文档内容
2024 年秋季学期百色市普通高中期末教学质量调研测试
高一数学
（本试卷满分：150分，考试用时：120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．
写在试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 命题“ ”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
的
【分析】根据特称命题 的否定为全称命题即可得到答案.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题知：命题“ ”的否定为 .
故选：A.
2. 已知集合 是8的约数 ， ，则Venn图中阴影部分表示的集合为（
）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
【分析】求得集合 ，利用交集的意义求解即可.
【详解】集合 是8的约数 ，
由 ，可得 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
3. 已知幂函数 的图象过点 ，则该函数的解析式为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设幂函数 ，代入点 运算求解即可.
【详解】设幂函数 ，
代入点 ，可得 ，则 ，
所以该函数的解析式为 .
故选：C.
4. 顶点与坐标系原点重合，始边与x轴非负半轴重合，大小为 的角的终边落在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由象限角的定义对进行判定.
【详解】 ， 的角的终边落在第二象限.
∵ ∴
故选：B.
5. 函数 的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据零点存在性定理即可得到答案.
【详解】因为 ，则 ，
且函数 在 上单调递增，并且函数图象连续不间断，
由零点存在性定理可知函数 的零点在区间 内．
故选：B．
6. “ ”是“函数 在区间 上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性，结合充分不必要条件，可得答案.
【详解】当 时，二次函数 的对称轴为直线 ，
易知此时二次函数 在 上单调递增；
由二次函数 的对称轴为直线 ，
易知当 ，即 时，二次函数 在 上单调递增.
所以“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 已知角 的终边过点 ，则 （ ）A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数的定义求得 ，利用诱导公式化为齐次式，进而求解即可.
【详解】因为角 的终边过点 ，所以 ，
所以
.
故选：D.
8. 已知函数 和 ，设 ，则函数 （
）
A. 有最大值2，无最小值 B. 无最大值，有最小值0
C. 无最大值，无最小值 D. 无最大值，有最小值1
【答案】D
【解析】
【分析】作出分段函数图象，由图即可得到答案.
【详解】如图，由函数 的图像可知函数 无最大值，
当 ，即 或2时，函数 有最小值 ．
故选：D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 且 ，则 D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由不等式的基本性质，判断A，B，C选项，由基本不等式判断D选项.
【详解】A选项，当 时，若 ，则 ，A选项为假命题，A选项正确；
B选项，当 时， ，B选项为假命题，B选项正确；
C选项，若 且 ，则 ，所以 ，
所以 ，C选项为真命题，C选项错误；
D选项，因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，D选项为真命题，D选项错误.
故选：AB.
10. 把曲线 向右平移 个单位得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数 的最小正周期为 B. 直线 是函数 图象的一条对称轴
C. 函数 图象关于点 对称 D. 函数 在区间 上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平移变换求得 ，可求得最小正周期判断A；进而利用整体法可求对称
轴与对称中心判断BC；利用整体法可判断 的单调性判断D.
【详解】因为曲线 向右平移 个单位得到函数 的图象，
所以 ，
所以函数 的最小正周期为 ，故A正确；
由 ，解得 ，
故直线 不是函数 图象的一条对称轴，故B错误；
由 ，解得 ，当 时， ，
所以函数 图象关于点 对称，故C正确；
由 ，可得 ，
由 可知，函数 在区间 上单调递增，故D正确.故选：ACD.
11. 设定义域为 的函数 满足 ，若 是奇函数，且在区间 上单
调递减，则（ ）
A. 函数 在定义域内为减函数
B. 函数 的图象关于点 对称
C. 若函数 为偶函数，则函数 为奇函数
D. 设 时， ，则对 ，总有
【答案】BCD
【解析】
【分析】取 ，可判断A；由图象的平移变可判断B；由已知可得 ，
进而可得 ，可判断C；由奇函数的性质与指数函数的性质可判断D.
【详解】对于A，若 是奇函数，且在区间 上单调递减，
但在定义域 上不是单调递减函数，故A错误；
对于B，因为 是奇函数，所以图象关于原点 对称，
又因为 向左平移1个单位得 的图象，
所以函数 的图象关于点 对称，故B正确；
对于C，因为函数 为偶函数，所以 ，
又 是奇函数，所以 ，
又 ，所以 ，所以函数 为奇函数，故C正确；
对于D，当 时， ，又 是奇函数，所以 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：利用指数函数的性质可求得 时， ，进而利用奇函数
的对称性可求解.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】应用分段函数结合指数运算及对数运算计算函数值即可.
【详解】因为函数 ，
则 ．
故答案为： .
13. 若扇形周长为32，当这个扇形面积为64时，扇形圆心角为______弧度．
【答案】
【解析】
【分析】设扇形的半径为 ，弧长为 ，由题意可得 ，求解即可.
【详解】设扇形的半径为 ，弧长为 ，由题意可得 ，解得 ，所以扇形圆心角为 .
故答案为： .
14. 设 为方程 的解，设 为方程 的解，则 ______．
【答案】0
【解析】
【分析】整理可得 ， ，可知 、 与直线 的交点关于直线 对称，
即可得结果.
【详解】由 ， ，可得 ， ，
因为 与 互为反函数，其图象关于直线 对称，且直线 也关于直线 对称，
可知 、 与直线 的交点关于直线 对称，
由图象可知： 、 与直线 的交点均存在且唯一，
又因为 与 的交点为 ，所以 .
故答案为：0.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可；
（2）直接利用对数的运算法则求解即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
16. 已知函数 ．
（1）判断并证明函数 的奇偶性；
（2）求关于 的不等式 的解集．
【答案】（1）函数 为奇函数，证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的判断方法即可得到答案；
（2）化简得 ，再解出即可.
【小问1详解】令 ，解得 ，
则 的定义域为 关于原点对称，
又因为
所以 为奇函数．
【
小问2详解】
因为 ，所以不等式 化为 ，
即 ，解得
的
又 定义域为 ，
所以不等式 的解集为 ．
17. （1）已知角 为第二象限角，且 ，求 值；
的
（2）若 在区间 上的最大值为6，求实数 的值．
【答案】（1） ；（2）3
【解析】
【分析】（1）根据同角三角关系可得 ，利用两角和差公式运算求解；
（2）整理可得 ，结合正弦函数有界性分析求解.【详解】（1）因为角 为第二象限角，且 ，则 ，
所以
；
（2）由题意可得： ，
因为 ，则 ，
可知当 ，即 时， 取到最大值 ，
可得 ，即 .
18. 某糕点连锁店现有五家分店，出售 ， 两款糕点， 为特价糕点，为吸引顾客，按进价销售．已知
用16000元购进 糕点与用22000元购进 糕点的重量相同，且 糕点每斤的进价比 糕点每斤的进价多6
元．
（1）求 ， 两种糕点每斤的进价；
（2）经市场调查发现， 糕点每斤售价30元时，每月可售出3120斤，售价每提高1元，则每月少售出
120斤，售价每降低1元，则每月多售出120斤，糕点店不会低于进价销售．则 糕点每斤定价为多少元
时，糕点店通过卖 糕点获得的月利润最大？最大是多少？
（3）因为使用进价销售的 糕点物美价廉，所以深受顾客青睐，五个分店每月的总销量为 斤．今
年年初该连锁店用50万购进一批设备，用于生产 糕点．已知每斤糕点的原材料价格为8元，若生产 糕
点 个月（ ）所用的原材料之外的各种费用总计为 万元，若只考虑 糕点，记该连锁
店前 个月的月平均利润为 万元，求 的最大值．
【答案】（1） 糕点每斤的进价为 元， 糕点每斤的进价为 元.（2）当 糕点每斤定价为 元时，糕点店通过卖 糕点获得的月利润最大，最大利润为 元
（3）
【解析】
【分析】（1）设出 ， 两种糕点每斤的进价，根据条件列出方程组即可求解出结果；
（2）设 糕点每斤定价为 元，列出利润 的解析式，利用二次函数分析出最值，由此可求结果；
（3）先表示出前 个月的总利润，然后表示出平均利润 ，结合基本不等式求解出 的最大值.
【小问1详解】
设 ， 两种糕点每斤的进价分别为 元， 元，
根据题意可知 ，解得 ，
故 糕点每斤的进价为 元， 糕点每斤的进价为 元.
【小问2详解】
设 糕点每斤定价为 元时糕点店通过卖 糕点获得的月利润最大，记利润为 ，
所以 ，
且 ，解得 ，
所以 ， ，
由二次函数性质可知，当 时， 元，
所以当 糕点每斤定价为 元时，糕点店通过卖 糕点获得的月利润最大，最大利润为 元.
【小问3详解】
由条件可知，前 个月的总利润为 ，所以 ， ，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最大值为 .
19. 已知定义域为 的函数 是奇函数.
（1）求实数 的值；
（2）判断并证明 的单调性；
（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数 在 上单调递减，证明见详解.
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质建立等式，求得实数 的值.
（2）由（1）写出函数解析式，由解析式得到函数单调性，然后由定义法证明函数的单调性；
（3）由函数奇偶性整理不等式，（2）中的单调性得到自变量的不等式，然后讨论 的系数等于零和不等
于零得到相应不等式，从而得到 的取值范围.
【小问1详解】
因为 的定义域为 ，
所以 ，解得 ，此时 ，
则 ，满足题意，
所以 .
【小问2详解】
由（1）可得 ，函数 在 上单调递减，证明如下：
在 上任取 且 ，
则 ，
因为 且 ，所以 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减.
【小问3详解】
因为 ，
所以 ，
由（2）可知 ，即 在 上恒成立，
则 或 ，
所以 或 ，
即 .
