文档内容
第四章 因式分解
4.3 公式法
第 2 课时 完全平方公式
【素养目标】
1.了解运用完全平方公式因式分解的式子特点．
2.能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．
3.通过综合运用提公因式法和公式法分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力，通
过知识结构图培养学生归纳总结的能力．
重点：理解用完全平方公式因式分解的原理，并学会运用．
难点：灵活地运用提公因式法和公式法进行因式分解．
【复习导入】
1. 因式分解：
2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？
3. 完全平方公式用字母如何来表示？
4. 完全平方公式有何特点？
5. 完全平方公式能帮助简便运算因式分解吗？
【合作探究】
探究点：用完全平方公式分解因式
问题1：计算：(1)(m－4n)2； (2)(m＋4n)2.
思考：这样计算的依据是什么？
问题2：根据上面两道题，请大家试着分解因式：
(1) m2－8mn＋16n2； (2) m2＋8mn＋16n2.
观察有什么规律？
第 1 页问题3：我们把这些式子推广到一般式：
a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2，
观察一下这两个多项式有什么特点？
[知识要点]
我们把 a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2 这样的式子叫作完全平方式．
完全平方式的特点：
1. 必须是三项式(或可以看成三项的)；
2. 有两个数或式的平方和；
3. 有这两数或式之积的 ±2 倍.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，
这种分解因式的方法叫作公式法.
[典例精析]
例1 若 x2－6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( )
A . 11 B. 9 C. －11 D. －9
[变式训练]
如果 x2－mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_______.
[练一练]
1.下列各式是不是完全平方式？
(1) a2－4a + 4； (2) 1 + 4a²；
(3) 4b2 + 4b－1； (4) a2 + ab + b2；
(5) x2 + x + 0.25.
问题4：你能将多项式 a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2分解因式吗？
把整式乘法的完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
将等号两边互换位置，就得到：
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
第 2 页[典例精析]
例2 把下列完全平方式因式分解：
(1) x2 + 14x + 492；
(2) (m + n)2－6(m + n) + 9.
例3 把下列各式因式分解：
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) －x2－4y2 + 4xy.
[练一练]
2. 因式分解：
(1) －3a2x2＋24a2x－48a2； (2) (a2＋4)2－16a2.
3. 把下列多项式因式分解.
(1) x2－12x + 36； (2) 4(2a + b)2－4(2a + b) + 1；
(3) y2 + 2y + 1－x2.
4. 用简便方法计算：
(1) 1252－50×125 + 25²；
(2) 652×11－352×11.
当堂反馈
1.下列四个多项式，能因式分解的是( )
A.a＋2 B.a2＋a＋1
C.x2－y D.x2＋12x＋36
第 3 页2.把多项式因式分解，正确的结果是( )
A.4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2
B.a2－4b2＝(a－4b)(a＋b)
C.a2－2a－1＝(a－1)2
D.(a－b)(a＋b)＝a2－b2
3.若x2＋kx＋16能用完全平方公式因式分解，则k的值为( )
A.4 B.－8
C.4或－4 D.8或－8
4.因式分解：
(1)2x3＋4x2＋2x＝ ；
(2)(a2＋1)2－4a2＝ .
5.如果a2－8ab＋16b2＝0，且b＝2.5，那么a＝ .
6.把下列各式因式分解：
1 1
(1)a2＋ a＋ ；
2 16
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
7.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2－4a－8b＋20＝0，求△ABC中最长
边c的取值范围.
第 4 页参考答案
【复习导入】
1.把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2. (1) 提公因式法
(2) 平方差公式 a2－b2 = (a + b)(a－b)
3. (a±b)2＝a2±2ab＋b2
4. 公式的左边是两个数的和(或差)的平方，右边是这两个数的平方和，加上(或减去)它
们的积的 2 倍.
【合作探究】
探究点：用完全平方公式分解因式
问题1：解：(1) (m－4n)2＝m2－8mn＋16n2；
(2) (m＋4n)2＝m2＋8mn＋16n2.
思考：依据：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
问题2：解：(1) m2－8mn＋16n2＝(m－4n)2；
(2) m2＋8mn＋16n2＝(m＋4n)2.
把等号两边互换位置就可以得到因式分解的结果.
问题3：两式的共同特点是：它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的 2
倍．
[典例精析]
例1 B
[变式训练]±8
[练一练]1.答：(1) 是； (2) 不是；(3) 不是； (4) 不是；(5) 是.
[典例精析]例2 解：(1) 原式＝( x + 7 )2.
(2) 原式＝[( m + n )－3]2＝( m + n－3 )2
例3 解：(1) 原式＝3a( x2 + 2xy + y2 )＝3a( x + y)2.
(2) 原式＝－(x2 + 4y2－4xy)＝－(x2－4xy + 4y2)
＝－[x2－2 · x · 2y + (2y)2]＝－(x－2y)2
[练一练]2. 解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2.
(2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
＝(a＋2)2(a－2)2.
3.解：(1) 原式 = x2－2·x·6 + (6)2= (x－6)2.
(2) 原式 = [ 2(2a + b) ]² －2·2(2a + b)·1 + ( 1 )²= (4a + 2b－1)2.
(3) 原式 = ( y + 1)²－x² = (y + 1 + x)( y + 1－x).
4. 解：(1) 原式 = (125－25)² = 10000.
(2) 原式 = (65 + 35)(65－35)×11= 33000.
第 5 页当堂反馈
1. D
2. A
3. D
4.(1) 2 x ( x ＋ 1 ) 2 ；
(2) ( a － 1 ) 2 ( a ＋ 1 ) 2 .
5. 1 0 .
1
6.(1)原式＝(a＋ )2.
4
(2)原式＝(m＋n－3)2.
7.解：∵a2＋b2－4a－8b＋20＝(a－2)2＋(b－4)2＝0，
∴a＝2，b＝4.又
∵c是△ABC中最长边，
∴4≤c＜4＋2.
∴4≤c＜6.
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