文档内容
5.2 二元一次方程组的解法 教学设计
1.教学内容
本节课选自北师大版 2024 年八年级上册第五章第二节，是在学生学习二元一次方程组的概念及含义
后的关键内容.教材以 “小明和小颖栽种绿植” 的实际情境为切入点，通过问题引导学生思考如何求解二
元一次方程组，进而引出 “代入消元法”.
从知识体系来看，二元一次方程组的解法是对一元一次方程知识的延伸与拓展，也是后续学习三元一
次方程组、一次函数与方程组关系等内容的基础.“消元思想” 是本节课的核心数学思想，即将 “二元” 转
化为已学的 “一元”，体现了数学中 “化未知为已知” 的化归思想.教材通过温故复习、情境导入、新知
探究、典例分析、变式训练和课堂小结的逻辑结构，逐步引导学生理解代入消元法的原理与步骤，符合学
生由具体到抽象、由浅入深的认知规律.
2.内容解析
本节课的重点在于让学生理解 “为什么消元” 和 “如何消元”.“为什么消元” 需要结合实际问题，
让学生感受到二元一次方程组直接求解的困难，从而产生将其转化为一元一次方程的需求；“如何消元” 则
要通过具体例题，让学生掌握 “用一个未知数表示另一个未知数”“代入消元”“回代求另一个未知数” 的
完整步骤，同时体会消元思想在解题中的作用.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握代入消元法的定义及核心步骤（变形表示未知数、代
入消元求解、代回求另一未知数）；能运用代入消元法正确解出二元一次方程组（含直接代入、先变形再
代入两种类型）.
1. 教学目标
(1) 知识与技能：理解代入消元法的概念，能熟练运用代入消元法解简单的二元一次方程组；掌握代入消
元法的基本步骤，能准确求出方程组的解并进行检验.
(2) 过程与方法：通过参与 “绿植栽种问题” 的探究过程，经历 “观察 — 思考 — 转化 — 求解”
的
数学活动，体会消元思想和化归思想的形成过程；通过典例分析和变式训练，提升分析问题、解决问
题的能力，培养逻辑推理能力.
(3) 情感态度与价值观：通过实际情境问题的解决，感受数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣；在小组讨论、合作探究中，培养合作意识与表达能力，增强学习数学的自信心.
2. 目标解析
(1) 对于 “理解代入消元法的概念”，要求学生能清晰表述代入消元法的定义，即 “将其中一个方程中
的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二
元为一元”；“熟练运用代入消元法解题” 则要求学生能针对不同形式的二元一次方程组（如其中一
个方程已用一个未知数表示另一个未知数、需先变形才能表示的情况），准确完成求解过程，正确率
达到 80% 以上.
(2) “体会消元思想和化归思想”，需要学生在探究过程中主动发现 “二元方程组无法直接求解，需转化
为一元方程”，并能说出 “转化的关键是用一个未知数表示另一个未知数”；“提升逻辑推理能力” 则
通过 “变形 — 代入 — 求解 — 回代” 的步骤训练，让学生形成严谨的解题逻辑，每一步操作
都
能说明依据（如等式性质、代入定义等）.
(3) “感受数学与生活的联系”，通过 “绿植栽种”“后续可补充购物、行程等情境” 让学生意识到数
学能解决实际问题；“培养合作意识” 则通过小组讨论探究问题，让学生学会倾听他人观点、补充自
己思路，共同完成探究任务.
（一）学生已有知识及掌握情况
学生在七年级已系统学习一元一次方程的概念、解法及应用，能熟练求解一元一次方程（如去括号、
移项、合并同类项、系数化为 1 等步骤），这是学习二元一次方程组解法的重要基础.在本章第一节，学
生已理解二元一次方程（组）的含义，知道二元一次方程组的解是两个方程的公共解，能通过列举法尝试
寻找简单方程组的解，但对于较复杂的方程组，列举法效率低、准确性差，无法满足解题需求.
从认知特点来看，八年级学生处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对实际情境问题的接受
度较高，但对 “消元” 这种抽象数学思想的理解可能存在困难；同时，学生已具备一定的自主探究和小
组合作能力，能在教师引导下参与问题讨论，但在 “如何将二元转化为一元” 的关键步骤上，可能需要
更具体的提示和示范.
（二）预估教学中遇到的困难以及解决困难的办法
1. 困难 1：无法快速判断 “用哪个方程变形、表示哪个未知数”，比如面对 “2x+3y=16，x+4y=13”，不
知道优先用第二个方程表示 x，而非第一个方程表示 x 或 y（避免出现分数系数，增加计算难度）.解决办
法：在探究环节，通过问题 “哪个方程变形后，未知数的系数是 1 或 - 1？表示哪个未知数更简单？” 引
导学生观察；典例分析后，专门增加 “选方程、选未知数” 的小结，明确 “优先选含未知数系数为 1 或-1 的方程，优先表示系数为 1 或 - 1 的未知数” 的原则，再通过变式训练强化该判断能力.
2. 困难 2：代入步骤易出错，比如将 “x=y+3” 代入 “3x+2y=14” 时，漏写括号（写成 3y
+3+2y=14），或去括号后符号错误；此外，求出一个未知数后，忘记代回 “变形后的表达式”，反而代回
原方程，增加计算量或出错.解决办法：典例解析时，用不同颜色粉笔标注 “代入的表达式” 和 “代入后
的式子”，强调 “代入时若未知数后有代数式，必须加括号”；步骤总结时，明确 “求第二个未知数，
必代回变形后的式子（如 x=y+3、x=13-4y）”，并在变式训练中，让学生先标注 “变形式”，再代入，
教师巡视时重点检查这两个易错点，及时纠错.
3. 困难 3：难以理解 “消元思想” 的本质，仅会模仿解题，说不出 “为什么要代入”“代入的目的是什
么”.解决办法：情境导入后，先让学生尝试用 “列举法” 找方程组的解（如从 x-y=2 列举 x=3 时
y=1，
代入第二个方程验证是否成立），感受 “列举法” 的繁琐；再通过探究问题 “如何把两个未知数变成一
个未知数”，引导学生思考 “消去一个未知数” 的需求，进而理解 “代入” 是 “消元” 的手段，最
终体会 “化未知为已知” 的化归思想，避免思想层面的 “留白”.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解 “消元思想” 和 “化归思想” 的本质，明确代入
消元法中 “二元转一元” 的逻辑;快速判断 “优先用哪个方程、表示哪个未知数”，避免代入后出现复杂
计算，减少解题错误.
1.温故复习
教师提问 3 个核心问题，学生举手回答：
（1）什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？
（2）二元一次方程组的解是指什么？如何验证一组值是否为方程组的解？
（3）七年级时我们学过解 “一元一次方程”，核心步骤有哪些？（去括号、移项、合并同类项、系数化
为 1）
教师根据学生回答，补充强调 “方程组的解是两个方程的公共解”“一元一次方程只有一个未知数，可直
接求解”，为后续 “二元转一元” 做铺垫.
(设计意图：通过回顾旧知，一方面巩固二元一次方程（组）的基础概念，避免学生因概念模糊影响新
知探究；另一方面唤醒一元一次方程的解法记忆，搭建 “旧知（一元）→新知（二元）” 的桥梁，让学
生明确 “二元方程组的解法，本质是转化为一元方程”，降低新知的理解门槛.)
(教学建议：提问时优先选择基础中等的学生，若学生回答不完整，不直接否定，而是通过 “再想想，二元一次方程组有几个方程？”“验证解的时候，要代入几个方程？” 等追问引导学生补充，保护学生的
回答积极性；最后一个关于一元一次方程的问题，可让学生集体回答，快速唤醒共同记忆.)
2.情景引入
1.教师结合教材情境，复述问题：“上节课知道，小明和小颖栽种绿植的问题，
列出方程组，其中 x 表示小明栽种的株数，y 表示小颖栽种的株数，大家还记得这两个方程对应的等量关
系吗？”（学生集体回答：小明的株数 = 小颖的株数 + 2；小明的株数 + 1=2×（小颖的株数 - 1））
2.教师追问：“那我们能不能用之前学的‘列举法’，从第一个方程 x-y=2 中找 x、y 的值，再代入
第二个方程验证，看看小明和小颖到底各栽了几株？”（学生尝试列举，如 x=4 时 y=2，代入第二个方程：
4+1=5，2×（2-1）=2，不成立；x=7 时 y=5，4+1=5，2×（5-1）=8，不成立……）
3.学生发现 “列举法” 繁琐且易出错，教师顺势提出问题：“看来列举法不好用，那有没有更简单
的方法，能直接求出 x 和 y 的值？这就是我们今天要学的 —— 二元一次方程组的解法（板书课题）.
(设计意图：借助学生熟悉的 “绿植栽种” 情境，避免陌生情境带来的理解负担；通过让学生尝试 “列
举法”，亲身体会其局限性，从而主动产生 “寻找更优解法” 的需求，激发探究新知的兴趣，让后续的
新知学习更具针对性.)
(教学建议：学生列举时，可让 2-3 名学生说出自己尝试的 x、y 值及验证结果，教师在黑板上简单
记录，直观展示 “列举法” 的低效；追问时语气要亲切，如 “有没有同学找到符合条件的 x 和 y
啦？”，
鼓励学生主动分享，若学生未找到，教师不用急于给出答案，只需引导学生思考 “为什么列举法不行”，
为后续探究做铺垫.
探究：用代入消元法解二元一次方程
（1）教师呈现探究问题（结合教材探究一），将学生分成 4-5 人小组，限时 4 分钟讨论：
① 方程 组中，两个方程的未知数 x 有什么关系？y 呢？（引导学生发现：两个方程
中的 x 表示同一个量（小明的株数），y 也表示同一个量（小颖的株数），即 x、y 的值在两个方程中是相
同的）② 你能用其中一个未知数表示另一个未知数吗？（学生尝试变形，如从第一个方程 x-y=2，移项得
x=y+2，或 y=x-2）③ 如何把这个二元一次方程组，转化为我们会解的一元一次方程？
（2）小组代表发言，教师根据发言板书核心思路：从第一个方程得 x=y+2（变形），将 x=y+2 代入第二
个方程（x+1=2 (y-1)），得到（y+2）+1=2 (y-1)，此时方程只有 y 一个未知数，转化为一元一次方程
（二元转一元）.
（3）教师带领学生一起解这个一元一次方程：y+3=2y-2，移项得 3+2=2y-y，解得 y=5；再将 y=5 代入x=y+2，得 x=7；最后验证：x=7、y=5 代入原方程组，两个方程均成立，确定为方程组的解，回答 “小
明栽 7 株，小颖栽 5 株” 的问题.
2.总结概念，明确思想
(1) 教师结合探究过程，提炼定义：“像这样，将其中一个方程中的某个未知数，用含有另一个未知
数的代数式表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，化二元为一元，这种解方程组的方法，叫做代
入消元法，简称代入法.”（板书定义，重点标注 “消去一个未知数”“化二元为一元”）
(2) 引导学生总结核心思想：“代入法的关键是什么？”（学生回答后，教师板书：基本思路 —— 消
元，将二元变为一元；核心思想 —— 化归思想，把未知问题转化为已知问题）.
3.典例分析
例 1：解方程组 3x + 2y = 14
x = y + 3
① 教师引导学生分析：这个方程组有什么特点？（第二个方程已用 y 表示 x，无需额外变形）；如何
代入？（将第二个方程代入第一个方程）
② 师生共同解题：第一步：代入消元.将 x = y + 3 代入 3x + 2y = 14，得 3(y + 3) + 2y = 14；
第二步：求解一元一次方程.去括号得 3y + 9 + 2y = 14，合并同类项得 5y + 9 = 14，移项得 5y = 5，系
数化为 1 得 y = 1；第三步：回代求 x.将 y = 1 代入 x = y + 3，得 x = 4；第四步：检验（口头检
验，
说明 “后续解题可在草稿纸检验，无需写出”）.
③ 总结：当方程组中已有一个方程用一个未知数表示另一个未知数时，直接代入另一个方程即可.
例 2：解方程组 2x + 3y = 16
x + 4y = 13
① 教师提问：这个方程组和例 1 有什么不同？（没有方程直接用一个未知数表示另一个未知数，需
要先变形）；选择哪个方程、哪个未知数变形更简单？（引导学生观察：方程②中 x 的系数为 1，变形为 x
= 13 - 4y 更简单，无需除以系数）
② 学生自主解题（教师巡视，个别指导），完成后教师展示规范解题过程：第一步：变形表示未知
数.由 x + 4y = 13，得 x = 13 - 4y（记为方程③）；第二步：代入消元.将③代入 2x + 3y = 16，得 2
(13 - 4y) + 3y = 16；第三步：求解一元一次方程.去括号得 26 - 8y + 3y = 16，合并同类项得 26 - 5y
= 16，移项得-5y = -10，系数化为 1 得 y = 2；第四步：回代求 x.将 y = 2 代入③，得 x = 13 - 4×2
=
5
；第五步：写出方程组的解.x = 5 y = 2
③ 思考交流：解方程组的基本思路是什么？（引导学生总结：“消元”，把 “二元” 变为 “一元”，
即先消去一个未知数，转化为一元一次方程，求解后回代求另一个未知数）
（设计意图：“小组探究” 让学生自主推导解法，避免教师单向灌输，同时培养合作能力；“概念总结” 从探究过程中提炼，让学生理解定义的由来，而非死记硬背；“典例分析” 分 “直接代入”“先
变形再代入” 两种类型，覆盖核心场景，且通过规范步骤、标注易错点，帮助学生形成严谨的解题习惯，
同时逐步突破 “理解消元思想”“判断变形方式” 的重难点.）
（教学建议：小组探究时，教师巡视各小组，对讨论无方向的小组，用 “第一个方程 x-y=2，能不能
把 x 单独放左边？”“把 x 的表达式代入第二个方程，方程里还剩几个未知数？” 等问题引导；典例
讲解时，每完成一步，都让学生说说 “这一步做了什么，目的是什么”（如 “代入这一步，目的是消
去 x，只剩 y”），强化对步骤和思想的理解；步骤总结时，让学生用自己的话表述，再由教师规范，
避免学生机械记忆.）
1. 二元一次方程组 x−y=4 的解是（ D ）
x+y=2
A． B． C． D．
2. 用代入法解方程组 x=2y ，下列说法正确的是 ( C )
y-x=3
A．直接把①代入②，消去 y B．直接把①代入②，消去 x
C．直接把②代入①，消去 y D．直接把②代入①，消去 x
3. 用代入法解方程组 2x+y=6 较简单的方法是( A )
3x+4y=-4
A．消 y B．消 x
C．消 x 和消 y 一样 D．无法确定
4.已知方程组 y=x-1 用代入法消去 y 后的方程是 ( D )
x+2y=3
A．x＋x－1＝3 B．x＋2x－1＝3
C．x＋x－2＝3 D．x＋2(x-1)＝3
5.解方程组 y=x+2 ①
4x+3y=13 ②
解：把①代入②，得 4x＋3（x＋2）=13, x=2
解得 x=1，将 x=1 代入①，得 y＝1＋2＝3，原方程组的解为 y=1.
6.解方程组 2x+3y=16 ①
x+4y=13 ②
解： 由②，得 x=13-4y ③将③代入①，得 2（13 - 4y）+3y=16
26 –8y +3y =16
-5y=-10
y=2
将 y=2 代入③ ，得 x=5. 所以原方程组的解是 x=5
y=2.
(设计意图：选择题侧重 “变形方式的选择”，解答题侧重 “完整步骤的应用”，通过分层训练，让
学生巩固代入消元法的核心知识点；同桌互查能培养学生的合作意识和自我检查能力，集中讲解典型错误
能帮助学生规避常见问题.)
(教学建议：训练时间控制在 8 分钟左右，解答题可让 2 名学生上台板演，教师针对板演过程中的问
题（如步骤跳跃、书写不规范）进行点评；对于基础较弱的学生，可提供 “解题步骤提示卡”（如 “第
一步：找系数为 1 的未知数；第二步：变形表示；第三步：代入……”），帮助其梳理思路.)
1.基础题：随堂练习 第 1 题 习题 5.2 第 1
题
2.提升题：结合生活实际，编一道能用二元一次方程组解决的问题，并尝试用代入消元法求解（感受数
学与生活的联系，培养应用意识.5.2 二元一次方程组的解法
一、温故复习：二元一次方程组定义及解法
二、新知探究
1.代入消元法（定义）：用一个未知数表示另一个未知数，代入消元，化二元为一元.
2.核心思想：消元思想（二元→一元）、化归思想（未知→已知）.
3.核心步骤：① 变形表示未知数（选系数 1/-1 的方程）
② 代入消元求解（注意加括号）
③ 代回求另一未知数（代回变形式）
三、典例分析
四、课堂小结
基本思路：消元（二元→一元）
主要步骤：①变形表示未知数
②代入消元求解
③回代求另一未知数
注意事项：选简单变形、代入加括号、计算防错、检验.
