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专题 16 直线与圆几何问题题型深度剖析与总结
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................2
题型一：直线的方程.....................................................................................................2
题型二：圆的方程.........................................................................................................3
题型三：直线、圆的位置关系.....................................................................................4
题型四：圆的动点与距离问题.....................................................................................6
题型五：阿氏圆.............................................................................................................8
题型六：米勒定理与角度问题.....................................................................................9
题型七：圆的数形结合...............................................................................................12
重难点突破：与距离问题有关的最值.......................................................................15
02 重难创新练.............................................................................................................18题型一：直线的方程
1．已知直线 ，若 ，则 .
【答案】
【解析】易知直线 的斜率存在且为 ，
由 可知 ，且 ，所以 .
故答案为：
2．已知直线 ： 和 ： ，若 ，则实数 .
【答案】
【解析】 直线 ： 、 ： ，且 ，
， 解得 .
故答案为： .
3．已知点 ，直线 与 轴相交于点 ，则 中， 边上的高 所在直线
的方程是 .
【答案】
【解析】直线 与 轴交点 的斜率 ，
所以 边上的高 的斜率 ，
所以 所在直线方程为 .故答案为：
题型二：圆的方程
4．圆心在抛物线 上，并且与抛物线的准线及 轴都相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为圆心在抛物线 上，
所以设圆心为 ，
又因为圆与抛物线的准线 及 轴都相切，
所以 ，解得 ，
所以圆心为 ，半径为 ，
所以圆的标准方程为： ，即 ，
故选：A．
5．已知抛物线 上有一点 ，且点 在第一象限，以 为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦
点，那么这个圆的方程为 .
【答案】
【解析】设点 ，则 ，若抛物线的顶点为 ,焦点为 ，
依题意， ,即 ，解得， ，
则圆的圆心为 ，半径为 ,故这个圆的方程为： .
故答案为： .
6．在平面直角坐标系中， 的坐标满足 ， ，已知圆 ，过 作圆 的两条切
线，切点分别为 ，当 最大时，圆 关于点 对称的圆的方程为 ．
【答案】
【解析】依题意，点 的轨迹为直线 上，显然 ，要 最大，当且仅当
最大，
在 中， ，而正弦函数 在 上单调递增，
则只需 最大，即圆心 到点 的距离最小，因此 ，又圆心 ，
此时直线 的方程为 ，由 解得点 ，
于是圆心 关于点 对称的点的坐标为 ，所以圆 关于点 对称的圆的方程为 ．
故答案为：
题型三：直线、圆的位置关系
7．已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不确定
【答案】A【解析】联立 或 ，
所以集合 ，故集合 中元素的个数为2.
故选：A.
8．已知直线 过定点A， 过定点B， 与 交于点P（异于
A，B两点），则 的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将直线 变形为： ，知 过定点 ，
将直线 变形为： ，知 过定点 ，
当 时， ， ，此时 ，
当 时， ， ，此时 ，
当 且 时，两直线的斜率乘积 知：此时 ，
因为 ，由直径所对的圆周角为 知，
点 在以线段 为直径的圆上（不含 、 两点），
所以点 到线段 的距离即为 的高，设为 ，
易知 ，因为 ，所以
所以 ，
即 的面积的最大值是 ,
故选：D
9．已知不重合的圆 都过点 ，且均与两坐标轴相切，则圆 的公共弦长为（ ）A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图：
因为两圆 都过点 ，且均与两坐标轴相切，所以 必在直线 上，
点 关于直线 的对称点为B(−2,1)，则线段 即为圆 的公共弦.
因为 .
故选：B
题型四：圆的动点与距离问题
10．已知点 ，若圆 上存在点 满足 ，则实数 的取
值的范围是 .
【答案】
【解析】设 ，则 ，
，即 ，
在以 为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆 有公共点，
所以 ，解得 ．故答案为： ．
11．如果实数 ， 满足 ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 表示经过原点的直线， 为直线的斜率.
如果实数 ， 满足 和 ，即直线 同时经过原点和圆上的点 .
其中圆心 ，半径
从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为
则直线的斜率就是其倾斜角 的正切值，易得 ， ，
可由勾股定理求得 ，于是可得到 为 的最大值；
同理， 的最小值为－1.
则 的范围是 .
故选：B.
12．若 分别为圆 ，与圆 上的动点， 为直线
上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】9
【解析】圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，连接 ，如图：
则 ，解得 ，即 ，
，则
，当且仅当 是 与直线 的交点，
且 分别是线段 与圆 的交点时取等号，
所以 的最小值为9.
故答案为：9
13．点 在圆 上，则 的范围是 ．
【答案】
【解析】设 ， ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
故答案为：题型五：阿氏圆
14．（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值
的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐
标系 中， ， ，动点 满足 ，直线 ，则（ ）
A．动点 的轨迹方程为 B．直线 与动点 的轨迹一定相交
C．动点 到直线 距离的最大值为 D．若直线 与动点 的轨迹交于 ， 两点，且
，则
【答案】ABD
【解析】设 ．因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以对于A选项，动点 的轨迹为以 为圆心，2为半径的圆，故A正确．
对于B选项，因为直线 过定点 ，而点 在圆 内，所以直线 与圆 相交，故B正确．
对于C选项，当直线 与 垂直时，动点 到直线 的距离最大，且最大值为 ，故C错
误．
对于D选项，记圆心 到直线 的距离为 ，则 ．因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．由 ，得 ，故D正确．
故选：ABD题型六：米勒定理与角度问题
15．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点 是锐角 的一边 上的两点，试在 边上找
一点 ，使得 最大.”如图，其结论是：点 为过 两点且和射线 相切的圆与射线 的切点.
根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 中，给定两点 ，点 在 轴上移动，
当 取最大值时，点 的横坐标是 .
【答案】2
【解析】 ，则线段 的中点坐标为 ，
可知 ，则线段 的垂直平分线的方程为 ，
即 ，
经过 两点的圆的圆心在 上，
设圆心为 ，
则半径 ，
则圆 的方程为 ，
当 取最大值时，圆 必与 轴相切于点 （由题中结论得），
则此时 ，代入圆 的方程得 ，
化简得 ，解得 或 ，
即对应的切点为 或 ，
设 ， .因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
又过点 的圆的半径大于过点 的圆的半径，
所以 ，故点 为所求，
即当 取最大值时，点 的横坐标为2.
故答案为：2.
16．已知 ， ，P是圆O： 上的一个动点，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】设 外接圆半径为R，由正弦定理， ，当外接圆半径
最小，即外接圆与圆O相内切时， 最大.
设 外接圆圆心为M，由题可得其在AB中垂线上，可设其坐标为： .
则 ， ，又圆M与圆O相内切，则圆心距等于半径之差，则
，
等式两边平方并化简后可得： .
即 外接圆半径为R的最小值为 .则此时 最大，最大值为 .
故答案为：
17．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点 ， 是 的 边上的
两个定点， 是 边上的一个动点，当 在何处时， 最大？问题的答案是：当且仅当 的外
接圆与边 相切于点 时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点 ， 的坐标分别是 ， ，
是 轴正半轴上的一动点.若 的最大值为 ，则实数 的值可以为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据米勒定理，当 最大时， 的外接圆与 轴正半轴相切于点 .
设 的外接圆的圆心为 ，则 ，圆 的半径为 .
因为 为 ，所以 ，即 为等边三角形，
所以 ，即 或 ，解得 或 .故选：C.
18．在平面直角坐标系 中， ， ， 在直线 上运动，当 最大时，过 ，
， 三点的圆方程为_________．
【答案】
【解析】设圆心坐标为 ，
由米勒定理知，当且仅当 的外接圆与直线相切于点 时， 最大．
所以 ，解得 或 ，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ，
所以当 最大时，过 ， ， 三点的圆方程为 ．
题型七：圆的数形结合
19．已知点 、 在圆 上，点 在直线 上，点 为 中点，若 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得圆的标准方程为 ，
设圆心为 ，半径为 ，则 ， ，
,所以由垂径定理可得 ，故点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
因为点 到直线 的距离 ，
所以 的最小值为 ，
故选：B.
20．已知直线 与y轴交于点A，点P在直线l上（异于点A），过点P作圆 的
两条切线，切点分别为M，N，当 最大时，四边形 的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】如图所示，连接 ，易知 ， ， ，
又 ，因此当 最大时， 也最大，
此时 也最大，即 最小，此最小值即为点O到直线l的距离 ，
则四边形 的面积为 ．
故选：A．21．已知直线 与圆 ，点 在直线 上，过点 作圆 的切线，切
点分别为 ，当 取最小值时，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可知圆心为 ，半径 ，
由题意 ，
所以当 时， 取最小值，
由点到直线的距离公式可得 ，
此时 ，
过 作直线 的对称点 ，连接 ， ， 与直线 的交点即为所求的点 ，
由于 与 关于直线 对称， ， 与 关于直线 对称，
因此 与 就是同一条直线，即点 即为所求的点 ，
所以 的最小值为 .
故选：C22．若当动点 在圆 上运动时， 的取值范围 ，则圆心 （ ）
A．一定在直线 上 B．一定在直线 上
C．一定在直线 上 D．一定在直线 上
【答案】C
【解析】如下图所示： ，
因为 的取值范围 ，
所以，直线 的倾斜角的取值范围是 ，
由题意可知，直线 、 为圆 的两条切线，
即直线 、 为圆 的两条切线，
由图可知，直线 的斜率为负数，则 ，设圆心 ，则 ，整理可得 ，
即 ，可得 ，
因为 ，解得 ，因此，圆心 一定在直线 上.
故选：C.
重难点突破：与距离问题有关的最值
23．已知圆 和圆 ， 分别是圆 上的动点， 为 轴
上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆 关于 轴的对称圆的圆心坐标 ，半径为1，圆 的圆心坐标为 ，半径为3，∴若 与 关于x轴对称，则 ，即 ，
由图易知，当 三点共线时 取得最小值，
∴ 的最小值为圆 与圆 的圆心距减去两个圆的半径和，
.
∴
故选：D.
24．已知点 ， ，在 轴上找一点 使 最大，则 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出图形，作点 关于 轴的对称点 ，可得出 ，进而可得出
，利用 、 、 三点共线时 取最大值，求得直线 的方程，与 轴的
方程联立可求得点 的坐标.如下图所示：
作点 关于 轴的对称点 ，由对称性可知 ，则 .
当 、 、 三点不共线时，由三角形三边关系得 ；
当 、 、 三点共线时， .
所以， ，当且仅当 、 、 三点共线时，等号成立，
此时，直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，即 ，
在直线 的方程中，令 ，解得 ，即点 .
故选：D.
25．设直线l： ，点 ， ，P为l上任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点 关于直线l的对称点为 ，
则有 ，解之得 ，则 ，
则 的最小值为
故选：B1．若直线 ： 与直线 ： 平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线 ： 与直线 ： 平行，
所以 ，所以 ，
所以直线 ： 即 ，
所以这两条直线间的距离为 .
故选：B.
2．若动点 到 的距离之比为 ．则点 到直线 的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设动点 的坐标为 ，
由题意： ，即 ，
代入点的坐标，可得 ，
两边取平方并整理得： ，即动点C的轨迹为圆心为 ，半径为 的圆，
因 到直线 的距离为 ，
故点 到直线 的最小距离为 ，
故选：D.
3．已知圆M的方程为 ，圆N上任意一点P到定点 ， 的距离比为 ，
则圆M与圆N的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
【答案】D
【解析】由已知设 ，则 ，化简得 ，
故圆N的圆心为 ，半径为2．又圆M的圆心为 ，半径为7.
两圆心距为 ，故两圆内切，
故选：D．
4．已知点 ， 在圆 上，点 ， ，则使得 是面积为 的等
边三角形的点 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】设 中点为E，由正三角形面积公式可知 ，
由正三角形及圆的对称性可知 ，则 三点共线，
而 ，
因为 ，所以P在以 为圆心，2为半径的圆上，
由圆的位置关系可知 ，当且仅当 时取得，此时 ，
即满足条件的点P只有一个.故选：A
5．已知过点 的直线 与圆 交于 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以点 在圆 内．
且圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 ，当 时， 取得最小值，且最小值为 ．
故选：D
6．过直线 上一点 作圆 的两条切线 ， ，切点分别为A，B，当直线 ， 关于
对称时，线段 的长为（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】C
【解析】如图所示，圆心 ,连接 ,因为直线 ， 关于直线 对称，
所以 垂直于直线 ，
故
而 ,
则 ,
故选：
7．已知直线 与 相交于 两点，且 为等边三角形，则实数
（ ）
A． 或2 B． 或4 C． D．
【答案】A
【解析】 的圆心 ，半径 ，
因为直线 与 相交于 两点，且 为等边三角形，则圆心到直线的
距离为 ，
即 ，整理得 ，解得 或 ，
故选：A.
8．已知直线 过点 且倾斜角为 ，若 与圆 相切，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线 ,因为 与圆 相切，所以 ，
因此 选B.
9．（多选题）如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆 相交于A，
C，B，D四点，M为弦AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．AO长度的最大值为 B．线段BD长度的最小值为
C．点M的轨迹是一个圆 D．四边形ABCD面积的取值范围为
【答案】BCD
【解析】由已知可得圆心为 ，半径 ，
由圆的性质知：圆心与直线BD距离最大为 ，
线段AO长度最大，则圆心与A，O共线且在它们中间，
此时 ，故A错误；
由圆的性质知：当圆心与直线BD距离最大为 时弦BD的长度最小，
此时 ，故B正确；
若M，H，G，F分别是AB，BC，CD，AD的中点，则 且 ， 且 ，
又 ，易知：四边形 为矩形，而 ，
若圆心 到直线AC，BD的距离 且 ，
所以 ，
则 ，故 ，
所以点M在以 为直径， ， 的交点为圆心的圆上，故C正确；
由以上分析： ， ，
而 ，
所以 ，
令 ，则S ，
当 ，即 时， ，
当 或2，即 或 时， ，
所以 ，故D正确．
故选：BCD．
10．（多选题）已知圆 ，点 为圆上一点，点 为坐标原点，则下列叙述正
确的有（ ）A．点 在圆外 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】AC
【解析】选项A，点 坐标代入圆的方程左侧得 ，即原点在圆外，所以A正确；
选项B，圆的标准方程为 ，所以圆心 ，半径 ， ，所以
，所以B错误；
选项C，令 ，则直线 与圆有公共点，根据点到直线的距离公式得 ，解得
的最小值为 ，故C正确;
选项D，设 ，则直线 与圆有公共点,根据点到直线的距离公式得 ，解得
，所以 的最小值为 ，故D错误.
故选：AC
11．（多选题）已知直线 和圆 相交于M，N两点，则下列说法
正确的是（ ）
A．直线 过定点
B． 的最小值为3
C． 的最小值为
D．圆 上到直线 的距离为 的点恰好有三个，则【答案】AC
【解析】对于A，直线 ，即 ，
由 解得 ，所以定点坐标为 ，A正确，
对于B，圆 的圆心为 ，半径为 ，
点 与圆心 的距离为 ，
所以 的最小值为 ，此时直线 垂直于 轴，故此时 无最小值，
故B错误，
对于C，设 ，则 ，
当 ，即直线方程为 时，
取得最小值为 ，所以C正确，
对于D，若圆 上到直线 的距离为 的点恰好有三个，
则圆心到直线 的距离为 ，
所以 ，
整理得 ，所以D错误.
故选：AC12．在平面直角坐标系xOy中，射线 ， ，半圆C： .现从点
向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线 、 时会发生镜面反射.设光线在
发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是 .
【答案】
【解析】将半圆依次沿着 ， ， 作对称，如图所示：
光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间，
因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示.
当光线与 相切时，光线所在直线斜率为 ，
由对称性可知当光线遇射线 时反射光线若与 相切，则入射光线所在直线为 与
圆 相切，
当光线与圆 相切但遇射线 时反射光线不与 相切时，
此时 ，所以光线斜率为
，
当光线与 相切时，光线斜率为 ，所以由图可知k的取值范围是 .
故答案为： .
13．在平面中， 和 是互相垂直的单位向量，向量 满足 ，向量 满足 ，求 在
方向上的数量投影的最大值 ．
【答案】
【解析】根据题意不妨设 ， ， ， ，
则 ，
由 可得 ，由 可得 ；
设 ，故 在以 为圆心， 为半径的圆上；
在以 为圆心，1为半径的圆上；
过 作 于 ，则 即为 在 上的数量投影，如下所示：
因为 分别为两圆上任意动点，不妨固定 ，则 为定长，
设 ，即 ，故 ，
因为此时 为定长，且 ，
故随着 的减小， 增大，直至 恰好与圆 相切时， 取得最大值，如下所示：在 与圆 相切的基础上，移动点 ，过 作 于 ，故 ；
在△ 中， ， ，
故 ，因为 ,
故在直角三角形 中， ，则 ，即 ；
在四边形 中，因为 ，故 ，
当且仅当 时等号成立，从而 .
综上所述： 在 方向上的数量投影的最大值为 .故答案为： .
14．过抛物线 上一动点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，若
的最小值是 ，则 .
【答案】
【解析】设 ，则 ，圆 的圆心 ，半径为 ，
由 切圆 于点 ，得 ，
则
，
当且仅当 时，等号成立，
可知 的最小值为 ，
整理可得 ，解得 ，
且 ，所以 ，
故答案为： .
15．已知实数 、 满足 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】当 ， 时，曲线方程可化为 ；当 ， 时，曲线方程可化为 ；
当 ， 时，曲线方程可化为 ，即曲线 不出现在第三象限；
当 ， 时，曲线方程可化为 ，
作出曲线 的图形如下图所示：
设 ，即 ，
由图可知，当直线 与圆 相切，且切点在第一象限时，
则 ，且 ，解得 ，
由因为双曲线 、 的渐近线方程均为 ，
当直线 与直线 重合时， ，
所以， ，故 .
故答案为： .
