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4.3 公式法
第2课时 完全平方公式
教学内容 第2课时 完全平方公式 课时 1
1. 经历通过整式乘法公式(a±b)2 = a2±2ab + b2的逆向变形得出公式法因式分
解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力.
核心素养
2. 探索并运用完成平方公式进行因式分解，体会转化思想.
目标
3. 通过对运用完成平方公式进行因式分解的探究学习，逐步养成用数学语言
表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.
1.理解完成平方公式，弄清完成平方公式的形式和特点；
知识目标 2.掌握运用完成平方公式分解因式的方法，能正确运用完成平方公式把多项式
分解因式.
教学重点 理解完成平方公式，弄清完成平方公式的形式和特点.
教学难点 掌握运用完成平方公式分解因式的方法，能正确运用完成平方公式把多项式
分解因式.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、复习 一、温习旧知，导入新知
导入 教师提问：什么是因式分解？ 设计意图：从学生已有的
预设1：把一个多项式转化为几个整式的积的形 知识出发，激发学生强烈
式. 的好奇心和求知欲.
2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？
(1) 提公因式法；
(2) 平方差公式：a2 - b2 = (a + b)(a - b).
师生活动：学生举手回答问题.
二、探究
新知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：全等三角形的判定和性质
你能把下面 4 个图形拼成一个正方形，并求出你
拼成的图形的面积吗？
设计意图：将 4 个图形
拼成一个边长为 (a + b)
的正方形的面积的方法验
证公式，让学生更直观的
感受公式的几何含义，加
拼出图形为：
深对完全平方公式的记
忆，培养抽象概括能力.
这个大正方形的面积可以怎么求？
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
将上面的等式逆过来写，能得到：
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
师生活动：学生在教师的引导下，算出求边长为
(a + b) 的正方形的面积. 根据边长为 (a + b) 设计意图：根据因式分解
与整式乘法的互逆关系，
的正方形的面积计算规律和几何意义解释公式.
我们就容易得到运用完成
平方式的方法分解因式.
1我们把 a² + 2ab + b² 和 a²- 2ab + b² 这
样的式子叫做完全平方式.
我们把 a² + 2ab + b² 和 a² - 2ab + b² 这样的
式子叫做完全平方式.
师追问：观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
预设：三项
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
预设：这两项都是数或式的平方，并且符号相同
设计意图：根据问题串引
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
导学生思考完全平方式的
预设：是第一项和第三项底数的积的 ±2 倍
特点.
定义总结
完全平方式：a2 ± 2ab + b2
运用完全平方式因式分解：
运算法则：a2±2ab + b2 = (a±b)2
文字说明：两个数的平方和加上（或减去）这两
个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的
平方.
方法总结：
完全平方式的特点：
1. 必须是三项式 (或可以看成三项的)；
2. 有两个数或式的平方和；
3. 有这两数或式之积的 ±2 倍.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差
式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分
解因式的方法叫做公式法.
判一判
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a²；
（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab +
b2；
（5）x2 + x + 0.25.
答案；（1）是；（2）不是；（3）不是；
（4）不是；（5）是.
师生活动：学生自主思考，举手回答问题.
设计意图：引导学生正确
认识完全平方式的特征：
两数的平方和，加(或者
减)这两数积的2倍.当
典例精析
然，这里的“数”可以是
例1 把下列完全平方式因式分解：
数、字母，也可以是单项
式或多项式.
解：(1) 原式＝( x + 7 )2.
2设计意图：引导学生对照
完全平方公式，确定公式
(2) 原式＝[( m + n )－3]2＝( m + n－3 )2 中的a, b在此例中分别是
什么.
师生活动：学生独立思考，教师解析例题 (1)，
学生独立完成例题 (2) 的计算.
例2 把下列各式因式分解：
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) －x2－4y2 + 4xy.
解：(1) 原式＝3a( x2 + 2xy + y2 )＝3a( x + y)2.
(2) 原式＝－(x2 + 4y2－4xy)＝－(x2－4xy + 4y2)
＝－[x2－2 · x · 2y + (2y)2]
＝－(x－2y)2
师生活动：教师给出例题后，让学生独立作业，
同时分别选派四名同学上黑板演算. 教师巡视， 设计意图：引导学生进一
对学生演算过程中的失误及时予以指正，最后师 步体会若有公因式要先提
生共同评析. 公因式，再进一步因式分
解.对于第(2)题，应引导
学生注意，当首项是二次
项且系数为负数时，一般
练一练 应先提出“-”号或整个
1. 因式分解： 负数.
(1) －3a2x2＋24a2x－48a2；
(2) (a2＋4)2－16a2.
解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2.
(2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
＝(a＋2)2(a－2)2.
2.(阳山县期中)用简便方法计算：
(1) 1252－50×125 + 25²； 设计意图：帮助学生综合
三、当堂 (2) 652×11－352×11. 掌握提公因式法和运用完
练习，巩 全平方公式和平方差公式
解：(1) 原式 = (125－25)² = 10000.
固所学 相结合因式分解，提高学
(2) 原式 = (65 + 35)(65－35)×11= 33000.
生的计算能力.
师生活动：学生独立思考并作答，教师可提示学
生：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化
计算. 学生代表板书，教师与其余学生进行适当
评价与完善.
设计意图：让学生感悟提
三、当堂练习，巩固所学 公因式法在计算时的妙
用，提高学生的计算能
力.
1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 (
)
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
3C．x2＋5y D．x2－5y
2. 若关于 x 的多项式 x2－8x＋m2 是完全平方
式，则 m 的值为______．
3. 把下列多项式因式分解.
(1) x2－12x + 36；
(2) 4(2a + b)2－4(2a + b) + 1；
(3) y2 + 2y + 1－x2.
4. 计算：(1) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92；
(2) 20242－2024×4046＋20232；
设计意图：考查运用完全
平方公式进行因式分解的
5. (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值； 条件的掌握.
(2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3
的值.
设计意图：考查学生运用
完全平方公式因式分解的
理解和运用.
4.3.2完全平方公式
完全平方式：a2 ± 2ab + b2
板书设计
运用完全平方式因式分解：
运算法则：a2±2ab + b2 = (a±b)2
课后小结
教学反思 通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验. 本节课的学习模式与
上节课类同，公式的倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因
4式以及要求分解彻底.这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方
法，学生有较好的活动经验.
本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千
万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排. 其实公式的探
究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提
高他们应用公式的本领.
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