文档内容
第五章 二元一次方程组
5.5三元一次方程组导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1、了解三元一次方程组的概念.会用消元法把“三元”化为“二元”、进而化为“一元”的思想来解
三元一次方程组.能根据三元一次方程组的具体特点选择适当的解法.
2、通过类比、化归、合作讨论等思想方法，让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，
进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法.
3、让学生感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较
小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.
学习重点：三元一次方程组的解法及“消元”思想
学习难点：根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元.
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预习自测
一、知识链接
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二、自学自测
x+y=3 ① x+6y=12 ①
1、解方程组
3x-2y=8 ②
2x-y=6 ②
2、若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ D ）
A.2 B.3 C.4 D.5
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教学过程
探究：三元一次方程组的概念
1、古题引入：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实收三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一
秉，实收三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实收二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几
何？（选自《九章算术》）古译今： 有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，
可得米34斗；上禾一束，中禾二束，下禾三束，可得米26斗；问上、中、下禾每束可得米多少斗？
解：设每束上禾得米x斗、每束中禾得米y斗，每束下禾得米z斗
3x+2y+z=39
2x+3y+z=34
x+2y+3z=26
观察方程组的特点：几个未知数？未知项的次数是几？
三元一次方程组的概念：像这样，含有三个未知数的三个一次方程组成的方程组叫三元一次方程组.
三个一次方程的公共解叫做三元一次方程组的解。
2、做一做：下列是三元一次方程组的是( )
A
解析：第二个方程含有未知数的项的次数是2
B.
解析：第一个方程不是整式方程
C.
x yz 7
解析：第xy二z 个1方程含有未知数的项的次数是3
x3y 4
D.
解析：三个方程都是一次方程,且该方程组中一共含有三个未知数,故是三元一次方程组
探究：解三元一次方程组：
1、解方程：
3x+2y+z=39 ①
2x+3y+z=34 ②
x+2y+3z=26 ③
解：由①得：z=39-3x-2y ④
④代入②③ 得： . ⑤
. ⑥
解由⑤⑥方程组成的方程组得： x= .
y= .
把x= ,y= 代入④得：z= .x=
所以原方程组的解是： y=
z=
x+y=7 ①
例2.解三元一次方程组 y+z=9 ②
z+x=8 ③
解：①+②+③得: . 化简得 ④
④－①得 .
④－②得 .
④－③得 .
x=
∴三元一次方程组的解为 y=
z=
例题3 解方程组 x：y：z=2：3：5
x+y+z=200
解：设x=2k,y=3k,z=5k
将 x=2k， y=3k， z=5k 代入②得 .
所以x= . y= ,z= .
∴三元一次方程组的解为 x=
y=
z=
探究小结：
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，
使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次 二元一次 一元一次 .
消元 消元
解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组
选择最为简便的解法．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目
消元．
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．下列方程中，属于三元一次方程的是( )
A．π＋x＋y＝6 B．xy＋y＋z＝7 C．x＋2y－3z＝9 D．3x＋2y－4x＝4x＋2y－2x
2.若(a+1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一个三元一次方程，则 ( )
A. a=1，b=0 B. a=-1，b=0 C. a=±1，b=0 D. a=0，b=0
3.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）A.2 B.3 C.4 D.5
4、解下列三元一次方程组
x+y+z=12 ①
x+2y+5z=22 ②
x=4y ③
x+y+z=10 ①
2x+3y+z=17 ②
3x+2y-z=8 ③
x + y - z = 11， ①
y + z - x = 5， ②
z + x - y = 1， ③
5.在等式 y=ax ＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
能力提升：
6、阅读材料
善于思考的小明在解方程组 4 x + 1 0 y = 6 ① 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
8x+22y=10 ②
解：将方程②变形为2(4x＋10y)＋2y＝10.③
把方程①代入③，得2×6＋2y＝10，则y＝－1.
把y＝－1代入①，得x＝4.
∴方程组的解为 x=4
y=-1
请你解决以下问题：
2x-3y=7 ①
(1)试用小明的“整体代换”的方法解方程组：
6x-5y=11 ②
3x-2z+12y=47 ①
(2) 已知x，y，z满足 试求z的值
2x+z+8y=36 ②拓展迁移
7. 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含 35单位的铁、70单位的钙和35单位
的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下
表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
事物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
四、总结反思、拓展升华
1、解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 消元 ，把 三元 转化为 二元 ，
使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再转化为解 一元一次方程组。
三元一次 二元一次 一元一次 .
消元 消元
2、解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程
组选择最为简便的解法．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲
目消元．
五、【作业布置】
基础达标：
1. 在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，则z＝_______.
x+y-z=11
2.解三元一次方程组 y + z - x = 5 时，要使运算简便，应采取的消元方法是( )
z+x-y=1
先消去x B. 先消去y C. 先消去z D. 以上说法都不正确
x+2y+z=8 ①
2x-y-z=-3 ②
3、利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是 ( )
3x+y-2z=-1 ③
A. 要消去z，先将①+② ，再将①×2+(3)B. 要消去z，先将①+② ，再将①×3-③
C. 要消去y，先将①-③×2，再将②-③ D. 要消去y，先将①-②×2，再将②+③
4．若(2x－4)2＋(x＋y)2＋|4z－y|＝0，则x＋y＋z等于( )A. B. C．2 D．－2
x+y=5
x+z=-1
5．若三元一次方程组 的解使ax＋2y＋z＝0，则a的值为( )
y+z=-2
A．1 B．0 C．－2 D．4
6、解方程
3x+2y+z=14
z=x+y x+y+z=10
x+y+z=6 z+2x+3y=15
x-y=3
能力提升：
7.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上
的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
8.某校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和笔记本电脑．经投标，购买1块电子白板比购买3台笔记本电脑
多3000元，购买4 块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．
(1)购买1块电子白板和1台笔记本电脑各需多少元?
(2根据实际情况，该校需购买电子白板和笔记本电脑的总数396，要求购买的总费用不超过270万元，且购买笔记本
电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有几种购买方案?
(3上面的哪种购买方案最省钱?按最省钱的方案购买，需要多少钱?拓展迁移
9.某农场300名职工耕种51 hm2土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳
动力人数及投入的资金如下表：
农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且
投入的资金刚好够用？
课堂作业参考答案：
1、C
2、A
3、D
4、 x=8 x=3 x=6
y=2 y=2 y=8
z=2 z=5 z=3
a－b＋c= 0， ①
5、解：根据题意，得三元一次方程组
4a＋2b＋c=3， ②
②－①， 得 a＋b=1 ④ 25a＋5b＋c=60. ③
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
a＋b=1，
④与⑤组成二元一次方程组
4a＋b=10.
a=3，
解这个方程组，得
b=-2.
把 a = 3 ， 代入①，得c=5
b=-2.
所以a=3、b=2、c=5
1
6、(1) x=
4
5
y=
2
y=(2)提示： 由①得3（x+4y)-2z=47 ③
由②得2（x+4y)+z=36 ④
③×2-④×3，得z=2
7、解：(1)设食谱中A，B，C三种食物各x，y，z份，由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和
35单位的维生素，得方程组
5x+5y+10z=35 ①
20x+10y+10z=70 ②
5x+15y+5z=35 ③
-10y-30z=35 ④
②-①×4,③-①,得
10y-5z=0 ⑤
⑤+④,得z=2, 把Z=2代入⑤，得y=1
把y=1,z=2代入①得x=2
答：该食谱中包含A种食物2份，B中食物1份，C种食物2份.
课外作业参考答案：
1、4
2、D
3、A
4、A
5、B
x=0
6、(1) (2) x=1
y=0
y=2
z=3
z=7
7、解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
解得
答：原三位数是368.
8、解：(1)设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得：
x=15000
x = 3 y + 3 0 0 0 解得
y=4000
4x+5y=8000
答：购买 1块电子白板需要15000 元，一台笔记本电脑需要4000元．(2)设购买电子白板 a块，则购买笔记本电脑(396-a)台，由题意得：
396-a 3a
15000a+4000(396-a) 2700000
解得 99 a 101.511
∵a为正整数，
∴a=99、100、101，则电脑依次买：297台，296台，295台．
因此该校有三种购买方案：
方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板 101块；
方案二：购买笔记本电脑 296台，则购买电子白板100块；
方案三：购买笔记本电脑 297台，则购买电子白板99块；
（3）解法一：
购买笔记本电脑和电子白板的总费用为：
方案一：295×4000+101×15000=2695000（元）
方案二：296×4000+100×15000=2684000（元）
方案三：297×4000+99×15000=2673000（元）
所以，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元
解法二：
设购买电子白板 a块，则购买笔记本电脑(396-a)台，总费用为w
W=15000a+4000×(396-a)
=11000a+1584000 当a=99时，费用最少
最少费用11000×99+1584000=2673000（元）
所以，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元
x+y+z=51，
8、【解析】设安排x hm2种水稻、y hm2种棉花、z hm2种蔬菜.由题意得
4x+8y+5z=300，
x+y+2z=67.
x=15
y=16
解得：
z=20
答：安排15 hm2种水稻、20 hm2种棉花、16 hm2种蔬菜才能使所有职工都有工作，而且投入的资
金刚好够用.
