文档内容
微专题：求双曲线的方程
【考点梳理】
双曲线的标准方程和简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
－＝1 － ＝ 1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
焦点 F ( － c ， 0) ， F ( c ， 0) F(0，－c)，F(0，c)
1 2 1 2
焦距 |FF|＝2c
1 2
a，b，c
c 2 ＝ a 2 ＋ b 2
的关系
范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
简单几何 顶点 (－a，0)，(a，0) (0 ，－ a ) ， (0 ， a )
性质 轴长 实轴长|AA|＝2a，虚轴长|BB|＝ 2 b
1 2 1 2
渐近线 y＝ ± x y＝ ± x
离心率 e＝，且 e∈ (1 ，＋∞ )
【题型归纳】
题型一： 判断方程是否表示双曲线
1．设 ，则“方程 表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
2．“ ”是“ 为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．“ ， ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二： 根据方程表示双曲线求参数的范围
4．若方程 表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知方程 ，则E表示的曲线形状是（ ）
A．若 ，则E表示椭圆
B．若E表示双曲线，则 或
C．若E表示双曲线，则焦距是定值
D．若E的离心率为 ，则
6．已知曲线C的方程为 ，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是
（ ）．
A． B． C． D． 或5
题型三： 求双曲线的标准方程
7． 、 是双曲线 的两个焦点，抛物线 的准线 过双曲线的焦点 ，准线与渐
近线交于点 ， ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线 满足 ，且与椭圆 有公共焦点，则双曲线 的方程为
（ ）
A． B．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
9．已知抛物线 分别是双曲线 的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点
，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
10．已知双曲线C： （ ， ）的实轴长为8，一条渐近线的方程为 ，则双曲线的标准方
程为（ ）
A． B．
C． D．
11．若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点. 若
△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为 ( )
A. －y2＝1 B. x2－＝1
C. －＝1 D. －＝1
13．已知双曲线 的一个焦点关于其中一条渐近线的对称点为 ，若点P恰在C上，
则C的方程为（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
14．已知函数 ，下列条件，能使得（m，n）的轨迹存在实轴和虚轴相等的双曲线的是
（ ）
A． 成等差数列 B． 成等比数列
C． 成等差数列 D． 成等比数列
15．已知方程 的图像是双曲线，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
16．景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下
对称，基本可看作是离心率为 的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形的曲面，若该颈部中最细处直径
为16厘米，颈部高为20厘米，则瓶口直径为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
17．已知 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
18．为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左､右两
侧的两段曲线（曲线 与曲线 ）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线 与曲线 中间最窄处间的距
离为 ，点 与点 ，点 与点 均关于该双曲线的对称中心对称，且 ，则 （ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
19．若 ，则 是方程 表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲
线 的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
21．如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗
址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为 ，上口半径
为 ，下口半径为 ，高为 .在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设
， ， ， ，则双曲线的方程近似为（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
22．已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过 的直线 与 相交于 ， 两点，且 的中点为
，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
23．已知双曲线 的 与抛物线 的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且 ，则双
曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
24．过双曲线 的右顶点作 轴的垂线与 的一条渐近线相交于点 ，若以 的右焦点为圆心，以 为
半径的圆经过 ､ 两点( 为坐标原点)，则双曲线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
25．已知双曲线的下、上焦点分别为 ， ， 是双曲线上一点且 ，则双曲线的标准方
程为（ ）
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知方程 表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，+∞）
C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
27．已知双曲线 的左顶点与抛物线 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近
线与抛物线的准线的交点坐标为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
28．已知双曲线 （m≠0）的一个焦点为F（3，0），则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
29．焦距为10，且 的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D． 或
30．过点 且与椭圆 有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
31．已知双曲线 的离心率为 ，且与椭圆 有公共焦点，则 的方程为
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
32．若直线 ： 经过双曲线 ： 的一个焦点，且与双曲线 有且仅有一个公共点，则
双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
33．已知离心率为2的双曲线 与椭圆 有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
34．若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则角 所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
35．已知 ，方程 不可能表示（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．两条直线
36．已知双曲线 的虚轴长为 ，离心率为 ，则其方程是（ ）
A． B． C． D．
37．已知双曲线 以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若
正方形ABCD的边长为2，则E的实轴长为（ ）
A． B．
C． D．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司二、多选题
38．以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是（ ）
A．设 为两个定点， 为非零常数， ，则动点 的轨迹为双曲线
B．过定圆 上一定点 作圆的动弦 为坐标原点，若 ，则动点 的轨迹为椭圆
C．若曲线 为双曲线，则 或
D．过点 作直线，使它与抛物线 有且仅有一个公共点，这样的直线有2条
39．若双曲线 的实轴长为6，焦距为10，右焦点为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的渐近线上的点到 距离的最小值为4B． 的离心率为
C． 上的点到 距离的最小值为2 D．过 的最短的弦长为
40．（多选）已知方程 表示曲线 ，则（ ）
A．当 时，曲线 一定是椭圆
B．当 或 时，曲线 一定是双曲线
C．若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则
D．若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则
41．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的焦点在圆 上，圆 与双曲
线 的渐近线在第一、二象限分别交于 、 两点，若点 满足 ( 为坐标原点)，下列说法正确
的有（ ）
A．双曲线 的虚轴长为
B．双曲线的离心率为
C．双曲线 的一条渐近线方程为
D．三角形 的面积为
42．已知双曲线C： 的离心率为 ，且其右顶点为 ，左，右焦点分别为 ， ，点
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的方程为
B．点A到双曲线C的渐近线的距离为
C．若 ，则
D．若 ，则 的外接圆半径为
43．若方程 所表示的曲线为 ,则下面四个命题中错误的是
A．若 为椭圆,则 B．若 为双曲线,则 或
C．曲线 可能是圆 D．若 为椭圆，且长轴在 轴上，则
三、填空题
44．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， 为该双曲线上一点， 为其左、右焦点，
且 ， ，则该双曲线的方程为_____．
45．与双曲线 有公共焦点，且过点 的双曲线的标准方程为______．
46．若双曲线C的方程为 ，则k的取值范围是___________.
47．若双曲线经过点 ，其渐近线方程为 ，则双曲线的方程是___________.
48．已知焦点 ､ ，双曲线上的一点P到 ､ 的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为
___________.
49．若方程 表示双曲线，则实数m的取值范围是___________.
四、解答题
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司50．若直线 过双曲线 的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m
与y轴上的截距的取值范围.
51．已知双曲线 的离心率为为2，且过点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设点 分别为双曲线 的右顶点､左焦点，点 为 上位于第二象限的动点，是否存在常数 ，使得
？如果存在，请求出 的值；如果不存在，请说明理由.
52．已知双曲线 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 是其渐近线上的一点，且以
为直径的圆过点 ， ，点 为坐标原点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)当点 在 轴上方时，过点 作 轴的垂线与 轴相交于点 ，设直线 与双曲线 相交于不
同的两点 、 ，若 ，求实数 的取值范围.
53．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在 轴上， ，经过点 ；
（2）经过 、 两点．
54． 年 月 日，四川汶川发生里氏 级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的 处空降了一批救灾药
品，要把这批药品沿道路 、 送到矩形灾民区 中去，若 ， ， ，
，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路 送药较近，而另一侧的点沿道路 送
药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.
第 11 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司55．已知双曲线 ，满足______（从下列条件中选择其中两个补充在横线上并作答）．
①离心率为2；②渐近线为 ；③过点 ．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若直线l过点 ，且与双曲线右支交于A、B两点，求直线l的倾斜角的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在以AB为直径的圆经过坐标原点O？若存在，请求出此时的直线l，若不存在，请说
明理由．
第 12 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【分析】求出方程 表示双曲线的必要不充分条件 的范围可得答案.
【详解】由 ，方程 表示双曲线，
则 ，所以 ，
根据选项，“方程 表示双曲线”的必要不充分条件为B.
故选：B.
2．C
【分析】先求方程 表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.
【详解】因为方程 表示双曲线，所以 ，
又当 时，方程 表示双曲线，
因此“ ”是“方程 表示双曲线”的充要条件.
故选：C
3．A
【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】由 ， 可知方程 表示焦点在 轴上的双曲线；
反之，若 表示双曲线，则 ，即 ， 或 ， ．
所以“ ， ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件．
故选：A．
4．A
【分析】根据双曲线的定义可知 与 同号，从而可求出m的取值范围
【详解】因为方程 表示双曲线，
所以 ，解得 ，
故选：A
5．B
【分析】根据曲线表示椭圆，求得m的范围，判断A; 根据曲线表示双曲线，求得m的范围，判断B；由B的分
析求双曲线的焦距，可判断C;根据E的离心率为 ，分类讨论求得m的值，判断D.
【详解】由题意得，当 时， ，
即 ，要表示椭圆，需满足 ，解得 且 ，
第 13 页故A错误；
若E表示双曲线，则 不能为0，
故 化为 ，
则 ，即 或 ，故B正确；
由B的分析知， 时， ，此时c不确定，
故焦距不是定值，C错误；
若E的离心率为 ，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知， 且 ，
当 时， ，此时 ，
则 ，解得 ，
当 时， ，此时 ，
则 ，解得 ，故D错误，
故选：B
6．C
【分析】根据题意可得 ，解之即可得解.
【详解】解：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
则 ，解得 ．
故选：C.
7．C
【分析】由已知可得出 的值，求出点 的坐标，分析可得 ，由此可得出关于 、 、 的方程组，解
出 、 的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，
则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，
可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，又由 , ,
第 14 页解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：C.
8．A
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得 的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为 ，可得 ，即 ，
因为双曲线 的焦点与椭圆 的焦点相同，所以双曲线 中，半焦距 ，
又因为双曲线 满足 ，即 ，
又由 ，即 ，解得 ，可得 ，
所以双曲线 的方程为 .
故选：A．
9．C
【分析】由已知可得出 的值，求出点 的坐标，分析可得 ，由此可得出关于 、 、 的方程组，解
出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：C.
10．D
【分析】根据实轴长求得 ，再结合渐近线方程求得 ，即可求解
【详解】因为实轴长为8，所以 ，可得渐近线方程为 ，所以 ，
所以双曲线的标准方程为 ，
第 15 页故选：D．
11．B
【分析】分析可得 ，再将点 代入双曲线的方程，求出 的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】 ，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 .
故选：B
12．A
【解析】由图可知a＝，且一条渐近线的倾斜角为30°，所以＝，解得b＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1. 故
选A.
13．A
【分析】可根据已知条件，利用P， 关于渐近线对称，先求解出 的值，然后利用双曲线的定义分别根据 、
与 、 之间的关系，借助 ，从而求解出双曲线方程.
【详解】
如图，设双曲线C的两个焦点分别为 ，由已知P， 关于渐近线对称，
所以 ，故 .因为 ，所以 .
又 到渐近线距离为 ，所以 .故 ，由双曲线定义知： ，所以 .
又 ，所以 .所以双曲线的方程为 .
故选：A.
14．C
【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，根据函数解析式化简，再根据双曲线的方程特点判断.
第 16 页【详解】对A，若 成等差数列，则 ，即
，整理可得 ，则当 时， 的轨迹为圆， 时， 的轨
迹不存在，故A错误；
对B，若 成等比数列，则 ，即 ，整理可得
，方程不能表示双曲线，故B错误；
对C，若 成等差数列，则 ，即
，整理可得 ，当 且 时，方程化为
，此时表示实轴和虚轴相等的双曲线，故C正确；
对D，若 成等比数列，则 ，即
，整理可得 ，
当 ，且 时，由 得 ，此时是实轴和虚轴不相等的双曲线，故D错误.
故选：C.
15．C
【分析】根据双曲线标准方程的形式确定 ，求得 的取值范围
【详解】因为方程 的图像是双曲线，
所以 ，解得： 或 ，
故选：C
16．A
【分析】设双曲线方程为 ，根据已知条件可得 的值，由 可得双曲线的方程，再将
代入方程可得 的值，即可求解.
【详解】因为双曲线焦点在 轴上，设双曲线方程为
由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以 ，可得 ，
因为离心率为 ，即 ，可得 ，
所以 ，
所以双曲线的方程为： ，
第 17 页因为颈部高为20厘米，根据对称性可知颈部最右点纵坐标为 ，
将 代入双曲线可得 ，解得： ，
所以瓶口直径为 ，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，利用待定系数法求出双曲线的方程，再由 的值求得 的值，
瓶口直径为 .
17．B
【解析】求出 表示双曲线对应的 的范围，根据集合包含关系即可求出.
【详解】∵若 表示双曲线，
则 ，即 或 ，
或 ，
∴“ ”是“ 表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：B.
18．D
【分析】依题意以双曲线的对称中心为坐标原点建系，设双曲线的方程为 ，根据已知求得 ，
点纵坐标代入计算即可求得横坐标得出结果.
【详解】以双曲线的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系 ，
因为双曲线的离心率为2，所以可设双曲线的方程为 ，
依题意可得 ，则 ，即双曲线的方程为 .
因为 ，所以 的纵坐标为18.由 ，得 ，故 .
故选：D.
19．B
【分析】根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线 和 异号，进而求得 的范围即可判断是什么条件．
第 18 页【详解】解：因为方程 表示双曲线，所以 ，解得 ，
因为 ，
所以 是方程 表示双曲线的必要不充分条件，
故选：B
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义是解决本题的关键，属于基础题．
20．D
【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式及离心率公式求出a，b即可作答.
【详解】双曲线 的渐近线方程为： ，设双曲线下焦点为 ，
则有 ，依题意， ，离心率 ，解得 ，
所以该双曲线的标准方程为 .
故选：D
21．A
【分析】根据题意，设双曲线的标准方程为 ，进而结合题意得 ，设 ，则
，再待定系数，结合已知数据计算即可.
【详解】解：根据题意，设双曲线的标准方程为 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，设 ，
则点 在双曲线 上，
所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故双曲线的方程近似为 .
第 19 页故选：A
22．C
【分析】求出直线 的方程，并设出双曲线 的方程，再联立并借助中点坐标即可计算作答.
【详解】直线 的方程为： ，即 ，
设双曲线 的方程为： ，由 消去y并整理得： ，
，因弦 的中点为 ，
于是得 ，即 ，而 ，解得 ，满足 ，
所以双曲线 的方程为 ，即 .
故选：C
23．D
【分析】根据题意求出为M的坐标代入双曲线求出 ，利用点到直线距离公式可求双曲线的焦点到渐近线
的距离.
【详解】根据题意，设 ，因为 ，且 ，
所以 ，代入到抛物线 中，得 ，
所以 ，将 代入到双曲线 中，得 ，即 ，
设双曲线的焦点 ，渐近线为 ，即 ，
所以双曲线的焦点到渐近线的距离为 ，
故选：D.
24．B
【解析】 ，故 ，不妨设渐近线方程为 ，则 ，根据 ，计算得到答案.
【详解】连接 ， ，故 ，不妨设渐近线方程为 ，则 .
故 ，解得 ，故双曲线方程为
故选：B
第 20 页25．C
【分析】先求出实半轴的长、虚半轴的长，再得到双曲线的标准方程.
【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为 ， ，
所以设双曲线的方程为 ，半焦距为 ；
又因为 是双曲线上一点且 ，
所以 ，即 ，则 ；
所以双曲线的标准方程为 .
故选：C.
26．A
【分析】根据双曲线的标准方程特点可得 ，即可得到答案.
【详解】∵方程 表示双曲线
∴
∴
故选：A．
27．C
【分析】根据题意，由 求解.
【详解】解：由题意得： ，
第 21 页解得 ，
所以曲线的方程为 ，
故选：C
28．A
【分析】根据双曲线的焦点求出 的值，进而可以求出结果.
【详解】由双曲线方程 可知 ，
且 ， ，则 ，得 ，
所以双曲线的方程为 ，
则渐近线方程为 .
故选：A.
29．D
【分析】根据双曲线的性质即可求解.
【详解】由题意知2c＝10，c＝5，又 ，c2＝b2＋a2，
∴a2＝9，b2＝16，
∴所求双曲线的标准方程为 或 ．
故选：D．
30．D
【分析】设双曲线的方程为 ，再代点解方程 即得解.
【详解】解：由 得 ，
所以椭圆的焦点为 .
设双曲线的方程为 ，
因为双曲线过点 ，
所以 .
所以双曲线的方程为 .
故选：D
31．B
第 22 页【解析】根据椭圆的标准方程求出 ，利用双曲线的离心率建立方程求出 ， ，即可求出双曲线的渐近线方程．
【详解】解： 椭圆的标准方程为 ，
椭圆中的 ， ，则 ，
双曲线的焦点与椭圆 的焦点相同，
双曲线中 ，
双曲线 的离心率为 ，
，则 ．
在双曲线中 ，
则双曲线的方程为 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据椭圆和双曲线的关系建立方程求出 ， ， 是解决本题的关键，
属于基础题．
32．D
【分析】根据直线 过双曲线的一个焦点，令 求出c，再根据直线与一条渐近线平行，得到 求解可得答
案.
【详解】令 得 ，所以直线 与 轴的交点为 ，
所以双曲线 的右焦点为 ，则 ，
即 ①，
直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，直线 又过双曲线的焦点，
所以直线 与双曲线的一条渐近线 平行，
即 ②，
由①②得
解得 ，
所以双曲线的方程为
故选：D.
33．C
【分析】由双曲线与椭圆共焦点可得双曲线的 ，双曲线离心率 ，得 ， ，即可求出双曲线
的方程.
第 23 页【详解】 双曲线 与椭圆 有公共焦点
由椭圆 可得
双曲线离心率 ，
双曲线的方程为：
故选：C
【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线焦点以及双曲线离心率的表示方法，属于基础题.
34．D
【分析】根据题意得出 的符号，进而得到 的象限.
【详解】由题意， ，所以 在第四象限.
故选：D.
35．C
【解析】对 是否为0和正负情况进行分类讨论，判断方程表示的曲线，即得结果.
【详解】若 时，方程 为 ，不成立，无轨迹；
若 有且只有一个为0，则不妨设 时，方程 为 ， 时表示两条直线， 时方程无
解，无轨迹；
若 均不为0，当 时，方程表示圆，当 时，方程表示椭圆，
当 时，方程表示双曲线.
综上可知，ABD正确，C错误.
故选：C.
36．C
【分析】根据题意，得到 ，结合 ，求得 的值，即可求解.
【详解】由题意，双曲线 的虚轴长为 ，离心率为 ，
可得 ，即 ，
因为 ，解得： .
所以曲线的方程为 .
故选：C.
37．A
【分析】由正方形边长可得c，将D点坐标代入双曲线方程，结合 求解可得.
第 24 页【详解】由图知， ，
易知 ，代入双曲线方程得 ，又 ，
联立求解得 或 （舍去）
所以
所以双曲线E的实轴长为 .
故选：A
38．ABD
【分析】根据双曲线的定义，可判定A不正确；根据圆的定义，可判定B不正确；根据双曲线的标准方程的形式，
可判定C正确；根据直线与抛物线的位置关系的判定，可判定D不正确．
【详解】对于A中，根据双曲线的定义，只有 ，动点 的轨迹才为双曲线，故A不正确；
对于B中，因为 ，所以点 为弦 的中点，故 ，则动点 的轨迹为以线段 为直
径的圆，故B不正确；
对于C中，若曲线 为双曲线，则 ，解得 或 ，显然C正确；
对于D中，过点 作直线，使它与抛物线 有且仅有一个公共点，这样的直线有3条，分别为直线
，故D不正确．
故选：ABD．
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记双曲
线的定义和标准方程的形式，以及掌握直线与抛物线的位置关系的判定方法是解答的关键，属于基础题.
39．AC
【解析】根据题意，求出 ，结合 的关系式求出 ，利用双曲线的几何性质进行逐项分析，判断即可.
【详解】由题意知， ，即 ，因为 ，所以 ，解得 ，所以右焦
点为 为 ，双曲线 的渐近线方程为 ，
对于选项A：由点 向双曲线 的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为 的渐近线上的点到 距离的最小值，由
第 25 页点到直线的距离公式可得， ，
故选项A正确；
对于选项B：因为 ，所以双曲线 的离心率为 ，故选项B错误；
对于选项C：当双曲线 上的点为其右顶点 时，此时双曲线 上的点到 的距离最小为 ，故选项C正确；
对于选项D：过点 且斜率为零的直线与双曲线的交点为 ，此时为过点 的最短弦为 ，故
选项D错误.
故选：AC
【点睛】本题考查双曲线的几何性质；考查运算求解能力；熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键；属于
中档题.
40．BD
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的标准方程，一一判断即可.
【详解】对于A，当 时，曲线 是圆，故A错误；
对于B，当 时，曲线 是焦点在 轴上的双曲线，
当 时，曲线 是焦点在 轴上的双曲线，故B正确；
对于C，若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ，故C错误；
对于D，若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则 ，解得 ，故D正确．
故选BD．
41．BD
【解析】根据题中条件，得到双曲线的半焦距为 ，由双曲线方程可得，其渐近线方程为 ，设
，则 ，根据 ，以及点 在圆 上，求出 的坐标，得出 ，
求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为双曲线 的焦点在圆 上，
所以双曲线的半焦距为 ，
由 可得其渐近线方程为 ，
因为圆 与双曲线 的渐近线在第一、二象限分别交于 、 两点，不妨设 ，则
，
第 26 页又 ， ，所以 ，即 ，
整理得 ，又点 在圆 上，所以 ，
由 解得 ，即 ，
又点 在渐近线 上，所以 ，
由 解得 ，因此双曲线 的方程为 ；
所以其虚轴长为 ，故A错；
离心率为 ，故B正确；
其渐近线方程为 ，故C错；
三角形 的面积为 ，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及 ，求出交点坐标，
得出 之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.
42．ABD
【分析】由离心率为 ，右顶点为 求出双曲线方程，再利用点到直线的距离，双曲线的定义及性质依次判
断4个选项即可.
【详解】由离心率为 ，右顶点为 可得 ， ，故双曲线C的方程为 ，A正确；
双曲线的渐近线为 ，故点A到双曲线C的渐近线的距离为 ，B正确；
由双曲线的定义 ， ，则 或10，C错误；
，则 ， 的外接圆半径为 ，D正确.
故选：ABD.
43．AD
【分析】就 的不同取值范围分类讨论可得曲线 表示的可能的类型.
【详解】若 ，则方程可变形为 ，它表示焦点在 轴上的双曲线；
第 27 页若 ，则方程可变形为 ，它表示焦点在 轴上的双曲线；
若 ，则 ，故方程 表示焦点在 轴上的椭圆；
若 ，则 ，故方程 表示焦点在 轴上的椭圆；
若 ，方程 即为 ，它表示圆，
综上，选AD.
【点睛】一般地，方程 为双曲线方程等价于 ，若 ，则焦点在 轴上，若 ，
则焦点在 轴上；方程 为椭圆方程等价于 且 ，若 ，焦点在 轴上，若 ，
则焦点在 轴上；若 ，则方程为圆的方程.
44．
【解析】根据渐近线方程得斜率可得 ，根据双曲线的定义以及勾股定理可得 ，可得 ， ，从而
可得双曲线的方程．
【详解】设 ，则由渐近线方程为 ， ，
又 ，
所以
两式相减，得 ，而 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ，故双曲线的方程为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了双曲线的定义及性质，考查转化能力与运算能力，属中档题．
45．
【分析】由已知双曲线可得焦点坐标 ，设所求双曲线方程为 ， ，根据 、
求得 和 的值即可求解.
【详解】由双曲线 可得焦点坐标为 ，
设所求双曲线的方程为 ， ，
第 28 页由题意可得： ，解得 ，
所以双曲线的标准方程为： ，
故答案为： .
46．
【分析】由双曲线方程的特征列出不等式，求出k的取值范围.
【详解】由题意得： ，则有 或 ，解得： .
故答案为：
47．
【分析】分双曲线焦点在 轴或 上，分别设出双曲线方程，联立方程组求解即可.
【详解】由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上,则可设 ，则
且 ，联立解得 ,则双曲线的标准方程为 ；
②若双曲线的焦点在y轴上，则可设 ，则 ，且 ，此时无解，综上，双曲线
的方程为 .
故答案为：
48．
【分析】根据双曲线的定义，结合焦点坐标，即可求得 ，从而解得其标准方程.
【详解】因为双曲线的焦点为 ､ ，故可设其方程为 ，且 ，
根据双曲线的定义，由题可得： ，即 ，故 ，
则所求所曲线方程为： .
故答案为： .
49．
【分析】利用双曲线方程的特点，可得 ，解不等式，即可求出实数 的取值范围.
【详解】因为方程 表示双曲线，
第 29 页所以 ，即 或 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
50．（1） ；（2） .
【分析】（1）求得直线 与 轴的交点，可得 ，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得渐近线方程，解方
程可得 ，进而得到双曲线的方程；
（2）设直线 ，代入 ，设 ，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式
及两直线垂直的条件：斜率之积为 ，求得 的垂直平分线方程，令 ，可得直线在 轴上的截距，由不等
式的性质可得范围.
【详解】（1）直线 过x轴上一点 ，
由题意可得 ，即 ，
双曲线的渐近线方程为 ，
由两直线平行的条件可得 ，解得 ，
即有双曲线的方程为 .
（2）设直线 ，
代入 ，可得 ，
设 ，则 ，
中点为 ，
可得 的垂直平分线方程为 ，
令 ，可得 ，
由 ，解得 ，
又 ，解得 ，
综上可得， ，即有 的范围是 ，
第 30 页可得直线 与 轴上的截距的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常
联立直线方程与双曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能
力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
51．(1)
(2)存在，
【分析】（1）结合离心率 和双曲线关系式 ，再将点 代入双曲线方程可直接求解；
（2）设 ，先讨论直线 的斜率不存在时， 和 大小，求得 ，再由一般情
况结合斜率表示出 ，猜想 ，化简即可求证.
（1）
离心率 ，∴ ， ，所以双曲线的方程 ，
把点 代入双曲线方程得 ，解得 ，
故双曲线 的方程为 ；
（2）
设 ， ，其中 ，
由（1）知 ，
①当直线 的斜率不存在时， ， ，
∴ ，此时 ；
②当直线 的斜率存在时，
由于双曲线渐近线方程为 ，所以 ，
由 得 ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，所以 ，
综上，存在常数 ，满足 .
第 31 页52．(1)
(2) 或
【分析】（1）求出点 的坐标，结合 可求得 的值，进一步可求得双曲线 的标准方程；
（2）设 、 ，将直线 的方程与双曲线 的方程联立，求出线段 的中点 的坐标，分析可知
，可得出 ，再结合 以及 可求得实数 的取值范围.
（1）解： ， ，双曲线 的渐近线方程为 ，以 为直径的圆过点 ，所以， ，
不妨取点 在 上，设点 ， ， ，因为 ，则
，可得 ，则点 , ，则 ， ，则 ，所以，双曲线
的标准方程为 .
（2）解：由题意可知 ，设 、 ，线段 中点 ，联立 得
，依题意 ，即 ①，由韦达定理可
得 ， ，则 ， ， ， ，
，所以， ②，又 ③，由①②③得： 或
.
53．（1） ；（2） .
【分析】（1）可设双曲线的方程为 ，将点 的坐标代入双曲线的方程，求得 的值，即可得出双曲线
的标准方程；
（2）设双曲线的方程为 ，将点 、 的坐标代入双曲线方程，求出 、 的值，即可求得双曲线的
标准方程.
【详解】（1）因为 ，且双曲线的焦点在 轴上，可设双曲线的标准方程为 ，
第 32 页将点 的坐标代入双曲线的方程得 ，解得 ，
因此，双曲线的标准方程为 ；
（2）设双曲线的方程为 ，
将点 、 的坐标代入双曲线方程可得 ，解得 ，
因此，双曲线的标准方程为 .
54．以 、 为焦点的双曲线的右支的一部分， ( ， ).
【解析】可由双曲线的定义判断界线是双曲线的一部分，建立坐标系即可求出方程.
【详解】矩形灾民区 中的点可分为三类，第一类沿道路 送药较近，
第二类沿道路 送药较近，第三类沿道路 和 送药一样远近，
依题意，界线是第三类点的轨迹，
设 为界线上的任一点，则 ， ，
∴界线是以 、 为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，
设所求双曲线方程的标准形式为 ( ， )，
∵ ， ，∴ ，
，故双曲线的标准方程为 ，
注意到点 的坐标为 ，故 的最大值为 ，此时 ，
故界线的曲线方程为 ( ， ).
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线方程的求解，解题的关键是得出 ，能根据双曲线定义判断界线
是双曲线的一部分.
55．(1)选①③或②③， ；
第 33 页(2) ；
(3)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据所选条件求出双曲线参数a、b，即可得双曲线C的标准方程；
（2）令直线l为 ，联立双曲线，根据交点的个数及分布有 且 ，即可求k的范围.
（3）由题设，假设条件成立则 ，应用韦达定理及向量数量积的坐标表示列方程判断是否存在这样k使
以AB为直径的圆经过坐标原点O.
(1)
选①③： 且 ，可得 ，则双曲线为 ；
选②③： 且 ，可得 ，则双曲线为 ；
选①②：无法确定双曲线C的方程.
(2)
由题设，令直线l为 ，联立双曲线可得： ，
要使直线与双曲线右支交于两点，则 且 ，
所以 ，可得 .
(3)
由（2）知： ，且 ，
要使 为直径的圆过原点，则 ，
显然 不成立，故不存在以AB为直径的圆经过坐标原点O.
第 34 页第 35 页
