文档内容
第五章 二元一次方程组
回顾与思考导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1、梳理本章知识，建立知识体系，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型；
2、通过解二元一次方程组，熟练其解法，体会 “化未知为已知”的化归思想；
3、通过问题的解决，提高学生运用数学的能力，促进良好的学习方法和习惯的养成。
学习重点：
1．二元一次方程组的解法：代入消元法、加减消元法、 图象法。
2．列二元一次方程组解决实际生活问题。
3．二元一次方程和一次函数的关系。
学习难点：
1．列二元一次方程组解决实际生活问题。
2．几种数学思想——化归思想、方程思想和数形结合思想。
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预习自测
一、知识架构
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教学过程
一、知识梳理
1、二元一次方程：含有 个未知数，并且所含未知数的项数的次数都是一次的 ．2、二元一次方程的一个解：适合二元一次方程的 组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．
3、二元一次方程的解集：由这个二元一次方程的 解组成的集合叫做这个二元一次方程的解集．
4、二元一次方程组：一般的，由二个 次方程组成，并含有 个未知数的方程组叫做二元一
次方程组．
5三元一次方程组：一般的，由三个 次方程组成，并含有 个未知数的方程组叫做三元
一次方程组．
6、二元一次方程组的解：适合二元一次方程组里各个方程的 对未知数的值叫做这个方程组
里各个方程的 解，也叫做这个方程组的解．
7、解方程组：求出方程组的解或确定方程组没有解的过程叫做解方程组．
8、解一元二次方程组的基本方法是 和 .
9、 列二元一次方程组解应用题的步骤是． .
三、典例精析
例1 求方程2x+y=7的正整数解．
例2 如图，求直线 和直线 的交点坐标．
例3 如果关于x，y的方程组 的解满足3x+y=5，求k的值．
【解：两式相加得3x+y=15-k，把3x+y=5整体代入得15-k=5，求出k=10】
例4：如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的
原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价
为1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求该工厂
从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？例5:为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解
密）.已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文，a+2b，2b+c，a+c．当接收方收到密文14，9，7
时，求解密得到的明文是多少？
【解析：列三元一次方程组求a、b、c的值】
四、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．下列方程中，哪个是二元一次方程？（ ）
A． B． C． D．
2.已知 是方程mx+3y=6的一个解，则m的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ．则a-3b的值是( )
A．-2 B．2 C．3 D．-3
4．某校学生去西湖坐船游览．若每船坐7人，则有3人不能上船；若每船坐8人，则最后一艘船少
坐5人，设学生人数为x人和船数为y艘，依题意可列方程组( )
A． B． C． D．
5．已知 与 是同类项，则 的值为 )
A
．2 B．-2 C．1 D．-16.如果实数x，y满足方程组 ，那么
7．解下列方程组：
（1） （2）
能力提升：
8．如图，直线y=-3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C(0,-3)在Y轴上，连接AC．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标；
（3）过点B作直线BE交x轴于点E(E点在点右侧），当∠ABE=45°时，直接写出直线BE的函数表
达式．
拓展迁移9.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为
3500元，求每台A型电脑和每台B型电脑的销售利润．
10.某城市按以下规定收取每月的水费：用水量如果不超过 6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，
未超过的部分仍按每吨1.2元收取，而超过部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份水费平均为每
吨1.4元，那么该用户5月份应交水费多少元？
五、总结反思、拓展升华
1．本节课哪些已遗忘的知识得到巩固？
2．哪些知识有了新的认识？
3．本章主要蕴涵了哪些数学思想方法?
4．你还有哪些疑问?
六、【作业布置】
基础达标：
1.下列属于二元一次方程组的是
A． B． C． D．
2．如果两个一次函数 与 的图象交于X轴上一点，则
A． B． C． D．
3．观察方程组 的系数特征，若要使求解简便，消元的方法应选取A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．以上说法都不对
4．在下列各组数中，是方程组 的解的是
A． B． C． D．
5．已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x＜0时，y的取值范围是( )
A．y＜0 B．y＜1 C．-2＜y＜0 D.
6．如图，函数y=ax+b和y=kx的图象交于一点，则二元一次方程组 的解是: ．
第 5 题 第6题
7.解方程组
8.用图象法解方程
能力提升：
9.如图，正方形ABOD的边长为2，OB在x轴上，OD在y轴上，且
AD//OB，AB//OD，点C为AB的中点，直线CD交x轴于点F.
（1）求直线CD的函数关系式；（2）过点C作CE⊥DF且交x轴于点E，求证：∠ADC=∠EDC；
（3）点P是直线CE上的一个动点，求PB+PF的最小值.
拓展迁移：
10.某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元，按定价的八五折销售该商品8件与降低35元
销售该商品12件所获利润相等.该商品进价、定价是多少？
11.威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A
种商品和5件B种商品所得利润为1100元
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件.
如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？
课堂练习参考答案：
1、D
2、B
3、B
4、C5、A
6、1
7、解：（1） ，
把②代入①得， ，解得 ，
把 代入②得， ，
原方程组的解为 ；
（2） ，
① ②得， ，解得 ，
把 代入①得， ，解得 ，
原方程组的解为 ．
8、解：（1）∵y=-3x+6交x轴和y轴于点A和点B，
当x=0时，则y=6；
当y=-3x+6=0时，解得x=2，
∴ A(2,0), B(0,6)
（2）设点P(a,-3a+6)，如图1，连接PC，
则 ，解得a=±4，
故点P(4,-6)或(-4,18)；
（3）当∠ABE=45°，如图2，过点A作AD⊥AB交BE于点D，过点D作DH⊥X轴于点H，
∵∠ABE=45°
∴△BAD为等腰直角三角形，
∴AB=AD,∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAH=90°，∠DAH+∠ADH=90°
∴∠BAO=∠ADH
在△AOB与△DAH中，△AOB≌△DAH（AAS）
∵OA=2,OB=6
∴OH=OA+AH=2+6=8 ,DH=2
∴D(8,2),B(0,6)
设直BE的表达式为y=kx+b，
则， 解得，
故直线BE的表达式为 ．
9、解：设每台A型电脑的销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润150元．
10、解：设该用户5月份用水x吨，
则1.2×6+（x-6)×2=1.4x
7.2+2x-1.2=1.4x
0.6x+4.8
x=8
∴1.4×8=11.2（元）
答：该用户5月份应交水费11.2元
课外作业参考答案：
1、A
2、B
3、B
4、D
5、B
6、7、解，
①-②得：2x=4
把x=2代入①得y=7
∴方程组的解是
8、.解，如图，在同一坐标系中画出y=-x+4，y=2x+1的图象，
x=1
坐标为(1，3)，所以方程组的解为
y=3
交点
9、解，(1)∵四边形ABOD为正方形，
∴AB=BO=OD=AD=2，∴D(0，2)，
∵C为AB的中点，∴BC=1，∴C(-2，1)，
设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴ ，解得：
∴直线CD的函数关系式为 ；
(2)∵C是AB的中点，∴AC=BC，
∵四边形ABOD是正方形，∴∠A=∠CBF=90º，
在△ACD和△BCF中
∴△ACD≌△BCF(ASA)
∴CF=CD，∴CE⊥DF，∴CE垂直平分DF，∴DE=FE，∴∠EDC=∠EFC，.
∵AD//BF，
∴∠EFC=∠ADC，.∴∠ADC=∠EDC；
(3)如图，连接BD交直线CE于点P，
由(2)可知点D与点F关于直线CE对称，
∴PD=PF，∴PB+PF=PB+PD≥BD，∵B(-2，0)，D(0，2)，∴BD= ，
∴PB+PF的最小值为 .
10、解:设该商品定价为x元/件，则进价为(x-45)元，
由题意可得，8[85%x-(x-45)]=12[x-35-(x-45)]，
解这个方程得，x=200，
∴进价为，200-45=155，
答，这种商品的进价为155元，定价为200元.
11、解，(1)设每件A种商品售出后所得利润为x元，每件B种商品售出后所得利润为y元.由题意，
得
解得：
答，每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元.
(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(34-a)件.由题意，得
200a+100(34-a)≥4000，
解得；a≥6
答，威丽商场至少需购进6件A种商品.
