文档内容
专题 18 圆锥曲线核心考点压轴小题全面梳理与分类解析
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................9
题型一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 9
题型二：蒙日圆 10
题型三：阿基米德三角形 12
题型四：仿射变换问题 13
题型五：圆锥曲线第二定义 14
题型六：焦半径问题 16
题型七：圆锥曲线第三定义 16
题型八：定比点差法与点差法 17
题型九：切线问题 18
题型十：焦点三角形问题 19
题型十一：圆锥曲线的光学性质问题 20重难点突破：圆锥曲线与四心问题 22
高考数学中，圆锥曲线的定义、方程及其几何性质是核心考点。这主要包括三个方面：一是求解圆锥
曲线的标准方程；二是涉及椭圆或双曲线的离心率计算，以及与双曲线渐近线相关的问题；三是探讨抛物
线的性质及其应用。这些考点通常以选择题或填空题的形式出现，难度适中。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年II卷第10题，6分
2024年I卷第11题，6分
掌握圆锥曲线定
圆锥曲线的定义 2023年北京卷第6题，4分 对于 2025 年高考数
义性质
学的预测，圆锥曲线相关
2022年I卷第11题，5分
知识点可能会以小题形式
2021年I卷第5题，5分 出现，同时也有可能在解
答题中作为独立部分进行
2023年I卷第6题，5分 考查。具体来说：一是圆
掌握圆的方程，
锥曲线相关题目将以选择
圆问题 熟练解决圆的问 2023年乙卷第12题，5分
题或填空题的形式出现，
题
2023年乙卷第11题，5分 重点考查学生的数学抽
象、数学建模、逻辑推理
和数学运算等核心素养；
2024年天津卷第8题，5分
二是圆锥曲线的定义和性
掌握焦点三角形
2023年甲卷第12题，5分 质将成为考查的热点。
焦点三角形 性质，熟练解决
2023年甲卷第7题，5分
相关问题
2021年I卷第5题，5分1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹
曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 或
进行限制．
2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求 ；在双曲线的定
义中，要求 ；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之
比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、
面积，求弦长、最值和离心率等．
4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．
不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不
等关系等．
x2 y2
+ =1(a>b>0)
5、椭圆a2 b2
焦点为
F
1，
F
2，P为椭圆上的点，
∠F
1
PF
2
=θ
，则
sinθ θ
S =b2 ¿ =b2tan
ΔF 1 PF 2 1+cosθ 2
x2 y2
− =1(a>0，b>0)
a2 b2
的焦点为F、F，B为双曲线上的点，
∠F
1
BF
2
=α
，则
1 2
6、双曲线
sinα b2
S =b2 ¿ =
△F 1 BF 2 1−cosa tan α
2．
7、椭圆焦半径
椭圆上的点到焦点的距离；设 为椭圆上的一点，
①焦点在 轴：焦半径 (左加右减)；② 焦点在 轴：焦半径 (上加下减)．
8、双曲线焦半径
设 为双曲线上的一点，①焦点在 轴： 在左支 ， 在右支 ；
②焦点在 轴： 在下支 ， 在上支 ．
9、设 、 是椭圆 的两个焦点，O 是椭圆的中心，P 是椭圆上任意一点，
∠F PF =θ
1 2 ，则 ．
10、设 、 是双曲线 的两个焦点，O是双曲线的中心，P是双曲线上任意一点，
∠F PF =θ
1 2 ，则 ．
11、等轴双曲线满足： ；
12、若椭圆（双曲线）与直线 交于 两点，其中 ， ， ，为 中点，
（椭圆）； （双曲线）1．（2024年天津高考数学真题）双曲线 的左、右焦点分别为 点 在双曲线
右支上，直线 的斜率为2．若 是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P
作 的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与 相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
3．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型
可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于 ，到点 的距离
与到定直线 的距离之积为4，则（ ）A． B．点 在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点 在C上时，
4．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
5．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
6．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点
P在C上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段
AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 向
一条渐近线作垂线，垂足为 ．若 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）A． B．
C． D．
9．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线
与C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．
10．（2022年新高考天津数学高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
抛物线 的准线l经过 ，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若 ，则双曲线的方程
为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分别
为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦
点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）A．直线 的斜率为 B．
C． D．
13．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，
y轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．题型一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【典例1-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点
的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯
圆，简称阿氏圆.已知点 分别是抛物线 和 上的动点，若抛物线 的焦
点为 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．5
【典例1-2】古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 的点的轨
迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知 ， ，动点 满足 ，
记动点 的轨迹为曲线 ，给出下列四个结论：
①曲线 的方程为
②曲线 上存在点 ，使得 到点 距离为6；
③曲线 上存在点 ，使得 到直线 的距离为 ；
④曲线 上存在点 ，使得 到点 与点 距离之和为8．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】已知平面上两定点 ，则所有满足 且 的点 的轨迹是一个圆心在直线上，半径为 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为
6的正方体 表面上的动点 满足 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的
距离之比为定值 （ ）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，
简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ，若点P是满足 的阿氏圆上的任意一点，
点Q为抛物线 上的动点，Q在直线 上的射影为R，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点 与两定点
A， 的距离之比为 ，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若 ， ，点 满足
，则直线 与点 的轨迹的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2题型二：蒙日圆
【典例2-1】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个
圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆 的焦点在 轴上， 为椭圆上任意两点，动点 在直线
上.若 恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切
的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆
的蒙日圆为 ，过 上的动点 作 的两条切线，分别与 交于
， 两点，直线 交 于 ， 两点，则下列说法中，正确的个数为（ ）
①椭圆 的离心率为
② 到 的左焦点的距离的最小值为
③ 面积的最大值为
④若动点 在 上，将直线 ， 的斜率分别记为 ， ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-1】法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，
我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设 为椭圆 的一个外切长方形（ 的
四条边所在直线均与椭圆 相切），若 在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则 的面积为（ ）A． B．26 C． D．
【变式2-2】法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直的直线交点的轨迹是以椭圆中心
为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 的蒙日圆方程为
，现有椭圆 的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与
该蒙日圆分别交于P、Q两点，若 面积的最大值为34，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
1．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是
以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 的蒙日圆是
，若圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 的值为
（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
题型三：阿基米德三角形
【典例3-1】抛物线上任意两点 ， 处的切线交于点 ，称 为“阿基米德三角形”，当线段 经
过抛物线的焦点 时， 具有以下特征：① 点必在抛物线的准线上；② ．
若经过抛物线 的焦点的一条弦为 ，“阿基米德三角形”为 ，且点 的纵坐标为4，则直线
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形 （P为两切线
的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的
焦点F时， 具有以下性质：
P点必在抛物线的准线上；
①② ；
③ ．
已知直线 与抛物线 交于A，B点，若 ，则抛物线的“阿基米德三角形”
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他
研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两
条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图， 为阿基米德三角形.抛物线 上有
两个不同的点 ，以A，B为切点的抛物线的切线 相交于P.给出如下结论，其中正
确的为（ ）
（1）若弦 过焦点，则 为直角三角形且 ；
（2）点P的坐标是 ；
（3） 的边 所在的直线方程为 ；
（4） 的边 上的中线与y轴平行（或重合）.A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）
（3）（4）
1．过抛物线 的焦点 作抛物线的弦与抛物线交于 、 两点， 为 的中点，分别过 、
两点作抛物线的切线 、 相交于点 . 又常被称作阿基米德三角形.下面关于 的描述：
① 点必在抛物线的准线上；
② ；
③设 、 ，则 的面积 的最小值为 ；
④ ；
⑤ 平行于 轴.
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
题型四：仿射变换问题
【典例4-1】MN是椭圆 上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P是MN的中点，则，A，B是该椭圆的左右顶点，Q是椭圆上不与A，B重合的点，则
．CD是该椭圆过原点O的一条弦，直线CQ，DQ斜率均存在，则 ．
【典例4-2】如图，作斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，且 在直线 的上方，
则△ 内切圆的圆心所在的定直线方程为 ．
【变式4-1】Р是椭圆 上任意一点，O为坐标原点， ，过点Q的直线交椭圆于A，B
两点，并且 ，则 面积为 ．
【变式4-2】已知椭圆 ， 分别为椭圆左右焦点，过 作两条互相平行的弦，
分别与椭圆交于 四点，若当两条弦垂直于 轴时，点 所形成的平行四边形面积
最大，则椭圆离心率的取值范围为 .
1．已知直线l与椭圆 交于M，N两点，当 ， 面积最大，并且最大值为
.记 ，当 面积最大时， ﹐ .Р是椭圆上一点，，当 面积最大时， .
题型五：圆锥曲线第二定义
【典例5-1】已知椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，线段 的中垂线与椭圆 交于 两
点，则 的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【典例5-2】已知双曲线 的离心率为2，其左右焦点分别为 ， ，过点 的直
线与双曲线左支交于 ， 两点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】如图， 、 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线分别交于点 、
，若 为等边三角形，则 的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 与抛物线 相交于 ， 两点，且 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
1．已知抛物线 的弦 的中点横坐标为5，则 的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
题型六：焦半径问题
【典例6-1】设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，直线l经过点 ，且与Γ交于P、Q
两点．若 ，且 ，则Γ的长轴长的最小值为 ．
【典例6-2】已知椭圆 的焦点为 ， ，若点 在椭圆上，则满足
（其中 为坐标原点）的点 的个数为 ．
【变式6-1】已知椭圆 的离心率为 ．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M，
N两点，且l的倾斜角为 ．则 ．1.已知双曲线 的左、右焦点分别为 双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得
，且 与 交于P点，则 ， 的最小值为 .
题型七：圆锥曲线第三定义
【典例7-1】椭圆C： 的左右顶点分别为 ，点P在C上且直线 斜率的取值范围是
，那么直线 斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】双曲线C： 的左、右顶点分别为 ， ，点P在C上且直线 斜率的取值范围是
[-4，-2]，那么直线 斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知A，B是双曲线Γ： ＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象
限．若PA，PB的斜率分别为k，k，则以下总为定值的是（ ）
1 2
A．k＋k B．|k－k|
1 2 1 2
C．kk D．
1 2
【变式7-2】设椭圆 的左,右顶点为 是椭圆上不同于 的一点,设直线的斜率分别为 ,则当 取得最小值时,椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
1.已知平行四边形 内接于椭圆 ，且 ， 斜率之积的范围为 ，
则椭圆 离心率的取值范围是
A． B． C． D．
题型八：定比点差法与点差法
【典例8-1】已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足 ，则当m= 时，
点B横坐标的绝对值最大．
【典例8-2】已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 （
），那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． ，或
【变式8-1】已知椭圆 内有一定点 ，过点P的两条直线 ， 分别与椭圆 交于A、C和B、D两点，且满足 ， ，若 变化时，直线CD的斜率总为 ，则椭圆 的
离心率为
A． B． C． D．
【变式8-2】过点 的直线 与椭圆 交于点 和 ，且 .点 满足 ，若
为坐标原点，则 的最小值为 ．
1.已知椭圆 ，点 为椭圆外一点，斜率为 的直线与椭圆交于 ， 两点，过点
作直线 ， 分别交椭圆于 ， 两点．当直线 的斜率为 时，此椭圆的离心率为 ．
题型九：切线问题
【典例9-1】已知 为坐标原点，抛物线 的焦点 到准线 的距离为1，过点 的直线
与 交于 两点，过点 作 的切线 与 轴分别交于 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】已知圆 ，圆 ，过动点P分别作圆 圆 的切线PA，PB
（A，B为切点），使得 ，则动点P的轨迹方程为（ ）A． B． C． D．
【变式9-1】已知椭圆 的上，下焦点分别为 ， ，抛物线 的焦点与椭圆
的上焦点重合，过 的倾斜角为 的直线交椭圆于A，B两点，且 ，点 是抛物
线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】已知 为椭圆 上一动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1.已知圆 与双曲线 ，若在双曲线 上存在一点 ，使得过点 能
作圆 的两条切线，切点为 ，且 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．题型十：焦点三角形问题
【典例10-1】已知 分别是离心率为 的椭圆 的左、右焦点， 是 上一点且
，若 的面积为 ，则 ．
【典例10-2】已知椭圆 过点 ，焦点 ， ， 为坐标原点，圆 的直径为 ．
若斜率为 的直线 与圆 相切于第一象限内的点 ，交 于 两点，则 的面积为 ．
【变式10-1】已知椭圆 ，点 和 分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则
内切圆半径的最大值为
【变式10-2】已知 分别是双曲线 的左，右焦点， 是双曲线 上第一象限内的点，点
是 的内心，则点 的横坐标是 ； 的面积的取值范围是 ．
1.设 为双曲线 上一点， 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一､四象限.若 ，
则 的面积为 .
题型十一：圆锥曲线的光学性质问题
【典例11-1】如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，从 发出的光线经过图中的 ， 两点反射后，分别经过点 和 ，且 ， ，
则 的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【典例11-2】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：
反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 的焦点为 ，
一条平行于 轴的光线从点 射出，经过拋物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则
的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆
的另一个焦点（如图）.已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过点 的直线与 交
于点 ， ，过点 作 的切线 ，点 关于 的对称点为 ，若 ， ，则
（ ）
注： 表示面积.A．2 B． C．3 D．
【变式11-2】班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭
圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆 的方程为
，其左、右焦点分别是 ， ，直线 与椭圆 切于点 ，且 ，过点 且与直线 垂
直的直线 与椭圆长轴交于点Q，则 （注；若 的角平分线 交 于点 ，则 ）
（ ）
A．1 B．2 C． D．
1.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面
（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的
平面截抛物面，将所截得的抛物线 放在平面直角坐标系中，对称轴与 轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线 的方程为 ，平行于 轴的光线从点 射出，经过 上的点 反射后，再从 上的
另一点 射出，则 （ ）
A．6 B．8 C． D．29
重难点突破：圆锥曲线与四心问题
【典例12-1】抛物线 的焦点恰好也是椭圆 的一个焦点， ， 分别
是椭圆 的上、下焦点， 是椭圆上的任一点， 是 的内心，PI交 轴于 ，且 ，点
是抛物线在第一象限上的点，且抛物线在该点处的切线与 轴的交点为 ，若 ，
则 .
【典例12-2】定义离心率是 的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆 是“黄金椭
圆”，则 .若“黄金椭圆” 的两个焦点分别为 ， ，
为椭圆 上异于顶点的任意一点，点 是 的内心，连接 并延长交 于点 ，则
.【变式12-1】已知点 ， ， ， 是 轴上的动点，且满足 ， 的外心 在
轴上的射影为 ，则点 的轨迹方程为 ， 的最小值为 ．
【变式12-2】双曲线C： ，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点， ，
， 重心分别为P，Q， 外心为M，若 ，则双曲线的离心率为
．
1.在 中， ， ， 于 ，若 为 的垂心，且 .则 到直线
距离的最小值是 .
