文档内容
新定义题型 01 压轴小题全面归纳与解析
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................7
题型一：集合新定义 7
题型二：函数与导数新定义 9
题型三：立体几何新定义 13
题型四：三角函数新定义 17
题型五：平面向量与解三角形新定义 21
题型六：数列新定义 24
题型七：圆锥曲线新定义 29
题型八：概率与统计新定义 36
重难点突破：高等数学背景下新定义 40创新意识与创新应用是当下时代的重要主题，也是高中数学教学和学习过程中应当持续融入与培育的
基本精神和能力。通过引入“新定义”，我们能够巧妙地促进数学知识中概念的类比理解、公式的创新设
立、性质的灵活应用以及知识的拓展与创新实践等方面的融合与交汇，从而有效融入创新意识与创新应用
的培养。
“新定义”型问题，具体指的是那些在问题中提出了高中数学课程中未曾涉及的一些新概念、新运算
方法或新符号，要求学生能够准确理解题意，并结合自身已有的知识和能力，根据这些新定义进行相应的
运算、逻辑推理以及知识迁移的一类题型。换言之，这类问题要求学生具备根据新定义进行思维拓展和问
题解决的能力。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
对于 2025 年新高考
试卷中的新定义问题，预
测其将继续考察学生的创
新思维与知识应用能力。
掌握新定义，运 2024年I卷第11题，6分
圆锥曲线新定义 题目可能会引入新的数学
用性质解题
概念、运算或符号，要求
学生理解并运用这些新定
义进行推理和解答，以检
验其综合数学素养。1、代数型新定义问题的主要考察方式：
（1）新定义的概念考查；
（2）新定义的运算方式考查；
（3）新定义的规则应用考查。
2、解决“新定义”问题的策略：
解决这类问题时，核心在于准确捕捉新定义中的关键信息，如新概念、新公式、新性质等，并明确其
名称、符号及法则。接着，将这些信息与已有知识点进行对比，找出相似之处和差异点，从而确定解题思
路。最后，运用相关数学技巧和方法进行分析求解，并合理归纳结果。1．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的曲线C
的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线
的距离之积为4，则（ ）
A． B．点 在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点 在C上时，
【答案】ABD
【解析】对于A：设曲线上的动点 ，则 且 ，
因为曲线过坐标原点，故 ，解得 ，故A正确.
对于B：又曲线方程为 ，而 ，
故 .
当 时， ，
故 在曲线上，故B正确.
对于C：由曲线的方程可得 ，取 ，
则 ，而 ，故此时 ，故 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.
对于D：当点 在曲线上时，由C的分析可得 ，
故 ，故D正确.
故选：ABD.题型一：集合新定义
【典例1-1】已知集合 ，设 ，
令 表示集合 所含元素的个数，则 .
【答案】3712
【解析】 表示集合 所含元素的个数，
其中 整除 的有 ， 共5个.
整除 的：
1整除 的有2024个；②2整除 的有 个；③3整除 的有 个.重复的有 ，
①
共3个.
所以 .
故答案为：3712
【典例1-2】已知有限集合 ，定义集合 中的元素的个数
为集合 的“容量”，记为 .若集合 ，则 ；若集合
，且 ，则正整数 的值是 .
【答案】 3 2025
【解析】 ，则集合 ，所以 .
若集合 ，则集合 ，
故 ，解得 .
故答案为：3；2025
【变式1-1】设 ， 为两个非空实数集合，定义集合 ，若 ， ，
则集合 的子集的个数为 ．
【答案】32
【解析】因为定义集合 ，且 ， ，
又 ，
所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，5共5个，
则集合 的子集的个数为 .
故答案为：32．
【变式1-2】定义集合的商集运算为： ，已知集合 ，
，则集合 的真子集个数是 .
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
又因为 ，故 ，
所以，集合 有 个元素，故集合 的真子集个数 .
故答案为： .1．若平面点集 满足：任意点 ，存在 ，都有 ，则称该点集 是 阶聚合
点集．
①若 ，则 是3阶聚合点集
②存在 对任意正数 ，使 不是 阶聚合点集
③若 ，则 不是 阶聚合点集
④ “ ”是“ 是 阶聚合点集”的充要条件
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】对于①，由 可得 ，故 是3阶聚合点集，即①正确；
对于②，对任意的点集 ，总存在 ，使得 是1阶聚合点集，故②错误；
对于③，因 ，而 ，
故 不是 阶聚合点集，即③正确；
对于④，因 是 阶聚合点集等价于 ，
因 ，可得 ，又因 ，依题意可得 ，反之也成立，
故“ 是 阶聚合点集”是“ ”的充要条件，即④正确.
故答案为：①③④
题型二：函数与导数新定义
【典例2-1】定理：如果函数 及 满足：①图象在闭区间 上连续不断；②在开区间 内可导；③对 ，那么在 内至少有一点 ，满足 成立，该定理称为
柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知 ，若存在正数 ，满足
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 可得： ，
令 ，所以
由柯西中值定理可知：那么在 内至少有一点 ，满足 成立，
因为 ， ，所以 ， ，
所以令 ，
， ，
令 可得： 或 ，
令 可得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ， ，
当 趋于正无穷时， 趋近 ，
所以 ，所以实数 的取值范围为 .
故选：A.
【典例2-2】英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，
设 是 的根，选取 作为 的初始近似值，过点 作曲线 的切线
，则 与 轴的交点的横坐标 ，称 是 的第一次近
似值；过点 作曲线 的切线，则该切线与 轴的交点的横坐标为 ，称 是 的第二次
近似值；重复以上过程，得 的近似值序列，其中 ，称 是 的 次近似
值，这种求方程 近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程 的近似解，则下列正确
的是（ ）
A．若取初始近似值为1，则过点 作曲线 的切线
B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为C．
D．
【答案】D
【解析】构造函数 ，则 ，
取初始近似值 ， ， ，
则 ，即 ，则A错误；
， ，B错误；
根据题意，可知 ，
上述式子相加，得 ，
所以 ，C不正确，则D正确.
故选：D.
【变式2-1】函数 ，其中 ， 是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于
非线性可导函数 ，在点 附近一点 的函数值 ，可以用如下方法求其近似代替值：
.利用这一方法， 的近似代替值（ ）
A．一定大于 B．一定小于
C．等于 D．与 的大小关系不确定
【答案】A
【解析】令函数 ，则 ；根据题意可得 ；
又因为 ，
因此近似代替值 ，近似代替值一定大于 .
故选：A
【变式2-2】对于三次函数 ，现给出定义：设 是函数 的导数，
是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次
函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数 ，则函数的对称中心为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，进而 ，
令 ，故 ，
所以 ，故对称中心为
故选：B
1．计算器计算 ， ， ， 等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的. “泰
勒展开式”的内容为：如果函数 在含有 的某个开区间 内可以进行多次求导数运算，则当时，有 ，其中 是
的导数， 是 的导数， 是 的导数，…. 取 ，则 精确到 的近似值
为（ ）
A．0.82 B．0.84 C．0.86 D．0.88
【答案】B
【解析】根据题意， ，
取 时，可得 ，
则
，
令 ，代入上式可得 ，
所以 ．
故选：B
题型三：立体几何新定义
【典例3-1】刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的
曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例
如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 ，则其各个顶点的曲率均为 .若正四棱
锥 的侧面与底面所成角的正切值为 ，则四棱锥 在顶点 处的曲率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接 ， ，设 ，连接 ，则 平面 ，
取 的中点 ，连接 ， ，
则由正四棱锥的结构特征可知 ，
所以 为侧面与底面所成的角，
设 ，则 ，
在 中， ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以正四棱锥 的每个侧面均为正三角形，
所以顶点 的每个面角均为 ，
故正四棱锥 在顶点 处的曲率为 .
故选：D.
【典例3-2】给定两个不共线的空间向量 与 ，定义叉乘运算 ，规定：① 为同时与 垂直的
向量；② 三个向量构成右手系（如图1）；③ ．如图2，在长方体中
中， ，则下列说法中错误的是（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A， 同时与 垂直，
，
且 构成右手系，即 成立，A正确；
对于B， ，则 ，B错误；
对于C， ，
与 共线，且方向相同，
与 共线，且方向相同，
与 共线，且方向相同，
则 与 共线，且方向相同，
因此 ，C正确；
对于D, ， ，
因此 ，D正确．故选：B
【变式3-1】在空间直角坐标系 中，定义：经过点 且一个方向向量为
的直线l的方程为 ，经过点 且法向量为 的平面的方程为
.已知在空间直角坐标系 中，经过点 的直线 的方程为
，经过点 的平面 的方程为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】经过点 的直线 方程为 ，即 ，
故直线 的一个方向向量为 ，
又经过点 的平面 的方程为 ，
即 ，
故 的一个法向量为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
故选：B．
1．在《线性代数》中定义：对于一组向量 ， ， 存在一组不全为0的实数 ， ， 使得：成立，那么则称 ， ， 线性相关，只有当 时，才能使
成立，那么就称 ， ， 线性无关.若 为一组不共面的空间向量，
则以下向量组线性无关的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【解析】因为 为一组不共面的空间向量，则 不能用 ， 线性表示，
即只有当 时， .
对于A：设 ，
整理得： ，
所以有 ，取 ，
所以 ， ， 线性相关，故A错误；
对于B：设 ，
整理得： ，
所以有 ，取 ，
所以 ， ， 线性相关，故B错误；
对于C：设 ，
整理得： ，
所以有 ，取 ，
所以 ， ， 线性相关，故C错误；对于D：设 ，
整理得： ，
所以有 ，解得 ，
所以 ， ， 线性无关，故D正确.
故选：D
题型四：三角函数新定义
【典例4-1】点 将一条线段 分为两段 和 ，若 ，则称点 为线段 的黄
金分割点.已知直线 与函数 的图象相交， 为相邻的三个交点，则
（ ）
A．当 时，存在 使点 为线段 的黄金分割点
B．对于给定的常数 ，不存在 使点 为线段 的黄金分割点
C．对于任意的 ，存在 使点 为线段 的黄金分割点
D．对于任意的 ，存在 使点 为线段 的黄金分割点
【答案】D
【解析】若 ，则 ，
即 点 为线段 的黄金分割点，
当 时， ，不存在 使点 为线段 的黄金分割点，故选项A，C错误；如下图，当 时， ，当 时， ，则 ，
则存在一个 使得 ，故选项 错；
对于选项D，若 与 相交于相邻的三点 ，
其横坐标分别为 ，则 ，
将 变换成 后，点 分别对应到点 ，
且满足 ，
故 ，即 对比值 无影响，故选项D正确.
故选：D.
【典例4-2】古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢
函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数 ，正割函数 ，余割函数
，正矢函数 ，余矢函数 .如图角 始边为 轴的非负半轴，
其终边与单位圆交点 ， 、 分别是单位圆与 轴和 轴正半轴的交点，过点 作 垂直 轴，作
垂直 轴，垂足分别为 、 ，过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线分别交 的终边于 、 ，其
中 、 、 、 为有向线段，下列表示正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，易得 ，
对于A，因为 ，即 ，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得 ，故D错误.
故选：C.
【变式4-1】一般地，任意给定一个角 ，它的终边 与单位圆的交点 的坐标，无论是横坐标 还
是纵坐标 ，都是唯一确定的，所以点 的横坐标 、纵坐标 都是关于角 的函数.下面给出这些函数的
定义：
①把点 的纵坐标 叫作 的正弦函数，记作 ，即 ；
②把点 的横坐标 叫作 的余弦函数，记作 ，即 ；
③把点 的纵坐标 的倒数叫作 的余割函数，记作 ，即 ；
④把点 的横坐标 的倒数叫作 的正割函数，记作 ，即 .
下列结论错误的是（ ）A．
B．
C．函数 的定义域为
D．
【答案】C
【解析】由题知， ，
对于A， ，A正确；
对于B， ，B正确；
对于C，函数 ，由 得
所以 的定义域为 ，C错误；
对于D，
，
当 时，等号成立，D正确.
故选：C.
【变式4-2】由倍角公式 ，可知 可以表示为 的二次多项式，对于 ，我们有 ，可见
也可以表示为 的三次多项式.一般地，存在一个 次多项式 ，使得 ，这些
多项式 称为切比雪夫 多项式.（提示： ）如图，在等腰
中，已知 ， ，且 的外接圆半径 ，结合上述知识，可得 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记 的中点为 ，
，
， ，
，所以
即 ，由 ，∴ ，
∴ ，
故选：A1．正割 及余割 这两个概念是由伊朗数学家阿布尔 威发首先引入的．定义正割
，余割 ．已知 为正实数，且 对任意的实数
均成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得 ，可得 ，
因为 ，则 ，
因为
，
当且仅当 时，等号成立，故 .
故选：D.
题型五：平面向量与解三角形新定义
【典例5-1】在平面直角坐标系 中，向量 ，若 不共线，记以
OA，OB为邻边的平行四边形的面积 ．已知 ， ，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意设 ，
则 ， ，
，
，
则 .
故选：C．
【典例5-2】已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量
，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 .已知平面内点
， ，把点 绕点 沿逆时针方向旋转 后得到点 ，则 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，把点 绕点 沿逆时针方向旋转 后得到
，
设 ，则 ，解得 ，即 .
故选：C.
【变式5-1】几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的
外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在 中，已知 ， ，
，现以边AB，BC，CA向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为D，E，F，则DE的长
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中，
由题意可知： ， ，
且 ，可知 ，
所以 .
故选：B.
【变式5-2】克罗狄斯 托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是
欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，
当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形 中， ， ， ， ，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
由题知， ，即 ，
所以 ，当且仅当 四点共圆时取等号，
所以 的最大值为 .
故选：D
1．已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量
，叫做点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 .已知平面内点
，点 ，把点 绕点 沿顺时针方向旋转 后得到点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ,
所以 ，
将向量 顺时针方向旋转 ，即逆时针旋转 ，得到
化简得 ，
所以P点坐标为 ；
故选：C.
题型六：数列新定义
【典例6-1】斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列
满足 ， （ ， ）.给出下列四个结论：
①存在 ，使得 ， ， 成等差数列；
②存在 ，使得 ， ， 成等比数列；
③存在常数t，使得对任意 ，都有 ， ， 成等差数列；
④不存在正整数 ， ，…， ，且 ，使得 .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③
【解析】对于①，由题意得 ，故 成等差数列，故①正确，
对于②，由递推公式可知 ， ， 中有两个奇数，1个偶数，不可能成等比数列，故②错误，
对于③， ，
故当 时，对任意 ， ， ， 成等差数列；故③正确，
对于④，依次写出数列中的项为 ，
可得 ，故④不正确.故答案为：①③.
【典例6-2】设数列 和 的项数均为m，称 为数列 和 的距离．记满足
的所有数列 构成的集合为C．已知数列 和 为集合C中的两个元素，项数均为m，给出下列四
个结论：
①数列1，3，5，7和数列2，4，6，8的距离为4
②若 ，则
③若 则
④若 数列 和 的距离不超过2025，则m的最大值为3470．
其中，所有正确结论的序号是
【答案】①②④
【解析】对于①，根据数列距离的定义可得，数列1，3，5，7和数列2，4，6，8的距离为
，故①正确；
对于②，设 ，
由 可得： ，
故 是以4为周期的周期数列，且 ，
同理可得 也满足此性质，故 则 ，故②正确；
对于③，由②知，
因为 ，故 ，
所以所以 ，故③错误；
对于④，因为
所以数列 中， ,
数列 中， ,
因为 故项数越大，数列 和 的距离越大，
，
故 ，
故数列 和 的距离不超过2025，则m的最大值为3470，故④正确；
故答案为：①②④.
【变式6-1】对于给定的数列 ，如果存在实数p、q，使得 对任意 成立，我们称数列
是“线性数列”，数列 满足 ， ，则给出下列四个结论：
①等差数列是“线性数列”；
②等比数列是“线性数列”；
③若 是等差数列，则 是“线性数列”；
④若 是等比数列，则 是“线性数列”.
其中正确的结论是 .
【答案】①②④
【解析】对于①，数列 为等差数列，则 ，即 ，
满足“线性数列”的定义，①正确；
对于②，数列 为等比数列，则 ，即 ，满足“线性数列”的定义，②正确；
对于③， 是等差数列，设 ，
则 ，若 是“线性数列”，
则 ，
则应有 ，
故 不是“线性数列”，③错误；
对于④， 是等比数列，设首项为 ，公比为 ，
若 时， ，则 ，满足“线性数列”的定义；
若 时，由 ，得 ，
，
累加的 ，
则 ，
经验证当 时， 满足 ，则 ，
若 是“线性数列”，则存在实数 ，使得 成立，
则 ，
，
，
则 ，则 ，则 是“线性数列”，④正确.
故答案为：①②④.
【变式6-2】在一组互不相同的有序数组 中定义：在 的右边
比其大的数的个数称为 的“顺序数”，在 的右边比其小的数的个数称为 的“逆序数”.我们把有序数
组 的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和记为 .
①有序数组 的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和 .
.
②
【答案】 10
【解析】对于有序数组 ，
2的顺序数为3，逆序数为1，
4的顺序数为2，逆序数为1，
1的顺序数为2，逆序数为0，
3的顺序数为1，逆序数为0，
故 ；
对于有序数组 ，
易知 后由 个数，所以 的顺序数+逆序数 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故答案为：10；
1．在数列 中，若存在两个连续的三项 ， ， 与 ， ， 相同 ，则称 是“3阶
可重复数列”.已知给定项数为 （ ， ）的数列 ，其中 一定是“ 阶
可重复数列”，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】因为数列 的每一项只可以是 或 ，所以连续 项共有 种不同的情况，
若 ，则数列 中有 组连续 项，则这其中至少有两组按次序对应相等，
即项数为 的数列 一定是“ 阶可重复数列”；
若 ，数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 不是“ 阶可重复数列”，
则 时，均存在不是“ 阶可重复数列”的数列 ，
所以，要使数列 一定是“ 阶可重复数列”，则 的最小值为 .
题型七：圆锥曲线新定义
【典例7-1】阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线
与其弦 所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形 的顶点 在抛物线上，
且在过弦 的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的 ．现已知直线 与抛物线 ：
交于 两点，且 为第一象限的点， 在 处的切线为 ，线段 的中点为 ，直线轴所在的直线交 于点 ，下列说法错误的是（ ）
A．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6
B．切线 的方程为
C．若 ，则弦 对应的抛物线弓形面积大于
D．若分别取 的中点 ，过 且垂直 轴的直线分别交 于 ，则
【答案】C
【解析】根据题意作出示意图，如图所示．
对于A，内接三角形的面积为 ，故A正确；
对于B，联立得 解得
又 为第一象限的点， 当 时， ，
故切线方程为 ，即 ，B正确；
对于C，由 ，得 ，令 ，
弓形面积为 不等式不成立，C错误；对于D，由 知， 轴， ，
又 的中点分别为 ，
，
成立，D正确.
故选：C．
【典例7-2】曲线 ： ，其中 ， 均为正数，则下列命题错误的是（ ）
A．当 ， 时，曲线 关于 中心对称
B．当 ， 时，曲线 是轴对称图形
C．当 ， 时，曲线 所围成的面积小于
D．当 ， 时，曲线 上的点与 距离的最小值等于
【答案】C
【解析】对A：当 ， 时， ，即 ，由函数 为奇函数其关于原点
中心对称，所以得 关于 中心对称，故A正确.
对B：当 ， 时， ，对于曲线上任意一点 ，
则点 关于直线 对称点 也在曲线上，所以曲线关于直线 对称，故B正确.
对C：当 ， 时， ，所以 ， ，可知曲线图象是一个封闭的图形，
所以可设曲线上任意一点 ，且到原点距离 ，又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以当 ，即 或 ，
而此时 ，又因为曲线是个封闭图形，所以其面积 ，故C错误；
对D：当 ， 时， ，所以 ， ，设曲线上任意一点 ，则 ，
又因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以当 ，即 或 时， 有最小值 ，所以 的最小值为 ，故D正确.
故选：C.
【变式7-1】定义：若直线 将多边形分为两部分，且使得多边形在 两侧的顶点到直线 的距离之和相等，
则称 为多边形的一条“等线”．已知双曲线 （a，b为常数）和其左右焦点 ，P为C上
的一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，已知四边形 与三角形 有相同的“等
线” ．则对于下列四个结论：
① ；
②等线 必过多边形的重心；
③ 始终与 相切；
④ 的斜率为定值且与a，b有关．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【解析】①：设 ，当 时，设 ，则由 ，得 ，
所以 ，所以切线的斜率为 ，所以切线方程为 ，
因为点 在双曲线上，所以 ，得 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
同理可求出当 时的切线方程为 ，
当 时，双曲线的切线方程为 ，满足 ，
所以过P点切线方程为 ，
渐近线方程为
联立两直线方程得 ，
故有 ，故
②：设多边形顶点坐标为 ，其中
设“等线”方程为 ，则 到等线的距离为：
又因为等线将顶点分为上下两部分，则有从而
整理得
即等线 必过该多边形重心．
③④：考察 重心，设 ，则重心 ．对于四边形 ，其重心H必在 与
重心连线上，也必在 与 重心连线上，则 即为直线GH．
设 与 重心分别为 ，则 ，所以 ∥ ，
因为 为 的重心，所以 ，所以 ∥ ，
所以 三点共线，
因为 在 上，所以 ∥ ，过 ，
因为直线 为 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，整理得 ，
所以直线 方程 ，④错误；
又 在曲线 上，由①的求解过程可知直线 为 切线方程，所以③正确，
故①②③正确．故选：D
【变式7-2】（多选题）已知点 到点 的距离与点 到y轴的距离的差为定值 ，记动点 的轨迹为
曲线C，则（ ）
A．当 时， 由抛物线和x轴的负半轴构成
B．当 时， 关于原点中心对称
C．当 时， 为轴对称图形
D．当 时， 是由两部分抛物线构成的封闭图形
【答案】AC
【解析】对于A，设 ，由题意得点 到点 的距离
与点 到y轴的距离的差为定值 ，得到 ，
当 时， ，则 ，
两边同时平方得 ，得到 ，
即 ，当 时，方程化为 ，
当 时，方程化为 ，即 ，
此时 由抛物线和x轴的负半轴构成，故A正确，
对于B，因为 ，所以 ，当 时，两边同时平方得 ，
则 ，化简得 ，
令 ，此时曲线方程为 ，我们发现点 在曲线上，
找 关于原点中心对称的点为 ，
将其代入方程 ，则 不在曲线上，
即 不可能关于原点中心对称，故B错误，
对于C，由已知得曲线方程为 ，由已知得 ，
设 ，将其代入曲线方程，得到 ，
则 在曲线上，故曲线关于 轴对称，即 为轴对称图形，故C正确，
对于D，由已知得 ，令 ，
故 ，解得 或 ，
结合已知条件此时方程为 ，
当 时，方程化为 ，此时 ，不存在这样的曲线，
当 时，方程化为 ，此时 ，不存在这样的曲线，
则当 时， 不可能是由两部分抛物线构成的封闭图形，故D错误.
故选：AC
1．（多选题）我们把形如 的曲线叫作拉梅曲线，该曲线是法国数学家加布里埃
尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的．下列说法正确的是（ ）A．若 ，则拉梅曲线 围成的封闭区域的面积为
B．若 ，则拉梅曲线 围成的封闭区域的面积小于
C．若拉梅曲线 与曲线 恰有4个公共点，则
D．若 为拉梅曲线 上第一象限内一点，则
【答案】BCD
【解析】当 时，拉梅曲线方程为 为菱形，与坐标轴交于点 ， ，
则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为2ab，A不正确．
当 时，根据对称性，不妨考虑拉梅曲线 在第一象限的情形，
此时由 可得 ，下证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，这显然成立．
因为 （ ）表示圆心为 ，半径为a的四分之一圆弧，
所以其与第一象限围成的封闭区域的面积为 ，
则拉梅曲线 与第一象限围成的封闭区域的面积小于 ，
则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于 ，B正确．当拉梅曲线 与曲线 恰有4个公共点时，
根据对称性可知，它们在第一象限恰有1个公共点，由 ，
整理得 恰有1个正根，则 ，
解得 ，即 ，C正确．
若 为拉梅曲线 上第一象限内一点，
则 ，从而 ，D正确．
故选：BCD．
题型八：概率与统计新定义
【典例8-1】（多选题）为了估计一批产品的不合格品率 ，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为 的
样本 ，定义 ，于是 ， ， ，
记 （其中 或1， ），称 表示 为参数的似然函数．极大
似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如
有若干个可能的结果A，B，C，…，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，
也即A出现的概率很大. 极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，
参数未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大．
根据以上原理，下面说法正确的是（ ）
A．有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽
取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的
B．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测鲤鱼和草鱼的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的
C．
D． 达到极大值时，参数 的极大似然估计值为
【答案】BCD
【解析】极大似然是一种估计方法，A错误；
设鲤鱼和草鱼的比例为 ，则出现80条鲤鱼，20条草鱼的概率为 ，
设
，
时， ， 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， 最大，故B正确；
根据题意， （其中 或1， ），
所以 ，可知C正确；
令 ，解得 ，且 时 ， 时 ，故 在上递增，在 上递减，故 达到极大值时，参数 的极大似然估计值为 ，故
D正确.
故选：BCD
【典例8-2】条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛
的应用到日常生产生活中.定义：设 ， 是离散型随机变量，则 在给定事件 条件下的期望为
，其中 为 的所有可能取值集合，
表示事件“ ”与事件“ ”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消
费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为 ，某人在该商场消费了1000元，共获得4
次抽奖机会.设 表示第一次抽中奖品时的抽取次数， 表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则
.
【答案】2
【解析】由题意可知 可取 ，
所以 ， ，
，
又因为 ，
所以
.
故答案为： .
【变式8-1】在n维空间中（ ， ），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标 ，其中 .则5维“立方体”的顶点个数是 ；定义：在n维空间
中两点 与 的曼哈顿距离为 .在5维“立方体”的顶点
中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则 .
【答案】 32
【解析】（1） 的可能值为0，1（ ， ）.故五维立方体的顶点有 个.
（2）依题意，样本空间的样本点记为 ，M，N为五维立方体的顶点
样本点总数：
当 时，有k个第i维坐标值不同，有 个第i维坐标值相同.
满足 的样本点 个数为 .
所以 .
故分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
.
故答案为：32； .
【变式8-2】马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，
，那么 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 ，即
.著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以
为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的
1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率
.
【答案】 /
【解析】设当赌徒手中有 元 时，最终输光的概率为 ，
当 时，赌徒已经输光了，所以 ，
当 时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率为 ，
记 ：赌徒有 元最后输光的事件， ：赌徒有 元下一次赢的事件，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以 为等差数列，设 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，
故
故答案为：
1．产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，在产品中随机抽 件做检查，发现 件不合格品的概率为 ，其中 是 与 中的较小者， 在
不大于合格品数（即 ）时取0，否则 取 与合格品数之差，即 .根据以上定义及分
布列性质，请计算当N=16，M=8时， ；若 ， ，请计
算 ．（用组合数表示）
【答案】 / /
【解析】当 ， ， 时， ，
因为 ，
故 ．
当 ， 时，
因为 ，
所以 ，
所以
．
故答案为： ，
重难点突破：高等数学背景下新定义
【典例9-1】（多选题）群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设 是一
个非空集合，“ ”是一个适用于 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称 对“ ”构成一个
群：（1）封闭性，即若 ，则存在唯一确定的 ，使得 ；（2）结合律成立，即对 中任
意元素 都有 ；（3）单位元存在，即存在 ，对任意 ，满足
，则 称为单位元；（4）逆元存在，即任意 ，存在 ，使得 ，则称
与 互为逆元， 记作 .一般地， 可简记作 可简记作 可简记作 ，以此类推.正八边
形 的中心为 .以 表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以 表示以点 为中心，将
正八边形逆时针旋转 的旋转变换；以 表示以 所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算
“ ”表示复合变换，即 表示将正八边形先进行 变换再进行 变换的变换.以形如 ，并
规定 的变换为元素，可组成集合 ，则 对运算“ ”可构成群，称之为“正八边形的对称变
换群”，记作 .则以下关于 及其元素的说法中，正确的有（ ）
A． ，且
B． 与 互为逆元
C． 中有无穷多个元素
D． 中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身
【答案】ABD
【解析】我们有：
由于两次轴对称等价与不变换，故 ；由于旋转 施行8次等价于旋转 也就是不变，故 ；
由于先旋转再关于 对称和先关于 对称再旋转等效，故 .
一共是16个元素，变换后 逆时针排列的有8个，顺时针排列的有8个.
这就说明： ， A正确；
，B正确；
一共是16个元素，C错误；
中， ，D正确.
故选：ABD
【典例9-2】（多选题） 是由 个数 （复数或实数）排列成 行 列的长方阵，
简称 矩阵，记作： ，这 个数称为矩阵 的元素，简称为元，数 位于矩阵 的第 行第 列，
称为矩阵 的 元．两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵 的列数和第二个矩阵 的行数相等时才能定义
（做乘法），如 是 矩阵， 是 矩阵，记为 ，它们的乘积 是一个 矩阵，它的任意
一个元素值为： ，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C．矩阵的乘法满足交换律 D．矩阵的乘法满足结合律
【答案】AD
【解析】根据矩阵乘积运算方法可得 ，A选项正确；
B选项中，第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数不一致，不能计算乘积，故B选项错误；
C选项中，若矩阵 是三行两列，矩阵 是两行四列，则 时可计算乘积，但 时就因矩阵 的列数与
矩阵 的行数不一致，不能计算，故C选项错误；
选项D中，矩阵的乘法运算法则可知，矩阵的乘法满足结合律 ，故选项D正确.
故选：AD.
【变式9-1】（多选题）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开
式，下面给出两个泰勒展开式
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A． （i是虚数单位） B． （i是虚数单位）
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A、B，由 ，
两边求导得 ，
，
，
又 ，
，，故A正确，B错误；
对于C，已知 ，则 .
因为 ，则 ，即 成立，故C正确；
故C正确；
对于D， ,，
，
当 ， ； ； ；
， ,
所以 ，所以 成立，故D
正确.
故选：ACD.
【变式9-2】（多选题）在平面直角坐标系中，定义 为两点 ，
的“切比雪夫距离”，又设点 及直线 上任意一点 ，称 的最小值为点 到直线 的
“切比雪夫距离”，记作 ，则下列命题中正确的是（ ）
A． ， ，则
B． 为坐标原点，动点 满足 ，则 的轨迹为圆
C．对任意三点 、 、 ，都有D．已知点 和直线 ： ，则
【答案】ACD
【解析】对于选项A：若 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，故A正确；
对于选项B：设 ，
若 ，则 ，且等号至少有一个成立，
可得 的轨迹如图所示，为正方形，故B错误；
对于选项C：设 ，
则
，
同理可得 ，
所以 ，故C正确；
对于选项D：设 为直线 上一点，
则 ，
当 ，即 时，则 ，可知当 时，取得最小值 ；
当 ，即 或 ，则 ，无最小值；
综上可得： ，故D正确；
故选：ACD.
1．（多选题）由倍角公式 ，可知 可以表示为 的二次多项式．一般地，存在
一个 次多项式 ，使得 ，这
些多项式 称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A：因为
，
所以 ，故A错误；
对于B：因为 ，
则，
所以 ，故B正确；
对于C、D：因为 ，
因为 为锐角，则 ，即 ，
则 ，解得 或 （舍去），
所以 ，故C正确；
但 ，所以 ，故D错误；
故选：BC.
