ，且 ，
当 时，令 ，解得 或 .
由图可知， , ，
由 ，可得 ，所以 ，
则有 ，所以 .
令 ，
易知 在 上为减函数，且 ，
故 ，则 的取值范围是 .
故选：D1．已知函数 ，若关于 的方程 有4个不同的实根 、 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出函数y=f (x)和函数 的图象可知，
假设两个函数的图象共有4个交点 ，
且横坐标分别为 ，
由 ，得 ，则有 ，
所以 ，所以 ．
由于二次函数 图象的对称轴为直线 ，
则点 两点关于直线 对称，所以 ．则 ．
令 ，解得 或 ，所以 ，
所以 ．
故选：A
2．已知函数 ，若 ，其中 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，x∈ R，
所以 ，
所以当 时f'(x)<0，当 或 时f'(x)>0，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
且当 时， ，
当 时， ，
且 时， 或 ，
又 ，
，
整理得： ，
所以 的对称中心为 ，
如图所示：
令 ，
则由图可知： 且 ， ， ，所以A错误；
对于B： ，又因为 ，所以 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
因为 在 上单调递减，故 ，所以 ，故B错误；
对于C，因为 ， ， ，
所以 ，由 ， 知， ，
由B知， ，所以 ，
故 ，又 ，所以 ，所以C正确；
对于D，因为 的对称中心为 ，当 时 ，所以 ，
或者根据三次方程的韦达定理知， ，所以D错误.
故选：C
3．已知函数 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．方程 恰有3个不同的实数解
B．函数 有两个极值点
C．若关于x的方程 恰有1个解，则
D．若 ，且 ，则 存在最大值
【答案】C
【解析】由已知得 ，作出图象，如下图，对于A选项：由方程 得 或 或 ，
有图可知 无解， 无解， 有 个解，故A正确；
对于B选项：由图可知， 和 是函数 的两个极值点，故B正确；
对于C选项：若方程 恰有1个解，即函数 与函数 的图象仅有一个交点，可得
或 ，故C错误；
对于D选项：令 ，则 ，且 ，
则 ， ， ，
那么 ，
设 ， ，
则 ，
令 ， ，则 ，显然在 时， 恒成立，即 在
上单调递增，
且 ， ，所以存在 ，使得 ，
那么当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，所以 在 上存在最大值 ，即 存在最大值，故D正确.
故选：C.
重难点突破：多变量问题
【典例18-1】已知函数 ，若 有两个极值点 ， ，且 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，令 可得： .
有两个极值点 ， 有两根
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
令 ，则 ，解得： ，此时 .
有两根 等价于 与 交于 两点， ，
即 的取值范围为 .
故选： .
【典例18-2】已知函数 有两个极值点 ， ，若不等式 恒成
立，那么 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，且 ，
因为函数 有两个极值点 ， ，
所以方程 在 上有两个不相等的正实数根，
则 ，解得 ．
因为
，
设 ，
，易知 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
故 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 ．
故选：D．
求解双变量函数或不等式问题的基本思想是通过消元，将双变量问题转化为单变量问题加以解决．可以利用双变量之间的关系代入消元；也可以通过整体换元后化为单变量函数；还可以分离双变量后，根据
同构式直接构造函数；对于多变量问题，可以合理选择其中一个变量为主元，逐个处理变量；对于某些含
有“任意”“存在”等关键词的恒成立或有解问题，则通过分析函数的值域或最值来解决．
【变式18-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 ，若 有两个极值点 、
且 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ， 有两个极值点，则 有两个零点，
即方程 有两个实根，也即方程 有两个实根，
令 ，则 ，
所以 解得 ， 解得 ，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减，
时 ； 时 ， ，
据此可作出函数 的图像如下：
首先当且仅当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，其次，由图可知 ，且当 时， 随a的减小而增大，
不妨考虑 的情形，此时 ，因为 ，所以 ，
将 代入得： ，两式相除得 ，故 ，即 ．
所以当且仅当 时， 有两个极值点 、 且 ．
故选：A
【变式18-2】（2024·吉林·模拟预测）已知函数 ， ，当 时，不等式
恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 当 时，不等式 恒成立，则 ，
即函数 在 上单调递增，则 ，
整理可得 ，令 ，则 .
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
， .
故选：D.1．（2024·高三·江苏镇江·期中）已知函数 ， ，实数 ， 满足 ，
若 ， (0,+∞)，使得 成立，则 的最大值为（ ）
A．7 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】先用导数法研究 ，然后的同一坐标系中作出函数 与 的图象，根据
， ，使得 成立求解.因为 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ， ，
所以 在 处取得极小值，且为定义域内唯一极值，
. ，
作函数 与 的图象，
如图所示：当 时，方程两根分别为 和 ，
则 的最大值为： .
故选：B
2．对任意的实数 ，都存在两个不同的实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得
设
所以当 时，函数单调递增，当 时，函数单调递减.
所以 ，
由函数的图像得y=a与y=f(t)有两个不同的交点，
所以 .
故答案为A
3．（多选题）已知函数f（x）=ax2﹣x+lnx有两个不同的极值点x，x，若不等式
1 2
恒成立，则t的取值可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【解析】 ， ，
由题意得 ， 为 的两不等正根，
所以 ，
解得 ，
，
，
，
，
令 （a） ， ，
则 ， （a）在 上单调递增， （a） ，
因为 恒成立，
所以 恒成立，
所以 ．
故选：BD．
