文档内容
第五章 二元一次方程组
5.3二元一次方程组的运用（古题今解）导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1、会用二元一次方程组解决古代算题的实际问题。
2、在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界
3、经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型，
发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。
学习重点：能根据具体问题的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．
学习难点：用方程（组）这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程。
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预习自测
一、知识回顾
1.解二元一次方程组的方法有 消元和 消元.
2.解方程组： x
y 5
3
x
x + y = 35 y 1
2x + 4y = 94 4
3. 甲数是乙数的2倍，甲数与乙数的和是12，则甲乙两数分别是多少？
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教学过程
一、创设情境、导入新课
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流
传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国.
“鸡兔同笼”题为:
今有鸡兔同笼,上有三十五头,
下有九十四足,问鸡兔各几何?
说一说：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？
1已知条件： .
所求问题： .
隐藏条件： .
你能用小学学过的知识解决这个问题吗？
解法一：假设全部是鸡，则：
所以兔子 只，鸡 只。
解法二：假设全部是兔子，则：
所以兔子 只，鸡 只。
解法三：设鸡有只，兔子（35-x）只，依题意得
所以兔子 只，鸡 只。
解法四：设兔子有y只，鸡（35-x）只，依题意得
所以兔子 只，鸡 只。
二、合作交流、新知探究
探究：应用二元一次方程组解古算题
今有鸡兔同笼,上有三十五头,
下有九十四足,问鸡兔各几何?
等量关系： .
解：设笼中有鸡x只、兔y只，根据以上分析，得方程组
所以笼中有鸡 只、兔 只。
尝试与思考
若甲从乙出得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的 5倍，若乙从甲出得到5第
2纳尔（货币单位），则乙拥有的第纳尔是甲的 5倍，甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？（选自意
大利数学家斐波那奇《计算之书》）
解：设甲原来拥有X第纳尔,乙原来拥有y第纳尔,依题意得
答：甲原来有 第纳尔，乙原来有 第纳尔.
例题1：今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍，乙得甲十钱，适等，问甲、
乙各怀钱几何？（选自《张丘建算经》）
题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得乙的 10钱，那么甲的钱数比乙剩余钱数多5倍，
如果乙得甲的10钱，那么两人的钱数相等，问甲、乙各带了多少钱？
数量关系： .
解：设：甲带的钱数是x, 乙带的钱数是y.依题意得
所以甲带的钱数是 钱, 乙带的钱数是 钱.
例题2：以绳测井;若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？
题目大意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折
成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？
数量关系： .
解：设绳长x尺，井深y尺，依题题意得
答：绳长 尺，井深 尺.
例题3、“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。牛、羊各直金几何？”
题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”。2头牛、5只羊共价值8两“金”。每头牛、每只
羊各价值多少“金”？
数量关系： .
解：设牛值x两，羊值y两,依题意得
3答：羊值“金” 两，牛值“金” 两。
【强调】：列二元一次方程组解应用题的基本步骤
（1）审题，找两个等量关系；
（2）设两个未知数，
（3）根据等量关系列方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答.
三、课堂练习、巩固提高
1．根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．
大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．”
小马说：“我还想给你1包呢！”
大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，
则另一个方程应是（ ）
A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1） C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x
2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘
蛛有y只，则列出方程组为 .
3.用一根绳子围绕一个大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3
尺。这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？只列方程组 .
4. 甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.
设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为 .
5、古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到
几个声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银，不知人数不知银. 只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？
6、有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子
说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树
上、树下鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
4能力提升：
7.《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五
十．欲问绢布各几何?……”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价
50贯，问绢与布各有多少．设绢有x疋，布有y疋，依据题意可列方程组为( )
A. B. C. D.
拓展迁移：
8、已知某电脑公司有A型，B型，C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台
4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种
不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。
四、总结反思、拓展升华
列二元一次方程组解应用题的基本步骤：
（1）审题，找两个等量关系；
（2）设两个未知数，
（3）根据等量关系列方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答.
关键：等量关系式
五、【作业布置】
1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有
九十四足，问鸡兔各几何．”用你所学知识可知笼中有（ ）
A．12只鸡，23只兔 B．23只鸡，12只兔
5C．15只鸡，20只兔 D．20只鸡，15只兔
2．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；
若每人9两，则差8两．银子共有数目是（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
3．我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺
五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；
将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为
.
4、用卖2头牛的钱买4只羊，剩钱400；用卖3头羊的钱买1头牛，剩钱300。问每头牛或羊的价钱
分别是多少？设每头牛价钱x，每头羊价钱y,依题意得 .
5、有几个人一起买一件物品，每人出8元多3元；每人出7元，少4元.问有 人,该物品价值
元.
6、100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉一片瓦，有 匹大马,
匹小马？
7、如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长是 cm,宽是
cm。
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提示：从图中可以知道长是宽的3倍
能力提升：
8. 《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的
算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组
形式表述出来为 3 x + 2 y = 1 1 类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 : .
4x+3y=26
拓展迁移：
9、某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B
货车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
6(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两
种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出
所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元.
课堂作业参考答案：
1、B
x+y=10
2、 6x+8y=68
3x+4=y
3、4x-3=y
5x=5y+10
4x=6y
4、
5、解：设人数为x人，银两为y两，依题意得
5x=y-6
6x=y+5
x=11
解得
y=61
答：人数为11人，银两为61两。
6、解：树上鸽子数为x只，树下鸽子数为y只，依题意得
y-1=(x+y)×
x-1=y+1
x=7
解得
y=5
7答：树上鸽子数为7只，树下鸽子数为5只，
7、B
8、解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，购 进C型电脑Z台，则可分以下三种情
况考虑：
（1）只购进A型电脑和B型电脑，根据题意得
6000x+4000y=100500
x+y=36
解得 x=-21.75
y=57.75
不合题意，应该舍去.
（2）只购进A型电脑和C型电脑，根据题意：
6000x+2500z=100500
x+z=36
解得 x=3
z=33
（3）只购进B型电脑和C型电脑，根据题意：
4000y+2500z=100500
y+z=36
解得 y=7
z=29
答：有两种方案供校选择，第一种方案是购进A型电脑3台 和C型电脑33台；第二种方案是购进B
型电脑7台和C型电脑29台.
课外练习参考答案：
1、B
2、C
x=y+5
3、
0.5x=y-5
2x=4y+400
4、 3y=x+300
5、 7； 53
6、 15； 75
7、 15； 45 （提示：从图中可以知道长是宽的3倍）
8、 2x+3y=23
3x+4y=37
9、解:(1)设A货车x辆，B货车y辆，依题意得
3x+2y=90
5x+4y=160
8x=20
解得
y=15
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨。
解:(2)设A货车m辆，B货车n辆，依题意得
20m+15n=190 （m、n均为整数）
m=8
解得: m=5 m=2
n=2
n=6 n=10
方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；费用：8×500+2×400=4800（元）
方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；费用：5×500+6×400=4900（元）
方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；费用：2×500+10×400=5000（元）
所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元
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