文档内容
专题 16 直线与圆几何问题题型深度剖析与总结
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................8
题型一：直线的方程 8
题型二：圆的方程 9
题型三：直线、圆的位置关系 10
题型四：圆的动点与距离问题 11
题型五：阿氏圆 12
题型六：米勒定理与角度问题 13
题型七：圆的数形结合 14
重难点突破：与距离问题有关的最值 15直线与圆是高考数学的重点内容。考查形式多为选择题、填空题，难度中档。常考求直线（圆）方程、
点到直线距离、判断直线与圆位置关系，以及简单弦长与切线问题。其中，直线方程、圆的方程、两直线
平行与垂直关系等是基础考点，需熟练掌握相关公式和判定方法 ，注重数形结合解题.
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
掌握直线方程，
2024年北京卷第3题，4分
直线与方程 运用数形结合解
2023年I卷第6题，5分
题
2025年高考数学可能
会涉及直线与圆的方程，
2024年甲卷（理）第12题，5分
包括直线方程的一般形
理解位置关系，
2023年甲卷（理）第8题，5分 式、圆方程的标准形式
直线与圆的位置关系 渗透数学思想方
等。同时，可能会考察直
2023年II卷第15题，5分
法
线与圆的位置关系，如相
2022年II卷第15题，5分
交、相切、相离等，以及
相关的计算和应用。
圆与圆的圆的位置关 掌握判定方法及
2022年II卷第14题，5分
系 应用1、直线与圆的位置关系
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心 到直线 的距离，则 ：
直线与圆相交，交于两点 ， ；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 ，
消元得到一元二次方程 ， 判别式为 ，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
2、圆与圆的位置关系
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆 的半径分别是 ，（不妨设 ），且两圆的圆心距为 ，则：
两圆相交；
两圆外切；.
302两圆相离
两圆内切；
两圆内含（ 时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为 ， ，圆心距为 ，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
3、关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆 上一点 的圆的切线方程为 ．
（2）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（3）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（4）求过圆 外一点 的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为 ，利用
圆心到切线的距离等于半径，列出关于 的方程，求出 值．若求出的 值有两个，则说明斜率不存在的情
形不符合题意；若求出的 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线 与圆 交于
两点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2024年北京高考数学真题）圆 的圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是 的等差中项，直线 与圆
交于 两点，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
4．（2024年天津高考数学真题）已知圆 的圆心与抛物线 的焦点 重合，且两曲
线在第一象限的交点为 ，则原点到直线 的距离为 ．
5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线 与 交于A，B两点，
写出满足“ 面积为 ”的m的一个值 ．
6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数 满足 ，则 的最大值
是（ ）
A． B．4 C． D．7
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线 被圆 截得的弦长为
，则 的值为 ．
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是 ．
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M在直线 上，点 和 均在 上，
则 的方程为 ．
12．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为
．题型一：直线的方程
【典例1-1】已知 ， ，若 的平分线方程为 ，则 所在直线的一般方程为
.
【典例1-2】光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射
率.如图，一个折射率为 的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以 的入射角从空气中射
入点 ，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 .
1 、 已 知 直 线 ， 直 线 ， 则 ， 且
(或 )， .
2、点 到直线 (A，B不同时为零)的距离 .
3、两条平行直线 ， (A，B不同时为零)间的距离 .【变式1-1】已知过原点的直线 与圆 相交于 两点，若 ，则直线 的方程为
．
【变式1-2】一条光线经过点 射到直线 上，被反射后经过点 ，则入射光线所在直
线的方程为 ．
1.过定点A的直线 与圆 交于B，C两点，点B恰好为AC的中点，写出满
足条件的一条直线的方程 ．
题型二：圆的方程
【典例2-1】如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为 米，
门在地面处的宽度为 米.现将其截面图放置在直角坐标系 中，以地面所在的直线为 轴，过圆心的竖
直直线为 轴，则门的轮廓所在圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．【典例2-2】过点 引圆 ： 的两条切线，切点分别为 ， ．若 ，则
过 ， ， 三点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
1、圆的方程
（1）圆的定义
在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
（2）圆的标准方程
设圆心的坐标 ，半径为 ，则圆的标准方程为：
（3）圆的一般方程
圆方程为 ，圆心坐标： ，半径：
【变式2-1】已知直线l与抛物线 交于A，B两点（B在第一象限），C是抛物线 的准线与直线
l的交点，F是抛物线G的焦点，若 ，则以AB为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切
线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C： 的离心率为
，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．1.已知圆 ，P为直线 上的动点，过点P作圆C的切线 ，切点为
A，当 的面积最小时， 的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：直线、圆的位置关系
【典例3-1】若直线 与曲线 恰有两个交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】在平面直角坐标系 中，满足不等式组 的点 表示的区域面积为（ ）
A． B． C． D．
1、直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
2、圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
【变式3-1】设圆 和不过第三象限的直线 ，若圆 上恰有三点到直
线 的距离均为2，则实数 （ ）
A． B．1 C．21 D．31【变式3-2】已知圆 与圆 交于 、 两点，则
（ 为圆 的圆心）面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
1.设有一组圆 ，若圆 上恰有两点到原点的距离为1，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
题型四：圆的动点与距离问题
【典例4-1】若实数 、 满足条件 ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知点 ， ，若圆 上存在点P满足 ，则实数a的
取值的范围是 ．
解决与圆相关的长度或距离的最值问题，通常的策略是根据所涉及的长度或距离的几何定义，借助圆
的几何特性，通过数形结合的方法来寻找解答。
【变式4-1】已知点 是圆 上一点，则 的范围是 ．
【变式4-2】已知点P(m，n)在圆 上运动，则 的最大值为 ，最小值为 ， 的范围为 ．
1.已知实数x，y满足 ，则 的最小值为 ．
题型五：阿氏圆
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比
为常数 且 的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆.已知点 是圆 上任一点，点 ， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【典例5-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值
的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已
知在平面直角坐标系 中， ， ，若点 是满足 的阿氏圆上的任意一点，点 为
抛物线 上的动点， 在直线 上的射影为 ，则 的最小值为
.一般地，平面内到两个定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯
圆”．特殊地，当 时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
【变式5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数 （ ，
），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知
，M是平面内一动点，且 ，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆
上，则 的最小值是 .
【变式5-2】已知实数 满足 ，则 的最小值为 .
1.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平
面内到两个定点A，B的距离之比为定值 的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称
阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ， ，点P是满足 的阿氏圆上的任意一点，
则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线 上的动点，Q在y轴上的射影为M，则
的最小值为 .
题型六：米勒定理与角度问题
【典例6-1】（多选题）已知点 在圆 ： 上，点 ， ，则下列说法中正
确的是（ ）
A．点 到直线 的距离小于6 B．点 到直线 的距离大于2C． 的最大值为 D． 的最大值为
【典例6-2】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点 是
的 边上的两个定点，C是 边上的一个动点，当且仅当 的外接圆与边 相切于点C时，
最大．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点F是y轴负半轴的一个动点，当
最大时， 的外接圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
米勒定理：已知点 ， 是 的边 上的两个定点，点 是边 上的一动点，则当且仅当三
角形 的外接圆与边 相切于点 时， 最大．
【变式6-1】已知 为坐标原点，点 ，圆 ，点 为圆 上的一动点，则
的最小值为 .
【变式6-2】已知圆C： ，点P是圆C上的动点，点 ，当 最大时， 所在
直线的方程是 .
1.已知 ， ， 是圆 上的一个动点，则 的最大值为 .
题型七：圆的数形结合
【典例7-1】过直线 上一点 作圆 的两条切线 ，当直线 关于直线 对称时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】已知 是圆 上一动点，若直线 上存在两点 ，使得
能成立，则线段 的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
利用几何意义转化
【变式7-1】已知 是圆 上一个动点，且直线 与直线
相交于点 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
1.在平面直角坐标系xOy中，已知直线 与直线 交于点P，则对任意实数a，
的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1重难点突破：与距离问题有关的最值
【典例8-1】已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】 ， ，函数 的最小值为 .
利用几何意义转化
【变式8-1】已知 ，则 的最小值为 .
1.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事
实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知 ，则
的最小值为 ．
