文档内容
新定义题型 01 压轴小题全面归纳与解析
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................2
题型一：集合新定义.....................................................................................................2
题型二：函数与导数新定义.........................................................................................3
题型三：立体几何新定义.............................................................................................4
题型四：三角函数新定义.............................................................................................7
题型五：平面向量与解三角形新定义.........................................................................9
题型六：数列新定义...................................................................................................11
题型七：圆锥曲线新定义...........................................................................................12
题型八：概率与统计新定义.......................................................................................15
重难点突破：高等数学背景下新定义.......................................................................17
02 重难创新练.............................................................................................................20
题型一：集合新定义
1．对于非空数集A，B，定义 ，将 称为“A与B的笛卡尔积”.记非空数集M的元素个数为 ，由笛卡尔积的定义可知 .若A，B是两个非空数集，则
的最小值是 .
【答案】4
【解析】设 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，即 的最小值是4.
故答案为：4.
2．已知集合 具有性质P：对任意
与 至少一个属于 ．记 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 具有性质 ,
又因为 ,所以
又因为 ,所以 ,则 ,
所以 , .
所以
即 ,
所以 ，则 .故答案为：
题型二：函数与导数新定义
3．曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线 ，其在点 处的曲率
，其中 是 的导函数， 是 的导函数．则抛物线 上的
各点处的曲率最大值为（ ）
A． B．p C． D．
【答案】C
【解析】由题可知抛物线方程为： ，则 ， ，
则该抛物线在各点处的曲率 ，
当 时， 取最大值 .
故选：C.
4．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了
很多宝贵的成果.若 为 上任意 个实数，满足
，则称函数 在 上为“凹函数”.也可设可导函数
在 上的导函数为 在 上的导函数为 ，当 时，函数 在上为“凹函数”.已知 ，且 ，令 的最小值
为 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记函数 ，首先证明其凹凸性：
，
在 上为“凹函数”.
由琴生不等式，得 ，
即 .
所以 ，
即当 时， 取最小值 ，所以 .
故选：B.
题型三：立体几何新定义
5．在空间中，定义向量的外积： 叫做向量 与 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
① ，且 和 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的
指向一致，如图所示）；② 的模 ，（ 表示向量 的夹角）.
在正方体 中，有以下四个结论，其中正确的个数是（ ）
① ；② ；
③ ；④ .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意，设正方体边长为 ，
①由几何知识得， 是全等的等边三角形，且边长为
∴ ，
，
，
∴ ，①正确.
②由几何知识得， ，
，
又由图可知 ，则 为一个与 同向且模长为 的向量.
，
又 ， ，
则 ， 分别为与 ， 向量同向且模长为 的向量.
设 ， ，由向量加法法则可知 与 同向，
其模 ，
则 ，故②正确；
③ ，
∴
∵右手系叉乘具有方向，
∴ ，
，
∴ ，③ 错误；
④ ， ，故④ 错误；
故选：B.6．由空间一点 出发不共面的三条射线 ， ， 及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，
记为 ．其中 叫做三面角的顶点，面 ， ， 叫做三面角的面， ， ，
叫做三面角的三个面角，分别记为 ， ， ，二面角 、 、 叫做
三面角的二面角，设二面角 的平面角大小为 ，则一定成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图， ， ，
在 上取一点 ，过 在平面 内作 ，交 于 ，
过 在平面 内作 ，交 于 ，连接 ，
则 是二面角 的平面角，即 .
设 ，在直角三角形 中，
，
在直角三角形 中， ，
，在 中， ，
在 中， ，
即为
，
所以 .
故选：A.
题型四：三角函数新定义
7．对集合 和常数 ，把 定义为集合
相对于 的“正弦方差"，则集合 相对于 的“正弦方差”为（ ）
A． B． C． D．与 有关的值
【答案】C
【解析】由题知，集合 相对于 的“正弦方差”为把 ， ，
，代入上式整理得， .
故选：C.
8．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义
为角 的正矢，记作 为角 的余矢，记作 ，则下列命题中正确的是
（ ）
A．函数 在 上是减函数
B．若 ，则
C．函数 ，则 的最大值
D．
【答案】D
【解析】对于A,函数 ，在 上不单调，故错误；
对于B， ，
故错误；
对于C， ，
，所以 的最大值为 ，故错误；对于D， ，故正确.
故选：D
题型五：平面向量与解三角形新定义
9．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内
接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其
意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和
差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点
在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线， ，且 为正三角形，则四边形ABCD的面
积为（ ）
A． B．16 C． D．12
【答案】C
【解析】设 ，由托勒密定理可知 ，
即 ，所以， ，
又因为 ， ，因此，
.
故选：C.
10．如图，定义 、 的向量积 ， 为当 、 的起点相同时，由 的方向逆时针旋转到
与 方向相同时，旋转过的最小角，对于 ， ， 的向量积有如下的五个结论：
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ ；
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】① 至少有一个为0时，显然成立；
都不为0时，
若 ，则 ；
若 ，则 ；
综上： ，故①正确；② ，所以 ，故②错误；
③ ，故③正确；
④由③知： ，故④正确；
⑤ 与
不一定相等，故⑤错误；
故选：C.
题型六：数列新定义
11．定义：对给定的数列 、数列 和正整数 ，当 取最小值时，对应的
，则称 为 对 的前 项正比例近似系数．已知 ， ，则数列 的前 项和
，数列 对 的前2项正比例近似系数为 ．
【答案】 9
【解析】因为 ，所以 ．
当 时， ，
当 时， 取得最小值0，所以数列 对 的前2项正比例近似系数为9．
故答案为： ；9.12．某个软件公司对软件进行升级，将序列 升级为新序列 ，
中的第 项为 ，若 的所有项都是3，且 ， ，则 .
【答案】8
【解析】由题意得， ， ，
，
的所有项都是3，
， ， ，
由 得 ，解得 ，
由 得 ，解得 ，
由 得 ，解得 .
故答案为：8.
题型七：圆锥曲线新定义
13．（多选题）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观
念，故命名为中国结.中国结有着复杂曼妙的曲线，我们可以将其简化成单纯的二维线条，其中的八字结对
应着数学曲线中的双纽线，如图，曲线 是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的图象关于原点对称
B．曲线 经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）C．曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过3
D．若直线 与曲线 只有一个交点，则实数 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，把 代入 中，
得到
故 ，所以曲线 的图象关于原点对称，故A正确.
对于B，令 ，得到 ，
解得 或 ，即曲线经过 ， ， ，
由图可得 ，令 ，得到 ，
解得 ，而 ，
故 ，故 ，
令 ，得到 ，
解得 ，而 ，
故 ，得到 ，
而 ，故 ，
得到 ，故 ，
则曲线 只能经过3个整点，故B错误，
对于C，由题意得 ， ，
故 ，而 ，得到 ，故 ，即 ，
设曲线 上任意一点到坐标原点 的距离为 ，
由两点间距离公式得 ，
而 ，解得 ，即 ，
则曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过3，故C正确，
对于D，由题意得直线 与曲线 一定有公共点 ，
联立方程组 ，得到 ，
若直线 与曲线 只有一个交点，则方程除 外无解，
而 ， ，则 即可，
解得 ，故D正确.
故选：ACD
14．（多选题）在平面直角坐标系 中，到定点 距离之积等于 的动点的轨迹
称为伯努利双纽线， 为该曲线的两个焦点.已知曲线 ： 是一条伯努利双纽线，
点 是曲线 上一点，则（ ）
A．
B．
C．当 时，
D． 上存在两个点 ，使得
【答案】AC【解析】对A：对伯努利双纽线 ，
令 ，则 ，即 ，解得 或 ，
故点 在该曲线上，根据双纽线定义 可得： ，
故 ，则 ，或 （舍去），故 ，又 ，故 ，故A正确；
对B：对伯努利双纽线 ，令 ，
则 ，即 ，
即 ，该方程无解， ，故B错误；
对C：在△ 中，不妨设 ，
由A可知， ；由据双纽线定义可得： ；
则由余弦定理可得： ，
即 ， ，
故 （舍）或 ，
即当 时， ，故C正确；
对D：对方程 ，令 ，则 ，解得 ，
故 斜率存在，设为 ，则直线 对应方程为 ；
联立 与 可得： ，
即 ，因为 异于 ，故 ，则 ，则 ，解得 ，同理 ；
若 ，则 ，由 范围可知，显然不成立，故D错误；
故选：AC.
题型八：概率与统计新定义
15．定义空间直角坐标系中的任意点 的“ 数”为:在 点的坐标中不同数字的个数，如:
，点 的坐标 ，则所有这些点 的“ 数”的均值与最小值
之差为 .
【答案】
【解析】由点 的坐标 ，可分三种情况讨论：
①恰有3个相同数字的排列为 种，则 共有4个；
②恰有2个相同数字的排列为 种，则 共有36个；
3个数字各不相同的排列为 种，则 共有24个，
③
所以点 的“ 数”的平均值为 ，
则平均值与最小值之差为 .
故答案为： .
16．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且 ， ，定义
．若 ，则当 时， 的最大值为 ．【答案】
【解析】当 时， ，
则
∵ ， ， ，∴ ，当且仅当 时，等号成立．
所以， ， ，
∴ ，即 的最大值为 ．
答案：
17．在 维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 维坐标
，其中 .定义：在 维空间中两点 与 的曼哈顿
距离为 .在 维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量 为所
取两点间的曼哈顿距离，则 .
【答案】
【解析】对于 维坐标 ，其中 .即 有两种选择 ，
故共有 种选择，即 维“立方体”的顶点个数是 个顶点；
当 时，在坐标 与 中有 个坐标值不同，即有 个坐标值满足 ，剩
下 个坐标值满足 ，
则满足 的个数为 .所以 .
故分布列为：
则 .
故答案为： .
重难点突破：高等数学背景下新定义
18．（多选题）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数
的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则
是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设 是一个非空集合，“ ”是 上的一个代数运算，如果该
运算满足以下条件：
①对所有的 、 ，有 ；
② 、 、 ，有 ；
③ ，使得 ，有 ， 称为单位元；
④ ， ，使 ，称 与 互为逆元．
则称 关于“ ”构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A． 关于数的乘法构成群
B．实数集 关于数的加法构成群
C． 关于数的乘法构成群
D． 关于数的加法构成群
【答案】ABD【解析】对A，对所有的 ，有 ，且满足乘法结合律； ，使得 ，有
； ，有 ，故A正确.
对B，若 ， ，有 ，满足加法结合律；当 时，满足③； ，
使 ，即④成立，故B正确.
对C，因为 ，且 ，但 ，故C错误.
对D， ，可设 ，
则 ，则G满足加法结合律，即 ，有 ；
，使得 ，有 ；
， ， ，使得 ，故D正确.
故选：ABD.
19．（多选题）记 为函数 的 阶导数， ，若 存在，
则称 阶可导.英国数学家泰勒发现：若 在 附近 阶可导，则可构造
（称其为 在 处的 次泰勒多
项式）来逼近 在 附近的函数值.下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 在 处的3次泰勒多项式为 D．
【答案】BCD
【解析】对于A，若 ，则 ， ，， ，
所以 ，故A错误；
对于B，若 ，则 ，
， ，
观察可知 ，故B正确；
对于C， ，则 ，
因为 ，
所以 在 处的 次泰勒多项式 ，故C正确
对于D， 的 阶导数 ，
得 ，
则 ，故D正确；
故选：BCD1．（吉林省吉林地区普通中学2024-2025学年高三上学期第二次模试考试数学试题）定义：到定点
的距离为定值 的直线系方程为 ，此方程也是以 为圆心， 为半径
的圆的切线方程. 则当 变动时，动直线 围成的封闭图形的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由 .
根据条件中的定义，可得：动直线是以 为圆心，以1为半径的圆的切线.
所以动直线围成的封闭图形为：以 为圆心，以1为半径的圆.
其面积为： .
故选：C
2．（上海市青浦区2024-2025学年高三上学期期终学业质量调研（一模）数学试卷）已知函数 是
定义在R上的奇函数，且当 时， ， 则关于函数 在R 上的零点的
说法正确的是（ ）.
A．有4 个零点，其中只有一个零点在区间 上
B．有4 个零点，其中两个零点在区间 上，另外两个零点在区间 上
C．有5 个零点，两个正零点中一个在区间 上，一个在区间 上
D．有5 个零点，都不在 上
【答案】D【解析】由于函数 是定义在R上的奇函数，故 ，即0是函数的一个零点；
当 时， ，
此时函数在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
即此时函数在 和 内各有一个零点，在 上无零点，
又函数 是定义在R上的奇函数，
故函数在 和 也内各有一个零点，
综合上述可知函数有5 个零点，都不在 上
故选：D
3．（福建省龙岩市一级校联盟2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试题）已知 ，
定义运算@: ，其中 是函数 的导数.若 ，设实
数 ，若对任意 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C．e D．2e
【答案】B
【解析】因为
所以 ，即 ，
所以 ，即对任意 ， 恒成立.
设 ，因为 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以当 时， ，
所以当 时， 单调递增.
因为对任意 ， 恒成立，
所以对任意 ， 恒成立.
所以对任意 ， 恒成立.即 恒成立.
设 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以当 时， .
所以对任意 ， 恒成立，只需 即可.
故 的最小值为 .
故选：B
4．（浙江省湖州、衢州、丽水等3地市2024-2025学年高三上学期11月教学质量检测数学试题）双曲线
的另一种定义：动点 与定点 的距离和它与定直线 ： 的距离的比是常数 ，
则点 的轨迹是一个双曲线.动点 与定点 的距离和它与定直线 ： 的距离的比是 ，则
点 的轨迹方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，依题意， ，化简整理得 ，
所以点 的轨迹方程为 .
故选：B
5．（四川省2025届高三上学期入学摸底考试数学试题）定义：如果集合 存在一组两两不交（两个集合
的交集为空集时，称为不交）的非空真子集 且 ，那么称子集族
构成集合 的 一个 划分.已知集合 ，则集合 的所有划分的个数
为（ ）
A．3 B．4 C．14 D．16
【答案】B
【解析】依题意， ，
的2划分为 ，共3个，
的3划分为 ，共1个，
故集合 的所有划分的个数为4.
故选：B.
6．（安徽省2024届新高考数学预测模拟卷（六））给出定义：若函数 在D上可导，即 存在，
且导函数 在D上也可导，则称 在D上存在二阶导数，记 .若 在D上恒成立，则称 在D上为凸函数.以下四个函数在 上不是是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A： ， ， ，
则 在 上恒有 ，故A错误；
对于B： ， ， ，
则 在 上恒有 ，故B错误；
对于C： ， ， ，
则 在 上恒有 ，故C错误；
对于D： ， ， ，
则 在 上恒有 ，故D正确.
故选：D.
7．（2025届高三天枢杯第二届线上联考数学试题）我们称两个正整数 和 互素，当且仅当 和 的最大
公因数是1，我们定义 是小于 的正整数中和 互素的数的个数，例如 ．是因为小于
6的数中只有1与5和6互素．那么以下说法错误的是（ ）
A．有无限多个正整数 使B．有无限多个正整数 使
C． 的解只有1和2
D．对于任意正整数 ，都有 使得
【答案】D
【解析】A，因为对于任意的奇质数 ，有 ，正确
B，因为对于任意的正整数 ，有 ，则B正确；
C，因为当 的时候1和 都和 互素，从而 至少是2，C正确，
D，因为 是无解的．因为显然对于任意的 ．
若 和 互素，则 也和 互素，反之亦然．而当 为偶数时自己和自己对应的 和 不互质．
而 的时候 ．从而该方程无解．综上，D选项是错误的.
故选：D
8．（新疆维吾尔自治区2025届高三上学期11月新课标卷大联考数学试卷）定义：对于数列 若存在
，使得对一切正整数 ，恒有 成立，则称 为有界数列.设数列 的前 项和为 ，则
下列选项中，满足 为有界数列的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于选项A：因为 为等差数列，则 ，可知对任意 ，当 时， ，
不满足有界数列的定义，故A错误；
对于选项B：因为 ，
则 ，
可知对任意 ，当 时， ，
不满足有界数列的定义，故B错误；
对于选项C：当 为偶数时， ，
可知对任意 ，当 时， ，
不满足有界数列的定义，故C错误；
对于选项D：可知数列 是以首项、公比均为 的等比数列，
则 ，
可知当 时， ，符合有界数列的定义，故D正确；
故选：D.
9．（多选题）（辽宁省2024-2025学年高三上学期第二次联合调研数学试题）已知函数 是定义在
上的奇函数，且当 时， 对于数列 ，若
，下列说法不正确的是（ ）
A．存在 的等比数列 ，使得 为等比数列
B． ，均存在等差数列 ，使得 为等差数列
C． ，均不存在等比数列 ，使得 为等差数列D．若存在等差数列 ，使得 为等比数列，且 ，则 的最小值为
【答案】ABD
【解析】A：若 的等比数列 ，使 ，
由 且 ，若 ，则 ，若 ，则 ，
则 ①，
不妨令 ， ，则 ，
故 ，且 ，仅当 时等号成立，
若 ，方程①中左式恒大于右式，同理 ，即 ，结论相同，错；
B：若存在等差数列 ，使得 为等差数列，则 且 ，
所以 ，则 ，
设等差数列 的公差为 ，则 ，即 ，
显然不满足 ，错；
C：若存在等比数列 且公比为 ，使得 为等差数列，则 ，
不妨设 ， ，只需 ，只需 ，
则 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，且 ，
则 在 上单调递增，又 ，故 都有 ，
令 ，则 ，即 在 上单调递增，
令 ，且 ，
则 ，故 在 上单调递减，则 ，
所以 无解，对；
D：若存在等差数列 ，使得 为等比数列，
令 ，则 ，
所以 ，而 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 的最小值不为 ，错.
故选：ABD
10．（多选题）（山东省烟台市2024-2025学年高三上学期1月期末学业水平诊断数学试题）若数列
满足 ，则称其为“ 数列”.给定数列 ，若 为“ 数列”，定义 上的 变换：从
中任取两项 ，将 添加在 所有项的最前面，然后删除 ，记新数列为 （约定：一
个数也视作数列），下列结论正确的有（ ）
A．若 ，则数列 为“ 数列”B．若 ，则数列 为“ 数列”
C．若无穷数列 为“ 数列”，则 为“ 数列”
D．若数列 为 ，则 为
【答案】BCD
【解析】A项，若 ，取 ，
由 ，则 ，
则 ，故A错误；
B项，若 ，
设 ，
则 ，
故 在 单调递增，所以 ，即 .
故任意 ，则 ，
由 ，依次递推可知 ，
故数列 满足 ，则数列 为“ 数列”，故B正确；
C项，首先证明 ，都有 .
证明：对 ，
则有 ，
且 ，所以 ，即 ，
故由所证结论可知，若无穷数列 为“ 数列”，
则数列 中任意项 ，都满足 ，则任意两项 ，都有 .
依次类推可知经过任意次 变换操作后，新数列 仍为“ 数列”，故C正确；
D项，由于每次 变换操作中都是增加一项，删除两项，
所以对数列 经过 变换一次，则项数减少一项，
故对 项的数列 可进行 次 变换操作，且最后数列 只剩下一项.
对于任意 ，定义运算 .
下面证明这种运算满足交换律与结合律.
证明：由 ，则 ，
所以 ，即该运算满足交换律；
由 ；
且 ；
故 ，即该运算满足结合律.
由上所证结论可知， 中的项与实施的 变换具体操作顺序无关，
不妨选择 的依序操作过程求 .
由当 时， ，由 ，则 ；当 时， ，则由 ， ，则 ；
当 时， ，则由 ， ， ，
则 ；
当 时， ，则由 ， ， ，
，则 ； ；
由数列 ，
故猜想： .
记 为最后数列 中仅剩的一项（ ），设 ，
则由题意可知数列 满足 ， .
下面用数学归纳法证明： .
（i）当 时， ，又 ，
故当 时， 成立；
（ii）假设当 时， 成立，
即 ，下面证明当 时， 也成立.
则当 时，，
故当 时， 也成立，得证.
综合（i）（ii）可得，对任意 ， 成立，故D正确.
故选：BCD.
11．（多选题）（山东省菏泽市2022届高三二模考试数学试题）设 ， 为两个正数，定义 ， 的算术
平均数为 ，几何平均数为 ．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer
提出了“Lehmer均值”，即 ，其中 为有理数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】A选项： ，
当且仅当 时，等号成立，故A选项正确；
B选项： ，
当且仅当 时，等号成立，故B选项正确；
C选项： ，
当且仅当 时，等号成立，故C选项不正确；
对于D，当 时，由C可知， ，故D选项不正确；故选：AB．
12．（多选题）（安徽省淮南市和淮北市2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题）如图，点
是以 为顶点的正方形边上的动点，角 以 为始边， 为终边，定义
．则（ ）
A．
B．
C．函数 的图象关于点 对称
D．函数 的图象与 轴围成封闭图形的面积为
【答案】BCD
【解析】由题意得 ， ，
因为 ，
所以 ，
化简得 ，对于A，我们得到 ，
，故A错误，
对于B，我们得到
，故B正确，
对于C，因为 ，所以 ，
而 ，
故 ，
得到 的图像关于点 对称，故C正确，
对于D，因为 ，所以 ，
而 ，
所以 ，故 的图像关于点 对称，
而 ，
所以 关于 对称，且设 在 内与 轴围成封闭图形的面积为 ，故所求 在 内与 轴围成封闭图形的面积为 ，
当 时， ，且 ， ，
在 上的图象关于点 对称，在 的图形与 轴围成图象面积等于以 为直角边的直
角三角形面积，
故 ，则 ，故D正确.
故选：BCD
13．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题）现代建筑讲究的线条感，曲
线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数，
是 的导函数，则曲线 在点 处的曲率 ，若曲线
和 在 处的曲率分别为 ，则 ；设余弦曲线 的曲率为K，则
的最大值为 ．
【答案】 ； 1
【解析】因为 ,所以 ,
所以 ,所以 .
因为 ,所以 .
所以 ,所以 ,所以 .
因为 ,所以 ,则 ,
所以 .
令 则 因为
所以 在 上单调递增，
当 即 时， 有最大值 所以
故答案为：
14．（江苏省南京市第九中学、第十三中学2024-2025学年高二上学期第一次调研（10月）数学试题）
“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点 ，
的曼哈顿距离为： ．已知点M在圆 上，点N在直线
上，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图（1）所示，过点 作平行于 轴的直线 交直线 于点 ，
过点 作 于点 ， 表示 的长度，
因为直线 的方程为 ，即直线 的斜率 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，可得 ，即 ，所以 ，
当固定点 时，且 平行 轴时，此时点 与点 重合，
此时 为定值，此时 为0时， 最小，如图（2）所示，
过点 作直线 的垂线，垂足为 ，交圆 于点 ，
可得 ，
又由直线 的斜率 ，可得 ，
在直角 中，可得 .
故答案为： .
15．（江苏省南通市名校联盟2025届高三上学期模拟演练性联考数学试卷）定义首项为1且公比为正数的
等比数列为“ 数列”.已知数列 （ ）的前 项和为 ，且满足 ， .设 为
正整数.若存在“ 数列” （ ），对任意正整数 ，当 时，都有 成立，则
的最大值为 .
【答案】5
【解析】由 ，
得 ，则 ，则 ，当 时，由 ，得 ，整理得 ，
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，则 ，
因为数列 为“ 数列”，设公比为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，其中 ，
当 时，有 ；
当 时，有 ，
设 ，则 ，
当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减，
因为 ，所以 ，
取 ，当 时， ，即 ，经检验知 也成立，
因此所求 的最大值不小于5，
若 ，分别取 ，得 ，且 ，
从而 且 ，所以 不存在，所以 ，
综上，所求 的最大值为5.
故答案为：5
16．（山西省运城市康杰中学2023-2024学年高三第十九次大型考试数学仿真训练试题）给定集合
，定义 中所有不同值的个数为集合 两个元素
的容量，用 表示.
①若 ，则 ；②定义函数 其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ，当
时，函数 的值域为 ，若 ，则 ；
【答案】
【解析】①：因为 ，
所以
其中不同值的个数为 ，故 ，
②：当 ，则 ，所以 ，
则 的值域为 ，
任取两个元素相加，不同的结果有 （个），
则 ，解得 .
故答案为： ； .
