文档内容
专题 16 直线与圆几何问题题型深度剖析与总结
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................15
题型一：直线的方程 15
题型二：圆的方程 19
题型三：直线、圆的位置关系 23
题型四：圆的动点与距离问题 27
题型五：阿氏圆 30
题型六：米勒定理与角度问题 35
题型七：圆的数形结合 39
重难点突破：与距离问题有关的最值 43直线与圆是高考数学的重点内容。考查形式多为选择题、填空题，难度中档。常考求直线（圆）方程、
点到直线距离、判断直线与圆位置关系，以及简单弦长与切线问题。其中，直线方程、圆的方程、两直线
平行与垂直关系等是基础考点，需熟练掌握相关公式和判定方法 ，注重数形结合解题.
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
掌握直线方程，
2024年北京卷第3题，4分
直线与方程 运用数形结合解
2023年I卷第6题，5分
题
2025年高考数学可能
会涉及直线与圆的方程，
2024年甲卷（理）第12题，5分
包括直线方程的一般形
理解位置关系，
2023年甲卷（理）第8题，5分 式、圆方程的标准形式
直线与圆的位置关系 渗透数学思想方
等。同时，可能会考察直
2023年II卷第15题，5分
法
线与圆的位置关系，如相
2022年II卷第15题，5分
交、相切、相离等，以及
相关的计算和应用。
圆与圆的圆的位置关 掌握判定方法及
2022年II卷第14题，5分
系 应用1、直线与圆的位置关系
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心 到直线 的距离，则 ：
直线与圆相交，交于两点 ， ；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 ，
消元得到一元二次方程 ， 判别式为 ，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
2、圆与圆的位置关系
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆 的半径分别是 ，（不妨设 ），且两圆的圆心距为 ，则：
两圆相交；
两圆外切；.
302两圆相离
两圆内切；
两圆内含（ 时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为 ， ，圆心距为 ，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
3、关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆 上一点 的圆的切线方程为 ．
（2）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（3）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（4）求过圆 外一点 的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为 ，利用
圆心到切线的距离等于半径，列出关于 的方程，求出 值．若求出的 值有两个，则说明斜率不存在的情
形不符合题意；若求出的 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线 与圆 交于
两点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因为直线 ，即 ，令 ，
则 ，所以直线过定点 ，设 ，
将圆 化为标准式为 ，
所以圆心 ，半径 ，
当 时， 的最小，
此时 .
故选：C
2．（2024年北京高考数学真题）圆 的圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，即 ，
则其圆心坐标为 ，则圆心到直线 的距离为 .
故选：D.
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是 的等差中项，直线 与圆
交于 两点，则 的最小值为（ ）A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】因为 成等差数列，所以 ， ，代入直线方程 得
，即 ，令 得 ，
故直线恒过 ，设 ，圆化为标准方程得： ，
设圆心为 ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 时， 最小，
，此时 .
故选：C
4．（2024年天津高考数学真题）已知圆 的圆心与抛物线 的焦点 重合，且两曲
线在第一象限的交点为 ，则原点到直线 的距离为 ．
【答案】 /
【解析】圆 的圆心为 ，故 即 ，
由 可得 ，故 或 （舍），
故 ，故直线 即 ，
故原点到直线 的距离为 ，故答案为：
5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线 与 交于A，B两点，
写出满足“ 面积为 ”的m的一个值 ．
【答案】 （ 中任意一个皆可以）
【解析】设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ，
所以 ，解得： 或 ，
由 ，所以 或 ，解得： 或 ．
故答案为： （ 中任意一个皆可以）．
6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数 满足 ，则 的最大值
是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【解析】法一：令 ，则 ，
代入原式化简得 ，
因为存在实数 ，则 ，即 ，
化简得 ，解得 ，
故 的最大值是 ，
法二： ，整理得 ，
令 ， ，其中 ，则 ，
，所以 ，则 ，即 时， 取得最大值 ，
法三：由 可得 ，
设 ，则圆心到直线 的距离 ，
解得
故选：C.
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域
内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为区域 表示以 圆心，外圆半径 ，内圆半径 的圆环，
则直线 的倾斜角不大于 的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角 ，
结合对称性可得所求概率 .
故选：C.8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，可得 ，则 ，
因为
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，
且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为 ，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且
设两切线斜率分别为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，
且 ，则 ，解得 .
故选：B.9．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线 被圆 截得的弦长为
，则 的值为 ．
【答案】
【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
由勾股定理可得 ，因为 ，解得 .
故答案为： .
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；故答案为：
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M在直线 上，点 和 均在 上，
则 的方程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线 上，
∴设点M为 ，又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
，解得 ，
∴ ， ，
的方程为 .
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线 的交点(1,-1).
, 的方程为 .
故答案为：
12．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为
．
【答案】 或 或 或 ．【解析】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为 ，
（1）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（2）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（3）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（4）若过 ， ， ，则 ，解得 ，所以圆的方程为
，即 ；
故答案为： 或 或 或
．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过 三点，圆心在直线 ，设圆心坐标为 ，
则 ，所以圆的方程为 ；
（2）若圆过 三点， 设圆心坐标为 ，则 ，所以圆
的方程为 ；
（3）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方程 为 ，
联立得 ，所以圆的方程为 ；
（4）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ， 线段 中垂线方程为 ，联立得
，所以圆的方程为 ．
故答案为： 或 或 或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．题型一：直线的方程
【典例1-1】已知 ， ，若 的平分线方程为 ，则 所在直线的一般方程为
.
【答案】
【解析】直线 的斜率 ，其方程为 ，即 ，
由 ，解得 ，令 ，
依题意， 的平分线为直线 ，
由正弦定理得 ，
由于 ，由此整理得 ，
则 ，设 ，则 ，整理得 ，解得 ，则 ， ，
直线 的方程为 ，即 .
故答案为：
【典例1-2】光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射
率.如图，一个折射率为 的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以 的入射角从空气中射
入点 ，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 .
【答案】
【解析】如图，入射角 ，设折射角为 ， ， ，
则 ， ，
所以 ，则 ， ，
所以 ，且 .该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为 ，
则其所在直线的斜率为
，
直线的方程为 ，整理得 .
故答案为：
1 、 已 知 直 线 ， 直 线 ， 则 ， 且
(或 )， .
2、点 到直线 (A，B不同时为零)的距离 .
3、两条平行直线 ， (A，B不同时为零)间的距离 .
【变式1-1】已知过原点的直线 与圆 相交于 两点，若 ，则直线 的方程为
．
【答案】
【解析】圆 的圆心 ，半径
直线 截圆 所得弦长 ，则弦心距
当过原点的直线斜率不存在时， 的方程为 ，圆心 到直线 的距离为1，不符合题意要求；当过原点的直线斜率存在时， 的方程可设为 ，
由 ，可得 ，此时 的方程为
综上，直线 的方程为 .
故答案为： .
【变式1-2】一条光线经过点 射到直线 上，被反射后经过点 ，则入射光线所在直
线的方程为 ．
【答案】
【解析】设点 关于直线 的对称点为 ，则 解得
所以 ．又点 ，
所以 ，直线 的方程为 ，
由图可知，直线 即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为 ．
故答案为： .1.过定点A的直线 与圆 交于B，C两点，点B恰好为AC的中点，写出满
足条件的一条直线的方程 ．
【答案】 或
【解析】由直线 ，整理可得 ，当 时 ，故直线 过定点
，
设 ，则 ，
由 在圆 ，则 ，整理可得 ，
联立可得 ，消去 可得： ，解得 或 ，
当点 的坐标为 ，由两点式方程，可得 ，整理可得 ，
当点 的坐标为 ，由两点式方程，可得 ，整理可得 ，
故答案为： 或
题型二：圆的方程
【典例2-1】如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为 米，门在地面处的宽度为 米.现将其截面图放置在直角坐标系 中，以地面所在的直线为 轴，过圆心的竖
直直线为 轴，则门的轮廓所在圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设该圆的半径为 ，如图，
由题意知： ， ， ，
由勾股定理得： ，即 ，解得： ，
，即圆的圆心为 ，则圆的方程为 .
故选：A.
【典例2-2】过点 引圆 ： 的两条切线，切点分别为 ， ．若 ，则
过 ， ， 三点的圆的方程为（ ）
A． B．C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】由 ，得 ，可得圆心 ，半径 ．
由 ，得 ，所以 ，
故 ，即 ，
解得 或 ，则 或 ，
根据 ， ，故 四点共圆，且 为直径，
所以线段 的中点为 或 ，且 ，
所以过 ， ， 三点的圆的方程为 或 ．
故选：C．
1、圆的方程
（1）圆的定义
在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
（2）圆的标准方程
设圆心的坐标 ，半径为 ，则圆的标准方程为：
（3）圆的一般方程
圆方程为 ，圆心坐标： ，半径：
【变式2-1】已知直线l与抛物线 交于A，B两点（B在第一象限），C是抛物线 的准线与直线
l的交点，F是抛物线G的焦点，若 ，则以AB为直径的圆的方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】由题意得抛物线 的焦点为 ，焦准距 ，
设准线与x轴交与点D，设 ，
设 的中点为 ，
过点 作准线的垂线，垂足为 ，
设 ，由 可得 ，
由抛物线定义得 ，
由于 ，故 ，则 ,
则直线AB的倾斜角为 ，
故 ，即 ，故 ，
设 ，则 ，
则 ，故 ，
则 ，即 ，又由 可知直线l过抛物线焦点，
故l方程为 ，将 代入得 ，
即 的中点 ， ，
故以AB为直径的圆的方程为 ，
故选：D
【变式2-2】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切
线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C： 的离心率为
，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为椭圆 ： 的离心率为 ，则 ，解得 ，即椭圆 的方程为
，
于是椭圆的上顶点 ，右顶点 ，经过 两点的椭圆切线方程分别为 ， ，
则两条切线的交点坐标为 ，显然这两条切线互相垂直，因此点 在椭圆 的蒙日圆上，
圆心为椭圆 的中心O，椭圆 的蒙日圆半径 ，
所以椭圆 的蒙日圆方程为 .
故选：B1.已知圆 ，P为直线 上的动点，过点P作圆C的切线 ，切点为
A，当 的面积最小时， 的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由题可知， ，半径 ，圆心 ，所以，要使 的面积最小，即 最小， 的最小值
为点 到直线 的距离 ，即当 点运动到 时， 最小，直线 的
斜率为 ，此时直线 的方程为 ，由 ，解得 ，所以 ，因为
是直角三角形，所以斜边 的中点坐标为 ，而 ，所以 的
外接圆圆心为 ，半径为 ，所以 的外接圆的方程为 .
故选：C.
题型三：直线、圆的位置关系
【典例3-1】若直线 与曲线 恰有两个交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 知直线 过定点 ，
由曲线 ，两边平方得 ，
则曲线是以 为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），当直线过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，
此时 ，解得 ，
当直线 与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心 到直线 的距离 ，解得 ，
要使直线 与曲线 恰有两个交点，
则直线 夹在两条直线之间，因此 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：B.
【典例3-2】在平面直角坐标系 中，满足不等式组 的点 表示的区域面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意， ，
所以不等式组表示的区域是圆 与圆 公共的内部区域，
画出图象如下图所示， ，两圆半径都是 ，
设两个圆相交于 两点，则 ，由于 ， ，
所以 是圆 的切线， 是圆 的切线，
同理 是圆 的切线， 是圆 的切线，
，所以四边形 是正方形，
所以区域面积为 .
故选：D
1、直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
2、圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
【变式3-1】设圆 和不过第三象限的直线 ，若圆 上恰有三点到直
线 的距离均为2，则实数 （ ）
A． B．1 C．21 D．31
【答案】D
【解析】 的圆心为 ，半径为
若圆 上恰有三点到直线 的距离均为2，则圆心到直线的距离为
解得 或 ，
由于直线 不经过第三象限，则直线与 轴的交点 ，
故 ，故选：D
【变式3-2】已知圆 与圆 交于 、 两点，则
（ 为圆 的圆心）面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得： ，所以圆心 ，半径 ，
由两圆相交于 、 两点可知： ，
所以 的面积 ，
因为 是半径为 的圆，所以 ，
当 时， ，
又 ，
此时由 ，解得 ， ，故 可以取最大值 ，
所以当 时， 最大，且 是锐角，
根据函数 的单调性可知：当 时， 最大，
在 中由余弦定理可得： ，所以 ，所以 ，
故选：C.
1.设有一组圆 ，若圆 上恰有两点到原点的距离为1，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆 ，其圆心为 ，半径为 ．
因为圆 上恰有两点到原点的距离为1，所以圆 与圆 有两个交点．
因为圆心距为 ，所以 ，解得 ．
故选：B
题型四：圆的动点与距离问题
【典例4-1】若实数 、 满足条件 ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，可得 ，
则直线 与圆 有公共点，所以， ，解得 ，
即 的取值范围是 .
故选：B.
【典例4-2】已知点 ， ，若圆 上存在点P满足 ，则实数a的
取值的范围是 ．
【答案】
【解析】设点 ，则 ，而 ，
则 ，整理得 ，即点 的轨迹是原点为圆心，2为半径的圆，
因为点 在圆 ，即圆 与圆 有公共点，
而圆 的圆心为 ，半径为1，
因此 ，即 ，解得 或 ，
所以实数a的取值的范围是 .
故答案为：解决与圆相关的长度或距离的最值问题，通常的策略是根据所涉及的长度或距离的几何定义，借助圆
的几何特性，通过数形结合的方法来寻找解答。
【变式4-1】已知点 是圆 上一点，则 的范围是 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
所以圆心 ，半径为1，
表示圆上的点到直线 的距离的2倍，
因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以圆上的点到直线 的距离的最小值为1，最大值为3，
所以 的最小值为2，最大值为6，
所以 的范围为 ，
故答案为： .
【变式4-2】已知点P(m，n)在圆 上运动，则 的最大值为 ，
最小值为 ， 的范围为 ．
【答案】 64 4
【解析】由圆C的圆心为 ，半径为3，且P在圆 上，
则 表示在圆 上点到 距离的平方，
而圆心到 的距离为 ，
所以在圆 上点到 距离的最大值为8，最小值为2，故 的最大值为64，最小值为4；
又 表示在圆 上点到原点的距离，而圆心到原点距离为 ，
所以 的范围为 .
故答案为：64，4，
1.已知实数x，y满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】1
【解析】联想数量积公式 ，
得 ，
记 ， ，则z为向量 ， 的夹角余弦值的 倍，
且由题意点B在以 为圆心，1为半径的圆上，
如图所示，
若 与 的夹角余弦值要取得最小值，
则 与 的夹角需取得最大值，由图像可知，当 时， 与 的夹角最大，
代入上式可得，此时 ．
故答案为：1.
题型五：阿氏圆
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比
为常数 且 的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆.已知点 是圆 上任一点，点 ， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，不妨取 ，使得 ，
则 ，
整理得 ，
此方程与 相同，
所以有 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 在线段 上时，取等号.因为 ，所以 在圆内；
，所以 在圆外；
所以线段 与圆 必有交点（记为 ），
当 重合时， ，为其最小值，
故选：C.
【典例5-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值
的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已
知在平面直角坐标系 中， ， ，若点 是满足 的阿氏圆上的任意一点，点 为
抛物线 上的动点， 在直线 上的射影为 ，则 的最小值为
.
【答案】
【解析】设 ，
则 ，
化简整理得 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心 为半径的圆，
抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，则
，
当且仅当 （ 两点在 两点中间）四点共线时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯
圆”．特殊地，当 时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
【变式5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数 （ ，
），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知
，M是平面内一动点，且 ，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆
上，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】设 ，则 ，整理得 （或 ）.
设 ，则 ，
故
.
令 ，则 = .
故答案为： ；
.
【变式5-2】已知实数 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以
，
则 ，
相当于圆 上的任一点 到点 与 的距离之和，如图，因为 ，当 在线段 与圆的交点 处时， 即为所求，
所以所求最小值为 .
故答案为： .
1.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平
面内到两个定点A，B的距离之比为定值 的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称
阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ， ，点P是满足 的阿氏圆上的任意一点，
则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线 上的动点，Q在y轴上的射影为M，则
的最小值为 .
【答案】 或（ ）
【解析】设 ，由 得 ，
化简得 ，
抛物线 的焦点为 ， ，
，
，
易知当 四点共线时， 取得最小值为 ，
所以 的最小值是 ．故答案为： ； ．
题型六：米勒定理与角度问题
【典例6-1】（多选题）已知点 在圆 ： 上，点 ， ，则下列说法中正
确的是（ ）
A．点 到直线 的距离小于6 B．点 到直线 的距离大于2
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】BCD
【解析】 ， ，所以线段 的中点为 ， ，所以线段 的垂直平分线
为 ，即 ，因为圆 ： ，圆心 ，半径 ，
又点 恰在直线 上，所以点 到直线 的距离最小值为，最大值为 ，故A错
误，B正确；
由正弦定理可知，当 的外接圆与圆 相内切时， 最小，此时 最大，此时 恰在
与 的一个交点上，由 解得 或 ，所以
，所以 ， ，所以
且 ，当 的外接圆与圆 相外切时， 最大，此时
，故C、D正确；
故选：BCD
【典例6-2】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点 是
的 边上的两个定点，C是 边上的一个动点，当且仅当 的外接圆与边 相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点F是y轴负半轴的一个动点，当
最大时， 的外接圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由米勒定理知当 最大时， 的外接圆与 轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，
因为点 ， ，
所以圆心在直线 上，
又圆与 轴负半轴相切，
所以圆的半径为3，
设圆心为 ， ，
则 ，解得 ，
又 ，
所以
所以 的外接圆的方程是 ，
故选：A．
米勒定理：已知点 ， 是 的边 上的两个定点，点 是边 上的一动点，则当且仅当三
角形 的外接圆与边 相切于点 时， 最大．【变式6-1】已知 为坐标原点，点 ，圆 ，点 为圆 上的一动点，则
的最小值为 .
【答案】 /
【解析】圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 （如图）.
由图可知，当 与圆 相切，且 位于第一象限时 最小，
此时 ，即 ，所以 ，
故 的最小值为 .
故答案为： .
【变式6-2】已知圆C： ，点P是圆C上的动点，点 ，当 最大时， 所在
直线的方程是 .
【答案】
【解析】设 ，则 ，在 中，由余弦定理，得
，当且仅当 时，等号成立，此时 最大，且 ，
故 ，又 ，所以 ，故 所在直线的方程为
，即 .故答案为： .
1.已知 ， ， 是圆 上的一个动点，则 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】设 ，则 ，其中 .
因为 ， ，所以 .
由余弦定理得：
，因为
，所以 .
所以 .
记 .
则
所以令 ，解得： ，函数递增；令 ，解得： ，函数递减；
所以 .故答案为： ．
题型七：圆的数形结合
【典例7-1】过直线 上一点 作圆 的两条切线 ，当直线 关于直线 对
称时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆 的圆心为 ，
由图知，当直线 关于直线 对称时， 与直线 垂直.
(理由：设直线 切圆 于点 ，易得 平分 ，
又直线 关于直线 对称，故直线 平分 的邻补角，故可得 )
故直线 的方程为 ，即 ，
由 解得： ，即点 的坐标为 .
故选：B.
【典例7-2】已知 是圆 上一动点，若直线 上存在两点 ，使得能成立，则线段 的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆 的圆心 ，半径 ，
由直线 上存在两点 ，使得 成立，
得以 为直径的圆与圆 有公共点，当 长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与 垂直，如图，
圆心 到直线 的距离 ，
所以 .
故选：A
利用几何意义转化
【变式7-1】已知 是圆 上一个动点，且直线 与直线
相交于点 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】直线 的方程可化为 ，由 可得 ，
所以，直线 过定点 ，
直线 的方程可化为 ，由 可得 ，
所以，直线 过定点 ，
对于直线 、 ，因为 ，则 ，即 ，
设线段 的中点为 ，设点 ，
由直角三角形的几何性质可得 ，
即 ，化简可得 ，
所以，点 的轨迹为圆 ，
因为 ，所以，圆 与圆 外离，
所以， ， ，
因此， 的取值范围是 .
故选：B.【变式7-2】过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将圆 化为标准方程为 ，
所以圆心为 ，半径为1，
根据题意及图形可知切线的斜率存在，
设切线的方程为 ，即 ，
则有 ，整理可得 ，
则 ，
设两切线的斜率分别为 、 ，
则 、 为关于 的方程 的两根，
由韦达定理可得 ， ，
所以 ，
所以 ，
由题意可知 ，所以 ，由 ，解得 ．
故选：D．
1.在平面直角坐标系xOy中，已知直线 与直线 交于点P，则对任意实数a，
的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】由题意知直线 与直线 ，满足 ，
故两直线垂直，
直线 过定点 ，直线 过定点 ，
故两直线的交点P在以AB为直径的圆上（不含点 ），
该圆方程为 ，设其圆心为 ，半径为3，
则 ，当且仅当 共线时，即 位于B点时，等号成立，
故 的最小值为 ，
故选：C重难点突破：与距离问题有关的最值
【典例8-1】已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点 为直线 上的动点，
由 ，
则其几何意义为 与 的距离和 与 的距离之和，
设点 ，
则点 关于直线 的对称点为点 ，
故 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：C.
【典例8-2】 ， ，函数 的最小值为 .【答案】
【解析】设点 ， 和直线 ，
， 到 的距离分别为 ， ，易知 ，
如图，
显然 .
故答案为：
利用几何意义转化
【变式8-1】已知 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，
即 ，解得 .，
表示点 与点 的距离之和.
如图，点 关于x轴的对称点为 ，连接 ，
则 ，
当且仅当 三点共线时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为：
1.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事
实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知 ，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】相当于动点 到 的距离之和，
因为四边形 为矩形，所以 ，
所以当 为矩形对角线交点时， ，
此时 最小，最小为 ，
故答案为： .
