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3.3 轴对称与坐标变化
课堂知识梳理
关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴
的对称点为P’（x，-y）
点P与点p’关于y轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴
的对称点为P’（-x，y）
点P与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称
点为P’（-x，-y）
拓展：坐标变化与图形变化的规律：
坐标（ x ， y ）的变化 图形的变化
x × a或 y × a 被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a倍
x × a， y × a 放大（缩小）为原来的 a倍
x ×（ -1）或 y ×（ -1） 关于 y 轴或 x 轴对称
x ×（ -1）， y ×（ -1） 关于原点成中心对称
x +a或 y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位
x +a， y+ a 沿 x 轴平移 a个单位，再沿 y 轴平移 a个单
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．点P（5， ）关于 轴对称的点的坐标是（ ）
A．（5，4） B．（ ，4） C．（4， ） D．（ ， ）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】
解：点P（5， ）关于 轴对称的点的坐标是（5，4）故选A．
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相
反数是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中点 关于y轴对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据点的坐标关于坐标轴对称的方法进行判断，关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数，进而
问题得到解决．
【详解】
解：由题意得：点 关于y轴对称点的坐标是 ；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的特征是解题的关键．
3．已知，点 与点 关于x轴对称，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．2021
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系中两点关于x轴对称的特点，求出m，n的值，进而求出结果．
【详解】
∵点A和点B关于x轴对称，
∴m-1=2，n-1+3=0，
m=3，n=-2，
∴ ．
故选B【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中两点关于x轴对称的特点，熟练掌握是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，P点坐标为（ ， ）， 点坐标为（m，n），两点关于y轴对称，则下列选
项正确的是（ ）
A．m＞0，n＜0 B．m＜0，n＞0
C．m＞0，n＞0 D．m＜0，n＜0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等，得 =-m， =n，求解即可．
【详解】
解：∵点P与点P`关于y轴对称，
∴两点横坐标互为相反，纵坐标相等，
∴ =-m, =n，
即m＜0，n＞0，
故选：B．
【点睛】
本题考查关于y轴对称点的坐标特征，绝对值的意义，熟练掌握关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，
纵坐标相等是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，点A（-1，-3）关于y轴对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出点A关于y轴对称的点，然后根据点坐标判断其所在的象限即可．
【详解】
解：∵点A的坐标为（-1，-3），
∴点A关于y轴对称的点的坐标为（1，-3），
∵点（1，-3）在第四象限，
∴点A（-1，-3）关于y轴对称的点在第四象限，故选：D．
【点睛】
本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，判断点所在的象限，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相
反数，纵坐标不变是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，点 ，点 ，则A，B两点关于（ ）对称
A．原点 B．x轴 C．y轴 D．x轴和y轴
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两点坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得出答案．
【详解】
解：∵点A(−2，−3)，点B(−2，3)，
∴A，B两点关于x轴对称，
故选：B．
【点睛】
本题考查关于坐标轴对称点的坐标特征．掌握两点关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；两
点关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键．
7．已知关于点A的坐标为 ，且 的相反数为 ，则点A关于x轴对称的点的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相反数的性质求得 的值，进而根据关于 轴对称的点的坐标特征求解即可．
【详解】
解：∵ 的相反数为 ，
∴点A关于x轴对称的点的坐标为
故选B
【点睛】
本题考查了相反数的性质，关于 轴对称的点的坐标特征，掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵
坐标互为相反数是解题的关键．
8．如图，下列说法中正确的是（ ）
A．点A与点B关于y轴对称 B．点A与点D关于y轴对称
C．点B与点E关于y轴对称 D．点C与点E关于x轴对称
【答案】C
【解析】
【分析】
根据各个点的坐标及两点关于坐标轴对称的点的特征即可完成．
【详解】
A、点A( 3，2)与点B( 3，-2)关于x轴对称，故说法错误；
B、点A(−3，2)与点D(−3，1)不关于y轴对称，故说法错误；
C、点B(−3，-2) 与点E(3，-2)关于y轴对称，故说法正确；
D、点C(−3，3) 与点E(3，-2)不关于x轴对称，故说法错误；
故选：C
【点睛】
本题考查了确定点的坐标及两点关于坐标轴对称，掌握两点关于坐标轴对称是关键．
9．点 和点 关于 轴对称，则 ______．
【答案】-2；【解析】
【分析】
根据两点关于x轴对称得到a＝-1，b＝-1，代入计算即可．
【详解】
解：∵点A（a，1）与点B（-1，b）关于x轴对称，
∴a＝-1，b＝-1，
∴a＋b＝-2．
故答案为：-2．
【点睛】
此题考查了轴对称的性质—关于x轴对称：关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，熟记
性质是解题关键．
10．在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点 在第______象限．
【答案】三
【解析】
【分析】
根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】
解：点A（2，-3）关于y轴对称的点的坐标为 （-2，-3），
∴点 在第三象限，
故答案为：三．
【点睛】
此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标以及坐标系中点的坐标特征，关键是掌握点的坐标的变化规律．
11．点 与点B关于y轴对称，点B与点C关于x轴对称，则点C的坐标是_______．
【答案】（2，-3）
【解析】
【分析】
先根据关于 轴对称的点的特征求得点 的坐标，再根据关于 轴对称的点的特征求得点 的坐标即可．
【详解】
点 与点B关于y轴对称，，
点B与点C关于x轴对称，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中对称点的坐标特点，掌握对称点的坐标特点是解题的关键．①关于x轴对称
的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数．
12．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（m，n），则
经过第2021次变换后所得的A点坐标是____．
【答案】（m，－n）
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的坐标特点分别求出前四次变换后的A点坐标，找到规律求解即可．
【详解】
解：第一次变换后A点坐标是（m，－n），第二次变换后A点坐标是（－m，－n），第三次变换后A点
坐标是（－m，n），第四次变换后A点坐标是（m，n），
每四次变换一个循环，
∵2021=4×505+1，
∴经过第2021次变换后所得的A点坐标是（m，－n），
故答案为：（m，－n）．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系内点的轴对称变换规律，利用点关于坐标轴对称的点的特点找出规律是解题关
键．13．如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，点A，点C均在格点上，点P为x轴上任意一点，则
周长的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据勾股定理可得AC的长度，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，利用勾股定理求
出AP+PC的最小值，从而得出答案．
【详解】
AC= ，
如图，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，
则AP+PC=AP+PC′=AC′，
此时AP+PC取得最小值，最小值为 ，
所以△PAC周长的最小值为 ，
故答案为： ．【点睛】
本题主要考查了轴对称－最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
14．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后 的顶
点均在格点上．
(1)写出点A，B，C的坐标．
(2)画出 关于x轴对称的 ，并写出顶点 ， ， 的坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)见解析， ， ，
【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标确定方法写出A、B、C的坐标；
（2）根据关于 轴对称的点的坐标特征求解．
(1)
由网格图可知A(1,3)、B(-1,2)、C(2,0)；
(2)
如图， 即为所求，由图可知 ， ， ．
【点睛】
本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．
基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连
接对称点．掌握坐标系中关于x轴对称的点的特征是解答本题的关键．
15．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标
为（﹣4，6），点C坐标为（﹣1，4）．
(1)根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
(2)画出△ABC分别关于y轴的对称图形△ABC ；
1 1 1
(3)请写出点B关于x轴对称点的坐标为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)（﹣2，﹣2）
【解析】
【分析】（1）根据点A坐标为（﹣4，6），点C坐标为（﹣1，4）．即可在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）根据轴对称的性质即可画出△ABC分别关于y轴的对称图形△ABC ；
1 1 1
（3）根据轴对称的性质即可写出点B关于x轴对称点的坐标．
(1)
解：如图，平面直角坐标系xOy即为所求；
；
(2)
解：如图，△ABC 即为所求；
1 1 1
(3)
解：∵B（﹣2，2），
∴点B关于x轴对称点的坐标为（﹣2，﹣2）．
故答案为：（﹣2，﹣2）．
【点睛】
本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
16．已知 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)写出A、B、C三点的坐标；
(2)若 各顶点的横坐标都不变，纵坐标都乘以 ，在同一坐标系中描出对应的点 、 、 ，并依
次连接这三个点得 ；
(3)请问 与 有怎样的位置关系？
【答案】(1) 、 、
(2)见解析
(3) 与 关于x轴对称
【解析】
【分析】
(1)根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
(2)根据网格结构找出点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
(3)根据图形判断△A′B′C′与△ABC有怎样的位置关系即可．
(1)
解： 、 、 ．
(2)
解： 各顶点的横坐标都不变，纵坐标都乘以 ，
、 、 ．
如下图：(3)
解：观察图形可知： 与 关于x轴对称．
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
17．如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为：A（－2，0），B（1，2），C（1，－2），
已知N（－1，0），作点N关于点△A的对称点N ，点N 关于点B的对称点N ，点N 关于点C的对称点
1 1 2 2
N ，点N 关于点A的对称点N ，点N 关于点B的对称点N ，……，依此类推，则点N 的坐标为：（
3 3 4 4 5 2020
）
A．（－3，0） B．（－1，8） C．（3，－4） D．（－1，0）
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出N 至N 点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解．
1 6
【详解】解：由题意得，作出如下图形：
N点坐标为(-1，0)，
N点关于A点对称的N 点的坐标为(-3，0)，
1
N 点关于B点对称的N 点的坐标为(5，4)，
1 2
N 点关于C点对称的N 点的坐标为(-3，-8)，
2 3
N 点关于A点对称的N 点的坐标为(-1，8)，
3 4
N 点关于B点对称的N 点的坐标为(3，-4)，
4 5
N 点关于C点对称的N 点的坐标为(-1，0)，此时刚好回到最开始的点N处，
5 6
∴其每6个点循环一次，
∴ ，即循环了336次后余下4，
故 的坐标与N 点的坐标相同，其坐标为(-1，8)．
4
故选：B
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系内点的规律问题，找到点循环的规律是解题的关键．
18．如图，等边 的顶点 ， ，规定把 “先沿 轴翻折，再向右平移1个单位”为一
次变换，这样连续经过2022次变换后，等边 的顶点 的坐标为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用等边三角形的性质求得点C的坐标，然后根据轴对称变换和轴对称变换的性质求得第一次变换，第
二次变换，第三次变换后点C的坐标，按此找出规律即可求解 ．
【详解】
解：如图所示，过点 作 ，
∵△ABC是等边三角形， ， ，
∴ ， ， 轴，D的坐标为(2，1)，
∴
∴点C到 轴的距离为： ，点 的横坐标为 ，∴ ，
由题意得，
第一次变换后点 的坐标为 ，即 ；
第二次变换后点 的坐标为 ，即 ；
第三次变换后点 的坐标为 ，即 ；
……
由此可以发现点 的横坐标总是比次数大 ，而纵坐标，当奇次变换时是 ，偶次变换时是 ，
故连续经过2022次变换后，等边 的顶点 的坐标为 ，
故选：
【点睛】
本题考查了坐标与图形的变化—翻折变换与平移变换，读懂题意，找出变化规律是解题的关键．
19．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，A、O、B三颗棋子的位置如图所示，它们的坐标分别是
， ， ．
(1)如图添加棋子C，使A、O、B、C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴．
(2)在其他格点（除点C外）位置添加一颗棋子P，使A、O、B、P四颗棋子成为一个轴对称图形，直接写
出棋子P的位置坐标（写出2个即可）．【答案】(1)作图见解析
(2)（1，-1）、（0，-1）、（-2，1）（写出2个即可）
【解析】
【分析】
（1）根据A，B，O，C的位置，结合轴对称图形的性质进而画出对称轴即可；
（2）利用轴对称图形的性质得出P点位置．
(1)
如图所示，C点的位置为（1，2），A，O，B，C四颗棋子组成等腰梯形，直线l为该图形的对称轴；
(2)
如图所示： 都符合题意，【点睛】
此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
20．在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，过 点作x轴的垂线l，点A与点B关于直线l对
称；
(1)点B的坐标为________；
(2)点C的坐标为 ，顺次连接 ，若在四边形 内部有一个点P，满足 ，且
，求点P的坐标；
(3)在四边形外部是否存在点Q，满足 ，且 ，若存在，直接写出Q点坐标，若不
存在请说明理由．【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据对称性可知 到 的距离相等，且纵坐标相等，据此即可求解；
（2）根据对称性可知点 与点 关于 对称，则点 在 上，设点 ，根据三角形的面积公式求解即
可求解；
（3）方法同（2）即可求解．
(1)
点A的坐标为 ，过 点作x轴的垂线l，
到 的距离为 ,
则
故答案为：
(2)
如图， , ，
点 与点 关于 对称，
在四边形 内部有一个点P，满足 ，
则点 在 上，设点 ，
，即
解得 或
在四边形 内部
(3)
存在，由（2）可知 时， 在四边形 外部
故
【点睛】
本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，点到坐标轴的距离，数形结合是解题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
21．（2022·广西贵港·中考真题）若点 与点 关于y轴对称，则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．
【详解】
∵点 与点 关于y轴对称，
∴a=-2，b=-1，
∴a-b=-1，
故选A．
【点睛】
本题考查了关于y轴对称的点坐标的关系，代数式求值，解题的关键在于明确关于y轴对称的点纵坐标相
等，横坐标互为相反数．
22．（2022·新疆·中考真题）平面直角坐标系中，点P(2，1)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出答案．
【详解】
解：点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（2，-1）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
23．（2021·广西贵港·中考真题）在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点Q(2，b＋1)关于x轴对称，
则a＋b的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用关于 轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出 ， 的值，进而得出答案．
【详解】
解： 点 与点 关于 轴对称，
， ，， ，
则 ．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了关于 轴对称点的性质，正确记忆关于 轴对称点的符号关系是解题关键．
24．（2022·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系 中，点A与点 关于 轴对称，点A与点 关于
轴对称．已知点 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A， 点坐标，即可得出答案．
【详解】
解：∵点 的坐标为（1，2），点A与点 关于 轴对称，
∴点A的坐标为（1，-2），
∵点A与点 关于 轴对称，
∴点 的坐标是（-1，﹣2）．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键．
25．（2022·浙江台州·中考真题）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队
形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为(40，a)，则飞机D的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．
【详解】
解：根据题意，点E与点D关于y轴对称，
∵飞机E的坐标为(40，a)，
∴飞机D的坐标为(-40，a)，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
26．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣
2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2021
秒瓢虫在（ ）处．
A．（3，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（3，﹣2）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出第2021秒是爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】
A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1）
四边形ABCD是矩形
瓢虫转一周，需要的时间是 秒
，
按A→B→C→D→A顺序循环爬行，第2021秒相当于从A点出发爬了5秒，路程是： 个单位，
10=3+4+3，所以在D点 ．
故答案为：A
【点睛】
本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2021秒瓢虫爬完了多少
个整圈的矩形，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
27．（2022·江苏泰州·中考真题）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出
发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据第一步马往外跳，第二步马再往回跳但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短．
【详解】
解：如下图所示：
马第一步往外跳，可能的落点为A、B、C、D、E、F点，
第二步往回跳，但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短，
比如，第一步马跳到A点位置，第二步在从A点跳到G点位置，此时落点与出发点的距离最短为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题借助象棋中的“马走日”的规则考察了两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意．
