文档内容
微专题：双曲线的轨迹问题
【考点梳理】
求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了
易于表达，只需要把这种关系转化为 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到
动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几
何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动
而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关
点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点
（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.
【典例剖析】
典例1．过椭圆 右焦点F的圆与圆 外切，该圆直径 的端点Q的轨迹记为曲线
C，若P为曲线C上的一动点，则 长度最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
典例2．方程 － ＝12的化简结果为（ ）
A． － ＝1 B． － ＝1 C． － ＝1(x＞0)D． － ＝1(x＞0)
典例3．在平面直角坐标系中，已知 的顶点 ， ，其内切圆圆心在直线 上，则顶点C的轨
迹方程为（ ）
A． B．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
典例4．已知点 ， ，若曲线 上存在点P满足 ，则下列正确
的是（ ）
A． B． C． D．
典例5．在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ， ，直线AP，BP相交于点P，且它们
斜率之积是 .当 时， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
典例6．已知圆 和圆 ，动圆 同时与圆 及圆 相外切，则动圆圆心 的
轨迹方程为( )
A． B．
C． D．
【双基达标】
7．平面上动点 到点 的距离与它到直线 的距离之比为 ，则动点 的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆
8．过两点 分别作斜率不为 且与圆 相切的直线 ，当 变化
时，交点 的轨迹方程是
A．
B．
C．
D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司9．已知正方体ABCD-ABC D 的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，AD 距离相等的点，则点P的
1 1 1 1 1 1
轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
10．已知定点 ， ， 是圆 ： 上任意一点，点 关于点 的对称点为 ，线段 的
中垂线与直线 相交于点 ，则点 的轨迹是
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
11．下列四个命题中不正确的是
A．若动点 与定点 、 连线 、 的斜率之积为定值 ，则动点 的轨迹为双曲线的一部分
B．设 ，常数 ，定义运算“ ”： ，若 ，则动点 的轨
迹是抛物线的一部分
C．已知两圆 、圆 ，动圆 与圆 外切、与圆 内切，则动圆的圆心 的轨
迹是椭圆
D．已知 ，椭圆过 两点且以 为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
12．已知抛物线 的焦点 到双曲线 渐近线的距离为 ，点 是抛物线
上的一动点， 到双曲线 的上焦点 的距离与到直线 的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为
A． B． C． D．
13．已知 为圆 ： 上任意一点， ，若线段 的垂直平分线交直线 于点 ，则 点
的轨迹方程为
A． B．
C． （ ） D． （ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司14．已知椭圆 ，作垂直于 轴的直线 交椭圆于 、 两点，作垂直于 轴的直线 交椭圆于 、 两
点，且 ，直线 与直线 交于 点，则点 的轨迹为（ ）的一部分
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
15．如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式 4，点M的轨迹是
A．双曲线的右支 B．椭圆
C．双曲线的上支 D．射线
16．在平面直角坐标系 中，已知圆 ，点 ，点 在圆 上运动，设线段 的垂直平分
线和直线 的交点为 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．动圆M与圆 ： 和圆 ： 均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
18．已知定点F(－2，0)，F(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F 关于点N的对称点为M，线段FM的
1 2 1 1
中垂线与直线FM相交于点P，则点P的轨迹是（ ）
2
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
19．曲线上的动点P到点 ， 的距离之差为6，则曲线方程为
A． B． C． 或 D．
20．动圆M与圆 ： ，圆 ： ，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
第 4 页
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21．如图，已知 ， 两地相距600m，在 地听到炮弹爆炸声比在 地早1s，且声速为340m/s..以线段 的中点
为坐标原点， 的方向为 轴的正方向建立平面直角坐标系 ，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
22．已知不等式 所表示的平面区域内一点 到直线 和直线 的垂线段分别为
，若三角形 的面积为 ，则点 轨迹的一个焦点坐标可以是
A． B． C． D．
23．已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量
，叫做把点 绕点 逆时针方向旋转 角得到点 .设平面内曲线 上的每一
点绕原点沿逆时针方向旋转 后得到点的轨迹是曲线 ，则原来曲线 的方程是
A． B． C． D．
24．如图所示，已知点 ，动圆 与直线 切于点 ，过 与圆 相切的两直线相交
于点 ，则 点的轨迹方程为（ ）
第 5 页
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C． D．
25．设常数 ，动点 分别与两个定点 ， 的连线的斜率之积为定值 ，若动点
的轨迹是渐近线斜率为2的双曲线，则 （ ）
A． B．4 C． D．3
【高分突破】
一、单选题
26．已知定点 是圆 上任意一点，点 关于点 的对称点为 ，线段 的中垂
线与直线 相交于点 ，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
27．已知直线 上存在点 满足与 两点连线的斜率 与 之积为3，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
28．在 中，已知 ，且 ，则 的轨迹方程是（ ）
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29．在矩形 中， ， ，把边AB分成n等份，在 的延长线上，以 的n分之一为单位长度
连续取点.过边AB上各分点和点 作直线，过 延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如
图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
30．已知点P（x，y）的坐标满足 ，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．以上都不对
31．设点 ， ， 为动点，已知直线 与直线 的斜率之积为定值 ，点 的轨迹是
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
32．已知动点P与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．动点P的轨迹方程为
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C．直线 与动点P的轨迹有两个公共点
D．若 ，则 的最小值为
33．若动点 与两定点 ， 的连线的斜率之积为常数 ，则点P的轨迹可能是
（ ）
A．除 两点外的圆 B．除 两点外的椭圆
C．除 两点外的双曲线 D．除 两点外的抛物线
34．已知两点 ，若直线上存在点 ，使得 ，则称该直线为“点定差直线”，下列直
线中，是“点定差直线”的有（ ）
A． B．
C． D．
35．已知定点 ，定直线l： ，动点P点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E．则下
列说法正确的是（ ）
A．轨迹E的方程为
B．轨迹E上的点P到定点F距离的最小值为2
C．轨迹E上的点P到定直线l： 距离的最小值为1
D．轨迹E上的点 到直线l： 距离的最小值为
36．已知A，B两点的坐标分别是 ， ，直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结
论正确的是（ ）
A．当 时，点P的轨迹为圆
B．当 时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）
C．当 时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线
D．当 时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司37．在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点F（ ，0）和F（ ，0）连线的斜率之积等于 ，记点P
1 2
的轨迹为曲线E，直线l： 与E交于A，B两点，则（ ）
A．E的方程为 （ ）
B．E的离心率为
C．E的渐近线与圆 相切
D．满足 的直线l有2条
三、填空题
38．已知圆 ： 和点 ， 是圆上一点，线段 的垂直平分线交 于 点，则 点的轨
迹方程是______.
39．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加
以解法，例如，与 相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题．
结合上述观点，可得方程| － |＝4的解为________．
40．一个动圆P与两个定圆 ， 均内切，那么动圆P的圆心的轨迹方程是______.
41．平面直角坐标系中，满足到 的距离比到 的距离大 的点的轨迹为曲线 ，点 (其中
， )是曲线 上的点，原点 到直线 的距离为 ，则 ____________.
42．已知直线 上存在点 满足与两点 、 连线的斜率 与 之积为 ，则实数
的取值范围是____________.
43．孝感某地施行禁鞭政策，现有A．B两监控点相距1000米，A处听到炮竹声与B处相差2秒，设声速为300
米/秒，现要找出炮竹燃放点的大概位置，以A，B所在的直线为 轴，以线段AB的中垂线为 轴建立直角坐标系，
燃放点的轨迹方程为_____________
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司四、解答题
44．已知圆 ，圆 ．
(1)证明圆A与圆B相交，并求圆A与圆B的公共弦所在直线的方程；
(2)已知点 ，若直线PA，PC相交于点P，且它们的斜率之积为 ，求动点P的轨迹方程并说明轨迹图形．
45．设平面内两向量满足： ， ， ，点 的坐标满足： 与 互相垂直．求
证：平面内存在两个定点A、B，使对满足条件的任意一点M，均有 等于定值．
46．在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，求直
线 的斜率与直线 的斜率之和.
47．在一张纸片上，画有一个半径为2的圆（圆心为M）和一个定点N，且MN=6，若在圆上任取一点A，将纸片
折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P.
（1）若以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线作为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；
（2）在（1）的条件下，点 ，能否找到点P使得△PNQ的周长最小，若存在求出该最小值及点P坐标，
若不存在，请说出理由.
48．已知坐标原点为 ，双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 ，离心率为 .
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设过双曲线上动点 的直线 分别交双曲线的两条渐近线于 ， 两点，求 的外心
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的轨迹方程.
49．在平面直角坐标系 中， 为坐标原点.动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比为常
数2，动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线 交曲线 于 两点，若 ，求直线 的方程.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【详解】首先根据题意得到 的轨迹为：以 为焦点， 的双曲线的右支，从而得到曲线
.再根据双曲线的性质求 长度最小值即可.
【点睛】椭圆 ， ，所以 .
设以 为直径的圆圆心为 ，如图所示：
因为圆 与圆 外切，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 的轨迹为：以 为焦点， 的双曲线的右支.
即 ，曲线 .
所以 为曲线 上的一动点，则 长度最小值为 .
故选：C
2．C
【分析】设A(−10,0)，B(10,0)， ，求出动点 的轨迹方程即得解.
【详解】解：设A(−10,0)，B(10,0)， ，
由于动点P(x,y)的轨迹方程为 － ＝12，
则|PA|−|PB|=12，故点P到定点A(−10,0)与到定点B(10,0)的距离差为12，
则动点P(x,y)的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，
由于2a=12，c=10，则 ，
故P的轨迹的标准方程为 － ＝1(x＞0).
所以原方程可以化简为 － ＝1(x＞0).
故选：C
3．A
第 12 页【分析】根据图可得： 为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以 、 为焦点，实轴长为6的双曲
线的右支，从而写出其方程即得．
【详解】解：如图设 与圆的切点分别为 、 、 ，
则有 ， ， ，
所以 ．
根据双曲线定义，所求轨迹是以 、 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），
即 、 ，又 ，所以 ，
所以方程为 ．
故选：A．
4．D
【分析】由已知可判断点P在双曲线 上，将已知转化为曲线 与双曲线 相
交，利用直线 与渐近线的位置关系可得解.
【详解】点 ， ，且 ，故点P在双曲线的下支上.
所以双曲线的方程为 ，其渐近线方程为 ，
又点P在曲线 上，即点P在曲线 上，
即曲线 与双曲线 相交， ，即
故选：D
5．A
【分析】设出 点坐标，求得 、 所在直线的斜率，由斜率之积是 列式整理即可得到点 的轨迹方程，设
，根据双曲线的定义 ，从而求出 的最小值；
第 13 页【详解】解：设点 坐标为 ，则直线 的斜率 ；
直线 的斜率 ．
由已知有 ，
化简得点 的轨迹方程为 ．
又 ，所以点 的轨迹方程为 ，即点 的轨迹为以 、 为顶点的双曲线的左支（除
点），因为 ，设 ，由双曲线的定义可知 ，所以 ，
当且仅当 、 、 三点共线时 取得最小值 ，因为 ，所以 ，所以
，即 的最小值为 ；
故选：A
6．B
【分析】由题意，化简得出 ，利用双曲线的定义，得到点M的轨迹是以 为焦点的双
曲线的左支，即可求解其轨迹方程，得到答案.
【详解】设动圆的圆心M的坐标为 ，半径为 ，
则由题意可得 ，
相减可得 ，所以点M的轨迹是以 为焦点的双曲线的左支，
由题意可得 ，所以 ，
故点M的轨迹方程为 ，故选B.
【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用，其中解答中根据圆与
圆的位置关系，利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以 为焦点的双曲线的左支是解答的关键，着重考查了转
化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
7．A
【分析】设点 ，利用距离公式化简可得出点 的轨迹方程，即可得出动点 的轨迹图形.
【详解】设点 ，由题意可得 ，
化简可得 ，即 ，曲线 为反比例函数图象，
故动点 的轨迹是双曲线.
故选：A.
8．A
【分析】首先根据圆的方程找到圆心和半径，然后根据圆的切线性质发现动点 满足的几何条件，从而判断出动
点 的轨迹，再根据双曲线的标准方程求出轨迹方程.
第 14 页【详解】圆方程为 与 轴相切于点 ，设 与圆的切点分别为 ，则
，所以点 的轨迹是以 为焦点且实轴长为 的双曲线的右支，
，方程为 ，所以选A.
【点睛】本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程. 考查基本分析判断与求解能力.属基本题.
9．D
【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系 ，求出点P的轨迹方程即可判断.
【详解】
如图示，过P作PE⊥AB与E，过P作PF⊥AD于F，过F作FG∥AA 交AD 于G，连结PG，由题意可知PE=PG
1 1 1
以D为坐标原点建立空间直角坐标系 ，设 ，由PE=PG得：
，平方得：
即点P的轨迹是双曲线.
故选：D.
【点睛】立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，有两种处理方法：
(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)；
(2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式．
10．D
【分析】由 是圆 上任意—点，可得 ，结合已知，由垂直平分线的性质可得 ，从而
可得 为定值，由双曲线的定义可得点 的轨迹是以 为焦点的双曲线.
【详解】
因为N为 中点，O为 中点，
所以 ，
第 15 页因为P在线段 的中垂线上，所以 ，
因此 ，即点 的轨迹是双曲线，故选D.
【点睛】本题主要考查定义法求轨迹方程、双曲线定义的应用，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设
出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求
出方程；③参数法，把 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将 代入 .
11．D
【详解】A正确.设 则 ，变形得：
，A正确；
B正确.设点p纵坐标为y,则 ，即 ,B正确；
C正确，两圆心坐标分别是A(-1,0),B(1,0), 半径分别为1,5；设动圆圆心 ，半径为r,则由位置关系可得：
动圆的圆心 的轨迹是椭圆；
D错误．设另一焦点为F, ;由椭圆定义得：
， 则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线的一支，故
D错误
12．B
【详解】抛物线 的焦点 ,双曲线 的渐近线方程为 ，任取一条渐近线
，焦点到渐近线的距离 ， 为抛物线 的准线， 到准线的距离等于 到
焦点 的距离， 到双曲线 的上焦点 的距离与到直线 的距离之和 的最小值为
，则 ，选B.
13．B
【解析】如图所示：连接 ，根据垂直平分线知 ， ，故轨迹为双曲线，计算得到答案.
【详解】如图所示：连接 ，根据垂直平分线知 ，
故 ，故轨迹为双曲线，
， ， ，故 ，故轨迹方程为 .
故选： .
第 16 页【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.
14．C
【解析】依题意画出图形，设直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，分别将点A、B、C、D、P的坐
标表示出来，由 建立起关于p、q的方程，最后化简即可得出轨迹方程.
【详解】设直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
所以点 ， ，
， ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以点 的轨迹为双曲线.
故选：C.
第 17 页【点睛】方法点睛：求点的轨迹方程的常用方法：1.直接法，2.定义法，3.相关点法.
15．C
【解析】对关系式进行配方处理,即为 ,由两点间距离公式可知其表示点M（x,y）与
定点（0,﹣3）,（0,3）的距离的差为4,进而根据双曲线的定义即可判断.
【详解】 4,
即 4,表示点M（x,y）与定点（0,﹣3）,（0,3）的距离的差为4,
∵4＜6,
∴点M（x,y）的轨迹是以（0,±3）为焦点,实轴长为4的双曲线的上支,
故选:C
【点睛】本题考查动点的轨迹,考查双曲线的定义的应用,解题时需注意轨迹为双曲线的一支还是全部.
16．A
【分析】分析可知点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线，计算出 、 的值，即可得出点 的轨迹方程.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，由中垂线的性质可得 ，
当点 在圆 的右半圆上时， ，
当点 在圆 的左半圆上时，
，
第 18 页所以，点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线，且 ， ，
所以， ， ， ，
因此，点 的轨迹方程为 .
故选：A.
17．A
【分析】根据圆与圆的位置关系，进而结合双曲线的定义即可求得答案.
【详解】设动圆M的半径为r，圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，因为动
圆M与圆 和圆 均外切，所以 ， ，所以 ，所以点M的轨迹是以
点 ， 为焦点的双曲线的右支． ， ， ，所以 .所以动圆圆心M的轨迹
方程为 ．
故选：A．
18．B
【解析】连接 ,可得点 为 的中点，故 ，由线段 的垂直平分线与直线 相交于点 ，可得
，可得 ，可得点 的轨迹为双曲线，可得其方程.
【详解】
连接ON，如图，
由题意可得|ON|＝1，且N为线段MF 的中点，∴|MF |＝2，
1 2
∵点F 关于点N的对称点为M，线段FM的中垂线与直线FM相交于点P，
1 1 2
∴由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF|，
1
∴||PF|－|PF||＝||PF|－|PM||＝|MF |＝2<|FF|，
2 1 2 2 1 2
∴由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F，F 为焦点的双曲线，故选：B
1 2
【点睛】关键点睛：连接ON，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF|，进而利用双曲线的定义，||PF|－|PF||＝||PF|
1 2 1 2
－|PM||＝|MF |＝2<|FF|，即可判断求解，属于基础题
2 1 2
19．B
【分析】由已知得动点 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为6的双曲线，则曲线方程可求.
【详解】∵曲线上的动点 到点 ， 的距离之差为6
∴动点 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为6的双曲线的下支
第 19 页∴曲线方程为
故选B.
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，掌握双曲线的概念是解答本题的关键，忽视概念中的“差的绝对值”是易
错之处，属于中档题．
20．D
【分析】首先设 ，半径为 ，根据动圆 与圆 ， 都外切得到 ，从而得到
的轨迹为以 为焦点， 的双曲线左支，再求轨迹方程即可.
【详解】圆 ： ，圆心 ，半径 .
圆 ： ，圆心 ，半径 .
设 ，半径为 ，因为动圆 与圆 ， 都外切，
所以 ，
所以 的轨迹为以 为焦点， 的双曲线左支.
所以 ， ，解得 ，
即 的轨迹方程为： .
故选：D
21．B
【分析】设炮弹爆炸点 ，可得 ，利用双曲线的定义即得.
【详解】设炮弹爆炸点 的坐标为 ，则 ，
所以 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为340的双曲线的左支.
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ， ，
故炮弹爆炸点的轨迹方程为 .
故选：B.
22．A
【分析】如图所示，不等式 所表示的平面区域内一点 ，可得点 的轨迹为直线 之间并
且包括 轴在内的区域，再根据三角形 的面积为 ，即可求得点 轨迹的一个焦点坐标.
【详解】如图所示，
第 20 页则 ， .
不等式 所表示的平面区域内一点 ，可得点 的轨迹为直线 之间并且包括 轴在内的区
域．
∴
∵ 三角形 的面积为
∴ ，即 点轨迹方程为 .
∴焦点坐标为 .
故选：A.
【点睛】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算
公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
23．A
【详解】设平面内曲线 上的点 ，则其绕原点沿逆时针方向旋转 后得到点 ，
∵点 在曲线 上，∴ ，整理得 ．故选A．
24．A
【分析】根据直线与圆相切的性质可得 ，从而判断 点的轨迹为以 为焦点的双曲线的右支，
即可求出方程.
【详解】由题可得 ，
则 ，
则可得 点的轨迹为以 为焦点的双曲线的右支，
可得 ，则 ，
则 点的轨迹方程为 .
故选：A.
第 21 页【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的轨迹方程，解题的关键是能根据已知条件得出 ，判断出 点
的轨迹为以 为焦点的双曲线的右支.
25．B
【解析】根据题意可分别表示出动点 与两定点的连线的斜率，根据其之积为定值，求得x和y的关系式，对
的范围进行分类讨论，当 时，方程的轨迹为双曲线，然后可求出其渐近线方程，然后可得答案.
【详解】依题意可知 ，整理得 ，
当 时，方程的轨迹为双曲线，
即 ，
所以双曲线的渐近线方程为
所以 ，解得
故选：B
【点睛】本题主要考查双曲线的应用，考查计算能力，属于基础题.
26．B
【分析】由 是圆 上任意一点,可得 ， 为 的中点可求 ，结合垂直平分线的性质可
得 ，从而可得 为定值，由双曲线的定义即可得结果.
【详解】如图，当点 在 轴左侧时，连接 ， ，则 ，所以 ．
结合 为线段 的垂直平分线，可得 ，
所以 ．
同理，当点 在 轴右侧时， ．
故点 的轨迹是双曲线，其方程为 ．
故选：B
【点睛】本题以圆为载体，考查了利用双曲线的定义判断圆锥曲线的类型，并求圆锥曲线的方程，属于中档题.
27．D
【分析】设 由 可求出点 的轨迹方程，再由直线 与点 的轨迹有公共点，联立两者的方程，
利用 可得关于 的不等式，即可求解.
第 22 页【详解】设 ，由 可得 ，
即 ，
由 可得 ，
当 时，可得 ，
当 时，解得： 不成立，
当 时，解得： 不成立，
所以 ，
可得 且 ，解得 或 且
所以实数 的取值范围是 ，
故选：D
【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了
易于表达，只需要把这种关系转化为 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到
动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几
何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动
而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关
点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点
（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.
28．B
【分析】据正弦定理，将 化为 ，判断出点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的左
支，根据数据求出其方程即可．
【详解】 ，由正弦定理得 ，即 ，由双曲线的定义可知：点
的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的左支，且 ， ， .
第 23 页顶点 的轨迹方程为 ，故选B
【点睛】本题考查双曲线轨迹方程的求解，同时也考查三角形正弦定理边角互化思想的应用，属于基础题.
29．C
【分析】设 ，结合题意找出 与 的关系式，即可求解.
【详解】设 ，则 ， ，根据题意，易得直线 ，直线 .
由 ，令 ，得 ，因此边AB上各分点坐标为 ，
由 ，令 ，得 ，因此 延长线上的对应分点坐标为 ，
结合题意，可知 ，化简得 .
因此点P满足的方程为： .
故选：C.
30．B
【分析】利用两点间的距离公式结合双曲线的定义即可求解.
【详解】解：由题知点P（x，y）的坐标满足
且点（1，1）与（-3，-3）的距离为 ，
因此点 的坐标符合双曲线的定义
所以点 的轨迹是双曲线.
故选：B.
31．C
【分析】设动点 ，根据已知条件，结合斜率公式，即可求解.
【详解】解：设动点 ，则 ，
则 ， ， ，
直线 与直线 的斜率之积为定值 ，
，化简可得， ，
故点 的轨迹方程为 .
故选：C.
32．ABD
第 24 页【分析】根据给定条件求出动点P的轨迹方程，再逐项分析、计算判断作答.
【详解】设点 ，依题意， ，化简整理得： ，点P的轨迹是双曲线，
左焦点 ，右焦点 ，实半轴长 ，
所以动点P的轨迹方程为 ，A正确；
F是右焦点，由双曲线的性质知，则当点P是右支的顶点时， 取最小值，此时 ，B正确；
由 解得 ，即直线 与动点P的轨迹只有一个公共点 ，C不正确；
对于D，因F是右焦点，点M在双曲线右支的含焦点的一侧，要 最小，点P必在双曲线右支上，
由双曲线定义知， ，
当且仅当点P是线段 与双曲线右支的交点时取“=”，即 的最小值为 ，D正确.
故选：ABD
33．ABC
【分析】根据题意可分别表示出动点P与两定点的连线的斜率，根据其之积为常数，求得x和y的关系式，对k的
范围进行分类讨论，分别讨论 且 和 时，可推断出点P的轨迹．
【详解】因为动点 与两定点 ， 的连线的斜率之积为常数k，
所以 ，
整理得 ，
当 时，方程的轨迹为双曲线；
当 时，且 方程的轨迹为椭圆；
当 时，点F的轨迹为圆，
故P点的轨迹一定不可能是抛物线，
故选：ABC．
34．AD
【分析】先求出P点的轨迹方程为 的右支，结合双曲线的渐近线斜率与选项中直线斜率进行比较，得到
有无交点，进而求出答案.
【详解】因为 ，故P点的轨迹方程为双曲线的右支，其中 ， ，则 ，
所以双曲线为 （ ），渐近线方程为 ， 的斜率为 ，故与 （ ）
有交点，A正确；
的斜率 ，且与y轴交点为 ，故与 （ ）无交点，B错误；
第 25 页的斜率 ，且与y轴交点为 ，故与 （ ）无交点，C错误；
的斜率 ，故与 （ ）有交点，D正确.
故选：AD
35．AD
【分析】设 ，用坐标表示点的几何性质化简得轨迹方程，判断A，求出轨迹E上的点 到定点F的
距离，利用A中方程中 的范围可得最小值判断B，同时判断C，求出与 平行且与轨迹 相切的直线方程后可得
轨迹上的点到直线 的距离的最小值判断D．
【详解】设 ，则 ，化简得 ，
所以轨迹E的方程是 ，A正确．
轨迹E上的点 到定点F的距离为
，
因为 或 ，所以距离的最小值为1；
轨迹E上的点Р到定直线l： 距离的最小值为 ，B，C不正确．
设直线m： 与双曲线E相切，
联立 ，得 ，
由 ，解得 ，
易知切线m： 到直线l： 的距离最小，
当 时，解方程 得 ，
当 时， ，所以切点 即为所求，
此时最小值 ，D正确．
故选：AD．
36．ABD
【解析】设出P点的坐标，根据直线AP的斜率与直线BP的斜率之积为 ，可得出含有参数 的点P轨迹方程，
然后对 进行讨论，分析轨迹方程表示哪种曲线，最后确定正确选项.
【详解】设点P的坐标为 ，直线AP，BP的斜率为 ，
由已知得，
第 26 页化简得点P的轨迹方程为 ，
分析A，当 时，方程为 ，故A正确；
分析B，当 ，方程为 ，表示焦点在 轴上的椭圆，故B正确；
分析C，当 ，方程为 ，不表示抛物线，故C错误；
分析D， ，方程为 ，表示焦点在 轴上的双曲线，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】曲线的轨迹方程解题步骤为：
①设动点坐标
②根据题意建立 与 的关系式
③化简整理 与 的关系式，得出轨迹方程.
37．ACD
【分析】根据已知求得曲线 的方程，求得曲线 的离心率，其渐近线与圆 的位置关系，以及弦长
AB，逐一判断选项即可.
【详解】设点 ，由已知得 ，整理得 ，
所以点 的轨迹为曲线 的方程为 ，故A正确；
又离心率 ，故B不正确；
圆 的圆心 到曲线 的渐近线为 的距离为
，
又圆 的半径为1，故C正确；
直线 与曲线 的方程联立 整理得
，
设 ，
，且 ，
有 ，
第 27 页所以 ，
要满足 ，则需 ，解得 或 或 ，
当 ,此时 ，
而曲线E上 ，所以满足条件的直线有两条，故D正确，
故选：ACD.
38．
【分析】根据双曲线的定义求轨迹方程．
【详解】∵ 在 的中垂线上，∴ ，∴ ，
又 ，∴ 点轨迹是以 为焦点，实轴长为6的双曲线，∴ ， ，
又 关于原点对称，
∴ 点轨迹方程为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查用双曲线的定义求轨迹方程，属于基础题．根据双曲线定义确定动点轨迹是双曲线，然后求出
得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程．
39．±
【解析】将 ，变形为 ，得到其几何意义，再根据双
曲线的定义得到平面内动点 与两定点(－3，0)，(3，0)距离差的绝对值为4的点的轨迹方程，与 联立求
解.
【详解】由 ，
得 ，
其几何意义为平面内动点(x，2)与两定点(－3，0)，(3，0)距离差的绝对值为4.
又因为平面内动点 与两定点(－3，0)，(3，0)距离差的绝对值为4的点的轨迹方程为 ，
联立 ，
解得 ，
第 28 页故答案为：±
40．
【分析】首先设 ，圆 的半径为 ，根据圆 与圆 ，圆 都内切，得到 ，从
而得到 的轨迹是双曲线的右支，再求轨迹方程即可.
【详解】设 ，圆 的半径为 ，
因为圆 ，圆心 ，半径为 ，
圆 ，圆心 ，半径为 ，
因为圆 与圆 ，圆 都内切，
所以圆 ， ，即 .
所以 的轨迹是双曲线的右支.
双曲线的中心为 ， ， ，所以 ，
所以 的轨迹为方程为： .
故答案为： .
41．
【解析】由双曲线定义可知 的轨迹方程，求得渐近线方程，得到直线 的方程，再由点到直线的距离公式求
解．
【详解】设曲线 上的点为 ，由题意， ，
则曲线 为双曲线的右支，焦点坐标为 ， ，
， ， ， ，
双曲线方程为 ．
所以渐近线方程为 ，
而点 （其中 ， 是曲线 上的点，
当 时，直线 的斜率趋近于 ，即 ．
则 ，即 ．
．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程常用的方法有：（1）定义法（根据已知分析得到动点的轨迹是某一种圆锥
第 29 页曲线再求解）；（2）直接法；（3）相关点代入法.
42．
【解析】设点 ，根据 可求出点 的轨迹方程，再由直线 与点 的轨迹有公共点，联立直线
与点 的轨迹方程，由 可得出关于 的不等式，由此可求得实数 的取值范围.
【详解】设点 ，由 可得 ，化简可得 ，
由题意可知，直线 与曲线 有公共点，
联立 ，消去 可得 ，①
当 时，可得 ，此时方程①为 ，解得 ，不合乎题意；
当 时， ，化简得 ，
得 且 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程的常用方法之一：直译法——“四步一回头”.
（1）建立合适的坐标系，设出动点 的坐标 ；
（2）写出适合条件的点 的集合 ；
（3）将 翻译成代数方程 ；
（4）化简代数方程 为最简形式.
一回头：回头看化简方程是否为同解变形，验证求得的方程是否为所要求的方程.
43．
【详解】设燃放点的坐标为 ， ，那么 ,所以点 形成的轨迹
是以定点 为焦点的双曲线， ， ，那么 ，所
以轨迹方程为： .
44．(1)证明见解析；
(2)轨迹方程为 ，P的轨迹是除去 ， 两点的双曲线
【分析】（1）求出圆A与圆B的圆心和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断证出两圆相交，两圆的方程作
差即可求出圆A与圆B的公共弦所在直线的方程；
第 30 页（2）设 ，由题意得， ，化简即得动点P的轨迹方程，并可知轨迹图形．
(1)
圆A，圆心 ，半径 ，
圆B，圆心 ，半径 ， ，
∴ ，所以圆A与圆B相交．
圆 ，圆 ，
两式相减，得 ．
(2)
设 ，由题意得， ，
化简得，P的轨迹方程为 ，所以P的轨迹是除去 ， 两点的双曲线．
45．证明见解析．
【分析】又向量垂直及数量积的运算律可得 ，进而得到 轨迹方程为双
曲线，结合双曲线定义即可证结论.
【详解】由题设， ，
整理得 ，即 轨迹是以 为焦点且实轴长为4的双曲线，
由双曲线定义知：当 、 有 ，得证.
46．（1） ；（2） .
【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹 是以点 、 为左、右焦点双曲线的右支，求出 、 的值，即可得出
轨迹 的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简
计算可得 的值.
【详解】(1) 因为 ，
所以，轨迹 是以点 、 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，可得 ， ，
所以，轨迹 的方程为 .
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设 ,
第 31 页设直线 的方程为 ．
联立 ,
化简得 .
则 ．
故 ．
则 ．
设 的方程为 ，同理 ．
因为 ，所以 ，
化简得 ，
所以 ，即 ．
因为 ，所以 ．
[方法二] ：参数方程法
设 ．设直线 的倾斜角为 ，
则其参数方程为 ，
联立直线方程与曲线C的方程 ，
可得 ，
第 32 页整理得 ．
设 ，
由根与系数的关系得 ．
设直线 的倾斜角为 ， ，
同理可得
由 ，得 ．
因为 ，所以 ．
由题意分析知 ．所以 ，
故直线 的斜率与直线 的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为 ，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设 ,直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ,
则二次曲线 ．
又由 ，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中 ．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即 .
【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它
体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用
到题目中.
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.
47．（1） ；（2）存在点 使得 的周长最小，最小值为 .
【解析】（1）由题意知， 是线段 的垂直平分线，且 ，分点 在劣弧 和优弧上 时，对应点
第 33 页在射线 上或在射线 上， 为定值可得答案；
（2）由题意 在双曲线的右支上， ， ，
当 ， ， 三点共线时，求出 的长度可得 的周长l最小值，直线 方程与双曲线方程联立可得P点
坐标.
【详解】（1）过点 作圆 的切线，切点分别为 ， ，
由题意知， 是线段 的垂直平分线，
因为直线 与直线 交于点 ，所以 ，
当点 在劣弧 上时，点 在射线 上，所以 ；
当点 在优弧 上时，点 在射线 上，所以 ；
所以 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线，且 ， ，
所以 ， ， ，
所以点 的轨迹方程为 .
（2） 的周长 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，或 ，
所以要使得 的周长l最小，则点 在双曲线的右支上，即 ，所以 ，
当 ， ， 三点共线时， 的周长l最小， ，
L的最小值为 ，
此时，直线 方程为 ，
代入双曲线方程 得 ，解得 ，
注意到点 在双曲线的右支上，所以点 坐标为 ，
所以存在点 使得 的周长最小，最小值为 .
第 34 页【点睛】本题考查了轨迹方程的求法和直线与双曲线的位置关系，第二问的关键点是当 ， ， 三点共线时，
的周长l最小，考查了学生分析问题、解决问题及计算能力.
48．（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）根据离心率以及焦点到渐近线的距离，并结合 求解出 的值，则双曲线的方程可求；
（Ⅱ）先设出 的坐标，分别联立直线与渐近线方程由此得到每个点的横、纵坐标的关系，再根据
化简得到点 的坐标 之间的等量关系，由此求解出 的轨迹方程.
【详解】解：（Ⅰ）由已知可得： 且 ，
即 ， ，所以双曲线的方程为 ；
（Ⅱ）设 ， ，且由已知得 ，渐近线方程为 ，
联立 ，解得： ，所以 ；
联立 ，解得： ，所以 ；
法一：设 的外心 ，则由 得：
即 ——①，同理 ——②，
①②两式相乘得 ，
又∵
所以 的外心 的轨迹方程为 ；
法二：设 的外心 ，
第 35 页线段 的中垂线方程为： ，线段 的中垂线方程为： ，
联立 ，解得
∵ ，
即 ，
代入 得
所以 的外心 的轨迹方程为 ；
【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键是通过三角形的外心对应的几何特点即外心到三角形的三个顶点的
距离相等，由此通过坐标的化简运算得到对应的轨迹方程.此外，三角形任意两边中垂线的交点也是三角形的外心，
也可借由此结论完成解答.
49．(1)
(2) 或
【分析】（1）设点 ，然后根据题意列方程化简可求得曲线 的方程，
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，可求出 的坐标，从而可得 与 不垂直，不合题
意，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，将直线方程代入曲线 的方程消
去 ，整理后利用根与系数的关系，再由 ，得 ，化简计算可求出直线的斜率 ，从而可得
直线方程
(1)
设点 ，由题意得 ，
式子左右同时平方，并化简得， .
第 36 页所以曲线 的方程为 .
(2)
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
此时直线 与曲线 的交点坐标为 .
所以 与 不垂直，即 ，不符合题意.
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 ，得
由 和 ，得 .
，
因为 ，所以 .
所以 ，
解得
所以直线 的方程为 ，
即 或 .
第 37 页第 38 页
