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5.3 二元一次方程组的应用 导学案
第2课时 借助表格梳理等量关系
1.能借助表格或线段图梳理实际问题中的已知量、未知量及数量关系，熟练按照 “审、设、列、解、验、
答” 步骤列二元一次方程组解决问题.
2.通过分析工厂利润、营养品配比等实例，经历 “梳理信息 — 找等量关系 — 列方程组” 的过程，提
升分析问题、转化问题的能力.
学习重点：掌握用 “表格法” 梳理收支、配比类实际问题的关键信息，用 “线段图法” 分析路程类实
际问题的数量关系;熟练按照 “审、设、列、解、验、答” 六步，列二元一次方程组解决实际问题.
学习难点：准确找出复杂实际问题中的两个等量关系，避免量与量之间的混淆;准确确定复杂问题的核心
量，将比例、百分比等关系转化为表格中的表达式，并从中提炼独立的等量关系.
.
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P121-P122页的内容，思考：
【学法指导】
温故知新：
用二元一次方程组解决问题的一般步骤是什么？”列方程组最关键的一步是什么？
情景引入
如果问题里有‘去年’‘今年’两个时间，还有‘总收入’‘总支出’‘利润’多个量，直接找等量关系
容易乱，有没有办法帮我们理清这些量？今天我们就学习‘借助表格梳理等量关系’.
●探究一：二元一次方程组的应用---借助表格梳理等量关系
某工厂去年的利润（总收入 - 总支出）为 200 万元.今年的总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少
了10%,今年的利润为 780 万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？
◆1.这个问题涉及哪些量？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1◆2.这些量之间有怎样的等量关系？
（1）去年的利润 = 去年的总收入 - ；（2）今年的总收入 = 去年的总收入×
；
（3）今年的总支出 = 去年的总支出× ；（4）今年的利润 = - 今年的总支
出.
◆3.你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流.
年份 总收入 / 万元 总支出 / 万元 利润 / 万元
去年
今年
◆4.尝试列出方程组，并作答.
依题意列方程组得： ，
解得： ，
答：去年总收入 万元，总支出 万元.
◆5.总结归纳：:
在解决问题时，如何梳理其中的关键信息？
（1）先明确题目涉及的核心量，确定表格的行或列 ；
（2）将题目中的已知量和 对应填充到表格的单元格中；
（3）在表格里清晰呈现量与量之间的关系，根据表格列 .
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例1：医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁
质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质。如果患者每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，
那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？
【分析】设每餐需要甲原料 x g,乙原料 y g，则有
成分 甲原料 x g 乙原料 y g 所配制的营养品
其中所含蛋白质 0.7y
其中所含铁质 x
等量关系式：（1）甲原料中所含蛋白质+ =35
（2） +乙原料中所铁质=40
【解答】解：设每餐需要甲原料 x g、乙原料 y g，
根据题意列方程组得， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2解这个方程组，得： ，
答：每餐用甲原料 、乙原料 可以恰好满足患者的需要.
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨如何通过借助表格梳理等量关系，从而列出二元一次组来解答实际问题；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1. 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种
商品的单价和比原来的单价和提高了20%．设甲、 乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程
组正确的是 ( )
A.{ x+ y=100
（x+10%）x+（1−40%)y=100×（1+20%）
B.{ x+ y=100
（x−10%）x+（x+40%)y=100×20%
C.{ x+ y=100
（1−10%）x+（1+40%)y=100×（1+20%）
D.{ x+ y=100
（x+10%）x+（1−40%)y=100×20%）
2.某公司购买甲、乙两种货物，设甲、乙两种货物的进货价分别为x 元和y元。若已知两种货物的进货价
共30000元，则可列方程 ；若共获利3150元，已知甲种货物的利润率是10%，乙种
货物的利润率是11%，则可列方程 ，由此可得方程组 .
2. 甲、乙两人从相距36km的两地相向而行。如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先
走2h，那么他们在甲出发3h时相遇。甲、乙两人的速度各是多少？
设 甲、乙两人的速度分别是 x km/h和 y km/h，填写下表并求x，y的值.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3两种情况 甲的路程 乙的路程 甲、乙两人的路程之和
第一种情况
甲先走2h
第二种情况
乙先走2h
4. 甲、乙两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%.如果甲班学生的体育达
标率为87.5%，乙班学生的体育达标率为75%，那么甲、乙两班各有多少名学生?
设甲班有x名学生，乙班有y名学生，填写下表并求出x，y的值.
人数 甲班 乙班 两班总和
学生人数 x y 100
达标学生人数
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4题型一 增长率（下降率）或百分比问题
1．某农场去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．该
农场去年实际生产小麦、玉米各（ ）吨，
A．5，10 B．23，11 C．11.5，5.5 D．11，23
2．某商场新购进一种服装，每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单
价比原来提高了2%，则调价前上衣的单价是（ ）
A．200元 B．480元 C．600元 D．800元
3．青岛市某实验中学在对口援助边远山区活动中，原计划赠书 3000册，由于学生积极响应，实际赠书
3780册，其中初中部比原计划多赠了20%，高中部比原计划多赠了30%，则该校初中部原计划赠书
册，高中部原计划赠书 册．
4．某工厂一月份生产甲、乙两种机器共50台，经过工厂技术调整，计划二月份甲种机器增产10%，乙种
机器减产20%，且计划二月份生产这两种机器共 52台，则该工厂一月份生产甲、乙两种机器各多少
台？
5．某工厂去年总产值比总支出多500万元，由于今年总产值比去年增加 15%，总支出比去年节约10%．
因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？
设去年总产值x万元，总支出y万元．根据题意填写下表，并列出方程组，求x，y的值，以及今年的总
产值与总支出．
总产值 总支出 差
去年 x y 500
今年
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5题型二 配套问题
6．甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹
粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作
人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制
“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（ ）
{ x+ y=15
A．
180x×2=240 y×3
{ x+ y=15
B．
180x×3=240 y×2
{x+ y=15
C．
2x=3 y
{x+ y=15
D．
3x=2y
7．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该
如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（ ）
A．50人，40人 B．30人，60人 C．40人，50人 D．60人，30人
8．一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6m3
钢材制作这种仪器，应用多少m3钢材做A部件，多少m3钢材做B部件恰好配成整套这种仪器？
9．一套格栅灯具由3个圆弧灯罩和2块栅板间隔组成，均可用铝合金板冲压制成，已知1m2铝合金板可以
冲压4个圆弧灯罩或12块栅板，现要用11m2铝合金板制作这种格栅灯具，应分配多少平方米铝合金板
制作成圆弧灯罩，多少平方米铝合金板制作栅板？恰好能配成这种格栅灯具多少套？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 610．在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生50人，其中男生x
人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个．
（1）求这个班男生、女生各有多少人？
（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身
与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？
题型三 图表信息问题
11．根据小亮与小丽的一段对话，求笔和笔记本的单价．
12．在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某景区游玩，如图是购买门票时，小明与他爸爸
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7的对话，试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）他们共去了几个成人，几个学生？
（2）小明想要换哪种方式购票？该购票方式是否更合算？请通过计算说明．
13．某校准备组织学生到潍坊进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单
程票价格如下表所示，二等座学生票可打 7.5折．若所有人员都买一等座单程火车票，共需花费 5395
元；若所有人员都买二等座单程火车票，在学生享受购票折扣后，总票款为2730元．
青岛北﹣潍坊票价
一等座 二等座
83（元） 52（元）
（1）参加社会实践活动的老师与学生各有多少人？
（2）若二等座火车票只能买到30张，则如何购票最省钱？此时总票款是多少元？
14．某校八年级（1）班和（2）班的学生一块到航天科普教育基地进行社会大课堂活动，两班学生共104
人，其中（1）班学生比（2）班学生少，教育基地门票价格如下：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8购票张数 1～50张 51～100张 100张以上
每张票的价格 12元 10元 8元
原计划两班都以班为单位购票，则一共应付1136元，请回答下列问题：
（1）八年级（1）班有多少学生？
（2）你作为组织者如何购票最省钱？比原计划省多少钱？
15．某市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服
装的价格表：
购买服装的套数 1～39套（含39 40～79套（含79 80套及以上
套） 套）
每套服装的价格 100元 80元 60元
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费
6600元．请回答以下问题：
（1）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（2）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利
院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责 3位小朋
友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院 65位小朋友全部得到“心连心活动”的温
暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
▲1．利用表格梳理数量关系的方法
（1）先明确题目涉及的核心量，确定表格的行或列 ；
（2）将题目中的已知量和 对应填充到表格的单元格中；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9（3）在表格里清晰呈现量与量之间的关系，根据表格列 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10
