文档内容
微专题：不等式的基本性质
【考点梳理】
1. 基本事实
(1)a＞b⇔a－b ＞ 0.
(2)a＝b⇔a－b ＝ 0.
(3)a＜b⇔a－b ＜ 0.
2. 等式的基本性质
性质1：如果a＝b，那么b＝a；
性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3. 不等式的基本性质
序号 性质 简称
性质1 a>b⇔ b < a 对称性
性质2 a>b，b>c⇒ a > c 传递性
性质3 a>b⇒ a ＋ c > b ＋ c 可加性
a>b，c>0⇒ ac > bc ；
性质4 乘法法则
a>b，c<0⇒ ac < bc
性质5 a>b，c>d⇒ a ＋ c > b ＋ d 相加法则
性质6 a>b>0，c>d>0⇒ ac > bd 相乘法则
性质7 a>b>0⇒ a n > b n (n∈N，n≥2) 乘方法则
【常用结论】
4. 基本性质的推论
(1)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2).
(2)倒数法则：a>b，ab>0⇒<.
(3)异向相减：a>b，cb－d.
(4)异向相除：a>b>0，0.
5. 分数性质
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<；>(b－m>0).
(2)假分数性质：>；<(b－m>0).
其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(浓度变大)；糖水析出糖后，糖水变
淡(浓度变小). ”
6.利用不等式性质进行命题的判断时，判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断(判断成立时)或反例说明
(判断不成立时)，在实际考查中，多与一些常见函数单调性结合考查.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【题型归纳】
题型一：由已知条件判断所给不等式是否正确
1．已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知x， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
题型二： 由不等式的性质比较数（式）大小
4．若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．若 且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．若 ， ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7．若 ，则下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若 ， ．则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．若 ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题中为真命题的是（ ）
A．“ ”的充要条件是“ ”
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
D．“ ， ”是“ ”的必要条件
11．已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．若 ，则下列关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知 糖水中含有 糖 ，若再添加 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度
变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．设 ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
15．下列不等式中成立的是（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．若 则
B．若 则
C．若 则
D．若 则
16．若数列 为等差数列，数列 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
17．下列命题正确的是 （ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
18．实数 ， ， 满足 且 ，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
19．若 ， ，且 ， ，则 ， ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知实数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
21．已知 ， ，那么下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＋c≥b－c B．ac>bc
C． >0 D．(a－b)c2≥0
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司23．已知实数 满足 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
24．已知实数a，b，c，若a>b，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
25．设a､b是正实数，以下不等式恒成立的为（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知： ，且 ，有以下4个结论：① ，② ，③ ，④
中，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．已知下列命题：①若 ，则 ；②若 ， ，则 ；③若 ，则 ；④若
，则 ；其中为真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．
据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22
元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ）
A．3枝康乃馨价格高 B．2枝玫瑰花价格高 C．价格相同 D．不确定
29．已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
30．下列结论正确的是（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
二、多选题
31．已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
32．（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 且 ，则 D．若 且 ，则
33．对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（ ）
A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a+c>b+d
C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则
34．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
35．下列命题不正确的（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
36．若 ，则 与 的大小关系是________．
37．已知 ， ，那么 ， ， 的大小关系为_____________.
38．比较大小： ___________ （填“ ”或“ ”）.
39．若 ， ， ，则 、 的大小关系是______．
40．设a＞0，b＞0，给出下列不等式：
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司①a2＋1＞a； ② ； ③(a＋b) ； ④a2＋9＞6a.
其中恒成立的是________(填序号).
41．已知 ，且 ，则 与 的大小关系是________．
四、解答题
42．（1）比较 与 的大小；
（2）已知 ，求证： ．
43．若 ， ,
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足 所求式 ？若能，请直接写出该代数式；
若不能，请说明理由.
44．（1）已知 ，求证： > ．
（2）已知 ，求证： ．
45．已知函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，求证： .
46．若实数 、 、 满足 ，则称 比 远离 ．
（1）若 比 远离1且 ，求实数 的取值范围；
（2）设 ，其中 ，求证： 比 更远离 ；
（3）若 ，试问： 与 哪一个更远离 ，并说明理由．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据给定条件，举例说明判断A，C，D；利用指数函数单调性判断B作答.
【详解】
取 ，满足 ，显然有 、 、 成立，即选项A，C，D都不正确；
指数函数 在R上单调递增，若 ，则必有 ，B正确.
故选：B
2．D
【解析】
【分析】
应用特殊值法及对数的性质判断A、B、C，根据指数函数的单调性判断D.
【详解】
A：当 时， ，错误；
B：当 时， 无意义，错误；
C：当 时， ，错误；
D：由于 在R上递减，故 ，正确.
故选：D
3．B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质及指数函数、幂函数的性质判断即可；
【详解】
解：对于A：若 ，则 ，故A错误；
对于B：因为幂函数 在 上单调递增，所以当 时 ，故B正确；
对于C：若 ，则 ，所以 ，故C错误；
对于D：因为指数函数 在定义域 上单调递增，所以当 时 ，故D错误；
故选：B.
4．C
【解析】
【分析】
利用不等式的性质可判断A，利用特殊值可判断BD，根据指数函数的性质可判断C.
【详解】
第 8 页∵ ， ，∴ ，故A错误；
当 时， ，故B错误；
由 ，可得 ，故C正确；
当 时， ，故D错误.
故选：C.
5．B
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合不等式的性质，以及特值法，即可求解.
【详解】
对于A，令 ，所以 ，所以A不正确；
对于B，因为 ，所以 ，所以由不等式的可加性知： ，所以B正确；
对于C，令 ，所以 ，所以C不正确；
对于D，令 ，所以 ，所以D不正确.
故选：B.
6．A
【解析】
【分析】
根据同向不等式可以加，不等号方向不变，可判断A；
BCD可通过举反例判断.
【详解】
解：因为 ， ，则 ，故A正确；
当 时， ，故B错误；
当 时， ，故C错误；
当 时， ，故D错误.
故选：A.
7．C
【解析】
【分析】
，可得 ，则根据不等式的性质逐一分析选项，A： ， ，所以 成立；B：
，则 ，根据基本不等式以及等号成立的条件则可判断；C： 且 ，根据可乘性可知结果；
D： ，根据乘方性可判断结果.
【详解】
第 9 页A：由题意，不等式 ，可得 ，
则 ， ，所以 成立，所以A是正确的；
B：由 ，则 ，所以 ，因为 ，所以等号不成立，所以 成立，所
以B是正确的；
C：由 且 ，根据不等式的性质，可得 ，所以C不正确；
D：由 ，可得 ，所以D是正确的，
故选C.
【点睛】
本题考查不等式的性质，不等式等号成立的条件，熟记不等式的性质是解题的关键，属于基础题.
8．B
【解析】
【分析】
根据已知条件，由作差比较法得 ，从而可判断选项B正确.
【详解】
解： ，
， ，
， ， ，
，即 ，
所以选项A不正确，选项B正确；而选项C、选项D，由不等式的性质易判断不正确．
故选：B．
9．D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质判断各选项．
【详解】
A显然错误，例如 ， ；
时，由 得 ，B错；
，但 时， ，C错；
，又 ，所以 ，D正确．
故选：D．
10．C
【解析】
【分析】
第 10 页由充分必要条件的定义及不等式的性质，逐个判断每个选项，即可得出答案．
【详解】
对于A，当 时， 不存在，A错误；
对于B，当 ， 时， 不成立，B错误；
根据存在量词命题的否定时全称量词命题知C正确；
对于D，“ ， ”是“ ”的充分条件，不是必要条件，D错误．
故选：C.
11．C
【解析】
【分析】
先化简 得 ，即得解.
【详解】
由 得 ，
所以 .
反之，也成立.
所以“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：C
【点睛】
方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵
活选择方法求解.
12．C
【解析】
【分析】
利用基本不等式的性质，对选项进行一一验证，即可得到答案；
【详解】
对A，当 ，故A错误；
对B，当 时， ，故B错误；
对C，同向不等式的可加性，故C正确；
对D，若 ，不等式显然不成立，故D错误；
故选：C.
13．B
【解析】
【分析】
利用已知的事实以及作差法、特殊值法可判断各选项中不等式的正误.
第 11 页【详解】
对于A选项，由题意可知 ，A选项错误；
对于B选项，作出函数 与 的图象如下图所示：
由图可知，当 时， ， ，则 ，
所以， ，
即 ，B选项正确；
对于C选项， ，
所以， ，C选项错误；
对于D选项，取 ， ，则 ，D选项错误.
故选：B.
14．C
【解析】
【分析】
ABD通过举反例可知错误，C利用不等式的性质可证明.
【详解】
对于A，例如 ， ，此时满足 ，但 ，故A错，
对于B，例如 ， ，此时满足 ，但 ，故B错，
对于C， ，故C正确，
对于D，例如 ，此时满足 ， ，故D错，
故选：C.
第 12 页【点睛】
本题主要考查了由条件不等式判断不等关系，属于基础题.
15．C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质对各选项判断即可.
【详解】
对于A，若 ，则 ，所以 ，所以 ，所以
，故A错误；
对于B，若 ，则 ， ，所以 ，故B错误；
对于C，若 ，则 ， ，所以 ，故C正确；
对于D，若 ，则 ，故D错误.
故选：C
16．D
【解析】
【分析】
对选项A，令 即可检验；对选项B，令 即可检验；对选项C，令 即可检验；对选项D，设
出等差数列的首项和公比，然后作差即可.
【详解】
若 ，则
可得： ，故选项A错误；
若 ，则
可得： ，故选项B错误；
若 ，则
可得： ，故选项C错误；
不妨设 的首项为 ，公差为 ，则有：
则有： ，故选项D正确
故选：D
17．C
第 13 页【解析】
【分析】
利用不等式的性质，对四个选项逐一判断，即可得出正确选项.
【详解】
若 ，则 ，故选项 不正确；
若 ，则 ，故选项 不正确；
若 ，则 ，因为 所以 ，故选项 正确；
当 ， 时，才有 成立，故选项 不正确；
故选：
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.
18．D
【解析】
【分析】
根据等式 可变形为 ，利用完全平方可得 大小，由 得 ，做差
，配方法比较大小.
【详解】
由 可得 ，则 ，
由 可得 ，利用完全平方可得
所以 ，
，
，
综上 ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题.
19．A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质判断．
【详解】
因为 ， ，所以 ，
因为 ， ，所以 或 ，而 ， ，所以 ．
所以 ．
故选：A．
20．C
第 14 页【解析】
【分析】
采用“ 分段法”，结合不等式的性质确定正确选项.
【详解】
， ， ， ，
由于 ，在不等式上同时乘以 得 ，
即 ，
因此， .
故选：C
【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.
21．A
【解析】
【分析】
对于选项A， ，判断得解；对于选项B和C，差的符号不能确定，所以不正确；对于选
项D，差的符号不能确定，所以该选项不正确.
【详解】
对于选项A， ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以该选项正确；
对于选项B， ，如： ，则分母小于零，
如： ，则分母大于零，所以差的符号不能确定，
所以该选项不正确；
对于选项C， ，如： ，则分母小于零，
如： ，则分母大于零，所以差的符号不能确定，
所以该选项不正确；
对于选项D， ，差的符号不能确定，所以该选项不正确.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查作差比较法比较代数式的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
22．D
【解析】
第 15 页【分析】
可取 ， ， ，计算可判断 ；由 ，可判断 ；由 ， ， ，可判断 ；由不等式的
性质，可判断 ．
【详解】
解：由 ， ， ，且 ，可取 ， ， ，可得 ，故 错误；
由 ，可得 ，故 错误；
由 ， ， ，可得 ，故 错误；
由 ，可得 ， ，即有 ，故 正确．
故选： ．
23．B
【解析】
【分析】
对于A，利用不等式的性质判断；对于CD，举例判断；对于B，作差法判断
【详解】
解：对于A，因为 ，所以 ，所以 ，所以A错误，
对于B，因为 ，
所以 ，
所以 ，所以B正确，
对于C，当 时， ，所以C错误，
对于D，当 时， ，所以D错误，
故选：B
24．C
【解析】
直接利用不等式的基本性质即可.
【详解】
由 可判断A错误，
由 可判断BD错误，
由不等式的性质易知C正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键，属于基础题.
25．D
【解析】
第 16 页【分析】
根据不等式性质和基本不等式逐项分析判断即可得解.
【详解】
对于选项A，因为a､b是正实数，所以 ，则 ，可得到 ，当且仅当 时等号成
立，故选项A错误；
对于选项B，因为a､b是正实数，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，故选
项B错误；
对于选项C， ，当且仅当 时取等号，故选项C错误；
对于选项D， ，则 恒成立，故选项D正确；
故选：D.
26．B
【解析】
【分析】
由已知可得 ，则结合 可得 ，再根据 可得 ，由
可判断③，根据 范围得出 .
【详解】
由立方差公式可得 ，则 ，
又 ， ，即 ， ，故①正确；
，当 时取等号，则 ，则 ，即 ，故②正确；
， ，故③错误；
， ， ，则 ，则 ，故④错误.
综上，正确的有2个.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是得出 ，进而得出 ， .
27．C
【解析】
【分析】
利用不等式的性质判断各项的正误，即可知真命题的个数.
【详解】
①若 ，显然 不成立，错误；
②若 ， ，即 ，则 ，故 ，正确；
③若 ，即 ，则 ，正确；
第 17 页④若 ，即 ，则 ，正确.
故真命题有3个.
故选：C
28．B
【解析】
【分析】
设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别 元，由题意可得： ，令
，根据待定系数法求得 ，借助不等式性质即可证得
.
【详解】
设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别 元，由题意可得： ，
令 ，
则 ，解得：
，
因此 .
所以2枝玫瑰的价格高.
故选：B
【点睛】
本题考查不等关系与不等式性质，考查不等式比较大小的问题，属于中档题.
29．A
【解析】
根据图象可得 ，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
对于A：由图象可得 ，所以 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，所以B错误；
对于C：因为 ，所以 ，故C错误；
对于D：当 时，满足 ，此时 ，
所以 ，即 ，故D错误，
故选：A
30．C
【解析】
第 18 页【分析】
根据不等式的性质，对四个选项一一验证：
对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；
对于B：取 进行否定；
对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；
对于D：取 进行否定.
【详解】
对于A：当 时，若取 ，则有 .故A不正确；
对于B：当 时，取 时，有 .故B不正确；
对于C：当 ，两边同乘以 ，则 .故C正确；
对于D：当 ，取 时，有 .故D不正确.
故选：C.
【点睛】
（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）判断不等式成立的解题思路：
①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.
31．ACD
【解析】
【分析】
根据基本不等式，结合指数的运算法则，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
对于A：由基本不等式 ，当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于B：由基本不等式 ，可得 ，当且仅当 时等号成立，故B错误；
对于C： ，当且仅当 时等号成立，故C正确；
对于D： ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故D正确.
故选：ACD
32．ABD
【解析】
由不等式的性质结合作差法，逐项判断即可得解.
【详解】
对于A，若 ，则 ，即 ，故A正确；
第 19 页对于B，若 ，则 ， ，
所以 ，故B正确；
对于C，若 且 ，则 ，
所以 ，故C错误；
对于D，若 且 ，则 ， ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
33．AB
【解析】
【分析】
可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错.
【详解】
解：若ac2>bc2，两边同乘以 则a>b，A对，
由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，
当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错，
令a=﹣1，b=﹣2，则 ，D错.
故选：AB.
34．BC
【解析】
根据不等式的性质，逐一判断即可．
【详解】
解： ，
A错误，比如 ， ， 不成立；
B， 成立；
C，由 ，
故C成立，
D， ，故D不成立，
故选:BC.
【点睛】
本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．
35．ABD
第 20 页【解析】
【分析】
利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.
【详解】
A： 且 ，因此 ，
即 ，故本命题不正确；
B：因为 ，显然 不成立，所以本命题不正确；
C：由 ，而 ，
所以有 ，而 ，故本命题正确；
D：若 ，显然 成立，但是 不成立，故本命题不正确，
故选：ABD
【点睛】
方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法.
36．
【解析】
【分析】
由已知可知 ，结合 ，从而 ，进而可得 与 的大小关系.
【详解】
解：因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
整理得， ，即 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质.
37．
【解析】
利用不等式的性质以及作差法即可比较大小.
【详解】
由 ， ，
则 ， ， ，
又 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
第 21 页38．
【解析】
【分析】
由于 ， ，所以通过比较 的大小可得答案
【详解】
因为 ，
，
，
所以 ，即 ，
故答案为：
39．
【解析】
【分析】
由 ， ，分别对 和 进行分子有理化，然后通过比较分母的大小，得到答案.
【详解】
因为 ， ，
所以 ， ，
而 ，所以
所以 ，
即
【点睛】
本题考查通过分子有理化对式子进行化简，再比较大小，属于简单题
40．①②③
【解析】
【分析】
利用做差法判断①，利用基本不等式判断②③，特殊值代入判断④即可得出结论.
【详解】
由于a2＋1－a＝ ，故①恒成立；
由于 ＝ ＋ ＋ ≥2 ＋2 ＝4，
第 22 页当且仅当 即a＝b＝1时等号成立，故②恒成立；
由于(a＋b) ＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4.当且仅当 ＝ ，
那么a＝b＝1时等号成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，恒成立的是①②③.
故答案为：①②③.
【点睛】
本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判断不等式是否成立的问题.属于较易题.
41．
【解析】
【分析】
由题设条件，结合不等式的可乘性和可开方性可得答案.
【详解】
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
故答案为： .
【点睛】
本题考查了不等式的性质，重点考查了不等式的可乘性和可开方性及不等式的可乘性和可开方性的条件，属于基
础题.
42．（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求差法进行大小比较即可；
（2）求差法去证明即可解决.
【详解】
（1）由 ，
可得 ．
（2） ，
∵ ，∴ ， ， ，
第 23 页∴ ，∴ ．
43．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能， .
【解析】
【分析】
（1）根据 的符号去绝对值可证不等式成立；
（2）根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式成立；
（3）在 的两边同时乘以 ，得 ，在 的两边同时乘以
，得 ，所以 .
【详解】
（1）因为 ，且 ，所以 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ．又因为 ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得
．所以 ．
所以 ，
因为 ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得 ．
所以 ，
所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得 .
（3）因为 ， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 .
所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式 满足题意.
【点睛】
本题考查了利用不等式的性质证明不等式成立，属于中档题.
44．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
第 24 页（1）由条件可得 ， ，然后可得 ，然后可证明；
（2）由条件可得 ， ， ，然后利用基本不等式
证明即可.
【详解】
（1）∵ ，∴
∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，
∴ ，又 ，∴ >
（2）因为
所以 ，同理
所以
(当且仅当 时等号成立)
45．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求出导函数 ，按方程 的根的情况分类讨论求解即得；
(2)构造函数 ，由此借助导数证得 ，再用不等式性质即可作答.
【详解】
（1）因为 ， ，
若 ， ，则当 时， ，当 时， ，于是得 在 内单调递增，在
内单调递减，
若 ，在一元二次方程 中， ，
当 ，即 时， ， ，则 在 内单调递增，
当 ，即 时，由 得 ，
当 或 时， ，当 时， ，
因此， 在 ， 内单调递增，在 内单调递减，
综上所述：当 时， 在 内单调递增，在 内单调递减，
第 25 页当 时， 在 ， 内单调递增，在 内单调递减，
当 时， 在 内单调递增；
（2）设 ，则 ， 在 上单调递增，
而 ， ，
即函数 有唯一零点 ，使得 ，即 ，亦即 ，
当 时， ，当 时， ， 在 上递减，在 上递增，
从而当 时， 取得最小值 ，
于是有 ，即 成立，
而 ，则 ， ，
所以当 时， .
46．（1） ；（2）证明见解析；（3） 比 更远离 ．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意利用已知条件消去y，得到 ，两边平方即得；
（2）利用分析法证明即可；
（3）结合基本不等式的变形 ，可将为题转化为研究 的正负问题，然后根据绝对
值的意义分类讨论，并结合消元思想，配方法可以得到结论.
【详解】
（1）由题意， ，∵ ，∴ ，即 ，
两边平方，得 ；
（2）即证 ，即证 ，
∵ ，∴ ，即证 ，即证 （*），
∵ ，∴ ，
∴ ，（*）成立，即 比 更远离 ；
（3）∵ ，∴ ，
从而 ，
第 26 页① 时，
，
即 ；
② 时，
，
即 ；
综上， ，即 比 更远离 ．
【点睛】
本题考查含有绝对值的不等式的求解与证明，作差法比较大小，涉及消元思想和配方法，基本不等式的灵活应用，
分析法证明不等式，分类讨论思想，属中高档题，难度较大.
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