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北师大版（2024）第五章《二元一次方程组》5.3二元一次方程组的运用（古题今解）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 五
课题 二元一次方程组的运用（古题今解） 课时 1
引导学生经历从现实世界到数学世界的抽象过程，体会数学思想的力量，通过数学抽象和逻辑
课标 推理，转化为一个可计算的数学问题，从而达到应用数学解决实际问题。
要求
本节课借助“鸡兔同笼”这一中国古代名题，让学生经历列二元一次方程组解决实际问题
教材 的过程，进行根据实际问题情境列二元一次方程组的训练，强化方程的模型思想，培养了学生列
分析 方程（组）解决实际问题的意识和应用能力，同时将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为
一体。教师应关注学生的建模过程，关注学生是否能顺利地列出正确的二元一次方程组。
学生已了解方程的基本概念和性质，并能熟练解二元一次方程，也能整体系统地审清题意，
能从具体问题的数量关系中找出等量关系并列出二元一次方程组;学生也基本能够运用方程的
学情 思想解决实际问题。初中二年级的学生，正处于少年期，已具备了初步的抽象、概括和分析问题
分析 解决问题能力，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志.鼓励他们大胆尝试，敢于发表
自己的看法，以从中获得成功的体验，激发学习激情.
1、会用二元一次方程组解决古代算题的实际问题。
核心 2、在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界
素养
3、经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模
目标
型，发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。
教学 能根据具体问题的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．
重点
教学 用方程（组）这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程。
难点
教学 课件
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1.解二元一次方程组的方法？ 思考解二元一 回顾知识，为新授
2.解方程组： 次方程组的两 奠基。
x
y 5
3 种基本方法并
x + y = 35
x
2x + 4y = 94 y 1 完成习题2、3
4
3.甲数是乙数的2倍，甲数与乙数的和是12，则甲乙两
数分别是多少？
二、古题 《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题 回顾小学解决 1、通过“鸡兔同
笼”问题的引入激
导入 浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广 鸡兔同笼的几
发学生的爱国热
泛,飘洋过海流传到了日本等国. 种方法，并选 情.
择你喜欢的方 2、用小学学过的
“鸡兔同笼”题为:
法解答。 知识解决鸡兔同笼
今有鸡兔同笼,上有三十五头,
的问题。明晰数量
下有九十四足,问鸡兔各几何?
之间的关系。
说一说：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什
么条件？
你能用小学学过的知识解决这个问题吗？
解法一：假设全部是鸡，则：35×2=70，
194-70=24
4-2=2
兔子只数 24÷2=12，
鸡的只数35-12=23
所以兔子12只，鸡23只。
解法二：假设全部是兔子，则：35×4=140，
140-94=46
4-2=2
鸡只数 46÷2=23，
兔子只数35-23=12
所以兔子12只，鸡23只。
解法三：设鸡有x只，兔子（35-x）只，依题意得
2x+4（35-x）=94
求得x=23
35-23=12
所以兔子12只，鸡23只。
解法四：设兔子有y只，鸡（35-x）只，依题意得
4y+2（35-x）=94
求得y=12
35-12=23
所以兔子12只，鸡23只。
三、探究 应用二元一次方程组解古算题 通过小组交流 体会解决鸡兔同笼
新知 今有鸡兔同笼,上有三十五头, 合作,同学之 问题的不同思维过
下有九十四足,问鸡兔各几何? 间相互提问、 程，通过比较算术
等量关系：鸡头+兔头=35；鸡脚+兔脚=94. 相互补充,用 方法、列一元一次
二元一次方程 方程方法、列二元
解：设笼中有鸡x只、兔y只，根据以上分析，得方程组
解决鸡兔同笼 一次方程组三种方
x+y=35 问题，并由两 法的优缺点，从而
解这个方程组，得 x=23
2x+4y=94
y=12 名学生代表板 感受方程模型思想
所所以以笼笼中中有有鸡鸡23只、兔12
书解析过程， 的必要性和优越
尝试与思考
通过互相评价 性，并从列一元一
若甲从乙出得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有
激发学生学习 次方程和列二元一
的第纳尔是乙的5倍，若乙从甲出得到5第纳尔（货币
热情. 次方程组的方法
单位），则乙拥有的第纳尔是甲的5倍，甲、乙两人原来
2、尝试用二 中，领会列二元一
各拥有多少第纳尔？（选自意大利数学家斐波那奇《计
元一次方程解 次方程组，思维方
算之书》）
古题。 式的简洁明了性和
解：设甲原来拥有X第纳尔,乙原来拥有y第纳尔,依题
在解一些等量关系
意得
较为复杂的应用题
x+7=5（y-7）
时体现的优越性.
5(x-5)=（y+5）
2解得： x=8
y=10
答：甲原来有8第纳尔，乙原来有10第纳尔.
三、典例 例题1：今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙 1、通过交流 通过经典例题的探
精析 余钱五倍，乙得甲十钱，适等，问甲、乙各怀钱几何？ 合作，学习经 究。明晰解题的关
（选自《张丘建算经》） 典 的 3 个 例 键是寻找数量之间
题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得乙的 题，学生参 的关系，让他们充
10钱，那么甲的钱数比乙剩余钱数多5倍，如果乙得甲 与、讨论、质 分认识列方程组，
的10钱，那么两人的钱数相等，问甲、乙各带了多少 疑、补充.学 解决实际问题的重
钱？ 生代表板书解 要性，将解方程组
数量关系：甲+10=6（乙-10）,甲-10=乙+10 析过程，学生 的技能训练和实际
评价，相互学 问题的解决融为一
解：设：甲带的钱数是x, 乙带的钱数是y.依题意得
习相互促进 体，在解决实际问
x+10=6(y-10)
题过程中，进一步
x-10=y+10
提高学生解方程组
解得 x=38
.
y=18 的技能
所以甲带的钱数是38钱, 乙带的钱数是18钱.
例题2：以绳测井;若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳
四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？
题目大意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三
等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等
份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？
数量关系：
解：设绳长x尺，井深y尺，依题题意得
x
-y=5, ①
3x
-y=1. ②
4
x=48,
答 解 ： 得 绳 ： 长48 y尺=1，1.井深11尺.
例题3、“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金
八两。牛、羊各直金几何？”
题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”。2头
牛、5只羊共价值8两“金”。每头牛、每只羊各价值多
少“金”？
数量关系：5头牛钱＋2只羊钱＝10两
2头牛钱＋5只羊钱＝8两
解：设牛值x两，羊值y两,依题意得
5x＋2y＝10
2x+5y＝8
3解得
答：羊值“金” 两，牛值“金” 两。
探究小结：列二元一次方程组解应用题的基本步骤
（1）审题，找两个等量关系；
（2）设两个未知数，
（3）根据等量关系列方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答.
五、尝试 基础达标： 学生完成练习 引导学生能够在课
1．根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货 题 堂练习的完成过程
物． 中对要点知识加深
大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮 巩固，有效应用。
的包数就一样多了．”
小马说：“我还想给你1包呢！”
大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就
是你的2倍了．”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未
知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方
程应是（ B ）
A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1）
C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x
2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛
共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，
则列出方程组为 x + y = 1 0 .
6x+8y=68
3.用一根绳子围绕一个大树，若环绕大树3周，则绳子
还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺。这根绳
子有多长？环绕大树一周需要多少尺？只列方程组
.
3x+4=y
4. 甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上
4x-3=y
乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x
米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为
.
5x=5y+10
4x=6y
45、古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到
外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，
下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银，不知人数不知银. 只知每人五两多六
两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？
解：设人数为x人，银两为y两，依题意得
5x=y-6
6x=y+5
解得 x=11
y=61
答：人数为11人，银两为61两。
6、有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地
上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从
你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之
一；若从树上飞下去一只，则树上、树下鸽子就一样多
了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
解：树上鸽子数为x只，树下鸽子数为y只，依题意得
y-1=(x+y)×
x-1=y+1
解得 x=7
y=5
答：树上鸽子数为7只，树下鸽子数为5只，
能力提升：
7.《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋，共卖价钞
五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布
各几何?……”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570
贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢与布各有多
少．设绢有x疋，布有y疋，依据题意可列方程组为( B
)
A. B.
B. D.
拓展迁移：
8、已知某电脑公司有A型，B型，C型三种型号的电脑，
其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型
每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用
于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共 36
台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说
明理由。
解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，
购 进C型电脑Z台，则可分以下三种情况考虑：
（1）只购进A型电脑和B型电脑，根据题意得
6000x+4000y=100500
x+y=36 5
解得 x=-21.75不合题意，应该舍去.
（2）只购进A型电脑和C型电脑，根据题意：
6000x+2500z=100500
x+z=36
解得 x=3
z=33
（3）只购进 型电脑，根据题意：
4000y+2500z=100500
y+z=36
解得 y=7
z=29
答答：：有有两两种种方方案案供供校校选选择择，，第第一一种种方方案案是是购购进进A型电脑
3台台 和和C型电脑33台台；；第第二二种种方方案案是是购购进进B型电脑7
台和C型电脑29台.
六、提升 适时小结，兴趣延伸 引导学生进行 引导学生从知识内
列二元一次方程组解应用题的基本步骤： 课堂总结 容、研究方法以及
（1）审题，找两个等量关系； 运用过程三个方面
（2）设两个未知数， 总结自己的收获，
（3）根据等量关系列方程组； 让学生全面把握本
节课的重点和难
（4）解方程组；
点，并启发学生用
（5）检验并作答.
类比或迁移的方法
关键：等量关系式
学习后续课程。
板书设计 用二元一次方程组解决问题的一般步骤： 利用简洁的文字、
符号、图表等呈现
审---设---列----解---验---答 本节课的新知，可
以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
的知识体系。
作业设计 基础达标：
（课外练 1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，
习） 下有九十四足，问鸡兔各几何．”用你所学知识可知笼中有（ B ）
A．12只鸡，23只兔 B．23只鸡，12只兔
C．15只鸡，20只兔 D．20只鸡，15只兔
2．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4
两；若每人9两，则差8两．银子共有数目是（ C ）
A．44 B．45 C．46 D．47
3．我国古代数学名著《孙子算 经 x=》y中+5有一道题，原文是“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四
0.5x=y-5
尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余
64.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列
方程组为 .
4、用卖2头牛的钱买4只羊，剩钱400；用卖3头羊的钱买1头牛，剩钱300。问每头牛或羊的
价钱分别是多少？设每头牛价钱x，每头羊价钱y,依题意得 2 x = 4 y + 4 0 0 .
3y=x+300
5、有几个人一起买一件物品，每人出8元多3元；每人出7元，少4元.问有 7 人,该物品
价值 5 3 元.
6、100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉一片瓦，有 2 5
匹大马, 7 5 匹小马？
7、如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长是 1 5
cm,宽是 4 5 cm
60
提提示示：：从从图图中中可可以以知知道道长长是是宽宽的的3倍
能力提升：
8.《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列
出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟
悉的方程组形式表述出来为 类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 :
3x+2y=11
4x+3y=26
2x+3y=23
3x+4y=37
拓展迁移：
9、某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4
辆B货车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、
B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，
请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元.
解:(1)设A货车x辆，B货车y辆，依题意得
3x+2y=90
5x+4y=160
解得 x=20
y=15
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨。
解:(2)设A货车m辆，B货车n辆，依题意得
20m+15n=190 （m、n均为整数）
解得: m=8
mm==52
n=2
方案1：安排A货车8辆，B货车2辆nn；==61费0用：8×500+2×400=4800（元）
方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；费用：5×500+6×400=4900（元）
7方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；费用：2×500+10×400=5000（元）
所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元
教学反思
8
