文档内容
拔高点突破 01 集合背景下的新定义压轴解答题
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：定义新概念....................................................................................................................................................2
题型二：定义新运算....................................................................................................................................................7
题型三：定义新性质...................................................................................................................................................11
题型四：定义新背景..................................................................................................................................................14
03过关测试.........................................................................................................................................201、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合
的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合
数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相
应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
题型一：定义新概念
【典例1-1】（2024·北京顺义·二模）已知点集 满足 ， ，
.对于任意点集 ，若其非空子集A，B满足 ， ，则称集合对
为 的一个优划分.对任意点集 及其优划分 ，记A中所有点的横坐标之和为 ，B中
所有点的纵坐标之和为 .
(1)写出 的一个优划分 ，使其满足 ；
(2)对于任意点集 ，求证：存在 的一个优划分 ，满足 ；
(3)对于任意点集 ，求证：存在 的一个优划分 ，满足 且 .
【解析】（1）由题因为 ，
所以若使 ，则可以 ，此时 ，满足题意.
（2）根据题意对于任意点集 ，不妨设 ，
且 ， ， ，
若 ，则 ，令 ，
则 ，此时恒有 ；
若 ，则 ，可令 ，
此时 ，则 ，满足题意；
若 ，则 ，令 ，
此时 ，则 ，满足题意；
若 ，则 ，则
令 ，
此时 ，则 ，满足题意；
所以对于任意点集 ，都存在 的一个优划分 ，满足 .
（3）不妨设 ，
若 ，则B取其中一点即可满足；
若 ，
则必存在正整数k使得 ，
则有 ，于是 ，
又因为
，当且仅当 时取等号；
于是取 ，即可满足 且 ，命题得证.
【典例1-2】（2024·浙江台州·二模）设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按
照某种确定的对应关系 ，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时
B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称 ： 为从集合A到集合B的一一对应，
并称集合A与B等势，记作 .若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作
.
例如：对于集合 ， ，存在一一对应关系 ，因此 .
(1)已知集合 ， ，试判断 是否成立?请说明理由；
(2)证明：① ；
② .
【解析】（1）设 ， ，令
则C与D存在一一对应，所以集合 .
（2）①取函数 ，其中 ， ，两个集合之间存在一一对应，故
.
备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为 ，值域为 即可，
如： 或 等等均可，
②设 ， ，
假设 ，即存在对应关系 ： 为一一对应，
对于集合B中的元素 ， ， ，至少存在一个 （ ，且 ）与这三个集合中的某一个对
应，所以集合A中必存在 .
记 ，则 ，故 ，
从而存在 ，使得 ；
若 ，则 ，矛盾；若 ，则 ，矛盾.
因此，不存在A到B的一一对应，所以 .
【变式1-1】（2024·江西九江·二模）定义两个 维向量 ， 的数量
积 ， ，记 为 的第k个分量（ 且 ）.如
三维向量 ，其中 的第2分量 .若由 维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中
含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素 ， ，满
足 （T为常数）且 .则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和 .
【解析】（1）由题意知，集合 中含有3个元素 （ ），且每个元素中含有三个分量，
因为 ，所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0.
所以 ， ， ，
又 ，
所以2的完美3维向量集为 .
（2）依题意，完美4维向量集B含有4个元素 （ ），且每个元素中含有四个分量，
，
（i）当 时， ，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
（ii）当 时， ，不满足条件③，舍去；
（iii）当 时， ，
因为 ，故 与 至多有一个在B中，
同理： 与 至多有一个在B中， 与 至多有一个在B中，
故集合B中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去；
（iv）当 时， ，不满足条件③，舍去；
（v）当 时， ，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
综上所述，不存在完美4维向量集.
（3）依题意， 的完美 维向量集 含有 个元素 （ ），且每个元素中含有 个分量，
因为 ，所以每个元素中有 个分量为1，其余分量为0，所以 （*），
由（2）知， ，故 ，
假设存在 ，使得 ，不妨设 .
（i）当 时，如下图，
由条件③知， 或 （ ），
此时 ，与（*）矛盾，不合题意.
（ii）当 时，如下图，
记 （ ），
不妨设 ， ， ，
下面研究 ， ， ， ， 的前 个分量中所有含1的个数.
一方面，考虑 ， ， ， ， 中任意两个向量的数量积为1，
故 ， ， ， （ ）中至多有1个1，
故 ， ， ， ， 的前 个分量中，所有含1的个数至多有 个1（**）.
另一方面，考虑 （ ），
故 ， ， ， ， 的前 个分量中，含有 个1，与（**）矛盾，不合题意.
故对任意 且 ， ，由（*）可得 .
题型二：定义新运算
【典例2-1】（2024·海南海口·一模）在计算机科学中， 维数组 是
一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于 维数组
，定义 与 的差为 与 之间的距
离为 ．
(1)若 维数组 ，证明： ；
(2)证明：对任意的数组 ，有 ；
(3)设集合 ，若集合 中有 个 维数组，记
中所有两元素间的距离的平均值为 ，证明： ．
【解析】（1）设 与 中对应项中同时为0的有 个，同时为1的有 个，
则对应项不同的为 个，所以 ．
所以 ；
（2）设 ，
因为 ，
，
所以 ，
因为 ．
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 ；（3）记集合 中所有两个元素间距离的总和为 ，
则 ．
设集合 中所有元素的第 个位置的数字共有 个 个0，
则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【典例2-2】（2024·浙江绍兴·二模）已知 ，集合 其中
.
(1)求 中最小的元素；
(2)设 ， ，且 ，求 的值；
(3)记 ， ，若集合 中的元素个数为 ，求 .
【解析】（1） 中的最小元素为 .
（2）由题得 ，设 ， .
①当 时， 或 或 或 或 或
.
经检验，当 时， ，符合题意，
所以 .
②当 时， 或 或 或 .
经检验，当 时， ，符合题意，
所以 .
③当 时，不符合题意.
因此， 或10.
（3）设 ，则 ，其中 ，，所以 ，
设 ，则 .
因为 ，
所以
.
因为 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
【变式2-1】（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合 ，定义：当 时，
把集合 中所有的数从小到大排列成数列 ，数列 的前 项和为 .例如： 时，
，
.
(1)写出 ，并求 ；
(2)判断88是否为数列 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若2024是数列 中的某一项 ，求 及 的值.
【解析】（1）因为 ，此时 ，
，
.
（2）当 时， ，
是数列 中的项，比它小的项分别有 个，
有 个，
有 个，
所以比88小的项共有 个，故88是数列 的第30项.
（3） 是数列 中的项，故 ，
则当 时， ，
方法一：比它小的项分别有以下7种情况：
① 个数字任取7个得 个，
② ，得 个，
③ ，得 个，
④ ，得 个，
⑤ ，得 个，
⑥ ，得 个，
⑦ ，得 个，
所以比2024小的项共有 个，
其中
故2024是数列 的第329项，即 .
方法二： 共有元素 个，
最大的是 ，其次为 ，
所以2024是数列 的第 项，即 .
在总共 项中，含有 的项共有 个，同理 都各有 个，所以
，则
.题型三：定义新性质
【典例3-1】（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总
有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合 ， （ ， ），且 ．设有序四元数集合
且 ， ．对于给定的集合B，定义映射
f：P→Q，记为 ，按映射f，若 （ ），则 ；若 （ ），则
．记 ．
(1)若 ， ，写出Y，并求 ；
(2)若 ， ，求所有 的总和；
(3)对于给定的 ，记 ，求所有 的总和（用含m的式子表示）．
【解析】（1）由题意知， ，
所以 ．
（2）对1， ，5是否属于B进行讨论：
①含1的B的个数为 ，此时在映射f下， ；
不含1的B的个数为 ，此时在映射f下， ；
所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的B的个数为 ，此时在映射f下， ；
不含5的B的个数为 ，此时在映射f下， ；
所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；
②含 的B的个数为 ，此时在映射f下， ， ；
不含 的B的个数为 ，此时在映射f下， ， ；
所以所有y中 的总个数和 的总个数均为20．
综上，所有 的总和为 ．
（3）对于给定的 ，考虑 在映射f下的变化．
由于在A的所有非空子集中，含有 的子集B共 个，
所以在映射f下 变为 ；
不含 的子集B共 个，在映射f下 变为 ；所以在映射f下得到的所有 的和为 ．
同理，在映射f下得到的所有 （ ）的和 ．
所以所有 的总和为 ．
【典例3-2】（2024·广东江门·一模）将2024表示成5个正整数 ， ， ， ， 之和，得到方程
①，称五元有序数组 为方程①的解，对于上述的五元有序数组
，当 时，若 ，则称 是 密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解 ，使得 等于同一常数?若存在，请求出该常数；
若不存在，请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是 密集的?
(3)记 ，问 是否存在最小值?若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）若 等于同一常数，
根据等差数列的定义可得 构成等差数列，所以 ，
解得 ，与 矛盾，
所以不存在一组解 ，使得 等于同一常数；
（2）因为 ，
依题意 时，即当 时， ，
所以 ， ，
设有 个 ，则有 个 ，由 ，解得 ，
所以 ， ， ， ， 中有 个 ， 个 ，
所以方程①的解共有 组.
（3）因为平均数 ，
又方差 ，即 ，
所以 ，因为 为常数，所以当方差 取最小值时 取最小值，
又当 时 ，即 ，方程无正整数解，故舍去；
当 时，即 是 密集时， 取得最小值，
且 .【变式3-1】（2024·广东·模拟预测）已知集合 中含有三个元素 ，同时满足① ；② ；
③ 为偶数，那么称集合 具有性质 .已知集合 ，对于集合 的非
空子集 ，若 中存在三个互不相同的元素 ，使得 均属于 ，则称集合 是集合 的
“期待子集”.
(1)试判断集合 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若集合 具有性质 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”；
(3)证明：集合 具有性质 的充要条件是集合 是集合 的“期待子集”.
【解析】（1）集合 不具有性质 ，理由如下：
（i）从集合 中任取三个元素 均为奇数时， 为奇数，不满足条件③
（ii）从集合 中任取三个元素 有一个为 ，另外两个为奇数时，不妨设 ， ，
则有 ，即 ，不满足条件②，
综上所述，可得集合 不具有性质 .
（2）证明：由 是偶数，得实数 是奇数，
当 时，由 ，得 ，即 ，不合题意，
当 时，由 ，得 ，即 ，或 （舍），
因为 是偶数，所以集合 ，
令 ，解得 ，
显然 ，
所以集合 是集合 的“期待子集”得证.
（3）证明：
先证充分性：
当集合 是集合 的“期待子集”时，存在三个互不相同的 ，使得 均属于 ，
不妨设 ，令 ， ， ，则 ，即满足条件①，
因为 ，所以 ，即满足条件②，
因为 ，所以 为偶数，即满足条件③，
所以当集合 是集合 的“期待子集”时，集合 具有性质 .
再证必要性：
当集合 具有性质 ，则存在 ，同时满足① ；② ；③ 为偶数，
令 ， ， ，则由条件①得 ，
由条件②得 ，由条件③得 均为整数，
因为 ，
所以 ，且 均为整数，
所以 ，
因为 ，
所以 均属于 ，
所以当集合 具有性质 时，集合 是集合 的“期待子集”.
综上所述，集合 是集合 的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质 .
题型四：定义新背景
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以
抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面 ，定义对
， ，其度量（距离） 并称 为一度量平面．
设 ， ，称平面区域 为以 为心， 为半径的球形
邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明： 中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明： 的一个子集是开集当且仅当其
可被表示为若干个球形邻域的并集．
【解析】（1）设这两个球形邻域分别为 ， ，
为 和 的交集．
①若 与 不相交，则 ；
②若 与 相交，则
且
故 或 且 ．
（2）我们约定集合族是指以集合为元素的集合，其并运算为
表示集合族 的所有集合的并集回到原题，设这两个球形邻域分别为 ， ， 为 和 的交集．
①若 与 不相交，则 ，即 可以看作零个球形邻域的并集；
②若 与 相交，则取 ，
令 ，构造球形邻域 ．
因为对于 ，有
故 ，这说明 ．
由于 是 中任取的一点，这说明 ，
继而
即 可被表示为若干个球形邻域 的并集．
命题得证．
（3）①先证充分性：当 的一个子集可以写为若干球形邻域的并时，其必为开集．
设 ，由（2）可知 可看作若干个球形邻域的并集，
即
则 ， 使得 ，故 是开集．充分性证毕．
②再证必要性：若 的一个子集是开集，则其可被表示为若干个球形邻域的并集．
设 是一个开集，由情况①得 ， 使得 ，所以
即
故 可被表示为若干个球形邻域 的并集．必要性证毕．
【典例4-2】（2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m
（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．
例如，正三角形R在 （绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以
是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记 ；又如，R在 （关
于对称轴 所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以 也是R的一个对称变换，
类似地，记 ．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I． ， ；
II． ， ；
Ⅲ． ， ， ；
Ⅳ． ， ， ．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的 为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子
集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算 来说作成一个群．
(1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
．对于集合S中的元素，定义
一种新运算*，规则如下： ，
．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e， 分别是G，H的单位元， ， ， 分别是a在群G，群H中的
逆元．猜想e， 之间的关系以及 ， 之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
【解析】（1）依题意，正三角形 的对称变换如下：绕中心 作 的旋转变换 ；
绕中心 作 的旋转变换 ；
绕中心 作 的旋转变换 ；
关于对称轴 所在直线的反射变换 ；
关于对称轴 所在直线的反射变换 ；关于对称轴 所在直线的反射变换 ，
综上， .（形式不唯一）
（2）①Ⅰ. ， ， ；
Ⅱ. ， ， ，
，
所以 ；
Ⅲ.
，
而 ，所以 ；
Ⅳ. ，
；
综上可知，集合 对于给定的新运算*来说能作成一个群.
② ， ，证明如下：
先证明 ：由于 是 的子群，取 ，则 ， ，
根据群的定义，有 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，
即 ，所以 .
再证明 ：由于 ， ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
③ 的所有子群如下：
，
， ，
，
【变式4-1】（2021·北京西城·二模）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意 ，都有
或 ，则称A为自邻集.记集合 的所有子集中的自邻集的个数为
.
(1)直接写出 的所有自邻集；
(2)若 为偶数且 ，求证： 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若 ，求证： .
【解析】（1）由题意可得， 的所有自邻集有： ；
（2）对于 的含5个元素的自邻集 ，
不妨设 .
因为对于 ，都有 或 ， ，2，3，4，5，
所以 ， ， 或 .
对于集合 ， ， ， ， ，
因为 ，所以 ， ，2，3，4，5，
，
所以 .
因为 ， ， 或 .
所以 ， ，
或 ，
所以对于任意 或 ， ，2，3，4，5，所以集合 也是自邻集.
因为当 为偶数时， ，
所以 .
所以对于集合 的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其
对应.
所以， 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数.
（3）记自邻集中最大元素为 的自邻集的个数为 ， ，
当 时， ， ，
显然 .
下面证明： .
①自邻集含有 ， ， 这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素 后的集合为
因为 ， ，所以 仍是自邻集，且集合 中的最大元素是 ，
所以含有 ， ， 这三个元素的自邻集的个数为 .
②自邻集含有 ， 这两个元素，不含 ，且不只有 ， 这两个元素，
记自邻集除 ， 之外最大元素为 ，则 ，每个自邻集去掉 ， 这两个元素后，仍为自
邻集.
此时的自邻集的最大元素为 ，可将此时的自邻集分为 个；
其中含有最大数为2的集合个数为 ，
含有最大数为3的集合个数为 ， ，
含有最大数为 的集合个数为 .
则这样的集合共有 个.
③自邻集只含有 ， 这两个元素，这样的自邻集只有1个.
综上可得 ，
所以 ，
故 时， 得证.
1．（2024·北京丰台·一模）已知集合 （ ， ），若存在数阵满足：
① ；
② ．
则称集合 为“好集合”，并称数阵 为 的一个“好数阵”．
(1)已知数阵 是 的一个“好数阵”，试写出 ， ， ， 的值；
(2)若集合 为“好集合”，证明：集合 的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断 是否为“好集合”．若是，求出满足条件 的所有“好数阵”；若不是，
说明理由．
【解析】（1）由“好数阵”的定义，知 ， ， ， ，故 ，
， ， ，进一步得到 ， .
从而 ， ， ， .
（2）如果 是一个“好数阵”，则 ，
.
从而 ，
.
故 也是一个“好数阵”.
由于 是偶数，故 ，从而 .
这就说明两数阵 和 的第1行第2列的数不相等，从
而是不同的数阵.
设全体“好数阵”构成的集合为 ，并定义映射 如下：
对 ，规定 .
因为由 中的元素构成的 数阵只有不超过 种，故 是有限集合.
而，
这就表明 ，从而 是满射，由 是有限集，知 也是单射，从而 是一一对应.
对“好数阵” ，已证两数阵 和 是
不同的数阵，故 .
同时，对两个“好数阵” ， ，如果 ，则 ；如果 ，则
. 所以 当且仅当 .
最后，对 ，由 ，称2元集合 为一个“好对”. 对 ，若 属于某个“好对”
，则 或 ，即 或 .
由于 ，故无论是 还是 ，都有 .
这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好
数阵”必有偶数个.
（3）若 是“好数阵”，则有
，
所以 ，这表明 一定是偶数.
若 ，设 是“好数阵”，则 ，从而
，
故 .
由于 ，故 ，同理 .
若 ，设 ，则 ，故 ，从而 .
进一步有 ，而 ，故 .
假设 ，设 ，则 ，故 ，则 ， .
由于 ， ，故 ， . 此时 ，从而
， ，但此时 ，矛盾；
所以 ，故 ，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数阵”有 ， ；
若 ，则 ，从而 .
若 ，则 或 . 若 ，则 ， ，分别尝试3种可能，知符合条件
的“好数阵”有 ， .
若 ，则 ， ，若 ，则 ，或 且 ，分别尝试所有可能，
知符合条件的“好数阵”有 ；
若 ，则 ，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有
；
若 ，则 ，假设 ，由于 ，
，故 ，矛盾，所以 .
对 尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有 ， ，
， .
综上，全部的“好数阵”有 ， ， ， ，
， ， ， ， ，
，
其中，满足 的有 ， ， ，
.
综上， 是“好集合”，满足 的“好数阵”有 ， ，
， .若 ，由于此时 不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而 不是“好集合”.
2．（2024·湖南益阳·模拟预测）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组 表示；三维空
间向盘可用三元有序数组 表示．一般地， 维空间向量用 元有序数组 表示，其中
称为空间向量的第 个分量， 为这个分量的下标．对于 维空间向量 ，
定义集合 ．记 的元素的个数为 （约定空集的元素个数为0）．
(1)若空间向量 ，求 及 ；
(2)对于空间向量 ．若 ，求证： ，若 ，则
；
(3)若空间向量 的坐标满足 ，当 时，求证：
．
【解析】（1）由 ，知 ，
所以 ， ；
（2）依题意， ， ，则有 ，
所以 ，当且仅当 时取等号， 又因为
，所以 ， ， 互不相同，
故 ，若 ，则 ；
（3）由 ，得 ，则有 ①，
由 及①，可得
，
，
，
以上各式相加，得 .
由 及①，当 时， ，所以 ，
即 .
3．（2024·北京·模拟预测）对给定的正整数 ，令 ，对任意
的 ， ，定义 与 的距离 ．设
是 的含有至少两个元素的子集，集合 中的最小值称为 的特征，记作
．
(1)当 时，直接写出下述集合的特征：
；
(2)当 时，设 且 ，求 中元素个数的最大值；
(3)当 时，设 且 ，求证： 中的元素个数小于 ．
【解析】（1）依题意可得 ， ， ．
（2）（a）一方面：对任意的 ，
令 ，
则 ，故 ，
令集合 ，则 ，
则 且 和 的元素个数相同，
但 中共有 个元素，其中至多一半属于 ，
故 中至多有 个元素．
(b)另一方面：设 是偶数 ，
则对任意的 ， ， ，
都有 中的元素个数为 ，
易得 与 奇偶性相同，
故 为偶数，
又 ，则 ，所以 ，
注意到 ， 且它们的距离为2，
故此时 满足题意，
综上， 中元素个数的最大值为 ．（3）当 时，设 且 ，
设 ，
则对任意的 ，定义 的邻域 ，
（a）一方面：对任意的 ， 中恰有2021个元素，
事实上，
①若 ，则 ，恰有一种可能；，
②若 ，则 与 ，恰有一个分量不同，共2020种可能；
综上， 中恰有2021个元素，
（b）对任意的 ， ，
事实上，若 ，
不妨设 ， ，
则 ，这与 矛盾，
由（a）和（b）可得 中共有 个元素，
但 中共有 个元素，所以 ，即 ，
注意到 是正整数，但 不是正整数，上述等号无法取到，
所以，集合 中的元素个数 小于 ．
4．（2024·北京延庆·一模）已知数列 ，记集合 .
(1)若数列 为 ，写出集合 ；
(2)若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不存在，说明
理由；
(3)若 ，把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 ， 若 ，求 的最大
值．
【解析】（1）由题意可得 ， ， ，
所以 .
（2）假设存在 ，使得 ，
则有 ，由于 与 的奇偶性相同， 与 奇偶性不同，
又 ， ，
所以 中必有大于等于 的奇数因子，这与 无 以外的奇数因子矛盾，
故不存在 ，使得 .
（3）首先证明 时，对任意的 都有 ，
因为 ，
由于 与 均大于 且奇偶性不同，
所以 为奇数，对任意的 都有 ，
其次证明除 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数 ，其中 ，
则当 时，由等差数列的性质可得：
，此时
结论成立，
当 时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
对于数列 ，此问题等价于数列 其相应集合 中满足 有多少项，
由前面证明可知正整数 不是 中的项，
所以 的最大值为 .
5．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数 ，由 元实数集合 定义其随影数集 .
若 ，则称集合 为一个 元理想数集，并定义 的理数 为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合 是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集 ，求证： ；
(3)当 取遍所有2024元理想数集时，求理数 的最小值.
注：由 个实数组成的集合叫做 元实数集合， 分别表示数集 中的最大数与最小数.
【解析】（1）设 的随影数集分别为 ，
则 ，
所以集合 是理想数集，集合 不是理想数集.（2）不妨设集合 且 ，即 .
为理想数集， ，则 ，且 ，使得 .
当 时， .
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
.
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时， .
当且仅当 时，等号成立.
综上所述： .
（3）设 .
为理想数集.
，且 ，使得 .
对于 ，同样有 .
下先证对 元理想数集 ，有 .
不妨设集合 中的元素满足 .即 .
为理想数集，
，且 ，使得 .
当 时，
，
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
，当且仅
当 且 时，等号成立；
当 时， .
当且仅当 时，等号成立.
..当且仅当 时，等号成立.
.
理数 .
当且仅当 或 时，等号成立.
理数 的最小值为 .
6．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知 为有穷正整数数列，且 ，集合
．若存在 ，使得 ，则称 为 可表数，称集合
为 可表集．
(1)若 ，判定31，1024是否为 可表数，并说明理由；
(2)若 ，证明： ；
(3)设 ，若 ，求 的最小值．
【解析】（1）31是，1024不是，理由如下：
由题意可知 ，
当 时，有 ，
显然若 时， ，
而 ，
故31是 可表数，1024不是 可表数；
（2）由题意可知若 ，即 ，
设 ，即 使得 ，
所以 ，且 成立，故 ，
所以若 ，则 ，
即 中的元素个数不能超过 中的元素，
对于确定的 ， 中最多有 个元素，
所以 ；
（3）由题意可设 ，使 ，
又 ，所以 ，即 ，
而 ，
即当 时，取 时， 为 可表数，
因为 ，
由三进制的基本事实可知，对任意的 ，存在 ，
使 ，
所以
，
令 ，则有 ，
设 ，
由 的任意性，对任意的 ，
都有 ，
又因为 ，所以对于任意的 ， 为 可表数，
综上，可知 的最小值为 ，其中 满足 ，
又当 时， ，
所以 的最小值为 .
7．设 为给定的正奇数，定义无穷数列 ： 若 是数列 中
的项，则记作 .
(1)若数列 的前6项各不相同，写出 的最小值及此时数列的前6项；
(2)求证：集合 是空集；
(3)记集合 正奇数 ，求集合 .（若 为任意的正奇数，求所有数列 的
相同元素构成的集合 .）
【解析】（1）由题意，因为 是正奇数，当 时，由 ，得 ， ，这与前6项各不相同矛盾，不合题意；
当 时，由 ，得 ， ， ，不合题意；
当 时，由 ，得 ， ， ， ， ，符合题意；
综上， 的最小值为5，此时数列的前6项为： .
（2）证明：假设集合 非空，
当 时， ，又 是正奇数， ，而 ，不合题意，
当 时， ，若 ，则需 ，又 是正奇数，不合题意，
设 中元素的最小值为 （显然 ，
因为 ，所以 ，因此 为奇数，且 .
若 ，则 为偶数，
但此时应有 ，与 矛盾；
若 ，则 ，即 ，与 的最小性矛盾.
因此假设不成立，集合 为空集.
（3）猜想 .
因为 ，以下只需证对任意大于1的奇数 ， .
若 ，则 ，故只需证必存在 .
由（2）知无穷数列 中所有的项都属于集合 ，
因此必存在 ，使得 ，取其中 的值最小的一组.
若 ，则 ；
若 ，则必有 ，与 的最小性矛盾；
若 ，则必有 ，也与 的最小性矛盾.
因此只能 ，因此 ，即 .
综上， .
8．已知集合 ，其中 且 ，若对任意的
，都有 ，则称集合 具有性质 .
(1)集合 具有性质 ，求 的最小值；(2)已知 具有性质 ，求证： ；
(3)已知 具有性质 ，求集合 中元素个数的最大值，并说明理由.
【解析】（1）由性质 定义知： ，且 ，
所以 的最小值为6.
（2）由题设 ，且 ，
所以 ，
所以 ，得证.
（3）由（2）知： ，
同（2）证明得 且 ，故 ，又 ，
所以 在 上恒成立，
当 ，取 ，则 ，故 ，
当 ，则 ，即 .
综上，集合 中元素个数的最大值为7.
9．（2023·河南·模拟预测）已知数列 是首项为1的等差数列，数列 是公比为2的等比数列，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 表示不超过 的最大整数（如： ），求集合
中元素的个数．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
由题意可知 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ，
，故 ．
（2）因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，
所以当 时， ，则 ，又 ，故 ；
当 时， ，则 ，故 ；
当 时， ，则 ，故 ；
当 时， ，则 ，故 ，
依次类推，当 时， ，则 ，故 ，
由于集合中的元素互异，需要减去重复出现的元素，
所以集合 中元素的个数为
个．
10．（2023·北京西城·模拟预测）已知A为有限个实数构成的非空集合，设 ，
，记集合 和 其元素个数分别为 ， .设
.例如当 时， ， ， ，所以
.
(1)若 ，求 的值；
(2)设A是由3个正实数组成的集合且 ， ；，证明： 为定值；
(3)若 是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意 ，设 ， .已
知 ， ，且对任意 ， ，求数列 的通项公式.
【解析】（1）当 时， ， ，
，所以 ；
（2）设 ，其中 ，
则 ，，
因 ，
，
因 ，
所以 ， ， ， ，
又 ，
， ，
所以 ，
因 ， ， ，
，
，
因 ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
， ， ，
所以
所以 为定值；
（3） ，
若 ，
则 ，
,
故 ，
，
此时 ，不符合题意，
故 ，
猜想 ，下面给予证明，
当 时，显然成立，
假设当 ， 时，都有 成立，即 ，
此时 ， ，故 ， ，
，符合题意，
，
则 ，
，
若 ，
的元素个数小于
的元素个数，
则有 ，
不符合题意，故 ，
综上，对于任意的 ，都有 ，
故数列 的通项公式 .
11．（2023·北京·模拟预测）正整数集合 ，且 ， ， 中所有元素
和为 ，集合 .
(1)若 ，请直接写出集合 ；
(2)若集合 中有且只有两个元素，求证“ 为等差数列”的充分必要条件是“集合 中有
个元素”；
(3)若 ，求 的最小值，以及当 取最小值时， 最小值.
【解析】（1）
（2）若 为等差数列，
不妨设 ，且 ，
，
，
，
中有 个元素，
“ 为等差数列”是“集合 中有 个元素”充分条件
若集合 中有 个元素，则至少有如下有 个元素
又有如下 个元素，
，
，
“ 为等差数列”是“集合 中有 个元素”必要条件
综上，“ 为等差数列”是“集合 中有 个元素”充要条件.
（3）由题意， ，
，
又
，且此时， 最小值为 .
12．（2023·北京通州·模拟预测）设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集 ， ，…，
满足：
① ， ，…， 均非空；
② ， ，…， 中任意两个集合交集为空集；
③ ．
则称 ， ，…， 为集合A的一个m阶分拆．
(1)若 ，写出集合A的所有2阶分拆（其中 ， 与 ， 为集合A的同一个2阶分拆）；
(2)若 ， ， 为A的2阶分拆，集合 所有元素的平均值为P，集合 所有元素的平均值
为Q，求 的最大值；
(3)设 ， ， 为正整数集合 （ ， ）的3阶分拆．若 ， ， 满足任取集
合A中的一个元素 构成 ，其中 ，且 与 中元素的和相等．求证：n为奇数．
【解析】（1） ，集合A的所有2阶分拆是： ； ； .
（2）依题意，不妨设 ， ，
则 ，而 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值是 .
（3）依题意， ， ， 与 中元素的和相等，
设 与 中元素的和为 ，集合 中所有元素之和为 ，于是 ，
①当集合 中存在元素 为奇数时，
因为 是偶数，于是 是奇数，对于任意 ，均有 ，
因此此时集合 中的元素均为奇数，因为 为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数，
所以n为奇数；
②当集合 中存在元素 为偶数时，
因为 是偶数，于是 是偶数，对于任意 ，均有 ，
因此此时集合 中的元素均为偶数，对于一个偶数 ，均存在正整数 和奇数 ，使得
，
显然集合 中的元素除以2，仍然满足条件，将集合 中的元素不断除以2，直至有一个奇数，
此时，由①可得n为奇数，
综上得：n为奇数.
13．（2023·北京延庆·一模）已知 为正整数，集合 具有
性质 ：“对于集合 中的任意元素 ， ，且 ，其中
”. 集合 中的元素个数记为 ．
(1)当 时，求 ；
(2)当 时，求 的所有可能的取值；
(3)给定正整数 ，求 ．
【解析】（1） 时，集合 中的元素为 ， ，
所以 ．
（2） 时，首先证明 ，且 ．
在 中，令 ，得 ，从而有 ．
在 中，令 ，得 ．
又 ， 故 ，从而有 ．
考虑 ，即 ， ，
此时 为最大值．现交换 与 ，使得 ，此时 ．
现将 逐项前移，直至 ．在前移过程中，显然 不变，这一过程称为1次“移
位”．
依此类推，每次“移位” 的值依次递减 ．经过有限次移位， 一定可以调整为
交替出现．
注意到 为奇数，所以 为最小值．
所以 的所有可能取值为 ．
（3）由题设，在 中，有 个 ， 个 ，显然，从 中选 个 ，其余为 的种数共
有 种．
下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足 ，记该数为 ．
如果 不满足 ，则一定存在最小的正整数
，使得 ，且 ．
将 统统改变符号， 这一对应为：
，
从而将 变为 个 ， 个 组成的有序数组．
因此， 就是 个 ， 个 组成的有序数组的个数，即 ．
所以 .
14．（2023·北京顺义·一模）已知实数集 ，定义 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求集合A；
(3)若A中的元素个数为9，求 的元素个数的最小值．
【解析】（1） ;
（2）首先， ；
其次 中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.
记 ，不妨设 或者 --
①当 时， ，
相乘可知 ，从而 ，
从而 ，所以 ；
②当 时，与上面类似的方法可以得到进而 ，从而
所以 或者 .
（3）估值+构造 需要分类讨论 中非负元素个数.
先证明 ．考虑到将 中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合 不变，故不妨设 中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：
情况一： 中没有负数．
不妨设 ，则
上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是 的元素，这表明
情况二： 中至少有一个负数．
设 是 中的全部负元素， 是 中的全部非负元素.
不妨设
其中 为正整数， ．
于是有
以上是 中的 个非正数元素：另外，注意到
它们是 中的5个正数．这表明
综上可知，总有 -
另一方面，当 时， 中恰有13个元素. 综上所述，
中元素个数的最小值为13.
